2019-2020年高考数学二轮复习课时跟踪检测十七文

1、2019-2020年高考数学二轮复习课时跟踪检测十七文1. (xx旃阳统考)已知抛物线C: x2= 2py(p>0),过焦点F的直线交C于A B两点，D是抛 物线的准 线I与y轴的交点.(1)若AB/I ,且 ABD勺面积为1,求抛物线的方程；(2)设M为AB的中点，过 M作I的垂线，垂足为 N证明：直线 AN与抛物线相切.解：(1) T AB/I ,? AB = 2P.2又 I FD = P, ？ &ABD= p = 1.? p= 1,故抛物线C的方程为x2= 2y.由 Jy= kX + 2,x2= 2py(x2、其中AX1 ,茹,(2)证明：设直线 AB的方程为y= kx +

2、 2,2 2 2(X2、BX2, 2p.消去 y 得，x 2kpx p = 0.或U + X2 = 2kp, X1X2= p .Mkp , k2p+ p , N kp ,2 2 2 2Xi p Xi p+ + 一kAN= 2p 22p 2Xi kp Xi + X2 Xi 22X又 x = 2py 即 y=2p,Xi + pX2PzlX222X1 X1X22P X1X1 X2 p?抛物线x2= 2py在点A处的切线斜率2. (xx /匕京高考)已知椭圆2x2 +aX1k=-渲线AN与抛物线相切2y2= 1,过 A(2,0) , B(0,1)两点. b(1)求椭圆C的方程及离心率(2)设P为第三象

3、限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点 M直线PB与x轴交于点N,求证：四边形 ABNM的面积为定值解：(1)由题意得a = 2, b= 1,2X 2所以椭圆c的方程为一+y = 1.又c = .a2- b2= .3,所以离心率证明：设F(x。，yo)(xoV0,yoV0),则x2+4y2= 4.又 A(2,0) , B(0,1),所以直线PA的方程为y =启途-2)?2yo2yo令 x = 0,得 yM=一 从而 | BM = 1 yM= 1 + -Xo 2Xo 2y o 1直线PB的方程为y =x +1.XoXoX o令 y = o,得 Xn=- 1 ,从而 | AN = 2 Xn =

4、 2+ y1 yo Iyo I1所以四边形 ABNM勺面积S= qlAN ?IBMV2 + xo 丫仔 2y°、=22+百 1+D2 2Xo + 4yo + 4Xoy。一 4X。 8yo+ 4XOO -Xo -2 O +2xoyo 一xoyo 2xo 一4yo +xo 2yo+ 24=2.从而四边形 ABNM勺面积为定值.223. (xx届图三？广东五校联考、岩椭同 y 3 姐上右焦点分别为F1, F2，线段F1F)右帷因r+七1(a>b>o)的左、a被抛物线y2= 2bx的焦点F分成了 3 : 1的两段.(1) 求椭圆的离心率；，F(2) 过点q 1,o)的直线1交椭圆

5、于不同两A, B, UAC (/ .点 鸟吞当Z, AOB勺面积最大时，求直线 I的方程._解：(1)由题意知，c+ 2= 3$2 j,所以 b= c, a2= b2 + c2= 2c2,即 a= 2c,所以e= ?=¥?a 2 设 A(X1, y" , B(X2, y2),直线 AB 的方程为 x= ky 1(kA0),因为 C = 2CB ,所以(一 1 一 X1, y1)= 2(X2 + 1,-,即 2y2+ y1= 0,2 2 2 2 2由(1)知，a = 2b,所以椭圆方程为 x + 2y = 2b.x= ky 1,由仁22消去X,x + 2y = 2b ,得(k

6、 + 2)y 2ky+ 1 2b = 0,所以 yi + y2= k? + 2由知，2= y因为2k k2+ 2, &AOB = 2XI4kyi = kV2,O(C别x1yil + I y2I ,y2|)=y1l +所以c&A OB= 3I k|= 3,33,2当且仅当|k|2 = 2,即口 k =±此时直线I的方程为x=4.(xx麻江高考)B2,4,抛物线上的点仝2, 而 +1 k|2时取等号,2y- 1 或 x=如图，已知抛物线l?Ikl2y 1.x2= y,点Rx, y) 2<x<3 .过点B作直线AP的垂线,垂足(1)求直线AP斜率的取值范围；求|

