材料力学C(II)下册第三章

1、第三章第三章 能量法能量法-1 概述概述-2 -2 应变能应变能余能余能-3 -3 卡氏定理卡氏定理-4 -4 用能量法解超静定用能量法解超静定问题的提出问题的提出FABC3045Fl/2ACBl/2法一：利用几何、物理、静力学三方条件求解法一：利用几何、物理、静力学三方条件求解法二：利用外力功与应变能相等求解法二：利用外力功与应变能相等求解3-1 概概 述述 能量的观点讨论问题，是各门学科的一个共性的内容，能量的观点讨论问题，是各门学科的一个共性的内容，能量无处不在；在力学分析中，能量的概念将能量无处不在；在力学分析中，能量的概念将力和变形力和变形（位移）（位移）作为一体讨论作为一体讨论第三

2、章第三章 能量法能量法 图中图中AC和和AB杆的直径分别是杆的直径分别是d1=12 mm,d2=15 mm，弹性，弹性模量均为模量均为E = 210 GPa。试求。试求A点点在铅垂方向的位移。在铅垂方向的位移。x45o30oyA( b )F1NF2NF1A45o30o2Dl1ADl2 DAy( c )优点：优点：不管不管中间过程中间过程，只算最终状态只算最终状态 利用利用功和能功和能的概念求解变形固体的位移、变形的概念求解变形固体的位移、变形和内力的方法统称为和内力的方法统称为能量法能量法。 能量法的应用很广，也是有限元法求解固体力学问题的重能量法的应用很广，也是有限元法求解固体力学问题的重要

3、基础。本章仅研究能量法中常用的一些原理和应用。要基础。本章仅研究能量法中常用的一些原理和应用。上例若利用上例若利用外力功在数值上等于应变能外力功在数值上等于应变能，即即222N112N222121EAlFEAlFFAy第三章第三章 能量法能量法 对于复杂结构的位移计算，采用从对于复杂结构的位移计算，采用从几何几何、物理关系和静力物理关系和静力学关系学关系三个方面入手的思想，或者从几何协调关系出发，显得三个方面入手的思想，或者从几何协调关系出发，显得非常麻烦非常麻烦. .小前提：小前提： 缓慢加载缓慢加载; ; 外力做功，功只转成应变能（不转成动能、热能外力做功，功只转成应变能（不转成动能、热能

4、) )3 32 2 应变能和余能应变能和余能 大前提：大前提： 1 1、小变形；、小变形； 2 2、服从、服从郑玄郑玄胡克胡克定律定律 线弹性体的响应（内力、应力和变形）为外线弹性体的响应（内力、应力和变形）为外载的线性函数载的线性函数. .第三章第三章 能量法能量法恒力功恒力功: : 力作用于物体，力在其作用方向上发生位移，则该力对力作用于物体，力在其作用方向上发生位移，则该力对物体做了功物体做了功11WFD变力功变力功: : FDW I. 功和应变能功和应变能1D D1F曲线与曲线与横轴横轴围成的围成的面积面积第三章第三章 能量法能量法F1D D1 1FD DoD D1 1F1FFdD10

5、DdD D12WFDD式中式中F F广义力广义力( (力或力偶力或力偶) )； D D广义位移广义位移( (线位移或角位线位移或角位移移),),在在所有力共同作用所有力共同作用下与广义力下与广义力F F相对应的沿着力的方向的广义位移相对应的沿着力的方向的广义位移。FD在线弹性范围内在线弹性范围内第三章第三章 能量法能量法FMelFD D 21W轴向拉压轴向拉压扭扭 转转W eM21弯弯 曲曲W eM21FMelFD D 21EIlM22 pGIlT22 WV N2NFF lEA llEA22D D 轴向拉压轴向拉压扭扭 转转WV eM21lGIp22 弯弯 曲曲WV eM21 22lwEI 应

6、变能应变能: : 外力做功系统储存的能量，外力做功系统储存的能量，W=V第三章第三章 能量法能量法22NFlEA 组合变形组合变形222200( )2222llyNzllpzyM dxF dxM dxT xdxVEAGIEIEI1.1.以上计算公式仅适用于以上计算公式仅适用于线弹性线弹性材料在材料在小变形小变形下的应变能下的应变能的计算。的计算。2.2.应变能可以通过应变能可以通过外力功外力功计算，也可以通过杆件微段上计算，也可以通过杆件微段上的的内力功内力功等于微段的应变能，然后积分求得整个杆件上等于微段的应变能，然后积分求得整个杆件上的应变能。的应变能。应变能的大小与加载顺序无关应变能的大

7、小与加载顺序无关.（能量守恒）（能量守恒）3 3. .应变能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理应变能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在应变能计算中不能使用。在应变能计算中不能使用。只有当杆件上任一载荷在只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功时，才可应用其他载荷引起的位移上不做功时，才可应用。4.4.应变能是应变能是恒为正恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中，各杆可独立选取坐标系。系结构中，各杆可独立选取坐标系。第三章第三章 能量法能量法 21v单向应力状态单向应力状态纯剪切应力状态纯剪切应力状态复杂应力状态复杂应力状态 1 2 3t

8、 t E22 22 Ett 21vG22t t 22 G332211212121 v 133221232221221 Ev各式仅适用于各式仅适用于线弹性范围线弹性范围 VdVvV应变能密度应变能密度: : 单位体积内储存的能量，用单位体积内储存的能量，用v表示表示非线弹性材料非线弹性材料d o 1 1 1 应变能密度应变能密度 10dv应变能计算应变能计算VVv dVVWFdDDD10FcdFW余功与外力功余功与外力功 之和之和等于矩形面积等于矩形面积11DFDD10FdW与与余功余功相应的能称为相应的能称为余能余能,用用Vc表示表示D10FccdFWVVccdVvV10dvcoFD1F1DF

