直接证明与间接证明导学案

1、课题直接证明与间接证明课标考纲要求考占p八、四要了解直接证明的两种基了解直接证明的两种基本直接法证本方法-分析法和综合方法-分析法和综合法，了解明数学问题素法，了解分析法和综合法的分析法和综合法的思考过程、特研思考过程、特点；点；反证法证4/1了解间接证明的一种方了解间接证明的一种方法明数学问题究法-反证法，了解反证法-反证法，了解反证法的思考的思考过程、特点.过程、特点.山东卷全国卷高已知a,b,c R , ab c 1,求证：(2003全国)考111c-9如果:a b c .3sinsin (2 + ),回已知a, b, m都是正数，并且ab.求求证：放r a m ata n()2 tan

2、 .证：b m b§2.2直接证明和间接证明预习案考纲解读：了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程、特点；了解间接证明的一种方法学习目标:学习重点:直接法证明数学问题学习难点：反证法证明数学问题反证法，了解反证法的思考过程、特点1. 能用直接法证明一般的数学问题2. 会用反证法证明一般的数学问题预习要求:请同学们自己预习课本63-67页内容，有困难或疑问请用红笔标注，并独立完成下面的问题.教材助读:1直接证明-综合法、分析法(1) 综合法用综合法解题的逻辑关系是:(QiQ2)Q2 Q3QnQ综合法的思维特点是:由因导果即由已知条件出发，禾U用已知的数学

3、定理、(2) 分析法性质和公式，推出结论的一种证明方法用分析法解题的逻辑关系是:(PP2)(Pn1 R)PnP分析法的思维特点是： 执果索因 分析法的书写格式：要证明命题B为真,只需要证明命题B1为真，从而有这只需要证明命题 B2为真，从而又有这只需要证明命题 A为真.而已知A为真，故命题B必为真* 2直接证明-反证法小故事：中国古代有一个叫路边苦李的故事。王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩,只有王戎站在原地不动。 有人问王小伙伴摘取一个尝了一下，果然是看到路边的李树上结满了果子。小伙伴们纷纷去摘果子, 戎为什么？王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李。苦李。一般地，假设原命题不成立，经过正确的推

4、理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从 而证明了原命题成立。证明步骤：反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。 归谬：从假设出发，经过正确的推理证明，得出矛盾。结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。思维方法：正难则反关键在与：从假设出发，在正确的推理下得出矛盾 (与已知矛盾，与假设矛盾，与定义、 定理、公理矛盾，与事实矛盾等)。预习自测：1 .设在四面体 P ABC 中,ABC 90 , PA PB PC, D 是 AC 的中点.求证:PD垂直于 ABC所在的平面.2.在四面体S ABC中，SA 面ABC,AB BC ,过A作SB的垂线，垂足为E,过E作SC的垂 线,垂

5、足为F,求证AF SC.证明：要证M丄5G貝翻北5C丄平曲AEF+AE丄SCm为),AE丄平卿八叵1 F30 1国为)*肢r丄孚山'SAH.M：丄必伽为山.弘丄平hAHC可知*上式成立.证期：所订 AF±SC：3.用反证法证明：过一点与一平面垂直的直线只有一条。C预习疑惑:探究案探究点1:综合法111c例 1.已知 a,b,c R , a b c 1，求证：一 7 一 9a b ca m已知a，b，m都是正数，并且ab.求证：b m变式练习：已知 a, b R ,求证 aabb abba.探究点2 :分析法例2.求证J3772j5变式练习：证明：通过水管放水， 当流速相同时，

6、如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比 截面是正方形的水管流量大.求证：ja ja1 JO2Jo3(a3)探究点3 :反证法 例3.证明J2不是有理数.变式练习:n 1已知数列bn的通项公式bn，证明：数列bn中的任意三项不可能成等差数列.证明：1, J2，73不能为同一等差数列的三项当堂检测：1.如果 3sinsin(2 + )，求证：tan( ) 2tan标题数学归纳法四课标考纲要求考点P八、2 12.设a为实数，f(x) X2 ax a .求证：f(1)与f (2)中至少有一个不小于 一2了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简 单的数学命题。使学生进一步了解归纳法，理解数学

