第4章交通流理论

1、12022-4-291第四章第四章 交通流理论交通流理论第一节第一节 概述概述22022-4-292 作为交通工程学理论基础的交通流理论是运用作为交通工程学理论基础的交通流理论是运用物理和数学的方法来描述交通特性的一门边缘科物理和数学的方法来描述交通特性的一门边缘科学，它用分析的方法阐述交通现象及其机理，使学，它用分析的方法阐述交通现象及其机理，使我们能更好地理解交通现象及其本质，并使城市我们能更好地理解交通现象及其本质，并使城市道路与公路的规划设计和营运管理发挥最大的功道路与公路的规划设计和营运管理发挥最大的功效。效。 概述概述32022-4-293概述概述l交通流理论是发展中的科学，有很多

2、理论在探讨交通流理论是发展中的科学，有很多理论在探讨各种交通现象：各种交通现象：交通流量、速度和密度的相互关系及量测方法；交通流量、速度和密度的相互关系及量测方法；交通流的统计分布特性；交通流的统计分布特性；排队论的应用；排队论的应用；跟驰理论；跟驰理论；交通流的流体力学模拟理论；交通流的流体力学模拟理论；交通波理论。交通波理论。42022-4-294 第二节第二节 交通流的统计分布特性交通流的统计分布特性 52022-4-295一、离散型分布一、离散型分布 泊松分布泊松分布l适用条件：车流密度不大，其他外界干扰因素基适用条件：车流密度不大，其他外界干扰因素基本上不存在，即车流是随机的本上不存

3、在，即车流是随机的 。l基本公式基本公式:式中：式中： P(k) 在计数间隔在计数间隔t 内到达内到达 k 辆车的概率辆车的概率; 平均到车率平均到车率(辆辆/s) ； t 每个计数间隔持续的时间每个计数间隔持续的时间(s) 。 tkkektP !)()(62022-4-296一、离散型分布一、离散型分布令令m=tt, ,则：则：l递推公式：递推公式：l分布的均值分布的均值M和方差和方差D都等于都等于mmkkekmP!)()()()(kkmPkmPeP11072022-4-297一、离散型分布一、离散型分布l应用举例应用举例例例1：设：设60辆车随机分布在辆车随机分布在10km长的道路上，其中

4、长的道路上，其中任意任意1km路段上，试求：路段上，试求： 无车的概率；无车的概率； 小于小于5辆车的概率；辆车的概率； 不多于不多于5辆车的概率；辆车的概率； 6辆及其以上的概率；辆及其以上的概率； 至少为至少为3辆但不多于辆但不多于6辆的概率；辆的概率； 恰好为恰好为5辆车的概率。辆车的概率。82022-4-298一、离散型分布一、离散型分布 解：这里解：这里t 理解为车辆数的空间间隔，理解为车辆数的空间间隔，为车辆平为车辆平均分布率，均分布率，m 为计数空间间隔内的平均车辆数。为计数空间间隔内的平均车辆数。 由由=60/10 t=1 ，因此，因此m =t=6（辆）（辆） 这里这里m即为计

5、数空间间隔内的平均车辆数。即为计数空间间隔内的平均车辆数。 1606061606051338040892030446020149010025066453423120160.)()()()()()()()()()()()()(PmPPmPPmPPmPPmPPmPeePm92022-4-299一、离散型分布一、离散型分布 无车的概率为：无车的概率为： 小于小于5辆车的概率为：辆车的概率为： 不多于不多于5辆车的概率为：辆车的概率为： 6辆及其以上的概率为：辆及其以上的概率为： 至少为至少为3辆但不多于辆但不多于6辆的概率为：辆的概率为： 恰好为恰好为5辆车的概率为：辆车的概率为：002500.)(

6、P285005.)(kP445605.)(kP55440156.)()(kkPP5442063.)(kP160605.)(P102022-4-2910一、离散型分布一、离散型分布例例2：已知某信号灯周期为：已知某信号灯周期为60s，某一个入口的车流，某一个入口的车流量为量为240辆辆/h，车辆到达符合泊松分布，求：，车辆到达符合泊松分布，求：在在1s、2s、3s内无车的概率；内无车的概率；求有求有95%的置信度的每个周期来车数。的置信度的每个周期来车数。解：解：1）1s、 2s、3s内无车的概率内无车的概率 =240/3600（辆（辆/s ），当），当t=1s时，时， m= t=0.067 当

7、当t=2s时，时， m= t =0.133， 当当t=2s时，时， m= t =0. 3，9355006700.)(eP8190875030013300.)(.)(ePeP112022-4-2911一、离散型分布一、离散型分布 2）有）有95%置信度的每个周期来车数的含义为：来置信度的每个周期来车数的含义为：来车数小于或等于车数小于或等于k辆的概率辆的概率95%时的时的k值，即：值，即： ，求这时的，求这时的k 即即=240/3600（辆（辆/s ），当），当t=60s时，时，m=t=4 来车的分布为：来车的分布为： 求：求： 的的k值。值。950.)(kP44ekekmPkmkk!)(950

