第三章 随机信号分析

1、1 第三章第三章 随机信号随机信号2学习目标学习目标n随机过程的基本概念随机过程的基本概念; ;n随机过程的数字特征（均值、方差、相关函数）随机过程的数字特征（均值、方差、相关函数）; ;n随机过程的平稳性、各态历经性、自相关函数的性随机过程的平稳性、各态历经性、自相关函数的性质、质、维纳辛钦定理维纳辛钦定理; ;n高斯随机过程的定义、性质，其一维概率密度函数高斯随机过程的定义、性质，其一维概率密度函数和正态分布函数，高斯白噪声和正态分布函数，高斯白噪声; ;n平稳随机过程通过线性系统，其输出过程的均值、平稳随机过程通过线性系统，其输出过程的均值、自相关函数和功率谱密度、带限白噪声自相关函数和

2、功率谱密度、带限白噪声; ;n窄带随机过程的表达式，其包络、相位的统计特性，窄带随机过程的表达式，其包络、相位的统计特性，其同相分量、正交分量的统计特性；其同相分量、正交分量的统计特性；n余弦波加窄带高斯过程的合成包络的统计特性余弦波加窄带高斯过程的合成包络的统计特性n匹配滤波器匹配滤波器n循环平稳随机过程循环平稳随机过程33.1 引言引言n自然界中事物的变化过程大致分成为两类：自然界中事物的变化过程大致分成为两类：确定性过程确定性过程：其变化过程具有确定的形式，或者：其变化过程具有确定的形式，或者说具有必然的变化规律，用数学语言来说，其变说具有必然的变化规律，用数学语言来说，其变化过程可以用

3、一个或几个时间（化过程可以用一个或几个时间（t）的确定函数来）的确定函数来描述。描述。随机过程随机过程：该过程没有确定的变化形式，也就是：该过程没有确定的变化形式，也就是说，每次对它的测量结果没有一个确定的变化规说，每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律，用数学语言来说，律，用数学语言来说， 这类事物变化的过程不可这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间能用一个或几个时间t的确定函数来描述。的确定函数来描述。4n通信过程是信号和噪声通过通信系统的过程。而通信系统中遇到的信号和噪声总带有随机性，从统计数学的观点看，随机信号和噪声统称为随机过程随机信号和噪声统称为随机过程。随机过程随机过程：设：

4、设Sk(k=1, 2,)是随机试验。每一次试验都有是随机试验。每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作一条时间波形（称为样本函数或实现），记作xi(t)，所，所有可能出现的结果的总体有可能出现的结果的总体x1(t), x2(t)，, xn(t)，就构就构成一随机过程，记作成一随机过程，记作X(t)。简言之，无穷多个。简言之，无穷多个样本函数样本函数的总体叫做随机过程，的总体叫做随机过程，如图所示如图所示： 5图图 2- 1样本函数的总体样本函数的总体 6随机过程随机过程X(t)X(t)具有两个基本特征：具有两个基本特征：（1 1） X(t)X(t)是时间是时间t t的函数；的函数

5、；（2 2）在某一观察时刻）在某一观察时刻t t1 1，样本的取值，样本的取值X(tX(t1 1) )是一个是一个随机变量。因此，我们又可以把随机过程看成依随机变量。因此，我们又可以把随机过程看成依赖时间参数的一族随机变量。可见，赖时间参数的一族随机变量。可见，随机过程具随机过程具有随机变量和时间函数的特点有随机变量和时间函数的特点。73.2随机过程的统计（概率）特性随机过程的统计（概率）特性设设X(t)表示一个随机过程，在表示一个随机过程，在任意给定任意给定的时刻的时刻t1T， 其取其取值值X(t1)是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可以是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可以用分

6、布函数或概率密度函数来描述。把随机变量用分布函数或概率密度函数来描述。把随机变量X(t1)小于小于或等于某一数值或等于某一数值x1的概率的概率PX(t1)x1，简记为，简记为F1(x1, t1)，即，即 F1(x1,t1)=PX(t1)x1 上式称为随机过程上式称为随机过程X(t)的的一维分布函数一维分布函数。1、随机过程的分布函数和概率密度：、随机过程的分布函数和概率密度：随机过程的统计性质可以由其分布函数和概率密度随机过程的统计性质可以由其分布函数和概率密度来描述来描述8111111( , )( , )F x tp x tx 则称则称p(x1, t1)为为X(t)的的一维概率密度函数一维概

