固体物理第二章第二节 对称性与布拉维格子的分类

1、第二节第二节 对称性和布拉维格子的分类对称性和布拉维格子的分类本节主要内容本节主要内容: :一、群的知识简介一、群的知识简介二、点群和七个晶系二、点群和七个晶系三、空间群和三、空间群和1414种布拉维格子种布拉维格子四、点群对称性和晶体的物理性质四、点群对称性和晶体的物理性质2.2 2.2 对称性和布拉维格子的分类对称性和布拉维格子的分类 布拉维格子是按其布拉维格子是按其对称性对称性(symmetry)来分类的：来分类的： 所谓所谓对称性对称性是指在一定的是指在一定的几何操作几何操作下，物下，物体体保持不变保持不变的特性。的特性。 对称性对称性在物理学中是一个非常重要的概念，在物理学中是一个非

2、常重要的概念，它可使复杂物理现象的它可使复杂物理现象的描述描述变得变得简单、明了简单、明了。因为因为对称性的本质对称性的本质是是指系统中的一些要素是等指系统中的一些要素是等价的价的。对称性越高的系统，需要独立表征的系。对称性越高的系统，需要独立表征的系统要素就越少，因而描述起来就越简单。统要素就越少，因而描述起来就越简单。 我们这里要讨论的主要是我们这里要讨论的主要是晶格晶格( (或点阵或点阵) )的的对称性对称性(symmetry of lattice). . 在在晶格晶格这个物理系统中，这个物理系统中，一种对称性一种对称性是指是指某些某些要素互相等价要素互相等价，而用来，而用来描述晶格的要

3、素描述晶格的要素，无非就，无非就是：是：点、线、面点、线、面。而保持这些要素等价的操作。而保持这些要素等价的操作-对称操作对称操作有三种：有三种：平移、旋转、镜反射平移、旋转、镜反射。假设假设在某一个操作过后，点阵保持不变，也就是每个在某一个操作过后，点阵保持不变，也就是每个格点的位置都得到重复，那么这个相应的平移、格点的位置都得到重复，那么这个相应的平移、旋转或镜反射操作就叫作一个旋转或镜反射操作就叫作一个点阵对称操作点阵对称操作。其。其中的点、线、面分别叫做中的点、线、面分别叫做对称中心对称中心、对称轴对称轴、对对称面称面-称为对称元素称为对称元素 从从数学角度数学角度来看，晶体的对称性是

4、对晶体进来看，晶体的对称性是对晶体进行行几何变换几何变换而能保持晶体性质的不变性而能保持晶体性质的不变性, ,相当于相当于一个一个正交线性变换正交线性变换。一个。一个变换变换就是一种就是一种操作操作。111213212223313233;aaaaaaxaaxyazyzzxy参考方俊鑫固物参考方俊鑫固物p32-36 ; ;或方可固物或方可固物p13-16正交矩阵正交矩阵 比如：绕比如：绕x x轴的旋转，设转角为轴的旋转，设转角为，则有：，则有：cossinsincosxxyyzzyz 1112132122233132331000cossin0sincosaaaAaaaaaa1A再比如：取中心为原

5、点，经中心反演再比如：取中心为原点，经中心反演，则有：，则有：xxyyzz 111213212223313233100010001aaaAaaaaaa1A 还有：以还有：以z=0z=0作为镜面作为镜面，则有：，则有：xxyyzz 111213212223313233100010001aaaAaaaaaa1A 由上可以看出，当变换是由上可以看出，当变换是纯转动纯转动时，时，矩阵的矩阵的行列式行列式等于等于+1+1；当是；当是空间反演空间反演或或镜面反射镜面反射时等时等于于-1-1. .前一种对应物体的实际运动，另一种不能前一种对应物体的实际运动，另一种不能靠物体的实际运动来实现。靠物体的实际运动