8、.)(kP122022-4-2912一、离散型分布一、离散型分布 设计上具有设计上具有95%置信度的来车数不多于置信度的来车数不多于8辆。辆。kP(k)P(k)kP(k)P(k)00.01830.018350.15630.785210.07330.091660.10420.889420.14650.238170.05950.948930.19540.433580.02980.978740.19540.62899508.)(kP132022-4-2913一、离散型分布一、离散型分布二项分布二项分布l适用条件：车辆比较拥挤、自由行驶机会不多的适用条件：车辆比较拥挤、自由行驶机会不多的车流。交通流具

9、有较小的方差时，来车符合二项车流。交通流具有较小的方差时，来车符合二项分布。分布。l基本公式：基本公式： 式中：式中： P（k）在计数间隔在计数间隔t 内到达内到达k 辆车的概率辆车的概率; 平均到车率（辆平均到车率（辆/s）；）； t 每个计数间隔持续的时间（每个计数间隔持续的时间（s）；）； n正整数正整数 ； p二项分布参数，二项分布参数， 。knkknkppCP)()(1ntp/ 142022-4-2914一、离散型分布一、离散型分布l递推公式：递推公式： l均值均值M和方差和方差D分别为分别为: M=np D=np(1-p)()()()(kknPppkknPPP11110152022

10、-4-2915一、离散型分布一、离散型分布例例3：在一交叉口，设置左转弯信号相，经研究来：在一交叉口，设置左转弯信号相，经研究来车符合二项分布，每一周期平均来车车符合二项分布，每一周期平均来车30辆，其中辆，其中有有30%的左转弯车辆，试求：的左转弯车辆，试求：到达的到达的5辆车中，有辆车中，有2辆左转弯的概率；辆左转弯的概率；到达的到达的5辆车中，少于辆车中，少于2辆左转弯的概率；辆左转弯的概率；某一信号周期内没有左转弯车辆的概率。某一信号周期内没有左转弯车辆的概率。解：解：1）由：）由： p =30%，n=5，k=23090301301252252.).(.)()()(CPppCPknkk

11、nk由由：162022-4-2916一、离散型分布一、离散型分布 2）由：）由： p =30%，n=5，k=23）由：）由： p =30%，n=30，k=0528036030130168030130110215151050050.).(.).(.)()()()()()()(PPPCPCPppCPkknkknk根根据据：00002303013013000300.).(.)()()(CPppCPknkknk根据：根据：172022-4-2917二、连续性分布二、连续性分布负指数分布负指数分布l适用条件适用条件:用于描述有充分超车机会的单列车流和用于描述有充分超车机会的单列车流和密度不大的多列车流的

12、车头时距分布。密度不大的多列车流的车头时距分布。l负指数分布常与泊松分布相对应，当来车符合泊负指数分布常与泊松分布相对应，当来车符合泊松分布时，车头时距则符合负指数分布。松分布时，车头时距则符合负指数分布。 由公式：由公式： 可知，当车辆平均到达率为可知，当车辆平均到达率为时时，P(0)为计数间隔为计数间隔t 内无车到达的概率。内无车到达的概率。 可见，在具体的时间间隔可见，在具体的时间间隔 t 内，如无车辆到达，内，如无车辆到达，则在上一次车和下一次车到达之间车头时距则在上一次车和下一次车到达之间车头时距h至至少有少有t，即，即ht。teP )(0182022-4-2918二、连续性分布二、

13、连续性分布 或者说：或者说： P(0)也就是车头时距也就是车头时距h大于或等于大于或等于t 的概的概率。对于任意的率。对于任意的t ，如果在，如果在t 内没有车辆到达，上内没有车辆到达，上一次车和下一次车到达之间车头时距必然大于或一次车和下一次车到达之间车头时距必然大于或等于等于t ，即：，即： 式中：式中：车辆平均到达率（辆车辆平均到达率（辆/s） P(ht)车头时距大于或等于车头时距大于或等于t (s)的概率的概率 车头时距小于车头时距小于t (s)的概率，可有下式求得：的概率，可有下式求得：tththtePPeP )()()(0ttheP 1)(192022-4-2919二、连续性分布二

14、、连续性分布例例4：对于单向平均流量为：对于单向平均流量为360辆辆/h的车流，求车头的车流，求车头时距大于或等于时距大于或等于10s的概率。的概率。解：车头时距大于或等于解：车头时距大于或等于10s的概率也就是的概率也就是10s以内以内无车的概率。无车的概率。 由由=360/3600=0.1 同样，车头时距小于同样，车头时距小于10s的概率为：的概率为：370101010.)()(ePePhtth 6301.)(ttheP 202022-4-2920二、连续性分布二、连续性分布 由上例可见，设车流的单向流量为由上例可见，设车流的单向流量为Q（辆（辆/h），），则则=Q/3600，于是负指数公