7、率密度函数。显然，随机过程。显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在各的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，而没有说明随机过程在不同时刻取值个孤立时刻的统计特性，而没有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系。之间的内在联系。 任给两个时刻任给两个时刻t1, t2T，则随机变量，则随机变量X(t1)和和X(t2)构成一个构成一个二元随机变量二元随机变量X(t1), X(t2)，称，称 F2(x1,x2,t1,t2)=PX(t1)x1,X(t2)x2为随机过程为随机过程X(t)的的二维分布函数二维分布函数。如果如果F1(x1, t1

8、)对对x1的偏导数存在的偏导数存在92122121212F ( x ,x ,t,t )p( x ,x ,t ,t )xx 则称则称 为为X(t)X(t)的的二维概率密二维概率密度函数度函数。 1212121212n,nnnnFx ,x .,t t .,tp x ,x .,x ,t ,t .,tx x . x ,如果存在如果存在: :21212f ( x ,x ,t ,t ) 12121122nnnnnFx ,x,x ,t ,t,tP X tx ,X tx,X tx X(t)的的n n维概率密度维概率密度: :同理，同理，X(t)的的n n维分布函数维分布函数: :10 如果对于如果对于X(t)

9、X(t)任意时刻和任意任意时刻和任意n n都给定了分布函数都给定了分布函数或概率密度，即或概率密度，即n n越大，对随机过程统计特性的描述越大，对随机过程统计特性的描述就越充分，但问题的复杂性也随之增加。在一般实就越充分，但问题的复杂性也随之增加。在一般实际问题中，掌握二维分布函数就已经足够了。际问题中，掌握二维分布函数就已经足够了。112、随机过程的数字特征、随机过程的数字特征分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性，但在实际工作中，有时不易或不需过程的统计特性，但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而求出

10、分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。 （1 1） 数学期望（均值）数学期望（均值） E X txp x,t dx （2 2） 方差方差 2222222XXXXD X tE X(t )E X(t )xmtp x,t dxx p x,t dxmtE xmtt 标准差标准差 12 均值和方差都只与随机过程的一维概率密度函数有均值和方差都只与随机过程的一维概率密度函数有关，因而它们描述了随机过程在各个孤立时刻的特关，因而它们描述了随机过程在各个孤立时刻的特征。为了描述随机过程在两个不同时刻状态之间

11、的征。为了描述随机过程在两个不同时刻状态之间的联系，联系， 还需利用二维概率密度引入新的数字特征。还需利用二维概率密度引入新的数字特征。 13 和和 等于等于0 0，则称，则称X(tX(t1 1) )，X(tX(t2 2) )不相关不相关 。 （3 3） 自自相关函数相关函数 121212121212XE X tX tRt ,tx x px ,x ,t ,tdx dx （4 4） 自协方差自协方差函数函数 12112211221212121212XXXXXXXXCt ,tEX tmtX tmtxmtxmtpx ,x ,t ,tdx dxRt ,tmtmt 12XCt ,t （5 5） 归一化协

12、方差归一化协方差函数函数 121212XXXXCt ,tt ,ttt 12Xt ,t 12XCt ,t 12Xt ,t 143、 两随机过程的联合分布函数和数字特征两随机过程的联合分布函数和数字特征X(t)和和Y(t)是两个随机过程是两个随机过程 （1 1） 联合分布函数和概率密度联合分布函数和概率密度 1212121211221122n,mnnnnnnmmFx ,x ,x ,t ,t ,t ; y ,y ,y ,t ,t ,tP X tx ,X tx ,X tx ;Y ty ,Y ty ,Y ty 12121212121212121212n,mnnnnnmn,mnnnnFx ,x ,x ,t

13、 ,t ,t ; y ,y ,y ,t ,t ,tx xxy yypx ,x ,x ,t ,t ,t ; y ,y ,y ,t ,t ,t 15n,mnmn,mnmFFF ,ppp 或或者者若若X(t)X(t)和和Y(t)Y(t)是两个相互独立随机过程是两个相互独立随机过程, ,则则上式是上式是X(t)X(t)和和Y(t)Y(t)是两个相互独立的充要条件是两个相互独立的充要条件 1212212XYRt ,tE X tY txypx,t , y,t dxdy （2 2） 两个随机过程的数字特征两个随机过程的数字特征 互相关函数：互相关函数：互协方差函数：互协方差函数： 1211221212XYX

