最新中考数学压轴题(动点)

1、学习-好资料中考数学压轴题总结(动点)(一) 因动点产生的相似三角形问题例1,已知抛物线的方程 C1: y 工(x 2)(x m) (m>0)与x轴交于点B、C,与y m轴交于点E,且点B在点C的左侧.(1)若抛物线C1过点M(2, 2),求实数m的值；(2)在(1)的条件下，求 BCE的面积；(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH + EH最小，求出点H的坐标；(4)在第四象限内，抛物线 C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与 BCE相似？若存在，求 m的值；若不存在，请说明理由.思路点拨1 .第(3)题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时

2、，BH+EH最小.2 .第(4)题的解题策略是：先分两种情况画直线BF,作/ CBF = / EBC = 45° ,或者彳BF/EC.再用含m的式子表示点F的坐标.然后根据夹角相等，两边对应成比例列关 于m的方程.满分解答(1)将 M(2, 2)代入 y (x 2)(x m),得 2 4(2 m) .解得 m=4.mm(2)当 m = 4 时，y 1(x 2)(x 4)- x2 -x 2所以 C(4, 0), E(0, 2).442所以 SaBCE=1BCOE 1 6 2 6. 22(3)如图2,抛物线的对称轴是直线 x= 1,当H落在线段EC上时，BH + EH最小.设对称轴与x轴

3、的交点为P,那么HP EOCP CO因此HP 2 .解得HP - .所以点H的坐标为(1 3).3422(4)如图3,过点B作EC的平行线交抛物线于 F,过点F作FFx轴于F由于/ BCE=Z FBC,所以当CECBBC ,即 BC2 CE BF 时， BCEsfbC. BF设点F的坐标为(x, (x 2)(x m),由正 mBF1 ，c、，、EO (x 2)(x m)EO ,得 mCOx 2解得 x=m+2.所以 F'm+2, 0).由II里,得m 4 .所以 bf (m 4)% m2 4BFm2 4 BFm由 BC2 CE BF ,得(m 2)2 Jm2 4 (m 4)4m-4 m

4、整理，得0=16.此方程无解.图2图3图4如图4,作/ CBF = 45°交抛物线于 F,过点F作FF。x轴于F由于/ EBC=Z CBF,所以 BE BC,即 BC2 BE BF 时， BCEABFC.BC BF在 RtBFF 中，由 FF'= BF',彳# 1(x 2)(x m) x 2 m解得 x=2m.所以 F'(2m,0).所以 BF'=2m+ 2, BF 2(2(2 m 2).由 BC2 BE BF ,得(m 2)2 2夜 衣2 m 2).解得 m 2 272 .综合、，符合题意的m为2 2点.例2,抛物线经过点 A(4, 0)、B (1,

5、 0)、C (0, 2)三点.(1)求此抛物线的解析式；(2) P是抛物线上的一个动点，过 P作PMx轴，垂足为M,是否存在点P,使得以 A、P、M为顶点的三角形与 OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不 存在，请说明理由；(3)在直线AC上方的抛物线是有一点 D,使得 DCA的面积最大，求出点D的坐标.图1思路点拨1 .已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便.2 .数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长.3 .按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程.4 .把 DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA.满分解答（1

6、）因为抛物线与x轴交于 A（4, 0）、B （1, 0）两点，设抛物线的解析式为1a(x 1)(x 4),代入点C的坐标(0, 2),解得a .所以抛物线的解析式为21195-(x1)(x 4)-x-x2.222 1(2)设点P的坐标为(x, (x 1)(x 4).2如图2,当点P在x轴上方时，1vx<4, PM1 ,-(x 1)(x 4), AM 4 x.2站田AM如果PMAOCO1(x 1)(x 4)2 ,那么4 x2.解得x 5不合题意.AM 如果PMAOCO12(x 1)(x 4)4 x更多精品文档此时点P的坐标为（2,1）.如图3,当点P在点A的右侧时，x> 4, PM1

7、一 (x 1)(x 4) , AM x 4.21（x 1）（x 4）解方程2 2,得x 5.此时点P的坐标为（5, 2）.x 41-(x 1)(x 4)解方程2x 41r 八._ ,，得x 2不合题意.2如图4,当点P在点B的左侧时，xv 1, PM1一 (x 1)(x 4) AM 4 x.21-(x 1)(x 4)解方程2 2 ,得x4 x3 .此时点P的坐标为（3, 14）.11(x 1)(x 4)解方程24 x1，得x 0.此时点P与点O重合，不合题意.2综上所述，符合条件的点P的坐标为（2, 1）或（3, 14）或（5, 2）.1-(3)如图5,过点D作x轴的垂线交AC于E.直线AC的