15、式可改写成：，于是负指数公式可改写成：l负指数分布的均值负指数分布的均值M和方差和方差D分别为：分别为：3600QttheP)(211 DM212022-4-2921二、连续性分布二、连续性分布l车头时距服从负指数分布的车流特性车头时距服从负指数分布的车流特性 见图，曲线见图，曲线是单调下降的，说明车头时距愈短，出现的概率是单调下降的，说明车头时距愈短，出现的概率愈大。这种情形在不愈大。这种情形在不 能超车的单列车流中能超车的单列车流中 是不可能出现的，因是不可能出现的，因 为车辆的车头与车头为车辆的车头与车头 之间至少存在一个车之间至少存在一个车 长，所以车头时距必长，所以车头时距必 有一个

16、大于零的最小有一个大于零的最小 值值。222022-4-2922二、连续性分布二、连续性分布移位负指数分布移位负指数分布l适用条件：用于描述不能超车的单列车流的车头适用条件：用于描述不能超车的单列车流的车头时距分布和车流量低的车流的车头时距分布。时距分布和车流量低的车流的车头时距分布。l移位负指数分布公式移位负指数分布公式:l分布的均值分布的均值M和方差和方差D分别为：分别为：)()()()()()( tePtePtthtth1211 DM232022-4-2923二、连续性分布二、连续性分布l移位负指数分布的局限性：移位负指数分布的局限性： 服从移位负指数分布的车头时距愈接近服从移位负指数分

17、布的车头时距愈接近出现的出现的可能性愈大。这在一般情况下是不符合驾驶员的可能性愈大。这在一般情况下是不符合驾驶员的心理习惯和行车特点的。心理习惯和行车特点的。 车头时距分布的概率密度曲线一般总是先升后车头时距分布的概率密度曲线一般总是先升后降。降。242022-4-2924二、连续性分布二、连续性分布例例5 ：在一条有隔离带的双向四车道道路上，单向：在一条有隔离带的双向四车道道路上，单向流量为流量为360辆辆/h，该方向路宽，该方向路宽7.5m，设行人步行速，设行人步行速度为度为1m/s，求，求1h中提供给行人安全横过单向车道中提供给行人安全横过单向车道的次数，如果单向流量增加到的次数，如果单

18、向流量增加到900辆辆/h， 1h中提中提供给行人安全横过单向车道的次数是增加还是减供给行人安全横过单向车道的次数是增加还是减少少 。7.5mQ=360辆辆/h252022-4-2925二、连续性分布二、连续性分布解：行人横过单向行车道所需要的时间：解：行人横过单向行车道所需要的时间： t =7.5/1=7.5s 因此，只有当因此，只有当h7.5s时，行人才能安全穿越，由时，行人才能安全穿越，由于双车道道路可以充分超车，车头时距符合负指于双车道道路可以充分超车，车头时距符合负指数分布，对于任意前后两辆车而言，车头时距大数分布，对于任意前后两辆车而言，车头时距大于于7.5s的概率为：的概率为：

19、对于对于 Q=360辆辆/h的车流，的车流，1h车头时距次数为车头时距次数为360，其中其中h7.5s的车头时距为可以安全横穿的次数：的车头时距为可以安全横穿的次数：47240360057360360057.).(eePQth（次次.262022-4-2926二、连续性分布二、连续性分布 当当Q = 900辆辆/h时，车头时距大于时，车头时距大于7.5s的概率为：的概率为： 1h内车头时距次数为内车头时距次数为900，其中，其中h7.5s的车头时的车头时距为可以安全横穿的次数：距为可以安全横穿的次数：15340360057900360057.).(eePQth（次次）

20.272022-4-2927第三节第三节 排队论的应用排队论的应用 282022-4-2928一、引言一、引言l排队论是研究排队论是研究“服务服务”系统因系统因“需求需求”拥挤而产拥挤而产生等待行列（即排队）的现象，以及合理协调生等待行列（即排队）的现象，以及合理协调“需求需求”与与“服务服务”关系的一种数学理论，是运筹关系的一种数学理论，是运筹学中以概率论为基础的一门重要分支，亦称随机学中以概率论为基础的一门重要分支，亦称随机服务系统理论。服务系统理论。l排队论是排队论是20世纪初由丹麦电信工程师欧兰最先提世纪初由丹麦电信工程师欧兰最先提出，在二战期间排队论在战时后勤

21、保障、军事运出，在二战期间排队论在战时后勤保障、军事运输等方面得到了广泛应用，发展成为军事运筹学输等方面得到了广泛应用，发展成为军事运筹学的一个重要分支。的一个重要分支。l在交通工程中，排队论被用来研究车辆延迟、信在交通工程中，排队论被用来研究车辆延迟、信号配时、收费站、加油站等设施的设计与管理。号配时、收费站、加油站等设施的设计与管理。292022-4-2929二、排队论的基本概念二、排队论的基本概念l“排队排队”与与“排队系统排队系统” 当一队车辆通过收费站，等待服务（收费）的当一队车辆通过收费站，等待服务（收费）的车辆和正在被服务（收费）的车辆与收费站构成车辆和正在被服务（收费）的车辆与

