弧弦圆心角通用课件

1、CAMBO.D复习回顾复习回顾:垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦平分弦，并且并且平分弦对的两条弧平分弦对的两条弧。 AM=BM AC=BC AD=BD数学语言：数学语言： 在在同圆同圆或或等圆等圆中中弧、弦、圆心角、弦心距弧、弦、圆心角、弦心距 之间的关系定理之间的关系定理.OBA180 所以圆是中心对称图形。所以圆是中心对称图形。圆是特殊的中心对称图形，绕对称中心旋转圆是特殊的中心对称图形，绕对称中心旋转任意角度都与原来重合。任意角度都与原来重合。圆的旋转不变性圆的旋转不变性BAA/OB/旋转对称旋转对称 圆心角圆心角：我们把：我们把顶点在圆心顶点在圆心的角的角叫做叫做

2、圆心角圆心角. .OBAAOBAOB为圆心角为圆心角 圆心角圆心角AOBAOB所对所对的弦为的弦为ABAB，所对的弧，所对的弧为为ABAB。任意给圆心角，对应出现三个量：任意给圆心角，对应出现三个量：圆心角圆心角弧弧弦弦OBA疑问：疑问：这三个量之间会有什么关系呢？这三个量之间会有什么关系呢？弦心距弦心距根据旋转的性质，将圆心角根据旋转的性质，将圆心角AOB绕圆心绕圆心O旋转到旋转到AOB的位的位置时，置时， AOBAOB，射线，射线 OA与与OA重合，重合，OB与与OB重重合而同圆的半径相等，合而同圆的半径相等，OA=OA，OB=OB，点点 A与与 A重重合，合，B与与B重合重合OAB探究探

3、究OABABAB二、二、.ABA B 重合，重合，AB与与AB重合重合 如图，将圆心角如图，将圆心角AOB绕圆心绕圆心O旋转到旋转到AOB的位置，的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？你能发现哪些等量关系？为什么？OABA1O1B1 如图，如图，O与与O1 1是等圆，是等圆，AOB AOB =A A1 1 O1 B1，请问上述结论还成立吗？为什请问上述结论还成立吗？为什么么? ? AOB=AOB=A A1 1OBOB1 1AB=AAB=A1 1B B1 1 ，AB=AAB=A1 1B B1 1 . .ABBOAAOBBAAB圆心角、圆心角、 弧、弦、弦心距弧、弦、弦心距之间的关系定理之间的关系

4、定理OABDABD由条件由条件:AOB=AOBAB=AB OD=OD可推出可推出AB=AB在在同圆同圆或或等圆等圆中中,相等的圆心角相等的圆心角所对的所对的弧相等弧相等,所对的所对的弦相等弦相等,所对的弦的所对的弦的弦心距相等弦心距相等.思考：思考：1、在同圆或等圆中，如果两条弧相等，、在同圆或等圆中，如果两条弧相等，你能得什么结论？你能得什么结论？2、在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？、在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？2.2.在同圆在同圆(或等圆或等圆) 中，如果弧相等中，如果弧相等, ,那么所对那么所对的圆心角的圆心角_、所对的弦、所对的弦_ _ _ _，所对弦的所对弦的弦心距弦心距 。

5、相等相等相等相等结论结论:相等相等1.1.在同圆在同圆(或等圆或等圆) 中，如果圆心角相等，那么中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等它所对的弧相等, ,所对的弦相等所对的弦相等, ,所对弦的弦心所对弦的弦心距相等距相等3.3.在同圆在同圆(或等圆或等圆) 中，如果弦相等中，如果弦相等, ,那么所对那么所对的圆心角的圆心角_、所对的弧、所对的弧_._.所对弦的弦所对弦的弦心距心距 。相等相等以上三句话如没以上三句话如没有在同圆或等圆有在同圆或等圆中，这个结论还中，这个结论还会成立吗？会成立吗？相等相等相等相等在在同圆或等圆同圆或等圆中中, ,如果如果两个圆心两个圆心角角, ,两条弧两条弧, ,

6、两条弦两条弦, ,两条弦心两条弦心距距中中, ,有一组量相等有一组量相等, ,那么它们所对那么它们所对应的其余各组量都分别相等应的其余各组量都分别相等. . 如图，如图，AB、CD是是 O的两条弦的两条弦（1）如果）如果AB=CD，那么，那么_， _ ，_（2）如果）如果 ，那么，那么_， _ ，_（3）如果）如果AOB=COD，那么，那么_， _， _CABDEFO四、迁移运用四、迁移运用AB=CD你会做吗你会做吗?解解: AC=BDAC=BD AB=CDAB=CD145 例例1、 如图，在如图，在 O中中AC=BD， ,求求2的度数。的度数。1=2=451=2=45 图 23.1.5 AC