8、解析式为y -x 221c 5 一设点D的横坐标为m(1 m 4),那么点D的坐标为(m, - m2 - m 2),点E的221_1 9 511 9坐标为(m,- m 2),所以 DE ( - m - m 2) (- m 2)- m 2m .11222因此 S DAC 一( m 2m) 4 m 4m (m2)4.22当m 2时， DCA的面积最大，此时点 D的坐标为(2, 1).(二)因动点产生的等腰三角形问题例3,抛物线y=ax2+bx+ c经过A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对 称轴.(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当 PAC

9、的周长最小时，求点 P的坐标；学习-好资料(3)在直线l上是否存在点 M ,使 MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合 条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.思路点拨1 .第(2)题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时 PAC的周长最小.2 .第(3)题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性.满分解答(1)因为抛物线与 x轴交于A(1,0)、B(3, 0)两点，设y=a(x+1)(x3),代入点C(0 ,3),得3a = 3.解得a=- 1.所以抛物线的函数关系式是y= (x+ 1)(x-3) = - x2+2x+ 3.(2)如图2,抛物线的对称轴是直线x= 1 .当点P落在线段

10、BC上时，PA+PC最小， PAC的周长最小.设抛物线的对称轴与 x轴的交点为H .由电 PH , BO=CO,得 PH = BH=2.BO CO所以点P的坐标为（1,2）.图2(3)点 M 的坐标为(1,1)、(1,石)、(1, J6)或(1,0).考点伸展第(3)题的解题过程是这样的: 更多精品文档学习-好资料设点M的坐标为(1,m).在 MAC 中，AC2=10, MC2=1 + (m-3)2, MA2=4+m2.如图 3,当 MA=MC 时，MA2=MC2.解方程 4+m2= 1+ (m-3)2,得 m= 1.此时点M的坐标为(1,1).如图4,当AM = AC时，AM2=AC2.解方

11、程4+m2= 10,得m 般.此时点M的坐标为(1,而)或(1, J6).如图 5,当 CM=CA 时，CM2=CA2.解方程 1 +(m3)2=10,得 m= 0 或 6.当M(1,6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0).图3图4图5例4,点A在x轴上，OA=4,将线段OA绕点。顺时针旋转120°至OB的位置.(1)求点B的坐标；(2)求经过A、O、B的抛物线的解析式；(3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点 P的坐标；若不存在，请说明理由.图1思路点拨1 .用代数法探求等腰三角形分三步：先分

12、类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的 距离公式列方程；然后解方程并检验.2 .本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起.满分解答(1)如图2,过点B作BC，y轴，垂足为 C.在 RtOBC 中，/ BOC = 30° , OB = 4,所以 BC = 2, OC 273 .所以点B的坐标为(2, 2J3).(2)因为抛物线与x轴交于0、A(4, 0),设抛物线的解析式为 y=ax(x4),l l一 一 n代入点B( 2, 2两，2用2a ( 6).解得a .6所以抛物线的解析式为 yY3x(X 4)近X2 2&X.663(3)抛物线的对称轴是直线 x=2,设点P

13、的坐标为(2, y).当 OP=OB=4 时，OP2 = 16.所以 4+y2=16.解得 y 2邪.当P在(2, 2悯时，B、0、P三点共线(如图 2).当 BP=BO=4 时，BP2=16.所以 42 (y 273)2 16.解得 y1 y2273 .当 PB=PO 时，PB2=PO2.所以 42 (y 2向2 22 y2,解得 y 24.综合、，点 P的坐标为(2, 2通，如图2所示.更多精品文档考点伸展如图 角形.3,在本题中，设抛物线的顶点为D,那么 DOA与 OAB是两个相似的等腰三x(x 4)(x 2)2 型，得抛物线的顶点为 D(2,663因此tan DOA 23 .所以/ D

14、OA=30° , / ODA =120° . 3(三)因动点产生的直角三角形问题例5:在平面直角坐标系中， 反比例函数与二次函数 y= k(x2+x1)的图象交于点 A(1,k) 和点 B(-1-k).(1)当k= 2时，求反比例函数的解析式；(2)要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求 k应满足的条件以及 x的取值范围；(3)设二次函数的图象的顶点为Q,当 ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求 k的值.思路点拨k1 .由点A(1,k)或点B(1,k)的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是y匕.题目x中的k都是一致的.2 .由点A(1,k)或点B(1,k)的坐标