22、收费站构成一个一个“排队系统排队系统”。 等候的车辆自行排列成一个等待服务的队列，等候的车辆自行排列成一个等待服务的队列，这个队列则称为这个队列则称为“排队排队”。 “排队车辆排队车辆”或或“排队（等待）时间排队（等待）时间”都是指都是指排队的本身。排队的本身。 “排队系统中的车辆排队系统中的车辆”或或“排队系统消耗时间排队系统消耗时间”则是在指排队系统中正在接受服务（收费）和则是在指排队系统中正在接受服务（收费）和排队的统称。排队的统称。302022-4-2930二、排队论的基本概念二、排队论的基本概念l排队系统的三个组成部分排队系统的三个组成部分:输入过程：是指各种类型的输入过程：是指各种

23、类型的“顾客顾客(车辆或行人车辆或行人)”按怎样的规律到达。输入方式包括：按怎样的规律到达。输入方式包括： 泊松输入、定长输入、爱尔朗输入泊松输入、定长输入、爱尔朗输入排队规则：是指到达的顾客按怎样的次序接受服排队规则：是指到达的顾客按怎样的次序接受服务。排队规则包括：务。排队规则包括： 等待制、损失制、混合制等待制、损失制、混合制服务方式：服务方式： 指同一时刻多少服务台可接纳顾客，指同一时刻多少服务台可接纳顾客，每一顾客服务了多少时间。服务时间分布包括：每一顾客服务了多少时间。服务时间分布包括： 定长分布、负指数分布、爱尔朗分布定长分布、负指数分布、爱尔朗分布312022-4-2931二、

24、排队论的基本概念二、排队论的基本概念l排队系统的主要数量指标：排队系统的主要数量指标：等待时间等待时间 ：即从顾客到达时起到他开始接受服务：即从顾客到达时起到他开始接受服务时止这段时间。时止这段时间。忙期：即服务台连续繁忙的时期，这关系到服务忙期：即服务台连续繁忙的时期，这关系到服务台的工作强度。台的工作强度。队长（队长（chng）：有排队顾客数与排队系统中顾）：有排队顾客数与排队系统中顾客之分，这是排队系统提供服务水平的一种衡量客之分，这是排队系统提供服务水平的一种衡量指标。指标。322022-4-2932三、三、M/M/1排队系统排队系统（单通道服务系统）（单通道服务系统）lM/M/1系统

25、（单通道服务系统）的基本概念：由系统（单通道服务系统）的基本概念：由于排队等待接受服务的通道只有单独的一条，因于排队等待接受服务的通道只有单独的一条，因此也叫做此也叫做“单通道服务单通道服务”系统。系统。服务服务（收费站）（收费站）输出输出输入输入M/M/1系统系统332022-4-2933三、三、M/M/1排队系统排队系统（单通道服务系统）（单通道服务系统）主要参数：主要参数：设平均到达率为设平均到达率为，则两次到达的平均间隔时间（，则两次到达的平均间隔时间（时距）为时距）为1/；设排队从单通道接受服务后出来的；设排队从单通道接受服务后出来的系统平均服务率（输出率）为系统平均服务率（输出率）

26、为， 则平均服务时则平均服务时间为间为1/ ；比率：比率： 称为交通强度或利用系数，由比率称为交通强度或利用系数，由比率即可确定各即可确定各种状态的性质。种状态的性质。 342022-4-2934三、三、M/M/1排队系统排队系统（单通道服务系统）（单通道服务系统）当比率当比率1（即（即），且时间充分，每个状态都），且时间充分，每个状态都会以非会以非0的概率反复出现；当比率的概率反复出现；当比率1（即（即），任何状态都是不稳定的，且排队会越来越长），任何状态都是不稳定的，且排队会越来越长。要保持稳定状态，确保单通道排队消散的条件。要保持稳定状态，确保单通道排队消散的条件是是1（即（即）。）。

27、例如：某高速公路进口收费站平均每例如：某高速公路进口收费站平均每10s有一辆有一辆车到达，收费站发放通行卡的时间平均需要车到达，收费站发放通行卡的时间平均需要8s，即即: 1/=10s； 1/=10s 如果时间充分，这个收费站不会出现大量阻塞。如果时间充分，这个收费站不会出现大量阻塞。8081101./ 352022-4-2935三、三、M/M/1排队系统排队系统（单通道服务系统）（单通道服务系统）l当比率当比率1（即（即），系统处以稳定状态：），系统处以稳定状态：在系统中没有顾客的概率为（即没有接受服务，在系统中没有顾客的概率为（即没有接受服务，也没有排队）：也没有排队）：在系统中有在系统中

