第4章 稳定性分析

1、现代控制理论第第4 4章章 系统稳定性分析系统稳定性分析邓晓刚邓晓刚中国石油大学（华东）中国石油大学（华东）信息与控制工程学院自动化系信息与控制工程学院自动化系Modern Control Theory: Chapter -4信息与控制工程学院信息与控制工程学院n稳定性是自动控制系统最重要的特性稳定性是自动控制系统最重要的特性系统的稳定性：外界干扰作用下偏离平衡状态，扰动系统的稳定性：外界干扰作用下偏离平衡状态，扰动消失后系统自身恢复到原先平衡状态的一种消失后系统自身恢复到原先平衡状态的一种“顽性顽性”n线性定常系统的稳定性的判定线性定常系统的稳定性的判定只取决于系统的结构和参数，稳定的条件是

2、特征方程只取决于系统的结构和参数，稳定的条件是特征方程的根都具有负实部的根都具有负实部(在左半根平面在左半根平面)劳斯判据、乃奎斯特判据劳斯判据、乃奎斯特判据n非线性系统的稳定性的判定非线性系统的稳定性的判定同时与初始条件和外部扰动的大小有关，无法使用线同时与初始条件和外部扰动的大小有关，无法使用线性定常系统的稳定性判据性定常系统的稳定性判据如何判断稳定性？如何判断稳定性？ 李雅普诺夫（李雅普诺夫（Lyapunov)方法方法 （适用于线性、非线性系统）（适用于线性、非线性系统）信息与控制工程学院信息与控制工程学院4.1李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义n经典控制理论中没有给出

3、关于稳定性的一般定义经典控制理论中没有给出关于稳定性的一般定义，俄国数学家，俄国数学家Lyapunov给出了对任何系统都普给出了对任何系统都普遍适用的稳定性的一般定义遍适用的稳定性的一般定义n稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的，线稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的，线性定常系统由于只有唯一的一个平衡状态，所以性定常系统由于只有唯一的一个平衡状态，所以才笼统地讲所谓的系统稳定性问题，才笼统地讲所谓的系统稳定性问题，n对于非线性系统则由于可能存在多个平衡状态，对于非线性系统则由于可能存在多个平衡状态，不同的平衡状态可能表现不同的稳定性，必须逐不同的平衡状态可能表现不同的稳定性，必须逐个分别

4、加以讨论。个分别加以讨论。信息与控制工程学院信息与控制工程学院一、系统状态的运动及平衡状态一、系统状态的运动及平衡状态平衡状态平衡状态：状态空间中满足：状态空间中满足),0),(0ttteexfx ),)(),(000ttttxxxfx 的一个状态。即平衡状态的各分量相对时间不再发生变化。的一个状态。即平衡状态的各分量相对时间不再发生变化。),),;()(000tttttxx自治系统自治系统：系统的齐次状态方程为：系统的齐次状态方程为状态轨线状态轨线：系统的齐次状态方程由初始状态：系统的齐次状态方程由初始状态x0引起的状态引起的状态运动轨迹，称为系统的运动或状态轨线运动轨迹，称为系统的运动或状

5、态轨线对于任意系统，不一定存在平衡状态，即使存在也不唯一对于任意系统，不一定存在平衡状态，即使存在也不唯一信息与控制工程学院信息与控制工程学院二、李雅普诺夫稳定性定义二、李雅普诺夫稳定性定义n状态空间中状态空间中x0点至点至xe点之间的距离为点之间的距离为：n邻域：邻域：点集点集S(e e) 表示以表示以xe为中心，以为中心，以e e为半径的超球体，为半径的超球体，xS(e e)表示为表示为 |x- -xe|e e ，当当e e很小时，则称很小时，则称S(e e)为为xe的邻的邻域域n有界自由响应：有界自由响应：若状态方程的解若状态方程的解F(F(t; x0, t0) )位于球域位于球域S(e

6、 e)内，内，便有便有 |F F(t; x0, t0) - - xe| e e， t t0 ，表明状态方程由初始状表明状态方程由初始状态引起的自由响应是有界的态引起的自由响应是有界的nLyapunov根据自由响应是否有界给出四种稳定性定义：根据自由响应是否有界给出四种稳定性定义：2021100)()(neneexxxxxx-欧几里德范数欧几里德范数信息与控制工程学院信息与控制工程学院1. 李雅普诺夫意义下稳定李雅普诺夫意义下稳定对于任意小的实数对于任意小的实数e e 0 0，均存在另一实数，均存在另一实数 d d ( (e, e, t0 0) ) 0 0 ，当初，当初始状态满足始状态满足|x0