7、归纳法的原理 与实质。理解数学归纳法原理并 能用数学归纳法证明一些与 自然数n有关问题。 数学归纳法证明与自 然数有关的命题步骤； 数学归纳法第二步如何利用归纳假设证明n k 1时命题成立山东卷全国卷（山东01模拟）用数学归纳法证明1 2 -n（4n3时，不等式左）1232522(2n 1)1)（全国102模拟）用数学归纳法证明不等式1 1过程中，由n=k递推到 边增加的项为n=k+1(n 1的过程中, 左边2 n 3由n=k递推到113(n 2)2n 24n=k+1时，不等式A.(2k)2B.(2k3)2A. 增12(k 1)C.(2k1) D.(2 k 2)2B.增加了一项C.增加了“D.

8、增加了§2.3.1数学归纳法预习案2k12k 1“ 12(k 1)考纲解读：了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。2(k1)1一'一 ”,又减少了2（k 1）1”又减少了”k 1学习目标：1、使学生进一步了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质。n有关问题。2、理解数学归纳法原理并能用数学归纳法证明一些与自然数学习重点：数学归纳法证明与自然数 n有关的命题步骤；预习要求:学习难点：数学归纳法第二步如何利用归纳假设证明n k 1时命题成立请同学们自己预习课本内容，有困难或疑问请用红笔标注，并独立完成下面的问题.教材助读:1. 一般地,证明一个与正整数n有关的

9、命题，可按下列步骤进行4.用数学归纳法证明：2 + 4+6+2n= n2 n(1)(归纳递推)假设时命题成立，证明时命题也成立.只要(归纳奠基)证明当 n取第一个值n = n0时命题成立;叫做数学归纳法。(1),(2)两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而完成这两个步骤，就可以断定命题对从n。开始的所有正整数 n都成立。上述证明方法注：是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。2.运用数学归纳法时易犯的错误(1)对项数估算的错误，特别是寻找n= k与n=k+1的关系时，项数发生什么变化被弄错。n = k+1时结论也成立”， 对推

10、导的过程要把步骤写完整，注(2 )没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不 过去了。(3) 关键步骤含糊不清，“假设n = k时结论成立，利用此假设证明 是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，意证明过程的严谨性、规范性。预习自测1.用数学归纳法证明:列哪个不等式成立(A. 12B. 11 12)1212n 1C. 12.用数学归纳法证明:12n 1n(nN ,且n 1 )时，第一步即证下D. 1 -231)，第二步证明从“K到K+T，左端增加的项数是A. 2k 1 B.2k C. 2-1D.2k+13.用数学归纳法证明2n 1n2(n N)时，第一

11、步证明预习疑惑:探究案探究点1:利用数学归纳法证明等式例1、用数学归纳法证明：nN* 时，122n(n 1) nm 1)(n 2)3变式练习:用数学归纳法证明：224262(2n)22-n(n 1)(2 n 1)3探究点2 :由“ K到K+1”左端增加的项数例2、用数学归纳法证明123252(2n 1)I2-n(4n 1)过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边增加的项为2 2A. (2k)2 B. (2k3)2C.(2k21) D.(2k2)2变式练习:1.用数学归纳法证明不等式推到n=k+1时，不等式左边12n13(n 2)的过程中，由n=k递241A.增加了一项一12(kB.增加了

12、一项1)12k 112(k 1)C.增加了“ 12k 112(k1)又减少了“D.增加了1“ 一'一 ”，又减2(k 1)1 ”k 12.用数学归纳法证明(n 1)(n少了“2) (n n)2n1) (n N )时，从A. 2k 11”，左边需增乘的代数式是(2k 1B. k 1 C.2(2k 1)D.2kk 1当堂检测:1.用数学归纳法证明“1 2 221(nN ) ”的过程中，第二步n k时成立，则当n k 1时应证明A.222k2k2k 1 1B.222k2k12k2k1C.222k 12k 1 1D.222k12k2k2.空间中有n个平面，它们中任何两个不平行，任何三个不共线，