28、有k个顾客的概率为（包括接受服务的个顾客的概率为（包括接受服务的顾客与排队的顾客之和）：顾客与排队的顾客之和）：在系统中的平均顾客数为（平均接受服务的顾客在系统中的平均顾客数为（平均接受服务的顾客与排队的顾客之和）：与排队的顾客之和）： 10P)( 1kkP（辆）（辆）1)1 (n362022-4-2936三、三、M/M/1排队系统排队系统（单通道服务系统）（单通道服务系统）系统中顾客数的方差：系统中顾客数的方差： 随着随着的增大，的增大，n 增大；当增大；当0.8以后，以后， n 迅速迅速增大，从而使排队长度快速增加，排队系统便的增大，从而使排队长度快速增加，排队系统便的不稳定，造成系统的服

29、务能力迅速下降。不稳定，造成系统的服务能力迅速下降。平均排队长度：平均排队长度： 这里是指排队顾客（车辆）的平均排队长度，这里是指排队顾客（车辆）的平均排队长度，不包括接受服务的顾客（车辆）。不包括接受服务的顾客（车辆）。)1()1/(22 （辆）（辆）)(112 nnq372022-4-2937三、三、M/M/1排队系统排队系统（单通道服务系统）（单通道服务系统）平均非零排队长度：平均非零排队长度： 即排队不计算没有顾客的时间，仅计算有顾客即排队不计算没有顾客的时间，仅计算有顾客时的平均排队长度，即非零排队。如果把有顾客时的平均排队长度，即非零排队。如果把有顾客时计算在内，就是前述的平均排队

30、长度。时计算在内，就是前述的平均排队长度。排队系统中平均消耗时间：排队系统中平均消耗时间： 这里是指排队中消耗时间与接受服务所用时间这里是指排队中消耗时间与接受服务所用时间之和。之和。)(辆辆辆或辆或 s/ h/1 nd（辆辆）)(qqqww 11382022-4-2938三、三、M/M/1排队系统排队系统（单通道服务系统）（单通道服务系统）排队中的平均等待时间：排队中的平均等待时间： 这里在排队时平均需要等待的时间，不包括接这里在排队时平均需要等待的时间，不包括接受服务的时间，等于排队系统平均消耗时间与平受服务的时间，等于排队系统平均消耗时间与平均服务时间之差。均服务时间之差。 共有八个指标

31、。共有八个指标。)()(辆辆辆辆或或 s/ h/1 dw392022-4-2939三、三、M/M/1排队系统排队系统（单通道服务系统）（单通道服务系统）例例1：高速公路入口收费站，车辆到达是随机的，：高速公路入口收费站，车辆到达是随机的，流入量为流入量为400辆辆/h，如果收费工作人员平均能在，如果收费工作人员平均能在8s内发放通行卡，符合负指数分布，求：收费站排内发放通行卡，符合负指数分布，求：收费站排队系统中的平均车辆数，平均排队长度，排队系队系统中的平均车辆数，平均排队长度，排队系统中的平均消耗时间和排队中的平均等待时间。统中的平均消耗时间和排队中的平均等待时间。 解：解：=400/36

32、00（辆（辆/s）, =1/8 （辆（辆/s） =/=0.89 1 ，排队系统是稳定的。，排队系统是稳定的。 收费站排队系统中的平均车辆数：收费站排队系统中的平均车辆数：)(.辆辆889018901 n402022-4-2940三、三、M/M/1排队系统排队系统（单通道服务系统）（单通道服务系统） 平均排队长度：平均排队长度： 排队系统中的平均消耗时间：排队系统中的平均消耗时间： 排队中的平均等待时间：排队中的平均等待时间：（辆）（辆）7.110.898 nq)(辆辆s/ 7236004008111 d)(辆辆s/ 648721 dw412022-4-2941三、三、M/M/1排队系统排队系统

33、（单通道服务系统）（单通道服务系统）例例2：修建一个服务能力为：修建一个服务能力为120辆辆/h的停车场，布置的停车场，布置一条进入停车场的引道，经调查车辆到达率为一条进入停车场的引道，经调查车辆到达率为72辆辆/h，进入停车场的引道长度能够容纳，进入停车场的引道长度能够容纳5辆车，是辆车，是否合适否合适 。 解：解： =72（辆（辆/h）, =120 （辆（辆/h） =/=0.6 1 ，排队系统是稳定的。，排队系统是稳定的。 进入停车场的引道长度能够容纳进入停车场的引道长度能够容纳5辆车辆车,如果系统如果系统中的平均车辆数小于中的平均车辆数小于5辆车则是合适的，否则，辆车则是合适的，否则，准

34、备停放的车辆必然影响交通。准备停放的车辆必然影响交通。合合适适辆辆辆辆)()(.51.5601601 n422022-4-2942三、三、M/M/1排队系统排队系统（单通道服务系统）（单通道服务系统） 验证系统中平均车辆数超过验证系统中平均车辆数超过5辆车的概率辆车的概率P(5)，如果如果P(5)很小，则得到很小，则得到 “合适合适”的结论正确。由的结论正确。由： 验证结果表明：系统中平均车辆数超过验证结果表明：系统中平均车辆数超过5辆车的辆车的概率概率P(5)不足不足5%，概率很小，进入停车场的引道，概率很小，进入停车场的引道长度是合适的。长度是合适的。0.046710.03110.0518