15、还可以知道，A、B关于原点O对称，以AB为直径的圆的圆心就是 O.3 .根据直径所对的圆周角是直角，当Q落在。O上是， ABQ是以AB为直径的直角三角形.y k.X满分解答(1)因为反比例函数的图象过点A(1,k),所以反比例函数的解析式是当k= 2时，反比例函数的解析式是 y 2 . X(2)在反比例函数 y k中，如果y随X增大而增大， X那么k< 0.当k<0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大.抛物线 y = k(x2 + x + 1) = k(X -)2 -k的对称轴是直线24x 1.图 12所以当k<0且x 1时，反比例函数与二次函数都是y随x增大

16、而增大.2(3)抛物线的顶点 Q的坐标是(1 5k), A、B关于原点。中心对称，2, 4当OQ=OA=OB时， ABQ是以AB为直径的直角三角形.由。Q2=OA2,得(-)2 ( 5k)2 12 k2 -24解得k1 2J3 (如图2), k2-V3 (如图3).1 323图2图3考点伸展如图4,已知经过原点 。的两条直线AB与CD分别与双曲线y k (k>0)交于A、B x和C、D,那么AB与CD互相平分，所以四边形 ACBD是平行四边形.问平行四边形 ABCD能否成为矩形？能否成为正方形？如图5,当A、C关于直线y=x对称时，AB与CD互相平分且相等，四边形 ABCD是 矩形.因为

17、A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以 OA与OC无法垂直，因 此四边形ABCD不能成为正方形.图4图5例6,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交 于点C(0, 3),对称轴是直线 x=1,直线BC与抛物线的对称轴交于点 D.(1)求抛物线的函数表达式；(2)求直线BC的函数表达式；(3)点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交 CE于点F,交抛物线于 P、Q两点,且点P在第三象限.当线段pq 3 AB时，求tan/CED的值； 4当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标.温馨提示：考生可以根据第(3)问的题意，在图中补

18、出图形，以便作答.图1思路点拨1 .第(1)、(2)题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题.2 .第(3)题的关键是求点 E的坐标，反复用到数形结合，注意y轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系.3.根据C、D的坐标，可以知道直角三角形 CDE是等腰直角三角形，这样写点 E的坐 标就简单了.满分解答(1)设抛物线的函数表达式为y (x 1)2 n ,代入点C(0, 3),得n 4.所以抛物线的函数表达式为y (x1)24 x22x 3 .(2)由 y x22x 3(x1)(x 3),知 A(-1, 0), B(3, 0).设直线 BC 的函数表达式为y kx b,代入点B(3

19、, 0)和点C(0, 3),得3k b 0,解得k 1, b 3,所以 b 3.直线BC的函数表达式为y x 3 .(3)因为AB=4,所以PQ - AB 3 .因为P、Q关于直线x= 1对称，所以点 P4的横坐标为1.于是得到点 P的坐标为2755FC OC OF 3，EC 2FC 442进而彳#到OE OC EC 3 5 1,点 2 2直线BC: y x 3与抛物线的对称轴 x=过点D作DH，y轴，垂足为H.1 7 ,点F的坐标为 0 ，.所以2, 44E的坐标为 0 1 . , 21的交点D的坐标为（1 , 2）.在 RtAEDH 中，DH = 1, EH 0H OE 2 -23 ,所以

20、tan/CED 也 2EHP（i 反皿1冬|）.图2图3图4考点伸展第（3）题求点P的坐标的步骤是：如图3,图4,先分两种情况求出等腰直角三角形 CDE的顶点E的坐标，再求出CE的 中点F的坐标，把点F的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的 x的较小的一个值就是点 P 的横坐标.(四)因动点产生的平行四边形问题例7,在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0)、C(3, 0)、D(3, 4).以A为顶点的抛物线 y=ax2+bx+c过点C.动点P从点A出发，沿线段 AB向点B运动，同 时动点Q从点C出发，沿线段 CD向点D运动.点P、Q的运动速度均为每秒 1个单位， 运动时间为t秒.