7、 PA ? I PQ的最大值.解：(1)设直线AP的斜率为k=2 ,x+ 2即直线AP斜率的取值范围是(一 1,1)13因为一2<x<2 ,(2)设直线AP的斜率为k.则直线AP的方程为y一寸=卜x+1 ,1 1即 kx y+ ?k + 4= 0,因为直线BQ与直线AP垂直，所以直线93BQ 的方程为 x + ky k-?= 0,厂 11kx y+ ; k+ 4= 0,联立,93门x + ky 4k ; = 0,2解得点Q的横坐标Xq= =kM： + 3因为 |PA =1 + k2x+ £=1+ k2(k +1),2 2 k k+|PQ =1 + k(XQ- x)= -

8、±,3所以 I PA ? PQ = (k 1)( k +1).令 f (k) = (k 1)( k+ 1)3,1因为 f( k) = (4k- 2)( k + 1)2，令 f(k) = 0,得 k=二或 k=- 1(舍)，所以f(k)在区间一 1,;上单调递增,2, 1上单调递减，因此当k=27,|PA? | PQ取得最大值16.5. (xx运南统考)已知椭圆E的中心在原点，焦点Fi, F；在y轴上，离心率等于 竽，P是-> >椭圆E上的点.以线段PF为直径的圆经过F2,且 9 pf ? pF ;=(1)求椭圆 E的方程；(2)作直线 I与椭圆E交于两个不同的点M N.如

9、果线段 MN被直线2x+ 1 = 0平分，求直线I的倾斜角的取值范围.2/ x解：(1)依题意，设椭圆 E的方程为孑+ b； = 1(a>b>0),半焦距为c.?椭圆E的离心率等于学,2 寸 2 , 222 a2?c = 3 a, b = a c = 6?以线段PF为直径的圆经过 F；,b2? PF± F1F2. | PF| = 一 a7 9 1 ?； = 1, ? 9| 一卡=些=1.9b41,得始9b = 1,?邪|圆E的方程为9 + x2= 1.9?/直线2x + 1= 0即x=- 1与x轴垂直，且由已知得直线l与直线x= - 2相交,?直线l不可能与x轴垂直,设直

10、线I的方程为y= kx + my= kx + m 由 y；+x2=1,得(k + 9)x + 2kmxA2(mi- 9) = 0.?直线l与椭圆E交于两个不同的点M N,=4k2m 4(k2+ 9)( m 9)>0 ,即即 m k2 2kAn设 MX1, y) N(X2, y2),贝 u X1+ X2= 2k + 9?线段MN被直线2x+ 1 = 0平分，X1+ X22 km，丁+1=0，即市 +1=0.m- k2 9<0,由一2 km k+9 +1 =0得学 2 (k2+ 9)<0.2k + 9k + 9>0 , ?2 1<0,k? k2>3,解得 k&g

11、t; 3 或 k<- 3.?直线I的倾斜角的取值范围为n3：6. (xx石家庄质检)已知椭圆2xC: 2 +a2y2= 1( a>b>0)的左、右顶点分别为 bA B,且长轴长为8, T为椭圆上任意一点，直线 TATB的斜率之积为一34.(1)求椭圆C的方程；(2)设0为坐标原点，过点 M0,2)的动直线与椭圆> >> >的取值范围解：设T(x, y),由题意知 A 4,0) , B(4,0)C 交于 P,Q 两点，求 OP ? OQ+ MP ? MQ,设直线TA的斜率为k1,直线TB的斜率yy为 k2,则 k1= x+ 4, k2= x 42 2由k

12、lk2 4,得XT4y 4,整理得营+后1X422X6 ' 12= 1.故椭圆C的方程为(2)当直线 PQ的斜率存在时，设直线 PQ的方程为y= kx+ 2,点P, Q的坐标分别为(Xi, yi), ,2 2X- + 出=1 2 2(X2, y2),直线PQ与椭圆方程联立，得16 12 消去y,得(4k + 3)x + 16kx - 32= 0y= kX + 2,16k32所以 Xi+ X24卜2+ 3 , X1X2=4k2 + 3.从而，"OP ? OQ+ MP ? MQ= X1X2+ yy2 +X1X2 +(y1 一2)( y2 2) = 2(1 + k2)X1X2+ 2