35、0.08640.14400.24000.400011555432100）（）（得得：和和PPPPPPPPPPkk)( 432022-4-2943四、四、M/M/N排队系统简介排队系统简介（多通道服务系统）（多通道服务系统）l一般收费站属于多路排队多通道服务的一般收费站属于多路排队多通道服务的M/M/N系系统，如果总流入量为统，如果总流入量为Q，可以假设每个收费站的，可以假设每个收费站的流入量为流入量为Q/N，就可以按照，就可以按照M/M/1系统计算。系统计算。服务服务收费站收费站1输出输出输入输入M/M/1系统系统服务服务收费站收费站N输出输出输入输入M/M/1系统系统N 442022-4-2

36、944四、四、M/M/N排队系统简介排队系统简介（多通道服务系统）（多通道服务系统）l单路排队多通道服务的单路排队多通道服务的M/M/N排队系统如下：从排队系统如下：从服务效率分析这种排队系统的效率较高，但用于服务效率分析这种排队系统的效率较高，但用于收费站显然是不合适的（这一系统同样有一整套收费站显然是不合适的（这一系统同样有一整套计算公式）计算公式） 。输入输入服务服务1输出输出服务服务N输出输出N 452022-4-2945 第四节第四节 跟驰理论简介跟驰理论简介 462022-4-2946一、引言一、引言l跟驰理论是运用动力学方法，研究在无法超车的跟驰理论是运用动力学方法，研究在无法超

37、车的单一车道上车辆列队行驶时，后车跟随前车的行单一车道上车辆列队行驶时，后车跟随前车的行驶状态，并且借数学模式表达并加以分析阐明的驶状态，并且借数学模式表达并加以分析阐明的一种理论。一种理论。l由于有由于有1950年鲁契尔的研究和年鲁契尔的研究和1953年派普斯的研年派普斯的研究，跟驰理论的解析方法才告定型。而赫尔曼和究，跟驰理论的解析方法才告定型。而赫尔曼和罗瑟瑞于罗瑟瑞于1960年在美国通用汽车公司动力实验室年在美国通用汽车公司动力实验室进行的研究为跟驰理论作了进一步的扩充。进行的研究为跟驰理论作了进一步的扩充。472022-4-2947车辆跟驰特性分析车辆跟驰特性分析l 在道路上行驶的一

38、队高密度汽车，车头间距不在道路上行驶的一队高密度汽车，车头间距不大，车队中任意一辆车的车速都受前车速度的制大，车队中任意一辆车的车速都受前车速度的制约，驾驶员只能按前车所提供的信息采用相应的约，驾驶员只能按前车所提供的信息采用相应的车速，这种状态称为非自由行驶状态。跟驰理论车速，这种状态称为非自由行驶状态。跟驰理论只研究非自由行驶状态下车队的特性。只研究非自由行驶状态下车队的特性。l非自由行驶状态的车队有以下三个特性：非自由行驶状态的车队有以下三个特性： 制约性制约性 延迟性延迟性 传递性传递性482022-4-2948线性跟驰模型线性跟驰模型l 跟驰模型是一种刺激反应的表达式。一个驾驶跟驰模

39、型是一种刺激反应的表达式。一个驾驶员所接受的刺激是指其前方导引车的加速或减速以员所接受的刺激是指其前方导引车的加速或减速以及随之而发生的这两车之间的速度差和车间距离的及随之而发生的这两车之间的速度差和车间距离的变化；该驾驶员对刺激的反应是指其为了紧密而安变化；该驾驶员对刺激的反应是指其为了紧密而安全地跟踪前车地加速或减速动作及其实际效果。全地跟踪前车地加速或减速动作及其实际效果。l 假定驾驶员保持他所驾驶车辆与前导车的距离为假定驾驶员保持他所驾驶车辆与前导车的距离为S(t)，以便在前导车刹车时能使车停下而不致于和，以便在前导车刹车时能使车停下而不致于和前导车尾相撞。设驾驶员的反应时间为前导车尾

40、相撞。设驾驶员的反应时间为T，在反应，在反应时间内车速不变，这两辆车在时间内车速不变，这两辆车在t时刻地相对位置如时刻地相对位置如图所示，图中图所示，图中n为前导车，为前导车，n+1为后随车。为后随车。492022-4-2949线性跟驰模型线性跟驰模型 n+1 n+1 n n+1 n S(t) )(txn )(txn 1 t 时时刻刻两两车车位位置置 前前车车开开始始减减速速的的位位置置 3d 1d 2d L 后后车车开开始始减减速速的的位位置置 完完全全刹刹车车后后两两车车位位置置 线性跟车模型示意图线性跟车模型示意图502022-4-2950线性跟驰模型线性跟驰模型l两车在刹车操作后的相对

