同济第3版-高数-(35) 第五节 函数的极值与最大值最小值

1、 实际应用中，函数的最值问题会以多种不同实际应用中，函数的最值问题会以多种不同形式出现，但都可归结为两个基本问题：形式出现，但都可归结为两个基本问题：(1)(1)最值的存在性问题。最值的存在性问题。(2)(2)若已知函数最值存在，如何求出其最值。若已知函数最值存在，如何求出其最值。 函数的最值函数的最值必在必在最值需先确定最值需先确定 极值概念产生于最值问题的讨论。函数最值不仅和极值概念产生于最值问题的讨论。函数最值不仅和各种实际应用问题密切相关，数学本身的应用也很多，各种实际应用问题密切相关，数学本身的应用也很多，最值是函数研究的一类重要问题。由于已部分地解决了最值是函数研究的一类重要问题。

2、由于已部分地解决了最值存在性问题，因而最值的讨论便归结为最值的计算最值存在性问题，因而最值的讨论便归结为最值的计算问题，即问题，即在已知最值存在的条件下，如何求出最值。在已知最值存在的条件下，如何求出最值。 求求函数最值关键是确定最值点。函数最值关键是确定最值点。 确定最值点首先要弄清最值点所满足的条件，为弄确定最值点首先要弄清最值点所满足的条件，为弄清最值点的条件可先从清最值点的条件可先从直观分析考察。直观分析考察。abxyO yfxa bx , , 1fx1x3fx3x2fx2x fb4fx4x fa 从直观上看，函数最值除了可从直观上看，函数最值除了可能在区间端点取到外，还可能在区能在区

3、间端点取到外，还可能在区间内部的这样一些点处取到：间内部的这样一些点处取到： 这些点对应于曲线的波峰或波这些点对应于曲线的波峰或波谷，它们虽不一定是函数最值点，谷，它们虽不一定是函数最值点，但这些点的函数值较其邻近点的函但这些点的函数值较其邻近点的函数值要大或小，它们是函数的局部数值要大或小，它们是函数的局部最大或最小值，这就是函数极值的概念。最大或最小值，这就是函数极值的概念。 由于函数最值必在这些点取到，这样的点通常为有由于函数最值必在这些点取到，这样的点通常为有限个，只要求出这些点处的函数值，便可确定最值，于限个，只要求出这些点处的函数值，便可确定最值，于是最值计算问题归结为这些特殊点的

4、函数值计算。是最值计算问题归结为这些特殊点的函数值计算。 设函数设函数 f( x )区间区间( a , ,b )内有定义内有定义, , x 0 是区间是区间( a , ,b )内的一个点，如果存在点内的一个点，如果存在点 x 0 的一个去心邻域，使得对的一个去心邻域，使得对该去心邻域内的任何一个点该去心邻域内的任何一个点 x，都有都有 f( x ) f( x 0 )就称就称 f( x 0 )是是 f( x )的一个极小值。的一个极小值。 极大值和极小值统称为函数的极值，极大值和极小值统称为函数的极值，使得函数取得极值的点称为极值点。使得函数取得极值的点称为极值点。 极值与最值是密切相关的两个概

5、念，但二者的意义极值与最值是密切相关的两个概念，但二者的意义却不同，最值是对区间而言的，极值是对邻域而言的。却不同，最值是对区间而言的，极值是对邻域而言的。 函数的最大值总不小于最小值，但函数的某个极大函数的最大值总不小于最小值，但函数的某个极大值可以小于另一个极小值。值可以小于另一个极小值。 最值不在区间端点取得，最值不在区间端点取得，就必在区间内部的某个极值就必在区间内部的某个极值点处取得。为求函数最值应点处取得。为求函数最值应先求出其全部极值点。为求先求出其全部极值点。为求极值点可先分析极值点的特极值点可先分析极值点的特征，确定取得极值的条件。征，确定取得极值的条件。 由于极值具有局部最

6、大或最小的特征，故函数在其由于极值具有局部最大或最小的特征，故函数在其极值点的两侧的单调性应发生改变，即函数极值点的两侧的单调性应发生改变，即函数 y = f( x )在在极值点极值点 x 0 的两侧的导数符号应变号，于是可知极值点的两侧的导数符号应变号，于是可知极值点的分析特征是导数变号的的分析特征是导数变号的临界点。临界点。 因此，若函数在极值因此，若函数在极值点点 x 0 处可导，则应有处可导，则应有 f ( x 0 )= 0 . . 设函数设函数 y = f( x )在极值点在极值点 x 0 处可导处可导，且在点且在点 x 0 处处取得极值，则有取得极值，则有 f ( x 0 )= 0