9、DDFdF曲线与曲线与纵纵轴轴围成的围成的面积面积第三章第三章 能量法能量法线弹性线弹性材料材料应变应变能等于余能等于余应变能。应变能。例题例题 图示等截面悬臂梁，图示等截面悬臂梁，E, I, A已知。在自由端受集中力已知。在自由端受集中力F 和集中力偶和集中力偶M作用。设材料是线弹性的，试计算梁的应变能。作用。设材料是线弹性的，试计算梁的应变能。考虑考虑两种不同两种不同的加载次序，略去剪力的影响的加载次序，略去剪力的影响. .利用应变能密度利用应变能密度三种方法三种方法利用外力功利用外力功利用内力功利用内力功F Ml第三章第三章 能量法能量法( )M xMFx 2( )2lMx dxVEI2

10、0()2lMFxdxEI 2 3221()23F lM lFMlEI弯矩弯矩: :第三章第三章 能量法能量法解解: :方法一方法一222 3226M lFMlF lEIEIEIF MlxF F先加载先加载M M再加载再加载33FlwEI 2 31126F lVFwEI MlEI 212VM 222MlwEI 12VVV 2 322622F lFMlM lEIEIEI 2222M lFMlEIEI 方法二方法二2Fw F Mlx第三章第三章 能量法能量法M先加载先加载F再加载再加载33FlwEI 222FlEI 21122M lVMEI MlEI 212VFw 12VVV 2 3262F lMF

11、lEIEI 2()M 2 322622F lFMlM lEIEIEI 第三章第三章 能量法能量法F MlxF MlxF lx Mlx212VM 112VFw 12VVV 3123FlFEI 2 36F lEI 12MlMEI 22M lEI 第三章第三章 能量法能量法FMlxFlxMlx112VFw 212VM 12VVV 思考思考: :第三章第三章 能量法能量法 例例题题 原为水平位置的杆系如图所示，试计算在荷载原为水平位置的杆系如图所示，试计算在荷载F作用作用下的应变能。两杆的弹性模量均为下的应变能。两杆的弹性模量均为E E, ,横截面面积均为横截面面积均为A 。 解：解：首先分析力首先分

12、析力F 和位移和位移D之间的关系，求出之间的关系，求出F = f (D)的的表达式。设两杆的轴力均为表达式。设两杆的轴力均为FN ，两杆的伸长量和两杆的伸长量和A A点的位移点的位移分别为分别为AElFlND第三章第三章 能量法能量法22()lll D D)(2ll2222 ()() lllll D D D D N2FlEA 由结点由结点A A的平衡方程的平衡方程sin2NFF 为为小角度小角度，lD tansin第三章第三章 能量法能量法由于由于所以所以3()FEAl FlF2N3FlEA N2FlEA 22FllEA 或或AFNFNo1 1 11nnK例题例题 试计算图示结构在荷载试计算图

13、示结构在荷载F F1 1作用下的余能，结构中两杆作用下的余能，结构中两杆的长度均为的长度均为l ，横截面面积均为，横截面面积均为A,A,材料在单轴拉伸时的应材料在单轴拉伸时的应力力应变曲线如图所示。应变曲线如图所示。B1FDC 解：解：由结点由结点C C的平衡方程，得杆的轴力的平衡方程，得杆的轴力cos21FFN112cosNFFAA 横截面上的应力为横截面上的应力为第三章第三章 能量法能量法10cvd 由于轴向拉伸杆内由于轴向拉伸杆内各点应变状态均相同各点应变状态均相同，因此，结构在因此，结构在荷载作用下的荷载作用下的余能余能为为 2cvAl 余能密度余能密度为为10ndK 11cos21n

14、nnFlAKn 第三章第三章 能量法能量法 11112cosnnFKnA 1111nnKn ccVVv dV 第三章第三章 能量法能量法3()FEAl 3FlEA （1）由于力由于力F F 引起的变形引起的变形D Dl ，对，对FN产生影响，形成产生影响，形成F F和和D D的非线性关系，而的非线性关系，而应力和应变应力和应变仍为线性关系仍为线性关系几何非几何非线性线性。当材料为非线性弹性体时，即应力与应变为非线性。当材料为非线性弹性体时，即应力与应变为非线性时时 物理非线性物理非线性。 （2 2）几何非线性时，不能用）几何非线性时，不能用 求应变能，而求应变能，而只能用只能用 求应变能。求应

15、变能。VFVdVVvVd杆的应变能为杆的应变能为130dEAl 注意注意:10dVWF 411131144EAF l FD3()FEAl 第三章第三章 能量法能量法一、功和应变能、余能一、功和应变能、余能利用应变能密度利用应变能密度三种方法三种方法利用外力功利用外力功利用内力功利用内力功10dVWF FDdDFD22NF lVWEA22pT lVWGI2( )2lMx dxVWEI2()2EAllD 余能余能1c0dFcVW F 线弹性线弹性cVV iiVFD二、卡氏第一定理二、卡氏第一定理 弹性杆件的弹性杆件的应变能对于构件上某一应变能对于构件上某一位移位移之变化率之变化率，就等于与该位移相