14、YXYXYCt ,tEX tmtY tmtRt ,tmtmt 互协方差函数互协方差函数0，则，则X(t)和和Y(t)不相关不相关X(t)和和Y(t)独立独立与不相关的关与不相关的关系？系？独立，必不独立，必不相关，反之，相关，反之，未必！未必！正态随机过程，正态随机过程，独立与不相关独立与不相关等价等价163.3平稳随机过程平稳随机过程1 1、严、严( (狭义狭义) )平稳随机过程定义平稳随机过程定义随机过程随机过程X(t),X(t),若对于任意若对于任意n n和任意选定和任意选定t t1 1,t,t2 2, ,t,tn n, , 以以及任意的及任意的 ，有，有pn(x1, x2, , xn;

15、 t1, t2, , tn)=pn(x1, x2, , xn; t1+ , t2+ , , tn+ ）定义说明定义说明: :当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维概率密度函数或分布函数是不变的，程的所有有限维概率密度函数或分布函数是不变的，具体到它的一维分布具体到它的一维分布, , 则与时间则与时间t t无关，而二维分布只无关，而二维分布只与时间间隔与时间间隔有关，即：有关，即：平稳随机过程是在通信系统中占重要地位的一种平稳随机过程是在通信系统中占重要地位的一种特殊而又广泛应用的随机过程。特殊而又广泛应用的随机过程。 111112121121

16、2px ,tpx, px ,x ,t ,tpx ,x ,172 2、宽、宽( (广义广义) )平稳随机过程平稳随机过程( (定义定义): ): 若若X(t)的数学期望为常数，自相关函数只与的数学期望为常数，自相关函数只与时间间隔时间间隔 有关，则称有关，则称X(t)为宽为宽(广义广义)平稳随机过程平稳随机过程不加特殊说明，平稳不加特殊说明，平稳过程均指宽平稳过程均指宽平稳18注意：注意： 通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。以后讨论的随机过程除特殊说明外，稳的随机过程。以后讨论的随机过程除特殊说明外，均假定是平稳的，均假定是平稳

17、的， 且均指广义平稳随机过程，且均指广义平稳随机过程， 简简称平稳过程。称平稳过程。 193、联合宽平稳随机过程、联合宽平稳随机过程 XYXYRt,tE X t Y tR 若若X(t)X(t)，Y(t)Y(t)是平稳随机过程，且是平稳随机过程，且 则称则称X(t)X(t)，Y(t)Y(t)是联合宽平稳随机过程。是联合宽平稳随机过程。205、平稳随机过程相关函数的性质、平稳随机过程相关函数的性质 条件：条件：X(t)是实平稳随机过程。是实平稳随机过程。 210XREXt 若若X(t)X(t)是电流或电压是电流或电压，则，则X2(t)是它在是它在1欧姆电阻上的瞬时功率欧姆电阻上的瞬时功率(t时刻时

18、刻)，而，而RX(0)是其是其统计平均功率统计平均功率(与与t无关无关)。 (4)(4) 若若X(t)=X(t+T)，即为周期是，即为周期是T的随机过程的随机过程 XXRRT 2XXRR 30XXRR (5) (5) 一般当一般当| | |，X(t)与与X(t+)相互独立，所以相互独立，所以 2Xlim REX t 222X60XXE XtEX tRR X(t)的直流功率的直流功率 X(t)的交流功率的交流功率若均值为若均值为0，则方差？则方差？216、各态历经性（遍历性）、各态历经性（遍历性）有种平稳随机过程，它的数字特征（均为统计平均）有种平稳随机过程，它的数字特征（均为统计平均）完全可由

19、随机过程中的任一实现的数字特征（均为完全可由随机过程中的任一实现的数字特征（均为时间平均）来替代。也就是说，假设时间平均）来替代。也就是说，假设x(t)是平稳随机是平稳随机过程过程X(t)的任意一个实现，它的时间均值和时间相关的任意一个实现，它的时间均值和时间相关函数分别为函数分别为221T /T /Tx(t )x(t )dtTlim 221T /T /Tx(t )x(t)x(t )x(t)dtTlim 22如果：如果： 11XP R ()x(t )x(t)P E X(t )x(t ) 宽遍历随机过程宽遍历随机过程：若：若X(t)的均值和自相关均为遍历的，的均值和自相关均为遍历的，则称则称X(