7、 . . 由直观容易看出，该条件仅是函数在一点由直观容易看出，该条件仅是函数在一点 x 0 取得取得极值的必要条件。根据这一条件虽不能确定函数在一点极值的必要条件。根据这一条件虽不能确定函数在一点 x 0 处是否取得极值，却给出了一种处是否取得极值，却给出了一种搜寻极值点的方法，即对给定函数搜寻极值点的方法，即对给定函数 y = f( x )，设法求方程，设法求方程 f ( x )= 0的根。由于的根。由于方程方程根的个数通常是有根的个数通常是有限的，这样便大大缩小了寻找极值限的，这样便大大缩小了寻找极值点的范围。点的范围。 使得函数使得函数 y = f( x )导数为零的点导数为零的点，即导

8、数方程即导数方程 f ( x )= 0 的根称为函数的根称为函数 y = f( x )的驻点的驻点。 函数可能取得极值的函数可能取得极值的“可疑点可疑点”有两类，一类是驻有两类，一类是驻点，一类是导数不存在的点。点，一类是导数不存在的点。 由定理由定理 1 1 不仅可求得函数的驻点，不仅可求得函数的驻点，且由导数计算还可判别出导数不存且由导数计算还可判别出导数不存在的点。因此，通过定理在的点。因此，通过定理 1 1 的应用的应用实际可确定所有函数可能取得实际可确定所有函数可能取得极值的可疑点。极值的可疑点。 由极值点的特征分析知，函数在某点取得极值的本由极值点的特征分析知，函数在某点取得极值的

9、本质原因是函数在该点两侧的单调性发生改变，因此可通质原因是函数在该点两侧的单调性发生改变，因此可通过导数符号的考察判别可疑点是否为极值点。过导数符号的考察判别可疑点是否为极值点。 通过对导数符号的考察不仅判别驻点是否为极值通过对导数符号的考察不仅判别驻点是否为极值点，亦可判别导数不存在的点的极值性。点，亦可判别导数不存在的点的极值性。 设函数设函数 y = f( x )在点在点 x 0 的某个邻域的某个邻域 U( x 0 , , )内可内可导导，且且 f ( x 0 )= 0，则有如下极值判别法：则有如下极值判别法： 若当若当 x( x 0 - - , ,x 0 )时，时，f ( x ) 0

10、， 而当而当 x( x 0 , ,x 0 + )时，时，f ( x ) 0 ，则则 f( x )在点在点 x 0 处取得极大值。处取得极大值。 若当若当 x( x 0 - - , ,x 0 )时，时，f ( x ) 0 ，则则 f( x )在点在点 x 0 处取得极小值。处取得极小值。 若当若当 x( x 0 - - , ,x 0 + )时，时，f ( x )保持定号保持定号 ，则则 f( x )在点在点 x 0 处不取得极值。处不取得极值。例：例：求函数求函数 由导数表达式还可求出导数不存在的点由导数表达式还可求出导数不存在的点 x 2 = 0 . . 321fxxx o o的的极极值值 3

11、32232113xfxxxxx 333215233xxxxx, 352:03xfxx令令,求得驻点求得驻点 125x. .为讨论导数符号，将求得的可疑点按大小排列，并为讨论导数符号，将求得的可疑点按大小排列，并用可疑点分割用可疑点分割 f( x )的定义域，再列表讨论确定的定义域，再列表讨论确定 f ( x )的保号区间。的保号区间。 应应极值的第一充分条件既可判别驻点的极值性也极值的第一充分条件既可判别驻点的极值性也可判别导数不存在的点的极值性。可判别导数不存在的点的极值性。 应应用第一充分条件判别极值性时，需将导数化为用第一充分条件判别极值性时，需将导数化为因子连乘积形式，而当导数为多个因

12、子乘积时，确定因子连乘积形式，而当导数为多个因子乘积时，确定其在各保号区间上的符号较为麻烦。其在各保号区间上的符号较为麻烦。 从几何直观看，函数的极大值对应于曲线凸弧的最从几何直观看，函数的极大值对应于曲线凸弧的最高点，极小值对应于曲线凹弧的最低点。由于曲线弧的高点，极小值对应于曲线凹弧的最低点。由于曲线弧的凹向可通过二阶导数的符来表达，因而也可通过曲线弧凹向可通过二阶导数的符来表达，因而也可通过曲线弧的凹向的考察来判别驻点的极值性。的凹向的考察来判别驻点的极值性。 设函数设函数 y = f( x )在点在点 x 0 的处具有二阶导数，且的处具有二阶导数，且 f ( x 0 )= 0 ，f (