7、- -xe|d d( (e, e, t0 0) ) 时，系统从时，系统从x0 0出发运动轨迹满足出发运动轨迹满足|F F(t; x0, t0)- -xe|e e， tt0 ，则称该平衡状态，则称该平衡状态xe 是是李雅普诺夫意李雅普诺夫意义下稳定义下稳定的，简称的，简称xe是稳定的。是稳定的。),)(),(000ttxtxtxfx 如果齐次状态方程如果齐次状态方程有平衡状态有平衡状态xe信息与控制工程学院信息与控制工程学院李亚普诺夫意义下一致稳定李亚普诺夫意义下一致稳定通常时变系统的通常时变系统的d d与与t0有关，时不变系有关，时不变系统的统的d d与与t0无关。只要无关。只要d d与与t0

8、无关，这种平无关，这种平衡状态称为一致稳定的衡状态称为一致稳定的。时不变系统的稳定属性时不变系统的稳定属性时不变系统时不变系统李亚普诺夫意义下的稳定和一致稳定必为等价。李亚普诺夫意义下的稳定和一致稳定必为等价。李亚普诺夫意义下稳定的实质上是工程意义下的李亚普诺夫意义下稳定的实质上是工程意义下的临界稳定临界稳定。信息与控制工程学院信息与控制工程学院2、渐近稳定性、渐近稳定性n如果平衡状态如果平衡状态xe是稳定的，而且当时间是稳定的，而且当时间t趋于无穷大时，轨趋于无穷大时，轨线不仅不超出线不仅不超出S(e e) ，而且最终收敛于，而且最终收敛于xe，则称则称 这种平衡状这种平衡状态态xe渐近稳定

9、渐近稳定n渐近稳定是一个局部概念，只确定某个平衡状态的渐近稳渐近稳定是一个局部概念，只确定某个平衡状态的渐近稳定性并不意味着整个系统可以正常运行定性并不意味着整个系统可以正常运行n渐近稳定性是工程意义下的稳定性渐近稳定性是工程意义下的稳定性n尽可能扩大渐近稳定的区域是重要的。尽可能扩大渐近稳定的区域是重要的。 信息与控制工程学院信息与控制工程学院3、大范围渐近稳定、大范围渐近稳定n如果平衡状态如果平衡状态xe是稳定的，而且从状态空间中所有初始状是稳定的，而且从状态空间中所有初始状态出发的轨线都具有渐近稳定性，则称这种平衡状态态出发的轨线都具有渐近稳定性，则称这种平衡状态xe大大范围渐近稳定范围

10、渐近稳定n大范围渐近稳定的必要条件是状态空间中只有一个平衡状大范围渐近稳定的必要条件是状态空间中只有一个平衡状态。态。n对于线性系统而言，如果平衡状态时渐近稳定的，必然是对于线性系统而言，如果平衡状态时渐近稳定的，必然是大范围渐近稳定的大范围渐近稳定的n非线性系统中，平衡状态一般只具有小范围渐近稳定非线性系统中，平衡状态一般只具有小范围渐近稳定信息与控制工程学院信息与控制工程学院一致渐近稳定一致渐近稳定时不变系统的渐近稳定属性时不变系统的渐近稳定属性渐近稳定渐近稳定一致渐近稳定一致渐近稳定小范围和大范围渐近稳定小范围和大范围渐近稳定大范围渐近稳定的必要条件：大范围渐近稳定的必要条件： xe唯唯

11、一一线性系统的渐近稳定属性线性系统的渐近稳定属性渐近稳定渐近稳定大范围渐近稳定大范围渐近稳定渐近稳定的工程含义渐近稳定的工程含义渐近稳定工程意义下稳定渐近稳定工程意义下稳定信息与控制工程学院信息与控制工程学院4、不稳定、不稳定n如果对于某个实数如果对于某个实数e e 0 0和任一实数和任一实数d d 0 0，不管，不管d d 这个实数这个实数多么小，从多么小，从S(d d)内出发的轨线，至少有一个轨线越过内出发的轨线，至少有一个轨线越过S(e e )，则称这种平衡状态不稳定，则称这种平衡状态不稳定1x2xdexe0 x)(dS)(eS1x2xdexe0 x)(dS)(eS1x2xdexe0 x