20、t)为宽遍历随机过程为宽遍历随机过程 。 则称该平稳随机过程具有各态历经性。则称该平稳随机过程具有各态历经性。 均值遍历过程均值遍历过程自相关遍历过程自相关遍历过程如果不加特别说明，遍历过程即宽遍历过程。如果不加特别说明，遍历过程即宽遍历过程。本章仅限于研究宽遍历过程。本章仅限于研究宽遍历过程。遍历过程必定是平稳过程遍历过程必定是平稳过程, 平稳过程不一定是遍历过程平稳过程不一定是遍历过程23 强调：强调：对于遍历过程，只要根据其一个样函数，对于遍历过程，只要根据其一个样函数，便可得到其数字特征。便可得到其数字特征。若若X(t)是平稳高斯过程，且是平稳高斯过程，且 0E X t Rd 则则X(

21、t)是遍历过程。是遍历过程。247、平稳随机过程的功率谱密度、平稳随机过程的功率谱密度 随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度的关系平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度的关系平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度互为傅立平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度互为傅立叶变换，即：叶变换，即： XxRPf 著名的维纳辛钦定理！著名的维纳辛钦定理！258、平稳随机过程功率谱密度的性质、平稳随机过程功率谱密度的性质 10XPf 220XXRE XtPf df 30XXPRd (4) (4) 若若X(t)是实平稳随机过

22、程，则是实平稳随机过程，则RX()和和PX(f)均为均为偶函数。偶函数。 2000XXPffGff 是是X(t)在在1电阻上的平均功率电阻上的平均功率 单边功率谱定义：单边功率谱定义：26例例3.3.1 10220p 其其它它 12XXX(t )Rt ,tPf求求的的和和。 并判断是否是广义平稳？并判断是否是广义平稳？ 已知已知X(t)sin(0t+)，其中，其中0为常数，为常数，为为均匀分均匀分布的随机变量，其概率密度为：布的随机变量，其概率密度为：27 0cos21sinsin21coscossinsincoscossinsincossin)()(20020000000 dtdttEtEt

23、tEtEtXEtmXX(t)X(t)的自相关函数为：的自相关函数为：12120 10 20210210210( ,)( )( )sinsin1coscos2211cos0cos22R t tE X tX tEttEtttttt 解：先考察是否是宽平稳过程，条件？解：先考察是否是宽平稳过程，条件？结论：宽平稳！结论：宽平稳！00011cos2( )( )24XXfRPfffff283.4高斯随机过程（正态）高斯随机过程（正态）1.1.定义：若一随机过程的任意定义：若一随机过程的任意n维维（n=1, 2, ）概率概率密度都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态密度都是正态分布，则称它为高斯随机过程

24、或正态过程。公式见过程。公式见P41。 为为方方差差为为数数学学期期望望，2221a2)(exp21 axxp 2.2.性质：性质： （1）高斯过程的宽平稳和严平稳是一致的。高斯过程的宽平稳和严平稳是一致的。（2）对于正态随机过程的任何两个时刻的随机对于正态随机过程的任何两个时刻的随机 变量，不相关也就是统计独立。变量，不相关也就是统计独立。3.3.一维正态分布：一维正态分布： 一维正态概率密度表示式：一维正态概率密度表示式： 29一维正态概率密度曲线一维正态概率密度曲线30一维正态概率密度性质：一维正态概率密度性质：(2) p(x)对称于对称于x=a21)()(1 aadxxpdxxp）（说

25、明说明：a表示分布中心，表示分布中心，表示集中程度，表示集中程度，p(x)图形图形将随着将随着的减小而变高和变窄。的减小而变高和变窄。当当a=0，=1时，称时，称p(x)为标准正态分布的密度函数。为标准正态分布的密度函数。31这个积分无法用闭合形式计算，我们要设法把这个这个积分无法用闭合形式计算，我们要设法把这个积分式和可以在数学手册上查出积分值的特殊函数积分式和可以在数学手册上查出积分值的特殊函数联系起来，一般常用以下几种特殊函数：联系起来，一般常用以下几种特殊函数：正态分布函数：正态分布函数：221()( )exp22xzaF xdz 32（1 1） 误差函数和互补误差函数。误差函数和互补