41、位置如图所示。两车在刹车操作后的相对位置如图所示。 第第i 辆车在时刻辆车在时刻t 的位置；的位置； 两车在时刻两车在时刻 t 的间距，且的间距，且: 后车在反应时间后车在反应时间T内行驶的距离；内行驶的距离； 后随车在减速期间行驶的距离；后随车在减速期间行驶的距离； 前导车在减速期间行驶的距离；前导车在减速期间行驶的距离； 停车后的车头间距；停车后的车头间距； 第第n+1辆车在时刻辆车在时刻t 的速度。的速度。)(txi)(tS)()()(txtxtSnn11d)()(tTxTtxTdnn1112d3dL)(txn 1512022-4-2951线性跟驰模型线性跟驰模型 假定假定 ，要使在时刻

42、，要使在时刻t 两车的间距能保证在两车的间距能保证在突然刹车事件中不发生碰撞，则应有：突然刹车事件中不发生碰撞，则应有： 对对t 微分，得微分，得: 式中式中: 为后车在为后车在(t+T)时刻的加速度，称时刻的加速度，称为后车的反应为后车的反应 ；1/T 称为敏感度；称为敏感度； 称为称为t 时刻的刺激。这样，上式就可理解为：时刻的刺激。这样，上式就可理解为： 反应敏感度反应敏感度刺激。刺激。 32dd LTtxTLdtSn)()(11)()()(TtxTtxtxnnn11 )()()(txtxTTtxnnn111 )(Ttxn1 )()(txtxnn1 522022-4-2952线性跟驰模型

43、线性跟驰模型l上式是在前导车刹车、两车的减速距离相等以上式是在前导车刹车、两车的减速距离相等以及后车在反应时间及后车在反应时间T 内速度不变等假定条件下内速度不变等假定条件下推导出来的。实际的跟车操作要比这两条假定推导出来的。实际的跟车操作要比这两条假定所限定的情形复杂得多，例如刺激也可能是有所限定的情形复杂得多，例如刺激也可能是有前车加速引起。而两车得变速过程中行驶的距前车加速引起。而两车得变速过程中行驶的距离可能不相等。为了适应一般得情况，把上式离可能不相等。为了适应一般得情况，把上式修改为：修改为： 式中式中 称为反映强度系数，量纲为称为反映强度系数，量纲为s-1，这里，这里 不再理解为

44、敏感度，而应看成是与驾驶员动作不再理解为敏感度，而应看成是与驾驶员动作的强弱程度直接相关。它表明后车得反应与前的强弱程度直接相关。它表明后车得反应与前车的刺激成正比，此公式称为线性跟车模型。车的刺激成正比，此公式称为线性跟车模型。)()()(txtxTtxnnn11 532022-4-2953第五节第五节 流体力学理论流体力学理论 542022-4-2954一、流体动力学理论建立一、流体动力学理论建立 l车流连续性方程的建立车流连续性方程的建立 设车流顺次通过断面设车流顺次通过断面和和的时间间隔为的时间间隔为t，两，两断面得间距为断面得间距为x。车流在断面。车流在断面的流入量为的流入量为Q、密

45、度为密度为K；同时，车流在断面；同时，车流在断面得流出量为：得流出量为：(Q+q)， (K-K)，其中：，其中： K的前面加一负号的前面加一负号，表示在拥挤状态，车流密度随车流量增加而减，表示在拥挤状态，车流密度随车流量增加而减小。小。 x tQ KQ+Q K-K KQ(K,Q)(K-K,Q+Q )552022-4-2955一、流体动力学理论建立一、流体动力学理论建立 l车流连续性方程的建立：车流连续性方程的建立： 根据物质守恒定律，在根据物质守恒定律，在t时间内：时间内： 流入量流入量-流出量流出量=x内车辆数的变化，内车辆数的变化， 即：即： Q-(Q+Q)t=K-(K-K)x 或：或：

46、，取极限可得：，取极限可得： 含义为：当车流量随距离而降低时，车辆密度随含义为：当车流量随距离而降低时，车辆密度随时间而增大。时间而增大。0 xQtK 0 xQtK562022-4-2956一、流体动力学理论建立一、流体动力学理论建立l车流波及波速：车流波及波速： 列队行驶的车辆在信号交叉口遇到红灯后，即列队行驶的车辆在信号交叉口遇到红灯后，即陆续停车排队而集结成密度高的队列；当绿灯开陆续停车排队而集结成密度高的队列；当绿灯开启后，排队的车辆又陆续起动疏散成一列具有适启后，排队的车辆又陆续起动疏散成一列具有适当密度的队列。当密度的队列。 车流中两种不同密度部分的分界面掠过一辆辆车流中两种不同密