12、)(dS)(eSac 信息与控制工程学院信息与控制工程学院稳定性的概念分析稳定性的概念分析不管初始偏差有多大，系统总是稳定的，则称系统是不管初始偏差有多大，系统总是稳定的，则称系统是大范大范围稳定围稳定的。的。不管初始偏差有多大，系统总是渐近稳定的，则称系统是不管初始偏差有多大，系统总是渐近稳定的，则称系统是大范围渐近稳定大范围渐近稳定的。大范围渐近稳定的系统只能有一个平的。大范围渐近稳定的系统只能有一个平衡状态。衡状态。为了满足稳定条件，初始偏差有一定限制，则称系统是为了满足稳定条件，初始偏差有一定限制，则称系统是小小范围稳定范围稳定的。的。对于对于线性线性系统，若在小范围稳定，则必大范围稳

13、定；若在系统，若在小范围稳定，则必大范围稳定；若在小范围渐近稳定，则必大范围渐近稳定小范围渐近稳定，则必大范围渐近稳定 信息与控制工程学院信息与控制工程学院4.2 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法n李雅普诺夫第一法（间接法）李雅普诺夫第一法（间接法） , ,其思想其思想是利用状是利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法。态方程解的特性来判断系统稳定性的方法。n适用于线性定常、线性时变及可线性化的非线性适用于线性定常、线性时变及可线性化的非线性系统。系统。线性定常系统：求解特征方程的根线性定常系统：求解特征方程的根非线性系统：线性化处理，求解特征方程非线性系统：线性化处理，求解特征方程信息与控

14、制工程学院信息与控制工程学院一、一、线性定常系统的稳定判据线性定常系统的稳定判据n线性定常系统线性定常系统平衡状态平衡状态 xe=0 =0 渐近稳定的充要条件是：系统矩阵渐近稳定的充要条件是：系统矩阵A A的全部特征值均具有负实部的全部特征值均具有负实部n以上指的是状态稳定性以上指的是状态稳定性( (内部稳定性内部稳定性) )，工程中往，工程中往往更注意输出稳定性往更注意输出稳定性( (外部稳定性外部稳定性) )输出稳定性：有界输入输出稳定性：有界输入u u引起的输出引起的输出y y是有界的是有界的充要条件：传函的极点全部位于左半充要条件：传函的极点全部位于左半s s平面。平面。n无零极点对消

15、时，内部稳定性与外部稳定性一致无零极点对消时，内部稳定性与外部稳定性一致x = Ax+buy = cx信息与控制工程学院信息与控制工程学院例例分析系统的状态稳定性和输出稳定性分析系统的状态稳定性和输出稳定性10101110uy- x =x+x解：求解特征方程解：求解特征方程10(1)(1)001IA-特征值为特征值为121;1; -系统的状态不是渐进稳定的系统的状态不是渐进稳定的求传递函数求传递函数111( )()(1)(1)1sW sC SIABsss-传递函数的极点位于左半传递函数的极点位于左半S平面，因此系统输出稳定平面，因此系统输出稳定信息与控制工程学院信息与控制工程学院二、非线性系统

16、的稳定性二、非线性系统的稳定性eexxnnnnxxxfxfxfxfxfA1111( )R x)(xfx 设设)()()(xRxxAxfxe-将将f(x)在平衡点在平衡点xe邻域内展开为泰勒级数，得邻域内展开为泰勒级数，得xe为孤立平衡点。为孤立平衡点。雅可比矩阵为高阶导数项为高阶导数项信息与控制工程学院信息与控制工程学院若令若令D Dx=x- -xe，并取一次近似式，可得系统的线性化，并取一次近似式，可得系统的线性化方程为方程为xAxDD李雅普诺夫稳定性结论：李雅普诺夫稳定性结论：ex如果如果A A阵的所有特征值都具有负实部阵的所有特征值都具有负实部, , 则平衡状态则平衡状态 渐近稳定，渐近

17、稳定，ex如果如果A A阵的特征值至少一个为正实部，则阵的特征值至少一个为正实部，则 不稳定；不稳定；ex如如A A阵的特征值至少一个实部为阵的特征值至少一个实部为0 0， 则则 的稳定性由高阶导的稳定性由高阶导数项数项R(x)来决定。来决定。 信息与控制工程学院信息与控制工程学院试分析其平衡状态的稳定性。试分析其平衡状态的稳定性。21222111xxxxxxxx-例例 已知非线性系统状态方程已知非线性系统状态方程解：令解：令 可以可以求出平衡状态，求出平衡状态，-00212211xxxxxx系统有两个平衡点系统有两个平衡点 xe1=0, 0T; ; xe2=1, 1T120,0,xx信息与控