21、过点P作PELAB交AC于点E.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)过点E作£5，人口于5,交抛物线于点 G,当t为何值时， ACG的面积最大? 最大值为多少？(3)在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形 ABCD内(包括边界)存在 点H,使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值.思路点拨1 .把4ACG分割成以GE为公共底边的两个三角形，高的和等于AD.2 .用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来.3 .构造以C、Q、E、H为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在.满分解答(1) A(1,4).因为抛物线的顶

22、点为 A,设抛物线的解析式为 y=a(x1)2+4, 代入点C(3, 0),可得a=- 1.所以抛物线的解析式为 y= (x 1)2+ 4= x2+ 2x+ 3.(2)因为PE/BC,所以空AB2 .因此 PE -AP-t .PEBC22所以点E的横坐标为1 1t.2将x 1 1t代入抛物线的解析式，y=(x1)2+4= 4 1t2. 24所以点G的纵坐标为4 1t2 .于是得到GE (4 1t2) (4 t)-t2 t .44411 o1o因此 Sacg Sage S cgeGE(AFDF)-t2t-(t2)21.244所以当t = 1时， ACG面积的最大值为1.(3) t 20 或 t

23、20 8.5.13考点伸展第(3)题的解题思路是这样的：因为FE/QC, FE=QC,所以四边形FECQ是平行四边形.再构造点F关于PE轴对称 的点H',那么四边形 EHCQ也是平行四边形.再根据FQ = CQ列关于t的方程，检验四边形 FECQ是否为菱形，根据 EQ=CQ列关 于t的方程，检验四边形 EH CQ是否为菱形.1 1E(1 1t,4 t) , F(1 1t,4), Q(3,t), C(3,0) .2 2如图 2,当 FQ = CQ 时，FQ2=CQ2,因此(1t 2)2 (4 t)2 t2 .2整理，得 t2 40t 80 0 .解得 t1 20 875 , t2 20

24、875 (舍去).如图 3,当 EQ=CQ 时，EQ2=CQ2,因此(1t 2)2 (4 2t)2 t2 .240 (舍去).整理，得 13t2 72t 800 0. (13t 20)(t 40) 0 .所以 t1 丝，t?134 F制 口A HH) 0图2图3(五)因动点产生的梯形问题例8:已知直线y=3x 3分别与x轴、y轴交于点A, B,抛物线yc 一 一一 一一小¥= ax2 + 2x+ c 经过点 A, B.(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)记该抛物线的对称轴为直线 1,点B关于直线l的对称点为C,'一5 '若点D在y轴的正半

25、轴上，且四边形 ABCD为梯形.求点D的坐标；将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为 P,其对称轴与直线y=3x-3交于点E, 若tan DPE 3 ,求四边形BDEP的面积.7图1思路点拨1 .这道题的最大障碍是画图，A、B、C、D四个点必须画准确， 其实抛物线不必画出，画出对称轴就可以了.2 .抛物线向右平移，不变的是顶点的纵坐标，不变的是D、P两点间的垂直距离等于7.3.已知/ DPE的正切值中的7的几何意义就是 D、P两点间的垂直距离等于 7,那么 点P向右平移到直线x=3时，就停止平移.满分解答(1)直线y=3x 3与x轴的交点为 A(1, 0),与y轴的交点为 B(0,-3).将

26、 A(1, 0)、B(0, 3)分别代入 y=ax2 + 2x+ c,曰 a 2 c 0,a 1,得,解得 ,c 3.c 3.所以抛物线的表达式为 y = x2+2x 3.对称轴为直线x= - 1,顶点为（一1, 4）.（2）如图2,点B关于直线l的对称点C的坐标为（2, 3）.因为CD/AB,设直线CD的解析式为y=3x+b,代入点C（-2,-3）,可得b=3.所以点D的坐标为(0,3).过点P作PHy轴，垂足为 H,那么/ PDH = /DPE.由 tan DPE 3，得 tan PDH PH - .7DH 7而 DH =7,所以 PH = 3.因此点E的坐标为(3,6).所以 S梯形 b

27、dep g(BD EP) PH 24 图2图3考点伸展第（2）用几何法求点 D的坐标更简便:因为 CD/AB,所以/ CDB=/ABO.因此 BC OA 1.所以 BD = 3BC=6, OD=3.因此 D (0, 3).BD OB 3例9:已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A的坐标为(4,0),点2C的坐标为(0, 2),直线y §x与边BC相交于点D.求点D的坐标；(2)抛物线yax2 bx c经过点A、D、O,求此抛物线的表达式;(3)在这个抛物线上是否存在点M,使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在,请求出所有符合条件的点 M的坐标；若不存在，请说明