16、应的荷载。，就等于与该位移相应的荷载。第三章第三章 能量法能量法组合变形时的应变能组合变形时的应变能222200( )2222llyNzllpzyM dxF dxM dxT xdxVEAGIEIEI解：法一解：法一EIFlwC483 BCMFwV 2121EIlF9632 例题：例题：简支梁受力如图所示，已知梁的刚度为简支梁受力如图所示，已知梁的刚度为EI，求梁的应变能。求梁的应变能。AFl/2BCl/2MEIMl162 EIMlB3 EIFl162 EIMlEIFlF16482123 EIFlEIMlM163212EIFMl162 EIlM62 法二法二AFl/2BCl/2MlMFFA 2

17、FA FBlMFFB 2x1x2 211xlMF)x(M AC段段 222MxlMF)x(M CB段段AFl/2BCl/2M FA FBx1x2 211xlMF)x(M 222MxlMF)x(M ldxEI)x(MV22EIlF9632 EIFMl162 EIlM62 dx xlMFEIl12201221 dxM xlMFEIl22202221 dx xlMFMxMxlMxFEIl2202222222222222221 qAB 例题例题 弯曲刚度为弯曲刚度为EI的简支梁受均布载荷的简支梁受均布载荷q作用作用,如图所示如图所示,试求梁内的应变能试求梁内的应变能. 解解:方法一方法一:外力功外力功

18、梁的挠曲线方程为梁的挠曲线方程为43434(2)24qlxxxwEIlll1()2qdx w0l2 434340(2)2 24lq lxxxdxEIlll52240q lEI方法二方法二:应变能密度应变能密度方法三方法三:内力功内力功第三章第三章 能量法能量法12lVWFdFwD 12qwdx0l虚功原理虚功原理对于对于刚体：刚体： 平衡的条件是所有外力在任意虚位移上所作的平衡的条件是所有外力在任意虚位移上所作的虚功之和为零虚功之和为零. . 对于对于变形体：变形体： 平衡的条件是所有平衡的条件是所有外力外力在任意虚位移上所作的在任意虚位移上所作的虚功虚功恒恒等于内力等于内力在虚位移上的在虚位

19、移上的虚功虚功（虚应变能）（虚应变能）. .第三章第三章 能量法能量法I.卡氏第一定理卡氏第一定理（卡斯蒂利亚诺）卡斯蒂利亚诺）DniiiidfWV10V 为最终位移为最终位移D Di 的函数的函数fi为瞬时载荷，为瞬时载荷，i为瞬时位移为瞬时位移iidFdWD由于由于 改变了改变了 ，外力功相应改变量外力功相应改变量iDidD33 33 卡卡 氏氏 定定 理理第三章第三章 能量法能量法ABF1F2FiFn12ind diWF dD D D D inV (,.,.,) D D D DD DD D12Fii ifD Diid iidVdVDDdWdV iiVF DD第三章第三章 能量法能量法应变

20、能的相应改变量应变能的相应改变量为为由于由于iidFdWD外力功相应改变量外力功相应改变量为为所以所以卡氏第一定理卡氏第一定理 11ininVVVdVd.d.d D D D D D D D D D D D DinVV (,.,.,) D DD DD DD D12弹性体的弹性体的应变能对杆件某一位移的偏导数，应变能对杆件某一位移的偏导数，就等就等于与该于与该位移相应的载荷。位移相应的载荷。解：解：例例题：题：图示三角架受铅垂载荷图示三角架受铅垂载荷F F作用作用，已知各杆的刚，已知各杆的刚度为度为EA，试用卡氏第一定理求，试用卡氏第一定理求B节点的铅垂位移。节点的铅垂位移。Bl3030AFCB1

21、、确定位移与变形的关系、确定位移与变形的关系iiVFD D D Dl1D Dl2 D D D D301sinlBV2lBHD D D D D D 302ctgl2132llD D D D Bl3030AFCB2、应变能表达式、应变能表达式D Dl1D Dl22lBHD D D D 22212122llEAllEAVD D D D 2132llBVD D D D D D即即BHlD D D D2231BHBVlD D D D D D lEAlEABHBHBV3223422D D D D D D Bl3030AFC3、铅垂位移、铅垂位移 lEAlEAVBHBHBV3223422D D D D D

22、D FVBV D D FlEABHBV D D D D340 D D BHV 03343 D D D D D D BHBHBVlEAlEA解得解得EAFlEAFlBV334 D DniFiiiccdfWV10iicdFdWDiiccdFFVdV由于由于 改变了改变了 ，外力余功相应改变量外力余功相应改变量iFidFccdWdV 第三章第三章 能量法能量法ABF1F2FiFn12inD10FcdFWdFi余能的相应改变量余能的相应改变量为为由于由于所以所以ciiVF D D cinV (F ,F ,.F ,.,F ) 12在在线弹性线弹性范围内范围内VVciiFVD卡氏第二定理卡氏第二定理线弹性

23、线弹性iciFVD余能定理余能定理 杆件的杆件的余能余能对于杆件上某一荷载的变化率就等于对于杆件上某一荷载的变化率就等于与该荷载相应的位移。与该荷载相应的位移。第三章第三章 能量法能量法余能定理余能定理卡氏第二定理卡氏第二定理III. 卡氏第一定理和余能定理的比较卡氏第一定理和余能定理的比较 卡氏第一定理卡氏第一定理 余能定理余能定理c12inVf (F ,F ,.,F ,.,F ) 12inVf ( , ,., ,., ) DiDi+dDi，其它位移均不变，所其它位移均不变，所有的有的力均不变力均不变。FiFi+dFi，其它力均不变，所其它力均不变，所有的有的位移均不变位移均不变。iiFWd