13、k(X1 +2 80k 528X2)+ 4 =2=- 20+, 21 Q.4k + 34k + 3P(0 ,2 3) , Q0 , 23),则"OP ?"OQ5213所以一 20<"OP ?" OQ+ " MP ? " 0八一乎. 3 当直线PQ的斜率不存在时，直线 PQ即为X= 0,此时 -> > + MP ? MQ= 20.综上，"OP ? " OQ + " MP ? " MQ的取值范围为卜 20 ,2019-2020年高考数学二轮复习课时跟踪检测十七理一、选择题1. (x

14、x ?惠州调研)双曲线C： X2 y2= 1(a>0, b>0)的离心率eh”3,则它的渐近线方 a b2程为()32A. y =± AxB . y=± 3X94C. y =± 4XD . y=± 9X2 2 ：, 2 2解析：选A由双曲线C：X2 2= 1(a>0, b>0)的离心率eAAb 331 =，可得-=R故双曲线的渐近线方程为y =±： X.4a 22,可得C2二孕二二+ a b 2a 4 a22. （ xx ?全国卷I ） 已知 F 是双曲线C: x 2备=1 的右焦点， P 是 C 上一点，且PF 与 x

15、3轴垂直，点（1A.A 的坐标是（1,3）,则 APF的面积为1B.3223解析：选 D 由题可知，双曲线的右焦点为2y得 4+ = 1, 解得 y=± 3, 不妨取点 只 2,3 ）3F （2,0） , 当 x = 2 时，代入双曲线C 的方程 ,因为点A （1,3）,所以AP/ x轴，又PF，x轴,所以 APL PF, 所以 &APF = 1RPF JAR = 2x 3X 1= |.C.3D.23.已知方程言舌-命=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是 （） A. （ 1,3）（ 1,3）C. （0,3）（0,.3）解析：选 A 由题意得 （ 吊

16、+ n）（ 3 mln） >0，解得一m<n<3 吊 ，所以 rm + n>0,3 m 又由该双曲线两焦点间的距离为 n>0, 2 2 24,得 m+ n+ 3m n = 4,艮 口 m= 1,所以一 1<n<3.2 2x y段A0为直XX*南蒯1）已做幽aC + 2abM 01栖处;b>0）C辎离东秋康分为A, A,且以线a b）B.f解析：选 A 以线段AA 为直径的圆的方程为x2+ y2= a2, 由原点到直线bx ay+ 2aba, 得 a = 3b ，所以 C 的离心率 e=2ab=0 的距离d= 22/b + a5. （xx注国卷n

17、）过抛物线C: y2= 4x的焦点F,且斜率为.3的直线交C于点MM在 x轴的上方），1为C的准线，点N在I上且MN，l,贝y M到直线NF的距离为（）A. 5C. 2 3解析：选 C 由题意，得F （ 1,0）则直线 FM 的方程是y=3 （ x 1）.由 y= 3x1y = 4x,，得 x= 3 或 x = 3.3由 M 在 x 轴的上方，得 M3,2,3),由 MNL I,得 | MN = |MF = 3 + 1= 4.又/ NMF等于直线FM的倾斜角，即/ NM三60因此 MNF是边长为4的等边三角形所以点M到直线NF的距离为4X辛2 3.6. （xx ?广州模拟）已知F, F2分别是

18、椭圆C:2 2x yg+寿舌=1 （ a>b>0）的左、右焦点，若椭圆C上存在点 P使/ FiPF为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是（A.B. I,D. 0, 1C. 0,解析：选A法一：设Rxo, y。）由题意知x1<a,因为/ RPR为钝角，所以P岸？ "PE22_2即(c X0, y0) ?(c X0,yo)<0 ,化简得 c2>x2 + y2,即口 c2>(x2 + y2) mn 又 yo =2 2.2 c b 尹。0< xo<a2,xo + yo = b2 +2xo ?b2,a2),所以(x2 + yo) min= b2,故

19、c2>b2,又 b2a2一C2,所以e2 =字>2解得e>¥,又0<e<1 ,故椭圆C的离心率的取值范围是法二：椭圆上存在点 P使/ FiPR为钝角？以原点O为圆心，以c为半径的圆与椭圆有四个不同的交点？ b<c.如图，由b<c,得a2 c2<c2,即a2<2c2,解得e= '>，又0<e<1,故椭圆C的离心率的取值范围是 a 222x八2= 1 （a>b>0）的左、右焦点分别为 F, F2,7. 在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C: r +. a b25其中F2也是抛物线C2： y2= 4x

