3.1.1空间向量及其加减运算

1、金太阳好教育云平台 第三章 空间向量与立体几何3.1.1 空间向量及其加减法本节课主要学习空间向量的概念，几何表示法和字母表示法，以及加减运算 .借助动画复习平面向量及其加减法，从生活中可以发现空间向量的存在，进行新课导入.运用类比的思想，类比平面向量及其加减法学习空间向量及其加减法 例1是关于空间向量的表示 ；例2是利用空间向量的加减法及线性表示求参数 ；例3是证明向量等式的。在讲解本节的时候一定注意和平面向量对比学习，最好这节课是在老师铺设背景，用过探究的形势完成.已知已知F1=2000N,F2=2000N,F1F2F3F3=2000N,这三个力两两之间的夹角都为60度,它们的合力的大小为

2、多少N?这需要进一步来认识空间中的向量这需要进一步来认识空间中的向量平面中存在向量平面中存在向量, ,空间中是否也有向量空间中是否也有向量? ?看下面建筑 这个建筑钢架中有很多向量，这个建筑钢架中有很多向量，但它们有些并不在同一平面内但它们有些并不在同一平面内这就是我们今天要学习的空间这就是我们今天要学习的空间向量向量. .你能怎样确定高压线塔上的人的位置呢？疯狂妇女坐高压线塔上http:/ 1. 1. 空间向量空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量. 向量的大小叫做向量的长度或模 (modulus). 概念概念2. 2. 空间向量的表示空间向量的表示AB 向量 的起点是A，终

3、点是B，则向量 也可以记作AB，其模记为| |或|AB|aaaa 3. 3. 相反向量相反向量 与向量 长度相等而方向相反的向量,称为 的相反向量，记为 . 4. 4. 相等向量（相等向量（equal vectorequal vector） 方向相同且模相等的向量称为相等向量.aaa提升总结:（1）我们规定，长度为0的向量叫做零向量（zero vector），记为 .当有向线段的起点A与终点B重合时， = .00AB（2）模为1的向量称为单位向量（unit vector）.（3）两个向量不能比较大小，因为决定向量的两个因素是大小和方向，其中方向不能比较大小.（1 1）空间的一个平移就是一个向量

4、）空间的一个平移就是一个向量. . （2 2）向量一般用有向线段表示）向量一般用有向线段表示, ,同向等长的有向线段同向等长的有向线段表示同一或相等的向量表示同一或相等的向量 . .（3 3）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示段来表示. . 结论：结论：空间任意两个向量都是共面向量，空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示. .bAOBaba1. 空间向量的加减运算 由于任意两个空间向量都能平移到同一空间，所以空间向量的加减运算与平面向量的加减运算相同.AoabB空间向

5、量的加减运算空间向量的加减运算a-ba+baboABC加法加法: : OB=OA+AB=a+b OB=OA+AB=a+b，减法：减法：CA=OA-OC=a-b.CA=OA-OC=a-b.2. 空间向量的加法运算律 （1）加法交换律 a + b = b + a （2）加法结合律 (a + b) + c = a + (b + c) 你能证明你能证明下列性质吗？下列性质吗？证明加法交换律证明加法交换律: :aa+baboABCb因为因为 OA = CB = a， AB = OC = b，所以所以 a + b = b + a.请同学们来证明一下加法结合律请同学们来证明一下加法结合律. . (1)空间向

6、量的运算就是平面向量运算的推广. (2)两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立. (3)空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加.3.对空间向量的加减法的说明空间向量加减运算的推广空间向量加减运算的推广（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；nnnAAAAAAAAAA11433221（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。01433221AAAAAAAAn做一做、想一想做一做、想一想ABCDA1B1C1D1?1AAADAB?1ADAAAB化简结果的向量：列向量表达式，并标出，化简下已知平行六面体DCBAABCD ；BCAB ；A

7、AADABABCDABCD例例1(4)ACD BDC (3)ABCBAA 典例展示典例展示ABCDA B C D已知平行六面体，化简下列向量表达式，并标出化简结果例1、的向量：；BCAB 解：ABCDABCDBCAB AC；AAADABAAADABAAAC CCAC AC 始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量.(4)ACD BDC (3)ABCBAA 例2：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1111111 )3(2 )2(ACxADABACA

8、CxBDADACxCCDAAB1111 ) 1 (例2：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D11111(1) ABA DC C 解. 1 1111xACCCCBABACxCCDAAB1111 ) 1 (例2：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1 11(2)2 ADBD 解 ：111BDADAD)(111BDBCAD111CDAD 1AC1112 )2(ACxBDAD. 1 x例2：已知平行六面体ABCD-AAB

9、CD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1 11(3)ACABAD 解：)()()(11ADAAABAAABAD)(21AAABAD12AC111(3)ACABADxAC . 2 xABCDDCBA) ( ) 1 (CCBCABxACADyABxAAAE ) 2(在立方体AC1中,点E是面AC 的中心,求下列各式中的x,y.E变式变式1:ABCDDCBA) ( ) 1 (CCBCABxACE在立方体AC1中,点E是面AC的中心,求下列各式中的x,y.(1)X=1变式变式1:ABCDDCBAADyABxAAAE ) 2(E在立方体AC1中

10、,点E是面AC 的中心,求下列各式中的x,y. AEAAA E 解：解：12AEAC ACAB AD 11,22xy 变式变式1:一、回顾本节课你有什么收获？一、回顾本节课你有什么收获？1.1.空间向量的概念空间向量的概念. . 在空间，具有大小和方向的量在空间，具有大小和方向的量. .2.2.空间向量的加减运算空间向量的加减运算. . 空间向量的加减运算应用三角形法则和平行四边形法则空间向量的加减运算应用三角形法则和平行四边形法则. .3.3.空间向量的加法符合交换律，结合律空间向量的加法符合交换律，结合律. .4.4.平面向量与空间向量平面向量与空间向量. . 空间任意两个向量都可平移到同

11、一个平面内，成为同一平面内的向量空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量. . 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们它们. . 字母表示法字母表示法 向量的大小向量的大小定义表示法向量的模aABAB aaABaAB 平面向量平面向量空间向量空间向量具有大小和方向的量具有大小和方向的量在空间，具有大小和在空间，具有大小和方向的量方向的量 几何表示法几何表示法几何表示法几何表示法字母表示法字母表示法 向量的大小向量的大小二、空间向量的基本概念二、空间向量的基本概念相等向量相反向量单位向量零向量平面向量平面向量空间向量空间向量 长度为零的向量长度为零的向量 长度为零的向量长度为零的向量模为模为1 1的向量的向量模为模为1 1的向量的向量长度相等且方向长度相等且方向相反的向量相反的向量长度相等且方向长度相等且方向相反的向量相反的向量方向相同且模相等的向量方向相同且模相等的向量方向相同且模相等的向量方向相同且模相等的向量平面向量平面向量空间向量空间向量加法减法运算加法减法运算加法：三角形法则或平行加法：三角形法则或平行四边形法则四边形法则减