24、dciiFFVVddcciiFWddiiVVddiiVF(平衡方程平衡方程)iiFVc（变形的几何关系变形的几何关系）非线性和线性弹性体非线性和线性弹性体非线性和线性弹性体非线性和线性弹性体第三章第三章 能量法能量法 Fi广义力广义力( (力、力偶、一对力或一对力偶等力、力偶、一对力或一对力偶等) )； D Di广义位移广义位移( (线位移、角位移、相对线位移或相线位移、角位移、相对线位移或相对角位移对角位移),),在在所有力共同作用所有力共同作用下与广义力下与广义力F F相对应的沿着力相对应的沿着力的方向的广义位移。的方向的广义位移。F FF FABMBMB第三章第三章 能量法能量法xEIM

25、Vld222 36F lEI AVwF 例题例题 1.1.加力点加力点A A处的挠度处的挠度220d2lFxxEI 3( )3AFlwEIxF ABCl/2l/2解：解：弯矩：弯矩：MFx 第三章第三章 能量法能量法()()22BllMFxFxxl 2222222021d(2)() d222lllBBFlxxF xFF xxlFxxEIEI3548BFlwEI 2.2.梁中点梁中点( (非加力点非加力点)B处处的挠度的挠度在在B处施加与所求挠度方向处施加与所求挠度方向相同的相同的假设力假设力FB（附加力法附加力法）xEIMVld2232 32 3564848BBFF lF lF lEIEIEI

26、(0)2lMFxx 0BBBFVwF F ABCl/2l/2B第三章第三章 能量法能量法所要求的位移不限于加力点沿加力方向的位所要求的位移不限于加力点沿加力方向的位移，可以是移，可以是任意点、任意方向的位移。任意点、任意方向的位移。虚载荷虚载荷必须加在所要求位移的那一点、必须加在所要求位移的那一点、并且沿着所要求位移的方向。并且沿着所要求位移的方向。第三章第三章 能量法能量法2( ) d2lM xVxEI iiVF D D 卡氏第二定理的变形形式：卡氏第二定理的变形形式：( )diM xxF ( )M xEI l 对于变形构件对于变形构件 D D llzzyylplNiiiEIdxMEIdxM

27、GIdxTEAdxFFFV22222222dxFMEIMdxFMEIMdxFTGITdxFFEAFizlzziylyylipliNN llzzyylplNEIdxMEIdxMGIdxTEAdxFV22222222对桁架只有轴力产生的应变能对桁架只有轴力产生的应变能;对梁只考虑弯矩产生的应变能对梁只考虑弯矩产生的应变能;对刚架和曲杆只考虑弯矩和扭矩的应变能。对刚架和曲杆只考虑弯矩和扭矩的应变能。卡氏第二定理卡氏第二定理iiFVD1nN jN jijjiiFFVlFEAF D D ( )( ) diliMsMssEIF D D 桁架结构桁架结构弯曲直杆弯曲直杆(刚架刚架)弯曲曲杆弯曲曲杆1 dni

28、ijilijjVMMxFEIF D D ( )( ) diliPiVT xT xxFGIF D D 扭转扭转( )( ) liMMEIFRd 第三章第三章 能量法能量法例例题题 图示桁架结构，杆的拉压刚度均为图示桁架结构，杆的拉压刚度均为EA，F已知已知,长度长度分别为分别为a和和 已知。求已知。求A A点的水平位移点的水平位移HAF FAF FF FF F2a第三章第三章 能量法能量法解：解：1nHN iN iAiiiVFFlFEAF D D 求支反力求支反力FNiliNiFF 00-F-F02F-1-102aaaa2a2 22()FaEA FABM例题例题图示半圆形曲杆，试计图示半圆形曲杆

29、，试计算算B B截面的水平位移和转角。截面的水平位移和转角。已知其抗弯刚度为已知其抗弯刚度为EIEI，只考，只考虑弯曲变形的影响。虑弯曲变形的影响。解：解：在在B B截面截面虚加虚加一一集中集中力偶力偶M. .( )sin ;MRFB B截面的水平位移为截面的水平位移为 HBSMMdsEIFDR弯矩方程为弯矩方程为( )sinMFRM；( )1MM 320sinFRdEI 220sinFRRdEI3()2FREI第三章第三章 能量法能量法0M B B截面的转角为截面的转角为20sinFRdEI B B截面转角的为截面转角的为负值负值，说明实际转角的方向同，说明实际转角的方向同虚加力偶的方向虚加

30、力偶的方向相反相反。 BMMdsEIM0M 22FREI第三章第三章 能量法能量法解：解：1、求约束反力、求约束反力例例题：题：简支梁受力及几何尺寸如图所示，试用卡氏简支梁受力及几何尺寸如图所示，试用卡氏第二定理求梁第二定理求梁C点的挠度点的挠度wc。 FACaaaaBDEEIEI2EI2FFFBA 2xF)x(M 2、列弯矩方程并求其偏导数、列弯矩方程并求其偏导数 2xF)x(M x3、求、求C点挠度点挠度FACaaaaBDEEIEI2EI 2xF)x(M 2xF)x(M dxFMEIMwilC aaadxxFEIdxxFEI220242242EIFa433 第三章第三章 能量法能量法 例例