6、来实现。 如果一个物体在某一正交变换下不变，就称如果一个物体在某一正交变换下不变，就称这个变换为物体的一个对称操作这个变换为物体的一个对称操作。显然，一个。显然，一个物体的对称操作越多，就表明它的对称性越高。物体的对称操作越多，就表明它的对称性越高。 定量研究对称操作集合的性质要用定量研究对称操作集合的性质要用群论群论的知的知识。识。谢希德、蒋平等人编著的群论及其在物谢希德、蒋平等人编著的群论及其在物理学中的应用理学中的应用( (科学出版社出版，科学出版社出版，19861986年年8 8月月) )是一本不错的书，有兴趣的同学可以参阅）是一本不错的书，有兴趣的同学可以参阅） 群论作为数学的分支，

7、是处理有一定对称性群论作为数学的分支，是处理有一定对称性的物理体系的有力工具，可以的物理体系的有力工具，可以简化复杂的计算简化复杂的计算，也可以也可以预言物理过程的发展预言物理过程的发展趋势，还可以对体趋势，还可以对体系的许多性质作出系的许多性质作出定性的了解定性的了解。 群及其表示理论是物理系研究生的一门重要群及其表示理论是物理系研究生的一门重要基础课，对于本科生不作要求。因此，我们不基础课，对于本科生不作要求。因此，我们不打算在这里讲过多的群论的知识。只是简单介打算在这里讲过多的群论的知识。只是简单介绍一下，让大家对群的概念有一个认识。绍一下，让大家对群的概念有一个认识。一、群的知识简介一

8、、群的知识简介1. 1. 群的定义群的定义 所谓所谓群群(group)就是就是一些元素一些元素(elements)或操或操作的作的集合，集合，常用符号常用符号 G 来表示。来表示。构成群的元素要满足以下条件：构成群的元素要满足以下条件： 设设 等表示群等表示群G中所包含的元素中所包含的元素或操作或操作 123,A A A 即即：,1,2,3, iiAG iGA必须满足下列条件：必须满足下列条件： 1). 封闭性封闭性(closure property) 按照给定的按照给定的乘法乘法规则，群规则，群G G中任何两个元素中任何两个元素相乘，得到的还是该群的一个元素。相乘，得到的还是该群的一个元素。

9、,ijkA AA ij or ij2). 群中一定包含一个不变元素群中一定包含一个不变元素( (单位元素单位元素) ) E,iiiEGEAAEA3). 存在逆元素存在逆元素 111,iiiiiiAG AAAA AE 4). 满足组合定则满足组合定则 ()()ijkijkA AAAA A 在晶体的几何对称性的研究中，每一个能在晶体的几何对称性的研究中，每一个能使晶体复原的对称使晶体复原的对称操作操作，都，都满足上述群中的满足上述群中的元素的要求元素的要求，由这些元素，由这些元素( (或操作或操作) )所构成的所构成的群叫群叫对称性群对称性群(symmetry group), ,包括包括点群点群(

10、point group)和和空间群空间群(space group) 18301830年年，赫塞耳，赫塞耳( (Johann Friedrich Christian Hessel)首先导出了首先导出了3232种种点群，由点群，由3232种点群出发，种点群出发，可以对布拉维点阵进行分类，这正是可以对布拉维点阵进行分类，这正是18501850年年布布拉维所作的工作，他证明了只有拉维所作的工作，他证明了只有7 7个个晶系。晶系。( (点点群不含平移对称操作，因为平移导致任何格点群不含平移对称操作，因为平移导致任何格点都要动，而点群必须至少有一个格点不动都要动，而点群必须至少有一个格点不动) ) 熊夫利

11、熊夫利(Schoenflies1891)和费奥多罗夫和费奥多罗夫(Fedorove 1892) 为了研究复式晶格为了研究复式晶格( (几套简单几套简单格子的平移格子的平移) )的分类，考虑了的分类，考虑了平移对称操作平移对称操作，提出了空间群的概念提出了空间群的概念, ,并证明只有并证明只有230230种种独立独立的空间群。的空间群。 可由此证明只有可由此证明只有1414种三维布拉维种三维布拉维点阵点阵 此外，为了方便，人们制定了标示晶体类型此外，为了方便，人们制定了标示晶体类型的符号，一套是熊夫利制订的，称为的符号，一套是熊夫利制订的，称为熊夫利符熊夫利符号号；一套是海尔曼；一套是海尔曼(H