26、误差函数。 误差函数的定义式为误差函数的定义式为 xtdtexerf022)( 1-1-erf( (x) )为互补误差函数，记为为互补误差函数，记为erfc( (x), ), 即即 dtexerfxerfcxt 221 33 （2 2） 概率积分函数和概率积分函数和Q Q函数。函数。 概率积分函数定义为概率积分函数定义为 2/21x2xtedt Q函数是一种经常用于表示高斯尾部曲线下的面积的函数，函数是一种经常用于表示高斯尾部曲线下的面积的函数，其定义：其定义：2/211( )1( )222txxQ xxedterfc 正态分布函数和概率积分函数的关系：正态分布函数和概率积分函数的关系： )(

27、212/2 axdtexFaxt 用误差函数或互补误差函数表示用误差函数或互补误差函数表示F(x)的好处是的好处是: :它简明的特性它简明的特性有助于今后分析通信系统的抗噪声性能。有助于今后分析通信系统的抗噪声性能。 1122xerfc 343.5平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统随机过程通过系统（或网络）后，输出过程将是什么随机过程通过系统（或网络）后，输出过程将是什么样的过程？样的过程？这里，我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。这里，我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。 随随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线性机信号通过线性系统的分析，完全是

28、建立在确知信号通过线性系统的分析原理的基础之上的。系统的分析原理的基础之上的。线性系统的响应线性系统的响应y(t)等于输入信号等于输入信号x(t)与系统的单位冲与系统的单位冲激响应激响应h(t)的卷积，即的卷积，即 dthxthtxty)()( 将线性系统输入信号将线性系统输入信号x(t)换成随机过程换成随机过程X(t)，则输出信，则输出信号则为随机过程号则为随机过程Y(t)，即，即35 dthXthtXtY)()( 将线性系统输入信号将线性系统输入信号x(t)换成随机过程换成随机过程X(t)，则输出信，则输出信号号y(t)变为随机过程变为随机过程Y(t)，即，即361. 1. 输出随机过程输

29、出随机过程Y(t)的均值的均值设设EX(t)，且系统稳定，且系统稳定 0)()()()()(HmdhmdhtXEdhtXEtYEtmXXY H(0)=?372. 2. 输出随机过程输出随机过程Y(t)的自相关函数的自相关函数 YXXYRdvduvhuhvuRdvduvhuhvuttRdvduvhuhvtXutXEdvvhvtXduuhutXEtYtYEttR )()()()()()()()()()()()(,1221212121结论：平稳随机过程！结论：平稳随机过程！为什么？为什么？383. X(t)3. X(t)和和Y(t)Y(t)的互相关函数与互功率谱密度的互相关函数与互功率谱密度 XYX

30、XXXYRhRduuhuRduuhtutRduuhutXtXEduuhutXtXEtYtXEttR )()()()()()()(,1221212121定义：定义：X(t)X(t)和和Y(t)Y(t)的互功率谱密度是其互相的互功率谱密度是其互相关函数的傅立叶变换关函数的傅立叶变换39定义：定义：X(t)和和Y(t)的互功率谱密度是其互相关函数的傅立叶的互功率谱密度是其互相关函数的傅立叶变换，即：变换，即： XYXYXXPfF RF RhPf Hf4. 4. Y(t)的功率谱密度的功率谱密度 2222222( ) ( )jfYYjfXjfXu vjfujfvjfXXXPfRedRuv h u h

31、v dvdu edh uh vRuv ed dvduh u eduh v edvRedHfHfPfHfPf 令 40十分有用的一个重要公式！想得到输出过程的自相关函数十分有用的一个重要公式！想得到输出过程的自相关函数R Ro o()()时，比较简单的方法：先计算出功率谱密度时，比较简单的方法：先计算出功率谱密度P Po o( ( f ) ) ，然后求其反变换，这比直接计算然后求其反变换，这比直接计算R Ro o()()要简便得多。要简便得多。例题：例题：带限白噪声。试求功率谱密度为带限白噪声。试求功率谱密度为n n0 0/2/2的白噪声通过的白噪声通过理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度、自相关