31、 题题 图图a a所示结构中，所示结构中，AB,BCAB,BC 杆中的横截面面积均为杆中的横截面面积均为A A，弹性模量均为弹性模量均为E E。两杆处于线弹性范围内。试用。两杆处于线弹性范围内。试用卡氏第二定卡氏第二定理理，求，求 B B点的水平位移点的水平位移D D1 1和铅垂位移和铅垂位移D D2 2 。 解：解： 卡式第二定理卡式第二定理iiVF D D 1nN jN jjjiFFlEAF 先先虚加虚加一水平一水平 方向的集中力方向的集中力FH. 利用节点法，考虑利用节点法，考虑A节点的平衡，可节点的平衡，可得各杆的内力和对外载荷的导数得各杆的内力和对外载荷的导数:FHFHFFABFBC

32、B0sin45BCFF0,BCHFF2BCFF 2 ,Fcos,ABHBCHFFFFF1ABFF 022HFBCBCABABFFFFllEAFEAF D D FHFFABFBCB2 ,BCFF0,BCHFF2BCFF 1,ABHFF 卡式第二定理卡式第二定理012HBCBCHFABABHFFFFllEAFEAF D D 2()(1)02FFllEAEA ()FlEA2122FFllEAEA (12 2)( )FlEA第三章第三章 能量法能量法第三章第三章 能量法能量法 例例 题题 图所示为一等截面开口圆环，弯曲刚度为图所示为一等截面开口圆环，弯曲刚度为EI，材，材料为线弹性。用料为线弹性。用卡

33、氏第二定理卡氏第二定理求圆环开口处的张开量求圆环开口处的张开量D D。不计。不计剪力和轴力的影响。剪力和轴力的影响。圆环开口处的张开量就是和圆环开口处的张开量就是和两个两个F F力相对应的相对线位移，力相对应的相对线位移，即即FV（）解：解：弯矩方程弯矩方程)cos1 ()( FRM，)cos1 ()(RFMd)cos1 (2023EIFR结果为结果为正正，表示广义位移方向和广义力的指向，表示广义位移方向和广义力的指向一致一致。第三章第三章 能量法能量法EIFR33（ ）RREIRF 02(1cos ) (1c s )do 利用对称性，由利用对称性，由卡氏第二定理，卡氏第二定理，得得)cos1

34、 ()( FRM，)cos1 ()(RFM2( )( )SMMdSEIF 思考思考: : 若计算若计算圆环开口处的相对圆环开口处的相对转角转角, ,或或AB的相对位移的相对位移, ,该如何加载该如何加载? ?AB加什么力？加什么力？加在哪里？加在哪里？加在什么方向？加在什么方向？要不要分段？怎样分段？要不要分段？怎样分段？建立坐标系？建立坐标系？充分利用对称性？充分利用对称性？第三章第三章 能量法能量法例题例题 图示结构中，杆的弯曲刚度均为图示结构中，杆的弯曲刚度均为EI，F已知。已知。第三章第三章 能量法能量法F FF FABDCRRR加什么力？加什么力？加在哪里？加在哪里？加在什么方向？加

35、在什么方向？要不要分段？怎样分段？要不要分段？怎样分段？建立坐标系？建立坐标系？充分利用对称性？充分利用对称性？E EG G虚加虚加载荷载荷FAB;建立各段内力表达式并偏导：建立各段内力表达式并偏导：)2()(2RxRxFRxFMAB)0(1RxxFMAB)sin2()sin1 (3RFFRMABxFMAB1解：解：F FF FABDCRRR FABFABxEG(0)2 xFMAB2)sin2(3RFMAB312diiiABiABlMMxEIF 3235()32FREI 0ABF 第三章第三章 能量法能量法例题例题 试求刚架试求刚架ABC在均布荷载在均布荷载 q 的作用下的作用下A点的垂直位移

36、和点的垂直位移和C点的转角。尺寸点的转角。尺寸l和和EI已知。刚架剪力和轴力忽略不计。已知。刚架剪力和轴力忽略不计。cyFqlF 解：解：列出各段的弯矩及偏导方程：列出各段的弯矩及偏导方程：AB段段：2111;2qMxFx BC段段2222qMlxFx AFcxFcyF1x2xBllqAC第三章第三章 能量法能量法求刚架的支座反力：求刚架的支座反力： 1.计算计算A点的垂直位移，应在点的垂直位移，应在A点上点上虚加力虚加力F ;F/2cxFFql/2AFFql 111(0)MxFxl 122(0)MxxlF 根据卡氏定理：根据卡氏定理：AlMMdxEIF DD 第三章第三章 能量法能量法列出各

37、段的弯矩及偏导方程：列出各段的弯矩及偏导方程：AB段段：2111;2qMxFx BC段段2222qMlxFx 111(0)MxxlF 122(0)MxxlF 47( )24qlEI 0F 321122001()()22llqqlxdxxdxEI 2.2.计算计算C截面转角，应在截面转角，应在C截面上截面上虚加虚加一个力偶一个力偶M ,2cxqlMFl2112qxM 2222MxqlMMxl根据卡式定理：根据卡式定理：iicilMMdxEIM M各段的弯矩及各段的弯矩及偏导偏导方程为：方程为：ABAB段：段：BCBC段：段：第三章第三章 能量法能量法AFcxFcyF1x2xBllqAC求刚架的支

38、座反力：求刚架的支座反力： ,cyFql 2AqlMFl 110(0)MxlM 2221(0)MxxlMl 312qlEI 0M ?VF ?VF ?VF w11FF2w21FF212F2思考思考:第三章第三章 能量法能量法例例题：题：图示平面刚架，抗弯刚度为图示平面刚架，抗弯刚度为EIEI，求，求D D点的竖直点的竖直位移和位移和C C截面的转角。截面的转角。 Fx)x(M 解：解：1、求、求D点的竖直位移点的竖直位移 xF)x(M xFAClBDllFCD段段 1Fl)y(M 1lF)y(M BC段段y1 区分区分B B、D D两点的外力，两点的外力，将将B B点力表示为点力表示为FF第三章