12、ermann)和毛衮和毛衮(Mauguin)制订的，称为制订的，称为国际符号国际符号我们这一节主要介绍这些人得到的结果我们这一节主要介绍这些人得到的结果二、点群和七个晶系二、点群和七个晶系1. 点群点群 保持空间保持空间某一点固定不动某一点固定不动的对称操作，称为的对称操作，称为点对称操作点对称操作。在点对称操作基础上构成的对称在点对称操作基础上构成的对称操作群称为操作群称为点群点群2. 点对称操作的类型和对称元素点对称操作的类型和对称元素： 对于晶体而言，对于晶体而言，对称操作对称操作就是就是对晶体进行对晶体进行几何变换而能复原的操作几何变换而能复原的操作。晶体中的。晶体中的基本的点基本的点

13、对称操作对称操作有三种有三种：相应的相应的对称元素对称元素有有: :对称轴对称轴; ;对称面对称面; ;对称中心对称中心镜面反映镜面反映 (Reflection across a plane);中心反演中心反演(inversion through a point) ;正当转动操作正当转动操作, ,即绕固定轴的转动即绕固定轴的转动 (rotation about an axis) ； 一个一个旋转对称操作旋转对称操作(rotational symmetry operation)意味着将点阵绕着某个轴旋转某个意味着将点阵绕着某个轴旋转某个角度角度 或或- - 以后，点阵保持不变。以后，点阵保持不变

14、。 由于晶体周期性的限制，转角由于晶体周期性的限制，转角 只能是只能是: :2,1,2,3,4,6nn显然显然n=1n=1, ,相当于相当于不动操作不动操作( (元素元素) )E, , n=2,3,4,6的转轴分别称为的转轴分别称为二度、三度二度、三度、四度、四度、六度转轴六度转轴证明见证明见p28 p28 为了保持在旋转对称操作后点阵不变，在为了保持在旋转对称操作后点阵不变，在二二维晶格维晶格中，中，旋转轴一定要通过某一个格点而且旋转轴一定要通过某一个格点而且垂直平面垂直平面；在；在三维晶格三维晶格中，中，旋转轴一定要通过旋转轴一定要通过某一个格点而且平行于某一个晶向。某一个格点而且平行于某

15、一个晶向。 即：晶体中允许的转动对称轴只能是即：晶体中允许的转动对称轴只能是1 1，2 2，3 3，4 4和和6 6重轴重轴称为称为晶体的对称性定律晶体的对称性定律 晶体的对称性定律的证明晶体的对称性定律的证明 如果如果绕绕A A转转 角角, ,晶格保持不变晶格保持不变( (对称操作对称操作).).则则该操作将使该操作将使B B 格点转到格点转到 位置位置, ,则由于转动对称则由于转动对称操作不改变格子操作不改变格子, ,在在 处必定原来就有一个格点。处必定原来就有一个格点。BB因为因为B 和和A 完全等价完全等价, ,所有旋转同样可以绕所有旋转同样可以绕B 进行进行. .如图如图, ,A为格

16、点为格点, ,B为离为离A最近最近的格点之一的格点之一, ,则与则与 平行的平行的格点之间的距离一定是格点之间的距离一定是 的的整数倍整数倍。 AB AB 由此可设想绕由此可设想绕B B 转转 角，这将使角，这将使A 格点转到格点转到 的的位置。同样位置。同样 处原来也必定有一个格点处原来也必定有一个格点AAABAB aaa亦即亦即：2 cos()aama1 2cosm 1cos1 而且而且, ,m必须为整数必须为整数, ,所以所以, ,m只能取只能取 -1,0,1,2,3由于由于 组成等腰梯形组成等腰梯形, ,ABA B ,A BmABma m为整数为整数ABAB aaa因此因此与与m=-1

17、,0,1,2,3相应的转角为相应的转角为: :22222 ,1,6,4,3,26432n 通常把晶体中通常把晶体中轴次最高的转动轴轴次最高的转动轴称作称作主对称主对称轴轴，简称，简称主轴主轴 ( (但是立方晶系则以但是立方晶系则以3 3次轴为主轴次轴为主轴),),其它为其它为副轴副轴. .一个一个镜面反映镜面反映对称操作对称操作(symmetry operation of mirror image)意味着将点阵对应于某一个面进行意味着将点阵对应于某一个面进行反射反射, ,点阵保持不变点阵保持不变. .这表明一系列格点对应于这这表明一系列格点对应于这个反射面的位置是等价的个反射面的位置是等价的,