32、函数和噪声理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为平均功率。理想低通的传输特性为 0200jftHK effHf其他41解：解： 0202020iHnnnKffPP Hf其他0202200220000( )( )22222HHjfnfjffHHHHRPf edfnK edn KfSafn Kf Saf 42带限白噪声的功率谱和自相关函数带限白噪声的功率谱和自相关函数435. 5. 输出过程输出过程Y(t)Y(t)的概率密度的概率密度带限白噪声的自相关函数带限白噪声的自相关函数R Ro o()()在在=0 =0 处有最大值，这是处有最大值，这是带限白噪声

33、的平均功率带限白噪声的平均功率! !结论：结论：(1)(1)若若X(t)X(t)是正态随机过程，是正态随机过程，Y(t)Y(t)也是正态随机过程也是正态随机过程(2)(2)若若X(t)X(t)的带宽远大于系统带宽，则的带宽远大于系统带宽，则Y(t)Y(t)趋于高斯趋于高斯过程（正态过程）过程（正态过程）44 dtXhtY)()( 据此可以确定输出过程的分布。如果线性系统的输入过程是高据此可以确定输出过程的分布。如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。 输出过程在任一时刻得到的每一随机变量，都是无限多个高输出过程在任一时刻得到的每一随

34、机变量，都是无限多个高斯随机变量之和。由概率论得知，这个斯随机变量之和。由概率论得知，这个“和和”的随机变量也的随机变量也是高斯随机变量。这就证明，高斯过程经过线性系统后其输是高斯随机变量。这就证明，高斯过程经过线性系统后其输出过程仍然为高斯过程出过程仍然为高斯过程注意注意：由于线性系统的介入，与输入高斯过程相比，输出过程：由于线性系统的介入，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。的数字特征已经改变了。45信号在信道中传输时，信号在信道中传输时， 常会遇到这样一类噪声，常会遇到这样一类噪声， 它的它的功率功率谱密度均匀分布在整个频率范围内：谱密度均匀分布在整个频率范围内： 02nN

35、Pf0( )( )2NR 3.6 高斯白噪声高斯白噪声这种噪声被称为白噪声，这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机过程。它是一个理想的宽带随机过程。 式式中中N0为一常数，单位是瓦为一常数，单位是瓦/赫。显然，白噪声的自相关函数可赫。显然，白噪声的自相关函数可借助于下式求得，即借助于下式求得，即46高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，不仅是互高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。应当指出，我们所定义不相关的，而且还是统计独立的。应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在实际中是不存在的。但是，如果的这种理想化的白噪声在实际中是不存在的。但是

36、，如果噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。作频带，我们就可以把它视为白噪声。 这说明，白噪声只有在这说明，白噪声只有在=0时才相关，而它在任意两个时时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。刻上的随机变量都是互不相关的。如果白噪声又是高斯分布的，如果白噪声又是高斯分布的， 我们就称之为高斯白噪声。我们就称之为高斯白噪声。理论分析的理论分析的重要模型重要模型473.7窄带随机过程窄带随机过程1 1、窄带随机过程的定义：、窄带随机过程的定义：随机过程通过以随机过程通过以fc为中心频为中心

37、频率的窄带系统的输出，即是窄带随机过程。所谓窄带系率的窄带系统的输出，即是窄带随机过程。所谓窄带系统，是指其通带宽度统，是指其通带宽度f1时，在时，在v=a附近，近似高斯分布（即附近，近似高斯分布（即A,大信噪比时）大信噪比时）683.8匹配滤波器匹配滤波器匹配滤波器是保证输出信噪比最大的线性滤波器。匹配滤波器是保证输出信噪比最大的线性滤波器。匹配滤波器在数字通信理论、信号最佳接收理论以匹配滤波器在数字通信理论、信号最佳接收理论以及雷达信号的检测理论等方面均具有重要意义。及雷达信号的检测理论等方面均具有重要意义。691、匹配滤波器的定义、匹配滤波器的定义 02nNP n(t)：均值为：均值为0