39、第三章 能量法能量法xFAClBDllFAB段段 22yFFl)y(M 2lF)y(M y1y2 Fx)x(M xF)x(M 1Fl)y(M 1lF)y(M 102 D DlDVdxFxEI 1012 ldyFlEI 1022 lldyFyFlEI 33EIFl 3EIFl 3EIFl 23EIFl 6173EIFl 令令F=F Fx)x(M 2、求求C C截面的转角截面的转角00 M)x(MxFAClBDllFCD段段 01MFl)y(M 101 M)y(MBC段段y1在在C截面施加外力偶截面施加外力偶M0M0AB段段 202FyMFl)y(M 102 M)y(My2 101 lCFldyE

40、I 1022 ldyFyFlEI 2EIFl 252EIFl 令令M0=0 2EIFl 22EIFl 注意：注意：卡二定理卡二定理中与所求位移对应的中与所求位移对应的载荷载荷必须必须是独立载荷；是独立载荷；无无对应载荷时，可对应载荷时，可虚加载荷，虚加载荷，求偏导数后求偏导数后令其为零。令其为零。弯矩方程弯矩方程若与所求位移对应的载荷无关，该段弯矩方若与所求位移对应的载荷无关，该段弯矩方程程可不列。可不列。ACDllBF2F例例题：题：图示平面桁架，各杆拉压刚度均为图示平面桁架，各杆拉压刚度均为EA，求，求C点的水平位移和点的水平位移和BD间的相对位移。间的相对位移。 FFAx 解：解：1、求

41、、求D DCH求求约束反力约束反力 FAy FB FAx 2FFFAy FFB 区分区分C、D两点的外力，两点的外力，将将C点力表示为点力表示为FACDllBF2F FAy FB FAx杆号杆号NiFil00lF 1l00FFNi lF2 0lF 22 l2 EAFlCH221 D DCFFN2FN3FN5 D DiNiNilFFEAFF令令F=FFFAx 2FFFAy FFB 各杆的内力及偏导数各杆的内力及偏导数ACDllBF2F FAy FB FAx2、求、求D DBDF1F1BD间虚加一对外力间虚加一对外力F1FFAx 3FFAy FFB 可用叠加法求轴力可用叠加法求轴力杆号杆号NiFi

42、l0F0F2 F2 1FFNi 杆号杆号NiFil0F01FFNi F2 F2 lllll2ACDllBF1F1221F 221F 221F 221F 1F 22 22 22 22 1EAFlBD D D222令令F1=0先虚加（或区分）载荷，后求约束反力。先虚加（或区分）载荷，后求约束反力。例例题：题：图示小曲率平面曲杆，图示小曲率平面曲杆，A端固定，端固定，B端自由，端自由，其轴线为水平面内的四分之一圆弧。若杆在自由其轴线为水平面内的四分之一圆弧。若杆在自由端受铅垂外力端受铅垂外力F，求，求B端的铅垂位移和端的铅垂位移和B截面的扭截面的扭转角。（不计剪力的影响）转角。（不计剪力的影响） 解

43、：解：1、求、求B截面的铅垂位移截面的铅垂位移FR FABBATM F 1 cosFRTTM F R sinFRM 1 cosRFT sinRFM d112023 D DcosFRGIpBV d12023 sinFREI d212023 coscosGIFRp d2023 sinEIFR 2433pGIFR 43EIFR 2、求、求B截面的扭转角截面的扭转角R FAB在在B截面虚加外力偶截面虚加外力偶M0M0 cos10 McosFRT 0sinMsinFRM TM F M0 0 cosMT 0 sinMM令令M0=0 1 cosFRTTM F R sinFRM 0 cosMT 0 sinMM

44、 d11202 coscosFRGIpB d12022 sinFREI 412pGIFR 42EIFR iiVFD一、卡氏第一定理一、卡氏第一定理 杆件的杆件的应变能对于构件上某一位移之变化率，就应变能对于构件上某一位移之变化率，就等于与该位移相应的荷载。等于与该位移相应的荷载。第三章第三章 能量法能量法iiFVD三、卡氏第二定理三、卡氏第二定理iciFVD 杆件的余能对于杆件上某一荷载的变化率就等于杆件的余能对于杆件上某一荷载的变化率就等于与该荷载相应的位移。与该荷载相应的位移。二、余能定理二、余能定理 线弹性线弹性卡式定理应用卡式定理应用1nN jN jijjiiFFVlFEAF D D

45、( )( ) diliM sM ssEIF D D 桁架结构桁架结构弯曲直杆弯曲直杆(刚架刚架)弯曲曲杆弯曲曲杆1 dniijilijjVMMxFEIF D D diliPiVTTxFGIF D D 扭转扭转( )( ) liMMEIFRd 注意：注意：卡二定理卡二定理中与所求位移对应的中与所求位移对应的载荷载荷必须必须是独立是独立载荷；载荷；无无对应载荷时，可对应载荷时，可虚加载荷，虚加载荷，求偏导数后求偏导数后令其令其为零。为零。RACB解：解：)cos1 (2)(FRM)cos1 (2)(RFMRdFMEIMVCD)()(22/0dEIFR2/023)cos1 (2dEIFR2/03)2