18、 ,点阵具有镜反射对称点阵具有镜反射对称性性. .如以如以xyxy面为反射面面为反射面, ,则则(x,y,z)(x,y,-z)中心反演中心反演, ,如如对原点的反演对原点的反演, ,(x,y,z) (-x,-y,-z) 以上为以上为3 3种基本对称操作。然而，在某些晶体中种基本对称操作。然而，在某些晶体中还存在着等价于还存在着等价于相继进行两个基本对称操作相继进行两个基本对称操作( (乘乘法法则法法则) )而得到的独立对称操作，称为而得到的独立对称操作，称为组合操作组合操作组合操作组合操作: :也叫也叫旋转旋转- -反映反映或或象转象转操作操作 旋转旋转+ +垂直于转轴垂直于转轴的平面镜像反映

19、的平面镜像反映非正当转动非正当转动 (improper rotation)旋转旋转- -反演反演( (倒反倒反) )旋转旋转+ +中心反演中心反演 总之，上述总之，上述对称操作对称操作满足数学上构成群的满足数学上构成群的条件，一个晶体的所有条件，一个晶体的所有点对称操作点对称操作集合形成该集合形成该晶体点群晶体点群。理论和实验证明，所有晶体结构的。理论和实验证明，所有晶体结构的宏观对称性，可概括为宏观对称性，可概括为3232个晶体点群个晶体点群。 对于点对称操作的类型对于点对称操作的类型, ,固体物理固体物理中惯用中惯用熊夫利符熊夫利符号号(Schoenflies notation)标记标记;

20、 ;晶体学家惯用晶体学家惯用国际符号国际符号(Schoenflies notation)标记标记. .在晶体结构分析中在晶体结构分析中, ,常用后者常用后者. P28-29P28-29表表2.12.1给出了给出了3232个晶体学点群，为了便个晶体学点群，为了便于大家看懂，下面给出符号的说明于大家看懂，下面给出符号的说明12346,nCC C C C C表示表示n n次旋转轴次旋转轴 n=1,2,3,4,612346,nSS S S S S表示表示n n次旋转次旋转- -反反演轴演轴 n=1,2,3,4,62346,nDD D D D表示表示n个垂直于主轴的个垂直于主轴的2次旋转轴次旋转轴n=2

21、,3,4,61iCSi表示中心反演表示中心反演T四个四个3次轴、三个次轴、三个2次轴，按四面体型分布次轴，按四面体型分布熊夫利符号熊夫利符号2sCS表示镜面反映表示镜面反映O四个四个3次轴、三个次轴、三个4次轴，按八面体型分布次轴，按八面体型分布为了表明为了表明对称面相对于旋转轴对称面相对于旋转轴的位置，还有如下的位置，还有如下附加指标：附加指标：下角标下角标h(水平水平)表示垂直于旋转轴表示垂直于旋转轴下角标下角标v(铅直铅直)表示平行于旋转轴表示平行于旋转轴下角标下角标d(对角对角)表示平行于主轴且平分表示平行于主轴且平分2次轴之间的夹角次轴之间的夹角 国际符号国际符号熊夫利符号熊夫利符号

22、 国际符号以国际符号以不超过三个不超过三个几何上的几何上的从优方向从优方向来描述晶体的对称类型，这些方向或来描述晶体的对称类型，这些方向或平行于对平行于对称轴或垂直于对称面称轴或垂直于对称面国际符号国际符号n1,2,3,4,6 n次旋转轴次旋转轴nC1, 2, 3, 4,6n nS旋转旋转-反演轴反演轴 (2)m 镜面反映镜面反映 2sCS1iCSi表示中心反演表示中心反演Inm垂直于镜面的垂直于镜面的n次旋转轴次旋转轴 nm平行于镜面的平行于镜面的n次旋转轴次旋转轴 2n垂直于一个或多个垂直于一个或多个2次轴次轴 的的n次主轴次主轴 2n垂直于一个或多个垂直于一个或多个2次轴次轴 的旋转反演