7、-BC=BD-BCAC-BC=BD-BC证明：证明： AB=ACAB=ACAB=ACAB=AC，ABCABC是等腰三角形是等腰三角形又又 ACB=60ACB=60ABCABC是等边三角形，是等边三角形，AB=BC=CAAB=BC=CAAOB=BOC=AOCAOB=BOC=AOC例例1 1 如图如图1 1，在，在O O中，中，AB=AC,ACB=60AB=AC,ACB=60, ,求证求证AOB=BOC=AOCAOB=BOC=AOC。 OBCA1.1.判断下列说法是否正确：判断下列说法是否正确：(1)(1)相等的圆心角所对的弧相等。（相等的圆心角所对的弧相等。（ ）(2)(2)相等的弧所对的弦相等

8、。（相等的弧所对的弦相等。（ ）2.2.如图，如图，ABAB是直径，是直径，BCBCCDCDDEDE，BOCBOC4040，求求AOEAOE的度数的度数 七、思考七、思考 D C A B O 如图，已知如图，已知AB、CD为为 O的两条弦，的两条弦，AD=BC, 求证求证:AB=CD 3 3、如图，、如图，AD=BCAD=BC，那么比较，那么比较ABAB与与CDCD的大小的大小. .ODCAB1.如图，在如图，在 O中，中，ABAC，B70.求求A度数度数.2.如图，已知如图，已知ADBC，试说明试说明AB=CDDCBAO1弧弧n1n弧弧把圆心角等分成把圆心角等分成360份份, ,则每一份的圆

9、心则每一份的圆心角是角是1.同时整个圆也被分成了同时整个圆也被分成了360360份份.则每一份这样的弧叫做则每一份这样的弧叫做1的弧的弧.这样这样,1,1的圆心角对着的圆心角对着1 1的弧的弧, , 1 1的弧对着的弧对着1 1的圆心角的圆心角. . n n 的圆心角对着的圆心角对着n n的弧的弧, , n n 的弧对着的弧对着n n的圆心角的圆心角. .性质性质: :弧的度数和它所对圆心角的度数相等弧的度数和它所对圆心角的度数相等. .判断判断在两个圆中，分别有在两个圆中，分别有 和和 ，若，若 的度数的度数 和和 的度数相等，则有的度数相等，则有（1） 和和 相等相等（2） 所对的圆心角和

10、所对的圆心角和 所对的圆心角相等所对的圆心角相等例例2 2：如图，在：如图，在O O中，弦中，弦ABAB所对的劣弧为圆的所对的劣弧为圆的 ，圆的半径为，圆的半径为4cm4cm，求，求ABAB的长的长OABC31OABCD如图，如图，AC与与BD为为 O的两条互的两条互 相垂直的直径相垂直的直径.求证：求证：AB=BC=CD=DA; AB=BC=CD=DA. AB=BC=CD=DA 证明证明: AC与与BD为为 O的两条互相垂直的直径的两条互相垂直的直径,AOB=BOC=COD=DOA=90AB=BC=CD=DA点此继续知识延伸知识延伸4 4、如图所示，、如图所示，CDCD为为O O的弦，在的弦

11、，在CDCD上取上取CE=DFCE=DF，连结，连结OEOE、OFOF，并延长交，并延长交O O于点于点A A、B.B.（1 1）试判断）试判断OEFOEF的形状，并说明理由；的形状，并说明理由；（2 2）求证：）求证：AC=BDAC=BD EFOABCD图3.如图，点如图，点O在在CAE的平分线上，以的平分线上，以O为为圆心的圆分别交圆心的圆分别交CAE的两边于点的两边于点B、C和和D、E。求证求证:(1)BC=DE (2) AB=ADOABCDEFG如图，如图，BC为为 O的直径，的直径，OA是是 O的半径，弦的半径，弦BEOA,求证：求证：AC=AE OBCAEMNOBAC如图，已知如图

12、，已知OA、OB是是 O的半的半径，点径，点C为为AB的中点，的中点，M、N分分别为别为OA、OB的中点，求证：的中点，求证：MC=NC七七.更上一层楼更上一层楼3.已知已知AB是是 O的直径的直径,M,N是是AO,BO的中的中点点,CMAB,DNAB,分别与圆交于点分别与圆交于点C,D.求证求证:AC=BDABCDMNOEFHG(3)下列结论错误的有下列结论错误的有( )A.AH=BH B.EH=HDC.EM=DN D.AE=EH(2)求证：求证：AD=BC1.在在 O中，已知中，已知AB=2CD，则，则AB=2CD吗？吗？2.如图，如图，AB是是 O上的一点，上的一点，OD是半径，是半径，

13、且且OD/AC. 求证：求证：CD=BDABDCO4. 如图，射线如图，射线AM交一圆于点交一圆于点B、C，射线，射线AN交该圆于点交该圆于点D、E，且，且（1）求证：）求证：AC=AE（2）利用尺规作图，分别作线段）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平的垂直平分线与分线与MCE的平分线，两线交于点的平分线，两线交于点F（保留（保留作图痕迹，不写作法）求证：作图痕迹，不写作法）求证：EF平分平分CEN。BC=DE5 5、如图，等边、如图，等边ABCABC的三个顶点的三个顶点A A、B B、C C都在都在O O上，连接上，连接OAOA、OBOB、OCOC，延长，延长AOAO分别交分别交BCBC于点于点P P，交，交BCBC于点于点D