细说抽象函数的周期性

1、2.3.4.5.证明：f(xa)f(xb)f(x)f(xba)of(xa)f(x)型:f(x)的周期为2a。证明：f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)f(x)例.设f(x)是R上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)f(20055)等于()A.0.5B.0.5C.D.1f(xa)型f(x):f(x)的周期为2ao证明：f(x2a)f(xa)a11f(x)of(xa)1叫函数f(x)的周期。f(xa)f(xb)型：f(x)的周期为|ba|。f(x)x，则证明：f(x2a)f(xa)a1f(xa)f(x)o抽象函数的周期抽象函数的周期没有具体公式，它需要掌握一定的规律，记住一些抽

2、象函数的格式。本文列出几种常见的抽象函数的周期类型，供大家参考(以下x取定义域内的任意值且a、b、T为非零常数，b)。1.f(x)f(xT)型：f(x)的周期为To证明：对x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，则f(x)为周期函数，T1f(xa)型：f(x)的周期为2a。f(x)6.f(xa)1一3型：f(x)的周期为4a1f(x)11f(x)证明：f(x2a)占1f(xa)af(xa)1f(x)11f(xa)11f(x)f(x)1f(x).f(x4a)f(x2a)2a11f(x)of(x2a)1f(x)7.两线对称型:函数f(x)关于直线xa、xb对称，则f(x)的周期为pb2a

3、|o证明：f(x)f(2ax),f(2ax)f(2bx)f(x)f(x2b2a)f(x)f(2bx)正弦函数ysinx关于直线x23x对称，则ysinx的周期为23|2X2X|2o228.一线一点对称型：函数f(x)关于直线xa及点(b,0)对称，贝Uf(x)的周期为|4b4a|o证明：f(x)f(2af(2bx)f(x4b4a)f(2ax)f(2bx)f(x2b2a)f(x)，所以f(x)f(x2b2a)2b2af(x2b2a)f(x)f(x)余弦函数ycosx关于直线x0及点(尸，0)对称，则ycosx的周期为|4X4X0|229.两点对称型：f(2a证明：f(2b正弦函数ypX函数x)x

4、)2X0|f(x)关于点(a,0)、(b,0)对称，贝Uf(x)的周期为|2b2a|。f(x)f(x)f(2ax)f(2bx)f(x)f(x2b2a)。sinx关于点(0,0)、(，2。0)对称，则ysinx的周期为习题1.若f(2x)的图象关于直线b2(bba2a)对称,则f(x)的一个周期为bB.22. 设函数yf(x)是定义在x2,2时，函数f(x)3. 在R上定义的函数f(x)是偶区间1,2上是减函数，则f(x)A.A.B.C.D.在区间在区间在区间在区间2,2,2,2,4.设2(ba)C.D.4(ba)R上的偶函数，它的图象关于直线x21，则x6,2时,函数，1上是增函数，在区间1上

5、是增函数，在区间1上是减函数，在区间1上是减函数，在区间3,43,43,43,42对称，已知f(x)且f(x)f(2x),若f(x)上是增函数上是减函数上是增函数上是减函数f(x)是定义在R上的奇函数，且yf(x)的图象关于直线x对称，则f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)R上的奇函数f(x)满足f(x2)B.0C.5.已知定义在A.1D.f(x)，则f(6)的值为26.已知偶函数yf(x)满足f(x1)f(x1)，且当x1,0时，f(x)3x则f(log15)的值等于329507.设f(x)为R上的奇函数，且f(f(2)loga2，则a的取值范围是A.1B.C.10145x)f(xD.3

6、)0,若f(1)18.函数f(x)对于任意实数X满足条件f(x2)1，若f(1)f(x)11A.5B.5C.D.559. 已知定义在R上的函数yf(x)满足下列三个条件： 对于任意的xR,都有f(x4)f(x)； 对于任意的0x22，都有f(x)f(x2)； 函数yf(x2)的图象关于y轴对称。则下列结论正确的是A.f(6.5)f(5)f(15.5)B.f(5)f(6.5)f(15.5)C.f(5)f(15.5)f(6.5)D.f(15.5)f(5)f(6.5)10. 定义在(,)上的偶函数f(x)满足f(x1)f(x)，且在1,0上是增函数，下面是关于f(x)的判断： f(x)是周期函数； f(x)的图象关于直线x1对称； f(x)在0,1上是增函数； f(2)f(0).其中正确的判断是(把你认为正确的判断都填上)。11. 设函数f(x)在(，)上满足f(2x)f(2x),f(7x)f(7x)，且在闭区间0,7上只有f(1)f(3)0.试判断函数yf(x)的奇偶性；试求方程f(x)0在闭区间2005,2005上的根的个数，并证明你的结论。12. 函数yf(x)的图象为C1,C1关于直线x1对称的图象为C2，将C2向左平移2个单位后得到图象C3，则Cs对应函数为A.yf(x)B.yf(1x)C.yf(2x)D.yf(3x)13函数yf(x)(xR)满足f(x)是偶函数，又f(0