23、轴的旋转反演轴 nm平行于镜面的平行于镜面的n次旋转反演轴次旋转反演轴 如旋转如旋转-反演对称轴并反演对称轴并不都是独立的基本独立的基本对称素对称素。如：。如：12i1123456i 3312m21 注意，以上许多的操作并不都是独立的注意，以上许多的操作并不都是独立的/nmn mmm或垂直于一个镜面但平行于其它反映面的垂直于一个镜面但平行于其它反映面的n次次旋转轴旋转轴 ABDCEFGH正四面体既无四正四面体既无四度轴也无对称心度轴也无对称心6=3+m12345661 2 3 4 5 CADGFHEB参考方俊鑫书参考方俊鑫书P37-39P37-39旋转反演对称操作中只有旋转反演对称操作中只有4

24、 4度度旋转反演旋转反演对称操作是独立的对称操作是独立的 独立的对称操作有独立的对称操作有8 8种种, ,即即1，2，3，4，6，i，m， 。 或或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。 4123443 1 4 2 所有点对称操作都可由这所有点对称操作都可由这8 8种操作或它们种操作或它们的组合来完成。的组合来完成。一个晶体的全部对称操作构成一个晶体的全部对称操作构成一个群一个群，每个操作都是群的一个元素。，每个操作都是群的一个元素。对称性对称性不同的晶体属于不同的群不同的晶体属于不同的群。由旋转、中心反演、。由旋转、中心反演、镜象和旋转镜象和旋转-反演反演点对称操作点对称操作构成

25、构成3232个个点群。点群。3.3.七个晶系七个晶系 在不考虑平移对称操作的基础上，在不考虑平移对称操作的基础上，3232个点群个点群属于属于7 7个晶系。个晶系。 7 7个晶系的划分，可以说是个晶系的划分，可以说是从简单格子出发来考虑的，简从简单格子出发来考虑的，简单格子含有一个格点。单格子含有一个格点。考虑到格矢考虑到格矢112233nRn an an a 所以，晶体的三维周期性结构由所以，晶体的三维周期性结构由 三个矢量的三个矢量的方向方向和和长度长度来决定，存在来决定，存在7 7类不同类不同的组合的组合，即，即7 7个晶系个晶系。123,a a a 7 7个晶系为：个晶系为：三斜三斜晶

26、系、晶系、单斜单斜晶系、晶系、正交正交晶系、晶系、三角三角晶系、晶系、四方四方晶系、晶系、六角六角晶系、晶系、立方立方晶系。晶系。( (按对称性来排序按对称性来排序) )1( )a a 3( )a c 2( )a b7.7.立方晶系立方晶系：090abc5.5.三角晶系：三角晶系：0090120abc6.6.六角晶系六角晶系：0090120abc3.3.正交晶系正交晶系：090abc4.4.四方晶系四方晶系090abc 090abc2.2.单斜晶系单斜晶系：1.1.三斜晶系三斜晶系： abc7 7个晶系个晶系( (由由简单格子简单格子确定确定, ,用符号用符号P P表示表示) )1( )a a

27、 3( )a c 2( )a b三、空间群和三、空间群和1414种布拉维格子种布拉维格子7 7个晶系个晶系(crystal system)相应的点群相应的点群122436,hhhdhhS CDDDDO其它点群为这其它点群为这7 7个点群的子群个点群的子群( (见见P28P28表表2.12.1) ) 如果进一步考虑晶体的如果进一步考虑晶体的微观对称性微观对称性, ,对称对称操作中还应包含操作中还应包含: :平移、螺旋旋转平移、螺旋旋转和和滑移反映滑移反映. . 对称性在对称性在宏观上宏观上表现为晶体外形的对称及表现为晶体外形的对称及物理性质在不同方向上的对称性物理性质在不同方向上的对称性. .所