28、理由.图1思路点拨1 .用待定系数法求抛物线的解析式，设交点式比较简便.2 .过 AOD的三个顶点分别画对边的平行线与抛物线相交，可以确定存在三个梯形.3 .用抛物线的解析式可以表示点 M的坐标.满分解答(1)因为BCx轴，点D在BC上，0(0,-2),所以点D的纵坐标为一2.把y= 2代入2y -x,求得x=3.所以点D的坐标为(3, 2).3(2)由于抛物线与x轴交于点O、A(4,0),设抛物线的解析式为y= ax(x- 4)，代入 D (3,2 2),得a _ .所求的二次函数解析式为32228yx(x 4)- x-x.3332 2设点M的坐标为 x, 一 x3如图2,当OMDA时，作

29、MNx轴，DQx轴，垂足分别为N、Q.由 tan/MON= tan/DAQ,得2.28因为x=0时点M与O重合，因此一x 332 ,解得x= 7.此时点M的坐标为(7,如图3,当AM/OD时，由2 2 x tan / MAN = tan/ DOQ ,得-348 x3x22 10因为x= 4时点M与A重合，因此 x ，解得x= 1 .此时点M的坐标为(1).333如图4,当DM/OA时，点M与点D关于抛物线的对称轴对称，此时点 M的坐标为 (1, 2).(六)因动点产生的面积问题例10,在平面直角坐标系中， 直线y lx 1与抛物线y=ax2+bx3交于A、B两点，2点A在x轴上，点B的纵坐标为

30、3 .点P是直线AB下方的抛物线上的一动点(不与点A、B重合)，过点P作x轴的垂线交直线 AB于点C,作PDLAB于点D.(1)求 a、b 及 sin / ACP 的值；(2)设点P的横坐标为m.用含m的代数式表示线段 PD的长，并求出线段 PD长的最大值；连结PB,线段PC把 PDB分成两个三角形，是否存在适合的 m的值，使这两个三 角形的面积比为9 ： 10?若存在，直接写出 m的值；若不存在，请说明理由.图1思路点拨1 .第(1)题由于CP/y轴，把/ ACP转化为它的同位角.2 .第(2)题中，PD=PCsinZ ACP,第(1)题已经做好了铺垫.3 . APCD与4PCB是同底边PC

31、的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比.4 .两个三角形的面积比为9 ： 10,要分两种情况讨论.满分解答(1)设直线 y 1x 1 与 y轴交于点 E,那么 A( 2,0), B(4,3), E(0,1). 2在 RtAEO 中，OA = 2, OE=1,所以 AE 卢.所以 sin AEO2 .5"V因为 PCEO,所以/ ACP = /AEO.因此 sin ACP 空.5将 A( 2,0)、B(4,3)分别代入 y=ax2+bx 3,得4a 2b 3 0, 16a 4b 3 3.解得a 1, b 1. 221 o 11(2)由 P(m,-m -m 3), C(m, m 1

32、), 2221 1 2 11 2信 PC (-m 1) (-m -m 3)-m m 4 -2 222所以 PD PC sin ACP 2-5PC 25( 1m2m 4)-5 (m1)25.55255所以PD的最大值为迤.5(3)当 S»apcd ： S»apcb= 9 ： 10 时，m 5 ;2当 SaPCD : & PCB= 10 ： 9 时，m 32 .图29考点伸展第(3)题的思路是： PCD与4PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比.5 2.5 1 o1而 DN PD cos PDN PDcos ACP (一m2 m 4) (m 2)

33、(m 4),5525BM = 4m.当 S>APCD :Sapcb= 9 :10时,1.(m 52)(m4)-(410m) 解得m5 .2当Six PCD :Sapcb= 10:9时，1.(m2)(m4)10(4m) 解得m3259-9(七)因动点产生的相切问题例 11, A(5,0), B(3,0),点 C 在 y 轴的正半轴上，/ CBO = 45° , CDAB, / CDA = 90° .点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒.(1)求点C的坐标；(2)当/ BCP = 15°时，求t的值；(3)以点P为圆心，PC为半径的。P随点P的运动而变化，当。P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时，求 t的值.答案 (1)点C的坐标为(0,3).(2)如图 2,当 P 在 B 的右侧，/ BCP = 15° 时，/ PCO = 30° , t 4 J3 ;如图 3,当 P 在 B 的左侧，/ BCP=15° 时，/ CPO=30