第一节 复数与复变函数

1、第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础第一节第一节 复数与复变函数复数与复变函数第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础 一、复数的发展史复数的发展史在19世纪可没那么简单第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是1545年开始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡辩量诡辩量”.几乎过了100年，笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字虚数虚数但是又过了140年，欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”，并用i（imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位. 后来德国数学家高斯给出了复数的定义，但他们仍感到这种数有点虚无缥缈，尽管他们也感到它的作用1830

2、年，高斯详细论述了用直角坐标系的复平面上的点表示复数abi，使复数有了立足之地,人们才最终承认了复数.第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础二、复数有关概念二、复数有关概念 复数复数s=a+j b (aR， bR )把实数把实数a，b叫做叫做 复数的复数的实部实部和和虚部虚部。形如形如a+bi(a,bR)的数叫做复数的数叫做复数.1.定义:全体复数所组成的集合叫复数集，记作全体复数所组成的集合叫复数集，记作C。注意注意:复数通常用字母复数通常用字母s表示，即复数表示，即复数a+ib（aR，bR)可记可记作作:s =a+jb （aR，bR），把这一表示形式叫做），把这一表示形式叫做复数的

3、代数复数的代数形式形式。第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础通常用字母通常用字母 表示，即表示，即 sajb),(RbRa 其中其中 称为称为虚数单位虚数单位。j000000bababb，非纯虚数，纯虚数虚数实数000000bababb，非纯虚数，纯虚数虚数实数CR 第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础复数复数a+jba+jb0)00)0)00)babbab实数(纯虚数(，虚数(非纯虚数(，2.复数的分类：复数的分类：复数集，虚数集，实数复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关集，纯虚数集之间的关系？系？复数集复数集虚数集虚数集实数集实数集纯虚数集纯虚数集(3)复平面：建立

4、直角坐标系来表示复平面：建立直角坐标系来表示 的的平面叫做复平面，横轴为平面叫做复平面，横轴为 ，竖轴除去原点，竖轴除去原点为为 复数复数实轴实轴虚轴虚轴第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础三、 复数的表示方法1、复数的点表示法任意一个复数s=a+jb与a和b成一一对应的关系，所以在平面直角坐标系中，以a 表示横轴，jb表示纵轴，则复数s=a+jb可用直角坐标平面上的一个点来表示。这样一个点就和一个复数对应起来了。yz(x,y)xx0yr实轴虚轴图21 复数的点表示法第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础2、向量表示法我们知道复数a+jb对应着复平面上的点(a, b)，也对应

5、复平面上一个向量（如图22所示）这个向量的长度叫做复数a+jb的模，记为|a+jb|，一般情况下，复数的模用字母r表示。xy同时，这个向量针对x轴的正方向有一个方向角，我们称为幅角，记为arg(a+bi)，幅角一般情形下用希腊字母表示。显然 sin,cosrbra 图22 极坐标表示法（21）第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础3、复数的三角形式这样，我们把 叫做复数a+bi的三角形式(cossin )rj 1)、复数三角形式的运算法则引入复数三角形式的一个重要原因在于用三角形式进行乘除法、乘方、开方相对于代数形式较为简单。所以这里只介绍三角形式的乘法、除法、乘方与开方的运算法则。把

6、它们代入复数的代数形式得：cossin(cossin )abirjrrj（22）第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础1 2111222 (cossin) (cossin)z zrjrj1 212121 21212(coscossinsin)(sincoscossin)rrjrr1 21212cos()sin()rrj这说明，两个复数相乘等于它们的模相乘而幅角相加即1 21 21212cos()sin()z zrrj这个运算在几何上可以用下面的方法进行：将向量z1的模扩大为原来的r2倍，然后再将它绕原点逆时针旋转角2，就得到z1z2。(1)、复数的乘法设1111(cossin)zrj2

7、222(cossin)zrj（23）第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础(2)、复数的除法11112222(cossin)(cossin)rjzzrj 1112222222(cossin)(cossin)(cossin)(cossin)rjjrjj 1121221212(coscossinsin)(sincoscossin)rrj112122cos()sin()rjr第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础11121222cos()sin()zrjzr即这说明，两个复数相除等于它们的模相除而幅角相减这个运算在几何上可以用下面的方法进行：将向量z1的模缩小为原来的r2分之一，然后

8、再将它绕原点顺时针旋转角2，就得到z1z2。(3)、复数的乘方。利用复数的乘法不难得到(cossin)nnzrnjn这说明，复数的n次方等于它模的n次方，幅角的n倍。（24）（25）第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础(4)、复数的开方对于复数 ，根据代数基本定理及其推论知，任何一个复数在复数范围内都有n个不同的n次方根。 (cossin )zrj设 的一个n次方根为(cossin )zrj(cossin)j将向量z1的模变为原来的n次方，然后再将它绕原点逆时针旋转角n，就得到zn。这个运算在几何上可以用下面的方法进行：第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础那么 (cossi

9、n)(cossin)nnnjnjn所以2012,(,)nrnkk 即22012,(,)nkkrknnn 显然，当k从0依次取到n1,所得到的角的终边互不相同，但k从n开始取值后，前面的终边又周期性出现。因此，复数z的n个n次方根为220 1 21(cossin),(, , ,)nkkkrjknnn （26）第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础220 1 21(cossin),(, , ,)nkkkrjknnn 从求根公式可以看出，相邻两个根之间幅角相差2n 所以复数z的n个n次方根均匀地分布在以原点为圆心，以它的模的n次算术根为半径的圆周上。因此，求一个复数z的全部n次方根，可以用下

10、面的几何手段进行：(cossin )zrj先作出圆心在原点，半径为 的圆，然后作出角 的终边nrn 以这条终边与圆的交点为分点，将圆周n等分，那么，每个等分点对应的复数就是复数z的n次方根。第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础在对复数三角形式的乘法规则讨论中，我们发现，复数的三角形式将复数的乘法“部分地”转变成加法（模相乘，幅角相加）4、复数的指数形式(cossin )jzajbrjre 从复数的模与幅角的角度看，复数的指数形式其实是三角形式的简略化（27）第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械工程控制基础由复数的三角形式与指数形式，我们很容易得到下面的两个公式：22cossincossincos,sinjjjjjjjejeeeeej 这两个公式被统称为欧拉公式在复数的指数形式中，令r=1,=，就得到下面的等式1je 或10je 第二章 拉普拉斯变换的数学方法机械