38、的白噪声，双边功率谱为的白噪声，双边功率谱为n0(t)：n(t)的响应，是一个随机过程的响应，是一个随机过程( )( )s tS 定义：定义：我们称保证在某时刻我们称保证在某时刻t0输出信号输出信号s0(t0)的瞬时功的瞬时功率与输出噪声率与输出噪声n0(t)的平均功率之比的平均功率之比(输出信噪比最大的输出信噪比最大的线性滤波器为线性滤波器为信号信号s(t)的匹配滤波器的匹配滤波器。70说明说明1：在相同条件下在相同条件下(输入相同输入相同)，不同滤波器的输出，不同滤波器的输出信噪比不一样，能够保证在信噪比不一样，能够保证在tt0抽样时刻输出信噪比抽样时刻输出信噪比最大的滤波器就是匹配滤波器

39、。所以匹配滤波器又称最大的滤波器就是匹配滤波器。所以匹配滤波器又称为保证最大输出信噪比的最佳线性滤波器。为保证最大输出信噪比的最佳线性滤波器。说明说明2：只有当只有当n(t)是白噪声时，可以保证输出信噪比是白噪声时，可以保证输出信噪比最大的滤波器才被称为匹配滤波器；当最大的滤波器才被称为匹配滤波器；当n(t)不是白噪声不是白噪声时，可以保证输出信噪比最大的滤波器被称为广义匹时，可以保证输出信噪比最大的滤波器被称为广义匹配滤波器。配滤波器。712、匹配滤波器的传递函数与单位冲激响应、匹配滤波器的传递函数与单位冲激响应目标：目标：寻找能够保证在寻找能够保证在t=t0抽样时刻的输出信噪比最大抽样时刻

40、的输出信噪比最大的的H()和和h(t)00( )( )s tS 令令( )( )s tS 0( )( )( )SSH 0011( )( )( )( )22j tj ts tSedSHed 72在在t=t0抽样时刻，滤波器输出为抽样时刻，滤波器输出为2000200( )( )s trE nt 0001()( )( )2j ts tSHed 在在t=t0抽样时刻，滤波器输出的输出信噪比为抽样时刻，滤波器输出的输出信噪比为问题：问题：如何求得如何求得n0(t)的平均功率？的平均功率？ 利用功率谱密度！利用功率谱密度！n0(t)的功率谱密度如何求得？的功率谱密度如何求得？020( )( )2nNPH

41、n0(t)的平均功率：的平均功率：22001( )22NE ntHd ）73匹配滤波器的输出信噪比为：匹配滤波器的输出信噪比为：020201( ) ( )21( )22j tHSedrNHd 分析：分析：S()是输入，做为已知条件出现！是输入，做为已知条件出现！方法：方法：分析：分析：H() 是满足是满足r0最大的待求量最大的待求量许瓦尔兹不等式！许瓦尔兹不等式！74222111( ) ( )( )( )222XYdXdYd 对于任意复函数：对于任意复函数：( )( )XY，存在下列不等式：存在下列不等式：注意：注意：当当*( )( )XKY 上式中的等号成立！上式中的等号成立！(K为常数为常

42、数)0( )( )( )( )j tXHYSe 令令，,有下述关系式：有下述关系式：7522220200011( )( )( )24( )4HdSdSdErNNNHd 说明说明1：其中：其中E是信号是信号s(t)的能量的能量1( )2ESd 2 2说明说明2：线性滤波器在：线性滤波器在tt0时刻能够给出最大信噪比为：时刻能够给出最大信噪比为：0max02ErN 20max0022EErNNE输出信号输出信号瞬时功率瞬时功率输出噪声输出噪声平均功率平均功率0*( )( )j tHKSe 此时此时这是最佳线性滤波器的传输特性这是最佳线性滤波器的传输特性!76匹配滤器匹配滤器000*()()0011

43、( )( )( )22( )21( )2( ) ()()j tj tj tjttjjtth tHedKSeedKsededKedsdKstt dKs tt 0*( )( )j tHKSe 说明：保证输出信噪比最大的线性滤波器的传输特性说明：保证输出信噪比最大的线性滤波器的传输特性与与s(t)的频谱的复共轭相一致，所以称这种滤波器为的频谱的复共轭相一致，所以称这种滤波器为信号信号s(t)的的匹配滤波器的单位冲激响应：匹配滤波器的单位冲激响应：交换积交换积分顺序分顺序时移时移性质性质770( )()h tKs tt 分析：匹配滤波器必须要物理可实现！（条件）分析：匹配滤波器必须要物理可实现！（条件）0, ( )0th t 所以：所以：00, ( )00, ()0th tts tt