28、以又称所以又称宏宏观对称性观对称性, ,其其对称操作对称操作前面已经讲述前面已经讲述. .1.1.平移对称操作和空间群平移对称操作和空间群(1)(1)平移和平移轴：平移和平移轴：图形中各点按一矢量进行移动的操作称为平移；进行图形中各点按一矢量进行移动的操作称为平移；进行平移所凭借的直线称为平移轴。显然，此时图形应是无限的平移所凭借的直线称为平移轴。显然，此时图形应是无限的-点阵。点阵。 （2）螺旋旋转与螺旋旋转与n度螺旋轴度螺旋轴: :若绕轴若绕轴旋转旋转2 /n角角以后以后, ,再再沿轴方向平移沿轴方向平移l(T/n),晶体能自身晶体能自身重合重合, ,则称此轴为则称此轴为n n度螺旋轴度螺

29、旋轴. .其中其中T是轴方向的是轴方向的周期周期, ,l是小于是小于n n的整数的整数. .n只能取只能取1、2、3、4、6。 （2 2）滑移反映和滑移）滑移反映和滑移面：面：若经过某面进行若经过某面进行镜象镜象操作操作后后, ,再沿平行于该面再沿平行于该面的某个方向平移的某个方向平移T/n后后, ,晶晶体能自身重合体能自身重合, ,则称此面则称此面为滑移反映面为滑移反映面. . T是平行是平行方向的周期方向的周期, , n可取可取2 2或或4.4.4度螺旋轴度螺旋轴MM滑移反映面滑移反映面 点对称操作点对称操作加上加上平移操作平移操作构成构成空间群空间群。全部。全部晶体构成晶体构成23023

30、0种种空间群，即有空间群，即有230230种对称类型。种对称类型。2. 142. 14种布拉维格子种布拉维格子 根据不同的点对称性，将晶体分为根据不同的点对称性，将晶体分为7 7大晶大晶系，对应系，对应7 7个简单格子；进一步考虑平移对称个简单格子；进一步考虑平移对称操作后，还有操作后，还有7 7种复式格子，所以共有种复式格子，所以共有1414种布种布拉维晶格拉维晶格。abc 7 7大晶系的特征及大晶系的特征及1414种布拉维种布拉维晶格如下所述：晶格如下所述：1.1.三斜晶系：三斜晶系： , cba 090cba2.2.单斜晶系：单斜晶系：3.3.三角晶系：三角晶系：0012090 cba简

31、单三斜简单三斜( (1) )简单单斜简单单斜( (2) ) 底心单斜底心单斜( (3) )三角三角( (4) )4.4.正交晶系：正交晶系：090 cba简单正交简单正交( (5) )，底心正交，底心正交( (6) )体心正交体心正交( (7) )，面心正交，面心正交( (8) )5.5.四角系：四角系：( (正方晶系正方晶系) )090 cba简单四角简单四角( (9) )，体心四角，体心四角( (10) )6.6.六角晶系：六角晶系：0012090 cba六角六角( (11) )7.7.立方晶系：立方晶系：090 cba简立方简立方( (12) )，体心立方，体心立方( (13) )，面心

32、立方面心立方( (14) )简单三斜简单三斜( (1) ) 090, cba简单单斜简单单斜( (2) )底心单斜底心单斜(3)1 1）. .三斜晶系：三斜晶系： 2 2）. .单斜晶系：单斜晶系： ,cba3 3）. .三角晶系：三角晶系：三角三角( (4) )0012090 cba4 4）. .正交晶系：正交晶系：090 ,cba简单正交简单正交( (5) )底心正交底心正交( (6) )体心正交体心正交( (7) )面心正交面心正交( (8) )5 5）. .四方晶系四方晶系090 cba体心四方体心四方( (10) )简单四方简单四方( (9) )6 6）. .六角晶系：六角晶系：00

33、12090 cba六角六角( (11) )7 7）. .立方晶系：立方晶系：090 cba简立方简立方( (12) )体心立方体心立方( (13) )面心立方面心立方( (14) ) 从表面上来看，上述布拉维格子似乎还可以从表面上来看，上述布拉维格子似乎还可以增加一些体心、面心或底心格子。但实际上，这增加一些体心、面心或底心格子。但实际上，这样做所得的样做所得的格子仍是格子仍是1414种之一种之一，或者不是布拉维，或者不是布拉维格子。格子。 如四方晶系如四方晶系只有简单四角和只有简单四角和体心四角；如果体心四角；如果增加一个面心四增加一个面心四角，结果仍是体角，结果仍是体心四角。心四角。a立方