46、2cos1cos21 (233(2)( )24FREI F/2F/2求支反力求支反力内力方程并偏导数内力方程并偏导数卡式第二定理及对称性卡式第二定理及对称性第三章第三章 能量法能量法 例题例题 半圆环的弯曲刚度为半圆环的弯曲刚度为EI，不计剪力和轴力对位移，不计剪力和轴力对位移的影响，用的影响，用卡氏第二定理卡氏第二定理求求C点的铅垂位移点的铅垂位移F 未知力个数等于独立的平衡方程数目未知力个数等于独立的平衡方程数目, ,则仅由平衡则仅由平衡方程即可解出全部未知力方程即可解出全部未知力, ,这类问题称为这类问题称为静定问题静定问题 相相应的结构称为应的结构称为静定结构静定结构. . 未知力个数

47、多于独立的平衡方程数目未知力个数多于独立的平衡方程数目, ,则仅由平衡方则仅由平衡方程无法确定全部未知力程无法确定全部未知力, ,这类问题称为这类问题称为超静定问题或静超静定问题或静不定问题不定问题, ,相应的结构称为相应的结构称为超静定结构或静不定结构超静定结构或静不定结构. .34 34 用能量法解超静定系统用能量法解超静定系统I. .基本概念：基本概念：超静定次数超静定次数= =未知力的数目未知力的数目- -独立平衡方程数独立平衡方程数第三章第三章 能量法能量法 所有超静定结构所有超静定结构, ,都是在静定结构上再加一个或几个都是在静定结构上再加一个或几个约束约束, ,这些约束对于特定的

48、工程要求是必要的这些约束对于特定的工程要求是必要的, ,但对于但对于保证结构平衡却是多余的保证结构平衡却是多余的, ,故称为故称为多余约束多余约束. . 求解超静定问题求解超静定问题, ,需要综合考察结构的需要综合考察结构的平衡平衡, ,变形协调变形协调和物理和物理三个方面三个方面. .II.求解超静定问题的解法1 1、确定静不定次数。、确定静不定次数。2 2、选择基本静定基。、选择基本静定基。3 3、列出变形协调条件。、列出变形协调条件。 4 4、用、用能量法能量法或叠加法计算几何条件或叠加法计算几何条件. .第三章第三章 能量法能量法RBqlAB1.1.建立静定基建立静定基 等等价价xql

49、AByEI2. 2. 变形协调方程变形协调方程0BBBqBRwww 3.3.梁的弯矩方程及偏导数梁的弯矩方程及偏导数2,2BqxMR x BMxR 4.4.卡式第二定理卡式第二定理0lBBMMwdxEIR qlRB83第三章第三章 能量法能量法0 20/2lBR xqxxdxEI 仅有仅有q作用，作用，B点挠点挠度为：度为：48BqqlwEI 仅有仅有 作用，作用，B B点挠度为：点挠度为：BR33BBBRR lwEI 因此因此BBBqBRwww48qlEI 33BR lEI 0叠加法叠加法第三章第三章 能量法能量法qlABRBqlRB83 例例题题 各杆的弹性模量均为各杆的弹性模量均为E E

50、，横截面面积均为，横截面面积均为A A。试用。试用卡卡氏第一定理氏第一定理求各杆的轴力。求各杆的轴力。第三章第三章 能量法能量法 解：解：设设1, 2, 3 1, 2, 3 杆的轴力分别为杆的轴力分别为F FN1 FN2 , , FN3 （图（图b b），相应的位移为），相应的位移为D D1 1, , D D2和和D D3 3由对称性可知，由对称性可知，F FN1F FN2, , D D1D D2。cos31 几何关系几何关系23212)cos/(22lEAlEAV) 1cos2(2323lEA第三章第三章 能量法能量法结构的应变能为结构的应变能为以以D D3 3为基本未知量为基本未知量，该题

51、为一次超静定。，该题为一次超静定。) 1cos2(cos31EAFl) 1cos2(33EAFl33(2cos1)EAl 由卡式第一定理由卡式第一定理3VFcos31 23cos2cos1F 由胡克定律得由胡克定律得第三章第三章 能量法能量法1cos233N3FlEAF 以以位移作为基本未知量位移作为基本未知量求解超静定问题的方法，求解超静定问题的方法，称为称为位移法位移法. 该方法仍然是综合考虑了该方法仍然是综合考虑了平衡方程平衡方程, ,几何关几何关系和物理方程系和物理方程来求解超静定问题的。来求解超静定问题的。12NN1/cosEAFFl 例例题题三杆的材料相同三杆的材料相同, ,各杆的

52、弹性模量均为各杆的弹性模量均为E E，横截面面横截面面积均为积均为A，3杆长度为杆长度为 l。用。用余能定理余能定理求各杆的轴力。求各杆的轴力。第三章第三章 能量法能量法 解：解：以铰链以铰链 D 的支反力的支反力X 为多为多余未知力，基本静定系如图余未知力，基本静定系如图b 所示，所示，F, X 看作基本静定系上独立的外力，看作基本静定系上独立的外力，Vc= Vc (F,X )因为铰链因为铰链D D 处沿处沿铅垂方向的位移为零，铅垂方向的位移为零，应有应有c0VDVX DD 由该式求出由该式求出X 后，再利用后，再利用平衡方程平衡方程求各杆的轴力。求各杆的轴力。cos22N1NXFFFXF3

53、N(1)第三章第三章 能量法能量法由平衡方程得各杆的轴力分别为由平衡方程得各杆的轴力分别为各杆的应力分别为各杆的应力分别为AXAXF321 cos2(2)121c1c20d2vvE 三杆的余能密度分别为三杆的余能密度分别为222()8cosFXEA 3c30dvE 222XEA第三章第三章 能量法能量法结构的余能为结构的余能为cc11c33c1c322/cosVv Vv Vv Alv Al N3312cosFXF N1N2FF由余能定理得由余能定理得将将X X 值代入（值代入（1 1），得），得 以以力为基本未知量力为基本未知量解超静定问题的方法，称为解超静定问题的方法，称为力法力法。223(