13、设k个这样的平面把空间分成f (k)个区域，则k 1个平面把空间分成的区域数f(k 1) f(k)()数学归纳法应用举例四课标考纲要求考点P八、k 1D. 2kA. k 1B. k C.3.用数学归纳法证明某命题时,左式为112n 11丄，n k到n k 12n14时应将左边加上（）A.-2k 1B.2k12kC.2k 2D.2k 112k 24.若 f(k)12k 11则 f(k 2k1)= f(k)了解数学归纳法的原理，能用数 学归纳法证明一些 简单的数学问题。 理解数学归纳法原理； 掌握数学归纳法的证明 步骤；会用数学归纳法表达证 明过程. 数学归纳法证明与自然 数有关的命题步骤； 数学

14、归纳法第二步如何利用归纳假设证明时命题成立山东卷全国卷（山东02模拟）已知数列an, Sn是数列an的前n项anan且Sn 0"丄1，且an0 （n N ）.写出数列的前三项；猜想数列an的通项公式并用数学归纳（全国00模拟）3.根据下列不等式：41 411111 -,1 _ - 1,1-22 32 3能否猜想一个一般的不等式.并证明你的 结论.§2.3.2数学归纳法应用举例预习案考纲解读：理解数学归纳法原理，并能用数学归纳法证明一些与自然数学习目标：1. 理解数学归纳法原理；2. 掌握数学归纳法的证明步骤；3. 会用数学归纳法表达证明过程学习重点:会用数学归纳法证明.学习

15、难点：数学归纳法第二步中，如何利用假设证明n k 1时命题成立.预习要求:请同学们自己预习课本 71-72页内容，有困难或疑问请用红笔标注,并独立完成教材助读:时命一般地，证明一个与正整数 n有关的命题，可按下列步骤进行：证明当n取时，命题成立； 假设时命题成立，证明当题也成立.只要完成这两个步骤， 就可以断定命题对从no开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫 做数学归纳法.注：、两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证 明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题 预习自测：1.若命题P(n)对n k成立,则它对2时也成立,并且已

16、知命题 P(2)成立,则下列结论正确的是()A. P(n)对每一个自然数n都成立B.P(n)对每一个正偶数n都成立C. P(n)对每一个正奇数n都成立D.P(n)对所有大于1的自然数n都成立2.对于不等式Tn2nn1 (nN*),某同学用数学归纳法证明过程如下：当n 1时,V12111,显然命题是正确的；假设n k(k N*)时，有Jk2 k k 1,那么当Jk2 3k7(k 1)2 (k 1)f(k 3k 2) (k 2) (k 1) 1, A n k 1时命题是正确的，由、可知对于N * ,命题都是正确的.以上证法()A.正确B.n 1时,证明过程不正确C.归纳假设的过程不正确D.从n k

17、到n k 1的推理不正确.3.用数学归纳法证明1 aa2an 2(n N , a 1)中，证明n 1时,左边式1 a子应为预习疑惑:探究案探究点1:证明等式问题例1.用数学归纳法证明：12221)(2n 1).变式练习:已知数列an, Sn是数列an的前n项和,且Sna 11,且an 0 (n N ).写2 an出数列an的前三项；猜想数列an的通项公式并用数学归纳法证明探究点2 :证明不等式问题例2.求证：当n N ,n 2时,11 12232丄2 1n2 n变式练习:证明不等式：jn 1丄丄72上1丁 2亦(n N*).探究点3:证明整除问题例3.用数学归纳法证明：2n 2nx y(nN*)能被x y整除.变式练习：用数学归纳法证明：x2n 1y2n 1( n N*)能被 x探究点4:证明几何问题例4.求证:n棱柱中过侧棱的对角面的个数 f (n)17(n 3) (n 4).变式练习:平面内有n(n 2)条直线,其中任何两条不平行，任何三条不共点.证明直线交点个数为f(n) n(n 1).2课后检测:1.用数学归纳法证明:1-cos2cos3cos(2 n 1)sin1. 2n 1一 sin2n 1 “ cos(2N )