13、 x 0 ) 0，则有如下极值判别法：则有如下极值判别法： 当当 f ( x 0 ) 0 时，时，f( x )在点在点 x 0 取得极小值。取得极小值。abxyO yfxa bx , , 1fx2fx2x1x10fx20fx 应应用极值的第二充分条件用极值的第二充分条件 第二充分条件第二充分条件此外，此外，第二充分条件第二充分条件第一充分条件第一充分条件 例：例：求函数求函数 f( x )=( x - - 1 )2( x - - 2 )3 的极值。的极值。 f ( x )=( x - - 1 )2( x - - 2 )3 = 2( x - - 1 )2( x - - 2 )3 + 3( x -

14、 - 1 )2( x - - 2 )2 =( x - - 1 )( x - - 2 )2 2( x - - 2 )+ 3( x - - 1 ) =( x - - 1 )( x - - 2 )2 ( 5x - - 7 ), 令：令：f ( x )=( x - - 1 )( x - - 2 )2 ( 5 x - - 7 )= 0 , 求得驻点求得驻点 1237125xxx, . .由于本例极值可疑点均为驻点，故考虑用第二判别由于本例极值可疑点均为驻点，故考虑用第二判别法考察可疑点的极值性。法考察可疑点的极值性。 f ( x )=( x - - 1 )( x - - 2 )2 ( 5 x - - 7

15、 ), =( x - - 2 )2 ( 5 x - - 7 ) + 2( x - - 1 )( x - - 2 )( 5 x - - 7 ) + 5( x - - 1 )( x - - 2 )2, 下考察各驻点处的二阶导数符号：下考察各驻点处的二阶导数符号： 因为因为 f ( 1 )= -2 0 ,即即 f ( x )在驻点在驻点 x 3 = 2 两侧不变号，故两侧不变号，故 f( x )在点在点 x 3 = 2 处不取得极值。处不取得极值。 2323 10877723.12312555555f 由于闭区间上连续函数的最值总是存在的，因此讨由于闭区间上连续函数的最值总是存在的，因此讨论闭区间上

16、连续函数最值问题关键就是如何求出最值。论闭区间上连续函数最值问题关键就是如何求出最值。 由极值问题的讨论知，函数可能取到最值的点是极由极值问题的讨论知，函数可能取到最值的点是极值点和区间的端点，因此求闭区间上连续函数的最值可值点和区间的端点，因此求闭区间上连续函数的最值可按如下步骤进行：按如下步骤进行：(1)(1) 求出给定函数求出给定函数 f( x )在所论闭区间在所论闭区间 a , ,b 上所有驻上所有驻点及导不存在的点点及导不存在的点 x 1, ,x 2, , ,x n . .(2) (2) 计算计算 f( x1 ), , f( x 2 ), , , f( x n ), , f( a )

17、, ,f( b )比较这些比较这些函数值确定函数最值。函数值确定函数最值。例：例：求函数求函数 的最值。的最值。 显然，给定函数在指定闭区间上连续，故其最显然，给定函数在指定闭区间上连续，故其最值存在。为求最值应先求出极值可疑点，再将在这些点值存在。为求最值应先求出极值可疑点，再将在这些点的函数值与区间端点的函数值进行比较。的函数值与区间端点的函数值进行比较。求得函数在指定区间内的驻点：求得函数在指定区间内的驻点： 222 0fxbxxbx, , , 22222222xxfxbxxbx令令：22322 22222230 .22x bxxxbxbxbx 1220.3xxb, , 比较函数极值可疑

18、点与区间端点的函数值有：比较函数极值可疑点与区间端点的函数值有： 求得函数求得函数 f( x )在闭区间在闭区间0, ,b上的上的 最小值点为最小值点为 x = 0，最小值最小值 f( 0 ) = 0， 最大值点为最大值点为 222000 xfxbx; 22232323293xbfxbxbb; 2220 x bfxbxb;3 222 3.339xbfbb 最最大大值值, 开区间内的连续函数也可能存在最值。确定开区间开区间内的连续函数也可能存在最值。确定开区间内连续函数最值的存在性一般有两种途径：内连续函数最值的存在性一般有两种途径： 根据函数单调性及区间端点的极限确定最值存在性；根据函数单调性

19、及区间端点的极限确定最值存在性； 根据问题的实际意义确定最值的存在性。根据问题的实际意义确定最值的存在性。 如果开区间内的连续函数最如果开区间内的连续函数最值存在，则其最值一定在区间内值存在，则其最值一定在区间内部的极值点处取得，且如果函数部的极值点处取得，且如果函数在开区间内有唯一的驻点，则该在开区间内有唯一的驻点，则该驻点就是最值点。驻点就是最值点。 abxyO yfxa bx , , limxafx limxbfxabxyO yfxa bx , , 例：例：设设 a 0，求求 的最大值。的最大值。 易看出，函数易看出，函数 f( x )在其定义域在其定义域( - - ,+,+ )内连内连