47、度部分的分界面掠过一辆辆车向车队后部传播的现象，称为车流的波动。车向车队后部传播的现象，称为车流的波动。 此车流波动沿道路移动的速度称为波速。此车流波动沿道路移动的速度称为波速。572022-4-2957二、车流波动理论二、车流波动理论l波速公式的推导：波速公式的推导： 假设一条公路上由两个相邻的不同交通流密度假设一条公路上由两个相邻的不同交通流密度区域（区域（K1和和K2）用垂线）用垂线S分割这两种密度，称分割这两种密度，称S为为波阵面，设波阵面，设S的速度为的速度为w（ w为垂线为垂线S相对于路面相对于路面的绝对速度），并规定垂线的绝对速度），并规定垂线S的速度的速度w沿车流运行沿车流运行

48、方向为正。由流量守恒可知，在方向为正。由流量守恒可知，在t 时间内由时间内由A进入进入S面的车辆数等于由面的车辆数等于由S面驶入面驶入B的车辆数，即：的车辆数，即： 式中式中: (V1-w)、(V2-w)分别为车辆进出分别为车辆进出S 面前后相面前后相对于对于S 面的速度。面的速度。tKwVtKwV2211)()(582022-4-2958二、车流波动理论二、车流波动理论V1=100km/hK1=10辆辆/kmV2=80km/h K2=14辆辆/km 车头间距车头间距71mwwK1 V1K2 V2ABSS592022-4-2959二、车流波动理论二、车流波动理论 由：由： 规定：当规定：当K2

49、K1，密度增加，产生的，密度增加，产生的w为集结波。为集结波。12121112221211221122122221112211)()()(KKQQwKVQKVQKKKVKVwKVKVKKwwKKVwKKVtKwVtKwV 得得602022-4-2960三、车流波动状态讨论三、车流波动状态讨论l 当当Q2Q1 、K2Q1 、K2K1时，产生一个集结波，时，产生一个集结波， w为正为正值，集结波在波动产生的那一点，沿着与车流相值，集结波在波动产生的那一点，沿着与车流相同的方向，以相对路面为同的方向，以相对路面为w的速度移动。的速度移动。KQ(K2,Q2)(K1,Q1)622022-4-2962三、

50、车流波动状态讨论三、车流波动状态讨论l 当当Q2K1时，产生一个集结波，时，产生一个集结波， w为负为负值，集结波在波动产生的那一点，沿着与车流相值，集结波在波动产生的那一点，沿着与车流相反的方向，以相对路面为反的方向，以相对路面为w的速度移动。的速度移动。KQ(K2,Q2)(K1,Q1)632022-4-2963三、车流波动状态讨论三、车流波动状态讨论l 当当Q2Q1 、K2K1时，产生一个集结波，时，产生一个集结波， w=0，集结波在波动产生的那一点原地集结。集结波在波动产生的那一点原地集结。KQ(K1,Q1)(K2,Q2)652022-4-2965三、车流波动状态讨论三、车流波动状态讨论

51、l 当当Q2=Q1 、K2K1时，产生一个消散波，时，产生一个消散波， w=0，消散波在波动产生的那一点原地消散。消散波在波动产生的那一点原地消散。KQ(K2,Q2)(K1,Q1)662022-4-2966四、车流波动理论的应用四、车流波动理论的应用例：道路上的车流量为例：道路上的车流量为720辆辆/h，车速为，车速为60 km/h，今有一辆超限汽车以今有一辆超限汽车以30km/h的速度进入交通流并的速度进入交通流并行驶行驶5km后离去，由于无法超车，就在该超限车后离去，由于无法超车，就在该超限车后形成一低速车队，密度为后形成一低速车队，密度为40辆辆/km，该超限车，该超限车离去后，受到拥挤

52、低速车队以车速离去后，受到拥挤低速车队以车速50km/h，密度，密度为为25辆辆/km的车流疏散，计算：的车流疏散，计算： (1)拥挤消散时间拥挤消散时间ts；(2)拥挤持续时间拥挤持续时间tj；(3)最大最大排队长度；排队长度；(4)排队最长时的排队车辆数；排队最长时的排队车辆数；(5) 参参与过排队的车辆总数。与过排队的车辆总数。672022-4-2967四、车流波动理论的应用四、车流波动理论的应用 解：三种状态的解：三种状态的Q、K、V分别如图所示：分别如图所示： 超限车进入后，车流由状态变超限车进入后，车流由状态变为状态为状态 ，将产，将产生一个集结波生一个集结波：（注意集结波的方向！

53、：（注意集结波的方向！）5km Q1=720V1=60K1=12 Q2=1200V2=30K2=40 Q3=1250V3=50K3=25 w1 w2(km/h)14176072040720403012121./KKQQw682022-4-2968四、车流波动理论的应用四、车流波动理论的应用 超限车插入后，领头超限车的速度为超限车插入后，领头超限车的速度为30km/h，集，集结波由超限车进入点以结波由超限车进入点以w1=17.14km/h的速度沿车的速度沿车流方向运动。如果这种状况持续流方向运动。如果这种状况持续1h， 1h后跟在超后跟在超限车后的低速车队长度为：限车后的低速车队长度为：30-17.14=12.86 km。但超限车行驶但超限车行驶5km后离去，超限车