54、)4cos2FXlXlEAEA c0VDVX DD 23cos12cosF 一、能量法求解静定和超静定系统一、能量法求解静定和超静定系统iiFVD求解超静定问题的解法求解超静定问题的解法1 1、确定静不定次数。、确定静不定次数。2 2、选择基本静定基。、选择基本静定基。3 3、列出变形协调条件。、列出变形协调条件。 4 4、用、用能量法能量法计算几何条件计算几何条件. .第三章第三章 能量法能量法MBMBF FA 用用卡氏第二定理卡氏第二定理来解超静定问题，仍以多余未知力为基来解超静定问题，仍以多余未知力为基本未知量，以荷载本未知量，以荷载 及选定的多余未知力及选定的多余未知力 作为基本静定系

55、上独立的外力，作为基本静定系上独立的外力，应变能应变能 只能为荷载及选定的只能为荷载及选定的多余未知力的函数，即多余未知力的函数，即12,nF ,F .,F12nX ,X ,.XVnnVV(F ,F ,.,F ;X ,X ,.X ) 1212变形几何关系为变形几何关系为 ，D Di 为和为和 的相应位移，它是和约的相应位移，它是和约束情况有关的束情况有关的已知量。已知量。iiXViX第三章第三章 能量法能量法例例题：题：图示平面刚架，各段抗弯刚度均为图示平面刚架，各段抗弯刚度均为EIEI，求约，求约束反力。束反力。解：解：1、确定静定基，求约束反力、确定静定基，求约束反力 X FAx 2Xql

56、FAy X2 qlFCAqBCllqlABClX FC FAy FAx2、列弯矩方程，并求其偏导数、列弯矩方程，并求其偏导数xy Xy yM xqlxM X2 qlABClX FC FAy FAx xXxM y XyM 3、根据已知位移条件建立补充方程、根据已知位移条件建立补充方程0 XV lxdxqxxqlEI0221 X21 0102 l dyXyEI221qx lxdxqxxqlEI0221 X21 0102 l dyXyEI64ql 33Xl 84ql 33Xl 0 16qlX 4、由平衡方程确定所有约束力、由平衡方程确定所有约束力 X FAx 2XqlFAy X2 qlFC16ql

57、169ql 167ql 列内力方程时，约束力应表示为外力和多余未知列内力方程时，约束力应表示为外力和多余未知力的函数。力的函数。对称结构对称结构几何形状、尺寸、材料、约束等几何形状、尺寸、材料、约束等 对称于某一对称轴。对称于某一对称轴。III.对称性的应用对称性的应用R第三章第三章 能量法能量法问题特点：问题特点：结构对称，外力对称。结构对称，外力对称。问题简化：问题简化：轴力和弯矩对称，剪力反对称轴力和弯矩对称，剪力反对称=0。FRACBFABFHFHF/2F/2解：解：先求支反力先求支反力对称结构，为一次超静定对称结构，为一次超静定)(,FFVVH 例题例题 半圆环的弯曲刚度为半圆环的弯

58、曲刚度为EI，不计剪力和轴力对位，不计剪力和轴力对位移的影响，用移的影响，用卡氏第二定理卡氏第二定理求求C点的铅垂位移点的铅垂位移sin)cos1 (2)(RFFRMH内力方程及偏导内力方程及偏导第三章第三章 能量法能量法sin)cos1 (2)(RFFRMH( )sin ,HMRF )cos1 (2)(RFM/20( )( )2ABHMMRdEIF D D )44(23FFEIRHRdFMEIMVCD)()(22/00, FFH再求位移，再求位移，卡式定理卡式定理EIFREIFR330189. 0)21183(内力方程及偏导内力方程及偏导卡式第二定理卡式第二定理第三章第三章 能量法能量法 例

59、题例题 半圆环的弯曲刚度为半圆环的弯曲刚度为EI，不计剪力和轴力对位移，不计剪力和轴力对位移的影响，用的影响，用卡氏第二定理卡氏第二定理求对称截面上的内力。求对称截面上的内力。第三章第三章 能量法能量法FRACB 解：解：沿半圆环的对称截面处沿半圆环的对称截面处截开，取两个截开，取两个1/4圆环为基本静定系，圆环为基本静定系，多余未知力为轴力多余未知力为轴力X1, 弯矩弯矩X2, 剪力剪力X3。该题为该题为三三次超静定。次超静定。 由对称性，由对称性，反对称的反对称的内力内力X30，问题简化为，问题简化为二二次超静次超静定。半圆环的应变能只能为定。半圆环的应变能只能为F，X1，X2的函数，即的

60、函数，即),(21XXFVV CF/2RAX1X1X2X2BF/2与与X1，X2 相应的相应的位移条件位移条件分别分别为两截面的为两截面的相对线位移相对线位移和和相对角相对角位移为零位移为零，即，即0,021XVXV弯矩方程及其对弯矩方程及其对X1，X2的偏导数分别为的偏导数分别为第三章第三章 能量法能量法2FM() )cos1 ()(1RXM1)(2XM21R(cos)X 1X Rsin CBF/2F/2RAX1X1X2X2基本静定系为两个基本静定系为两个1/41/4圆环，应用圆环，应用卡式定理卡式定理得得/20112( )( )dVMMRXEIX 第三章第三章 能量法能量法 / 20222