20、续，故这是个开区间内的连续函数求最值问题。续，故这是个开区间内的连续函数求最值问题。 求开区间内函数的最值并不能预先知道最值的存在求开区间内函数的最值并不能预先知道最值的存在性，需通过极值可疑点及函数单调性的考察才能确定。性，需通过极值可疑点及函数单调性的考察才能确定。 由于由于 f( x )是含绝对值的函数，是含绝对值的函数，为求极值可疑点应先将其写成分为求极值可疑点应先将其写成分段函数的形式，再分别考察其在段函数的形式，再分别考察其在各子段上的导数各子段上的导数 1111fxxax 110111111011111111.xxaxfxaxxaxxaxxaxxa, , , 由于由于 f( x

21、)在各子段上均是初等函数，且没有分母在各子段上均是初等函数，且没有分母零点，零点，由绝对值函数的性质知，由绝对值函数的性质知，f( x )各子段上均可导各子段上均可导, ,仅在其分段点仅在其分段点 x = 0, ,x = a 处可能不可导，处可能不可导，故只需按导数故只需按导数规则求出规则求出 f( x )在各子段上的导数及导数零点。在各子段上的导数及导数零点。 11011110111111.xxaxfxaxxaxxaxxa, , ,22 222211011110111111.xxaxxaxaxxaxxa, , , 若只考虑若只考虑 f( x )在各子段上的导数则有：在各子段上的导数则有： 由

22、由导数计算可知：导数计算可知： 当当 x ( - - , , 0 )时，时，f ( x ) 0，故，故 f( x )单调增。单调增。 当当 x ( a ,+,+ )时，时，f ( x ) 0，故，故 f( x )单调减。单调减。 因此可知：因此可知：f( x )在在 0 , ,a 上的最大值就是上的最大值就是 f( x )在在( - - ,+,+ )上的最大值。上的最大值。于是问题转化为求闭区间上连于是问题转化为求闭区间上连续函数的续函数的最大值最大值问题问题。 当当 x ( 0 , , a )时，时， 令：令：f ( x )= 0 得得： ( 1 + a - - x )2 - -( 1 +

23、x )2 =( a - - 2 x )( 2 + a )= 0 . . 求得求得 f( x )在在 0 , ,a 内有唯一的驻点内有唯一的驻点 2211.11fxxax.2ax 驻点函数值：驻点函数值： 区间端点函数值：区间端点函数值： 比较比较 f( x )在这些点的函数值有：在这些点的函数值有： 求得求得 f( x )在在( - - ,+,+ )上的最大值为上的最大值为 114221122afaaaa, 121011affaaa. 42221aaffaaa 242201212aaaaaaa, , 201affaa.例：例：一银行的统计资料表明，存放在银行中的总存款量一银行的统计资料表明，存

24、放在银行中的总存款量正比于银行付给储户的利率的平方。假设银行可以用正比于银行付给储户的利率的平方。假设银行可以用12%的利率再投资这笔钱，试问：为得到最大利润，银的利率再投资这笔钱，试问：为得到最大利润，银行所支付的年利率应定为多少行所支付的年利率应定为多少？ 这是个实际应用的最佳方案的问题，它常和函这是个实际应用的最佳方案的问题，它常和函数的最值问题密切相关。数的最值问题密切相关。 应用中的最值问题通常并不是对于给定的函数求其应用中的最值问题通常并不是对于给定的函数求其最值，而是要求先根据问题的实际意义建立相应的目标最值，而是要求先根据问题的实际意义建立相应的目标函数，再确定和计算目标函数的

25、最值。函数，再确定和计算目标函数的最值。 银行所得到利润取决于投资利率、支付给储户的利银行所得到利润取决于投资利率、支付给储户的利率及存放于银行中的总存款量这三个因素。率及存放于银行中的总存款量这三个因素。 在投资利率一定的条件下，若支付给储户的利率较在投资利率一定的条件下，若支付给储户的利率较低，则银行可获得较高利润，但如果利率过低，存款人低，则银行可获得较高利润，但如果利率过低，存款人数及存款总量将会减少，这样银行可用于投资的钱就会数及存款总量将会减少，这样银行可用于投资的钱就会减少，其利润又会降低。减少，其利润又会降低。 为得到最大利润，应先建立银行所得利润与支付给为得到最大利润，应先建立银行所得利润与支付给储户的利率及银行中总存款量间的函数关系，再考察银储户的利率及银行中总存款量间的函数关系，再考察银行可能得到的最大利润与所支付的利率的关系。行可能得到的最大利润与所支付的利率的关系。 设银行的总存款额为设银行的总存款额为 A，支付给储户的利率为，支付给储户的利率为 r ，( 0