18、制工程学院信息与控制工程学院在在xe1=0, 0T 处将其线性化有处将其线性化有1122xxAxx其中雅可比矩阵其中雅可比矩阵A为为其特征值为：其特征值为： 1 111， 2 2-1-1，可判原非线性系统在，可判原非线性系统在xe1不稳定不稳定-10011100121200221221112121xxxxxxxxxfxfxfxfA11121122212212( ,)( ,)xf x xxx xxfx xxx x- -信息与控制工程学院信息与控制工程学院在在xe2=1, 1T处将其线性化有处将其线性化有雅可比矩阵为雅可比矩阵为-01101111121211221221112121xxxxxxxx

19、xfxfxfxfA其特征值为：其特征值为： 1 1 j， 2 2-j，实部为零，不能应用线性化方法，实部为零，不能应用线性化方法判断原非线性系统在判断原非线性系统在xe2的稳定性。的稳定性。11121122212212( ,)( ,)xf x xxx xxfx xxx x- -1122xxAxx信息与控制工程学院信息与控制工程学院4.3 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法基本思路：基本思路：从能量观点进行稳定性分析：从能量观点进行稳定性分析： 1) 如果一个系统被激励后，其储存的能量随时间的如果一个系统被激励后，其储存的能量随时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时，能量将达最小推移逐渐衰减，到达平衡

20、状态时，能量将达最小值，则这个平衡状态是值，则这个平衡状态是渐近稳定渐近稳定的；的； 2) 反之，如果系统不断地从外界吸收能量，储能越反之，如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，则这个平衡状态是来越大，则这个平衡状态是不稳定不稳定的；的； 3) 如果系统的储能既不增加，也不消耗，则这个平如果系统的储能既不增加，也不消耗，则这个平衡状态就是衡状态就是Lyapunov意义下的意义下的稳定稳定。信息与控制工程学院信息与控制工程学院 由于实际系统的复杂性和多样性，往往不能直观地由于实际系统的复杂性和多样性，往往不能直观地找到一个能量函数来描述系统的能量关系找到一个能量函数来描述系统的能量关系;

21、于是于是Lyapunov定义了一个定义了一个正定正定的的标量标量函数函数V(x)，作为，作为虚构的广义能量函数，用其一阶微分的符号虚构的广义能量函数，用其一阶微分的符号 特征来判断系统的稳定性。特征来判断系统的稳定性。( )( )dV xV xdt信息与控制工程学院信息与控制工程学院一、预备知识一、预备知识1. 标量函数的符号性质标量函数的符号性质n由由n维向量维向量x定义标量函数定义标量函数V(x),且且V(x)一阶导数存一阶导数存在，在，V(0)=0，如果，如果x 0 时时若V(x)0 则称则称V( (x) )是正定的是正定的若V(x)0 则称则称V( (x) )是负定的是负定的若V(x)

22、0则称则称V( (x) )是半正定的是半正定的若V(x)0则称则称V( (x) )是半负定的是半负定的若V(x)0 则称则称V( (x) )是不定的是不定的信息与控制工程学院信息与控制工程学院分析举例，判断下列函数是否为正定的？分析举例，判断下列函数是否为正定的？ 正定的正定的 半正定的半正定的 负定的负定的 半负定的半负定的 不定的不定的2212( )V xxx212( )()V xxx2212( )V xxx -212( )(32)V xxx -2122( )V xx xx-信息与控制工程学院信息与控制工程学院2. 二次型标量函数二次型标量函数设设 x = x1, x2, , xnT，则实

23、二次型标量函数记为：，则实二次型标量函数记为： V(x)=V(x1, x2, , xn)=xTPx jiijnnnnnnpppppppppppP,212222111211其中，其中，P称为二次型的矩阵称为二次型的矩阵(实对称矩阵实对称矩阵) 二次型函数在李雅普诺夫稳定性判断中有重要意义。二次型函数在李雅普诺夫稳定性判断中有重要意义。 信息与控制工程学院信息与控制工程学院二次型标量函数二次型标量函数 V (x1, x2, , xn)=xTPx，式中，式中 P为实对称为实对称矩阵矩阵 如果如果 x 0 , 若若xTPx 0 , 则称二次型函数则称二次型函数V(x)为为正定正定的，同的，同时称时称P

24、为正定矩阵，记为为正定矩阵，记为P0 。 如果如果 x 0 , 若若xTPx 0 ，则称二次型函数，则称二次型函数V(x)为为半正定半正定的，的，称称P为半正定矩阵，记为为半正定矩阵，记为P0 。如果如果 x 0 , 若若xTPx 0 , 则称二次型函数则称二次型函数V(x)为为负定负定的，称的，称P为为负定负定矩阵，记为矩阵，记为 P 0 (i=1,2,n)，则P为正定的。(2)若Di ，则P为负定的。0 i为偶数0 V(x)沿状态轨迹方向计算的时间导数沿状态轨迹方向计算的时间导数V(x)=dV(x)/dt信息与控制工程学院信息与控制工程学院系统稳定性可做如下判断：系统稳定性可做如下判断：n