20、的焦点，点 M为C与C在第一象限内的交点，且| MF| =?,则椭圆的长轴长为 （）A. 2B . 4C. 6解析：选B依题意知F2（1,0）,设MX1, yd ?由抛物线白勺定义得|MF| = 1 + X1 = 3,即xi= I?< xi= I代入抛物线方程得yi =3若，故M|, 金睾6,又M在椭圆C上，故孚+333',33a b八=1 ,结合a2- b2 = 1,得a2= 4,则a= 2,故椭圆的长轴长为4.8. (xx ?福州卞K拟)已知抛物线Cy2 = 4x的焦点为F,准线为l .若射线y= 2( x 1)( xW 1)与C, I分别交于P, Q两点，则精=()I PF

21、A. 2C. 5解析：选C由题意，知抛物线 C : y2= 4x的焦点F(1,0),设准线l : x=- 1与x轴的x = - 1,交点为F1.过点P作直线I的垂线，垂足为 R(图略)，由弋，y=2 x 1 ,x W 1,得点Q厂I PQ I PQ的坐标为(一1, 4),所以| FQ = I远又| PF = I PP|，所以搐=晴| ff|2故选C. 2 2x y9. (xx砒阳本K拟)已知双曲线 C： g 一泾=1( a>0, b>0)的左、右焦点分别为F, F2,点M与双曲线C的焦点不重合，点 M关于Fi, F2的对称点分别为 A, B,线段MN的中点在双曲线的右支上，若|AN

22、 -|BN = 12,贝u a=(A. 3D . 6解析：选A如图，设MN向中点为P.ty并a/ i" I fLLyJ'J 真7/ jrTL/NlC. 5? F 为 MA 的中点，Fi为 MB 的中点，？?|AN = 2| PF| , | BN = 2| P 凤又 | AN| 一 | BN = 12, r. |PF| -|PF = 6 = 2a,. a= 3.故选 A.10.设AB是椭圆的长轴，点 C在椭圆上，且/ CBA="4,若AB= 4, BC = . 2,则椭圆的两个焦点之间的距离为()4诟A. 3B.竽C症C. 3D 弩解析：选x yA不妨设椭圆的标准方程

23、为az + b = 1（ a>b>0）,如图,题意知，2a = 4,a = 2, '/ CBA= , BC="J2, ?点 C 的坐标为(?点C在椭圆上,? g+ b人=1b2= 3,由? ? c2 = a2b2 = 4 4= 3, c=¥,则椭圆的两个焦点之间的距离为2c= ¥311. （xx这南调研）设双曲线C:2xy丁一bA= 1( a>0,b>0）的左焦点为 F,直线4x 3y+ 20=0过点F且与C在第二象限的交点为P, O为原点，若| OP = | OF,则C的离心率为（A. 5C.5D.5解析：选A依题意得F（ 5,0

24、）,| OP =|OF =45, tan / PFO= 3 所以 cos / PFO=33-,在公 PFO 中,|OP2= |PF2+IOF2- 2|PF ?| OF ? COS/ PFO 所以 I PF1 + tan / PFO 5=2| OFcos / PFO= 6.记双曲线的右焦点为0 PF 2+ I FBI 2- 2| PF ? FFal ? cos / PFFF2,贝U有 | FFJ = 10.在公 PFF 中，| PF| =8.由双曲线的定义得 a= g（| P同一| PF）c=X则C的离心率为e= a= 5.12. （xx届高三？相中名校联考）过双曲线笃一当=1（a>0,

25、b>0）的右焦点且垂直于 a b的直线与双曲线交于A B两点，与双曲线的渐近线交于c，D两点,若1 AB >5|CD,则双曲线离心率e的取值范围为（B. ID.1, 522x解析：选B将x = c代入-2 b2=得y=±，不妨取 a,牛，Bc, 一 b ,所以 | AB将x = c代入双曲线的渐近线方程=± bx,a得y=± bc,不妨取Cc,a2bc所以 | CD =_a_3-2b23 2bc32 9 22 2 9 2 16 2因为 | ABI CD ,所以一> -x ,即 bAAc，则 b > c,即 c a > c ,即灵 c