34、立方aaaaa三方三方三斜三斜abc正交正交abcabc单斜单斜aaac六方六方aac四方四方 将相同的将相同的原子、离子或者原子集团原子、离子或者原子集团置于各个置于各个等价等价格点格点上上, ,就得到就得到晶体结构晶体结构. .每种晶体结构都是基于每种晶体结构都是基于1414种种布拉维格子布拉维格子中的一个平移系统而形成的中的一个平移系统而形成的. .总之总之, ,布拉维布拉维格子按照点群来分有格子按照点群来分有7 7类类, ,按空间群来分按空间群来分, ,有有1414类；晶体类；晶体按照点群来分有按照点群来分有3232类类, ,按空间群来分按空间群来分, ,有有230230类类. . 空

35、间格子空间格子与与晶体结构晶体结构这两个概念含义并这两个概念含义并不相同，不相同，“格子格子”纯属几何概念纯属几何概念，是晶体结，是晶体结构的数学抽象；而构的数学抽象；而“晶体结构晶体结构”则则具有物理具有物理意义意义。3. 3. 230230种空间群国际符号说明种空间群国际符号说明： 空间群国际符号的空间群国际符号的第一个字母表示布拉维格第一个字母表示布拉维格子的类型子的类型，即：，即：P简单格子；简单格子；I体心格子；体心格子；F面心格子；面心格子；C底心底心(a1和和a2形成的底面形成的底面);B底心底心(a2和和a3形成的底面形成的底面); A底心底心(a1和和a3形成的底面形成的底面

36、);R三角格子三角格子其余符号与其余符号与点群相同点群相同。仔细阅读仔细阅读P29-30，加深对加深对符号的含义的理解。如：符号的含义的理解。如：4/m;m3m等。等。空间群国际符号空间群国际符号四、点群对称性和晶体的物理性质四、点群对称性和晶体的物理性质 对于一个具体的物理体系，若知道它的几对于一个具体的物理体系，若知道它的几何对称性，就可以确定它的某种物理性质。何对称性，就可以确定它的某种物理性质。 表征晶体对称性和其物理性质对称性之间表征晶体对称性和其物理性质对称性之间关系的是所谓的关系的是所谓的Neumann原理原理，即：，即： 晶体的任一宏观物理性质一定具有它所属点晶体的任一宏观物理

37、性质一定具有它所属点群的一切对称性群的一切对称性. 比如：比如：1.1.一个体系具有一个体系具有镜像反映镜像反映对称性对称性, ,则该对称操作则该对称操作变矢量变矢量左旋左旋为为右旋右旋, ,因而该对称体系因而该对称体系无旋光性无旋光性. .2.2.一个体系具有一个体系具有轴轴对称性对称性, ,则偶极矢量则偶极矢量应在轴上应在轴上, ,因而因而如有两个以上非重合对称轴如有两个以上非重合对称轴, ,则体系则体系无偶极无偶极矩矩; ;3. . 19551955年年-1956-1956年年, ,别洛夫和陶格尔全面导出别洛夫和陶格尔全面导出了了磁对称群磁对称群(magnetic symmetry gr

38、oup), ,磁对称磁对称群含有一个新的对称性：群含有一个新的对称性：时间反演对称时间反演对称( (t t-t)-t). .显然，若一个系统具有显然，若一个系统具有时间反演时间反演对称对称( (t t-t),-t),那么其中的电流和磁矩一定那么其中的电流和磁矩一定为零为零. .而而时间反演对时间反演对称的称的破缺破缺, ,则意味着则意味着电流和磁矩电流和磁矩不为零不为零2.3 2.3 几种常见的晶体结构几种常见的晶体结构 大部分内容我们前面已经讲过了，这一节大部分内容我们前面已经讲过了，这一节自己课下进一步学习，这里仅仅补充说明一下自己课下进一步学习，这里仅仅补充说明一下HCPHCP结构的一种技术上常用的晶面标记方法结构的一种技术上常用的晶面标记方法 若若有对称面有对称面, ,偶极矩应偶极矩应在对称面在对称面上上; ;若有两若有两个对称面个对称面, ,偶极矩应在两对称面的交线上偶极矩应在两对称面的交线上. .H