25、 为为半负定半负定的，则平衡状态的，则平衡状态 xe为李雅普诺夫意义下为李雅普诺夫意义下稳稳定定稳定判据；稳定判据；n 为为负定负定的；或者的；或者 为为半负定半负定，但对任意初始状态，但对任意初始状态x(t0)0， 对对x0， 不恒为零，则平衡状态不恒为零，则平衡状态 xe 为李雅普诺为李雅普诺夫意义下夫意义下渐近稳定渐近稳定的的.n如果进一步还有如果进一步还有|x|时，时，V(x)，那么，那么平衡状态平衡状态xe为为大大范围渐近稳定范围渐近稳定的的渐近稳定判据；渐近稳定判据；n 为为正定正定的，则平衡状态的，则平衡状态xe为李雅普诺夫意义下为李雅普诺夫意义下不稳不稳定定不稳定判据。不稳定判

26、据。)(xV)(xV)(xV)(xV)(xV信息与控制工程学院信息与控制工程学院例例 设系统状态方程为设系统状态方程为)()(22212122221121xxxxxxxxxx-试确定该系统平衡状态的稳定性。试确定该系统平衡状态的稳定性。 解：解：由平衡状态方程得由平衡状态方程得 - - - - -0)(0)(222121222112xxxxxxxx解得唯一的平衡状态为解得唯一的平衡状态为x1=0, x2=0, 即即xe=0, 为坐标原点。为坐标原点。信息与控制工程学院信息与控制工程学院2221)(xxxV)(2)(2211xxxxxV为一负定的标量函数，平衡状态（为一负定的标量函数，平衡状态（

27、0,0）渐近稳定。）渐近稳定。并且并且 |x|，有，有V(x) ，系统的平衡状态是大，系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。范围渐近稳定的。 )(22221xx-选选取一正定的标量函数取一正定的标量函数 其一阶导数为其一阶导数为)()(22212122221121xxxxxxxxxx-信息与控制工程学院信息与控制工程学院例例 设系统状态方程为设系统状态方程为2221221)1 (xxxxxx-x1=0, x2=0为系统唯一的平衡状态，试确定该系统为系统唯一的平衡状态，试确定该系统平衡状态的稳定性。平衡状态的稳定性。 2221)(xxxV)(2)(2211xxxxxV2222)1 (2xx-解：解：

28、选选取一正定的标量函数取一正定的标量函数 0 0半负定半负定必定满足李雅普诺夫意义下稳定，是否是渐进稳定呢？必定满足李雅普诺夫意义下稳定，是否是渐进稳定呢？信息与控制工程学院信息与控制工程学院且且x，有，有V(x) 。系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。 结合和状态方程结合和状态方程 x1 0 即即原点原点，排除！排除！1101xx-矛盾！矛盾！结合和状态方程结合和状态方程 2221221)1 (xxxxxx-对于对于x0, 是否恒为是否恒为0？2222( )2(1)V xxx -( )0V x 可能性：可能性：x2 0 ， x1任意任意 可能性：可能性： x2

29、 -1-1， x1任意任意 即即对对x0, 不恒为不恒为0)(xV2221)(xxxV1110 xx -信息与控制工程学院信息与控制工程学院关于李雅普诺夫函数的说明关于李雅普诺夫函数的说明：(1)普适性。该判据适用线性和非线性、时变和时不变等各类普适性。该判据适用线性和非线性、时变和时不变等各类动态系统；动态系统；(2) Lyapunov函数函数V(x)不等同于物理意义上的能量，是一个正不等同于物理意义上的能量，是一个正定标量函数，可视为一个广义能量函数；定标量函数，可视为一个广义能量函数；(3)系统渐近稳定性的判别，归结为系统渐近稳定性的判别，归结为V(x)的选取，一般选取的选取，一般选取V(x)为状态为状态x的二次型函数，需要研究者的经验与技巧，的二次型函数，需要研究者的经验与技巧，V(x)的选的选取是非唯一的，不影响判定结论的一致性；取是非唯一的，不影响判定结论的一致性； (4)充分条件，如果找不到满足稳定性要求的李雅普诺夫函数，充分条件，如果找不到满足稳定性要求的李雅普诺夫函数，并不能做出不稳定的结论。并不能做出不稳定的结论。 信息