26、> a ,5a 5 a5252525255所以e>云所以4,故选B.二、填空题13. (xx ?郑州模拟) 过抛物线y= 4x2 的焦点 F 作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A B 两点，贝 U | AB =y2) , 题中的抛物线x2=4y 的焦点坐标是F(o,1),直线 AB 的方程为 y= fx+ 1,x = p3(y 1). 由x2 = ?，、 x = 7 3 y 1 ,消去 x 得 3(y 101)2= 4y,即 3y2 10y+ 3 = 0, y1+ y2=§ ,则 I AB| AF | + |BF | = (yi + 1) + (y2+ 1)

27、= yi +16 y # 2= y.16 答案：亍2214. A F 分别是双曲线- .x yA= 1( a>0, b>0) 的左顶点和右焦点 . A,a bF 在双曲线的一条渐近线上的射影分别为 B, Q O 为坐标原点ABO WA FQC 的面积之比为2 ，则该双曲线的解析：依题意，设点A(xi,yd ,B(X2,离心率为e= a= 2解析：易知 ABOfA FQC相似，相似比为包，故a2 =所以离心率C C 2答案： 2F , Fa, 点 P( xo,15. (xx 届高三?广东五校联考) 已知椭圆 C: - + y2X= 21 的两焦点为2X02y。)满足0<2 +

28、yo<1，则I PFi| + | PR|的取值范围是(不包括原点 ) ，因2X02解析：由点F(Xo, y。)满足0<2 + yo<1 ,可知P(Xo, y )一定在椭圆内十 | P同>|尸问为 a = .2, b= 1，所以由椭圆的定义可知 | PF| + | PF |<2 a= 2 2，又 | PF|=2,故| PF| 十 | P向的取值范围是2,2,2).答案： 2,2 ,2)16. (xx 届高三?湘中名校联考) 已知抛物线y2 = 2px(p>o) 的焦点为F,AABC 的顶点都在抛物线上，且满足匚 A + "FB + 氏=0,则，+&#

29、177;+± = kAB kAC kBC解析：设 A(Xi,yi), B(X2, y" , g, y3), F 磴，0，由 FA + FB =- FC ,得卜-；y2'+ 'x2- P, y2X3 - 2, y3 , yi + y2 + y3= 0. 因为kAB= 口 , kAc= 口X2xi yi + y2X3xi yi + yy3 y22pi i iyi+yy3+yi y2+ y3 yi+y2+ y3kBc= xyrs ，所以恳 + kAc+ k； c=2T+2p +2pP 0.答案： 0B 组一一能力小题保分练2 2X y1.（ xx 届高三?湖北七市

30、（ 州 ） 联考 ） 双曲线孑一1 （ a, b>0 ） 的离心率为 3 ，左、右焦点分别为 Fi, F2, P 为双曲线右支上一点， /FiPR 的角平分线为 I ，点 F 关于 I 的对称点为 Q IF2Q = 2, 则双曲线的方程为 ()2X 2A. y = iB222 yc. x 3 =1解析：选 B ?/FiPF 的角平分线为又 e=T =3,.c=*： _ ： 3? .b =I,点Fi关于I的对称点为 Q.IPF|= | PQ, P, F2, Q三点共线，而 | PF| | PF| = 2a,|PQ |PF| = 2a,即 | F2Q = 2= 2a,解得 a= 1.2c a

31、 = 2, 双曲线的方程为 X 鲁 =1.故选 B.2 22?已知椭圆X + y= 1, F 为其右焦点， A 为其左顶点， P 为该椭圆上的动点，则能够使95"PA ? "PF = 0 的点 P 的个数为 （）A. 4C. 2D . 1解析：选 B 由题意知，a= 3, b= 5, c= 2, 则 F （2,0） , A 3,0） ?当点P 与点 A 重- A A- A A合时，显然PA ? PF = 0,此时P （ 3,0）.当点P与点A不重合时，设 Rx, y）, PA ? PF=0? PAL PF, 即点 P 在以 AF 为直径的圆上，则圆的方程为x+1 2+ 丫2=竿.、 2） 丫 42 2又点 P 在椭圆上，所以x+5=i,由得4X2+ 9x- 9 = 0,解得x=- 3 （舍去）或4则y=±宇，此时P苞士 普.故能够使"Pa ? "Pf = o的点p的个数为3.2 23.过椭圆C：*b2= 1 （a>b>0）的左顶点A且斜 率为k的直线交椭圆fl于另一点B,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点 的离心率的取值范围是（）1 1F.若 3<k<2,则椭圆A.B. 3,1D. 0, 1<k&