线性代数知识点归纳

1、线性代数复习要点第一部分行列式1.排列的逆序数2.行列式按行（列）展开法则3.行列式的性质及行列式的计算行列式的定义1行列式的计算:aiiai2ain（定义法）Dna2iMa22Ma2nM(jij2Ljn)(i)aijia2j2Lanjnjij2Ljnanian2ann思丐题：用定义计算行列式012-1-1010t)3-2031-1解;用树图分析丿3一17r(2143)=2r(2413)=331故Z?=-3+2-12+9=-4t(2431)=4（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元

2、素的代数余子式乘积之和等于零aaaaLaAA，ij,aiiAjiai2Aj2LainAjn0,ij.（化为三角型行列式）上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上兀素的乘积b11»b22Lbnn0bnn若A与B都是方阵（不必同阶）AOAOBOBOAABOBO,则AB1)mnABa1nOa1na2n1a2n1NNan1Oan1O11L1关于副对角线:X2Xn2XnX12X1XiXjn(n1)(1)ama2nKaM范德蒙德行列式:ab型公式:abbMMn1X1LMn1X2Mn1XibbbMa(n1)b(an1b)（升阶法）在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法（递推公式法）对n

3、阶行列式Dn找出Dn与Dn1或Dn1,Dn2之间的一种关系称为递推公式，其中Dn,Dn1,Dn2等结构相同，再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法拆分法）把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和,使问题简化以例计算.（数学归纳法）2.对于n阶行列式A，恒有：EAnn（1）kSknk，其中Sk为k阶主子式;3. 证明A0的方法:、A|A；、反证法;、构造齐次方程组Ax0，证明其有非零解;、利用秩，证明r(A)n；、证明0是其特征值.4.代数余子式和余子式的关系：Mij(1)iJAijAij(1)ijM,第二部分矩阵1.矩阵的运算性质2.矩阵求逆3.矩

4、阵的秩的性质4.矩阵方程的求解a11La1n1.矩阵的定义由mn个数排成的m行n列的表Aa21a22La2n称为mMMMam1am2Lamn记作：Aaij或Amnmnn矩阵.同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等矩阵相等：两个矩阵同型，且对应元素相等矩阵运算a. 矩阵加(减)法：两个同型矩阵，对应元素相加(减)b. 数与矩阵相乘：数与矩阵A的乘积记作A或A，规定为A(aj)c. 矩阵与矩阵相乘：设A(aij)ms,B(bj)sn,则CAB(Cj)mn，其中bjbjCij(ai1,ai2,L,as)Mai1bljai2b2jLVsQjbsjABba注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律，即公式AB

5、BA不成立.AB0A0或B=0a.分块对角阵相乘:An,BBiiABAiiBiiAnb.用对角矩阵乘一个矩阵，相当于用的对角线上的各兀素依次乘此矩阵的(行向量;a0L0LbinLa1blnB0a2L0b22Lb2na221*2匕22La2b2nMMOMMMOMMMOM00Lambm1bm2L'mnambm1ambm2LabmMmnc.用对角矩阵(右右乘一个矩阵，相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的(列)向量.£LDna10L0a1bl1a2bl2LamdnBb21鸟2Lb2n0a2L0睑1*2匕22Lamb2nMMOMMMOMMMOM“1bm2Lbmn00Lama1m1a

6、2Um2LambmnA22B22d.两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘方阵的幕的性质：AmAnAmn，(Am)n(A)mn矩阵的转置：把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作A.a.对称矩阵和反对称矩阵：A是对称矩阵=>Aat.b.分块矩阵的转置矩阵:伴随矩阵：AAjA是反对称矩阵A11A2MAnAtBtCTDtAt.AA*A*AAE,An分块对角阵的伴随矩阵:A21A22MA2nAnn*BA*ABAj为A中各个元素的代数余子式(1)mnBA1)mnAB矩阵转置的性质：(at)tA(AB)TbtatATIA(A1)T(AT)1(at)(A)t矩阵可逆的

7、性质：(A1)1A111(AB)BAA1IIA1/n1、k/nk、1.k(A)(A)A伴随矩阵的性质：(A)|An2A(AB)BAAl|An1(A1)(A)1Hkk(A)(A)n若r(A)nr(A)1若r(A)n10若r(A)n1|AB|A|BAk|IAkAAAA|AE（无条件恒成立）伴随矩阵法Aadbeca主L换位副L变号2.逆矩阵的求法方阵A可逆A0.初等变换法（AhE）初等行变换(EIA1)分块矩阵的逆矩阵：A1A11AB1BB1BA1A1CA1A1CB1A1OA1OOBOBCBB1CA1B1111a1a1a215a21a3丄a3丄配方法或者待定系数法（逆矩阵的定义ABBAEA1B）3行

8、阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线的下方全为0;每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零当非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在列的其他元素都是0时,称为行最简形矩阵4. 初等变换与初等矩阵对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换初等变换初等矩阵初等矩阵的逆初等矩阵的行列式rirj(CiC)E(i,j)1E(i,j)E(i,j)|E(i,j)|1rik(Cik)E(i(k)Ei(k)1Ei(k)|Ei(k)|kEi,j(k)15.矩阵的秩rirjkgCjk)对A施行一次初等（行行变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵（左乘A；对A施行一次初等（列）变换得到的矩阵，

9、等于用相应的初等矩阵（右右乘A.注意：初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵矩阵的初等变换和初等矩阵的关系:关于A矩阵秩的描述:、r(A)、r(A)r(A)A中有r阶子式不为0,r1阶子式A的r阶子式全部为0;A中存在r阶子式不为0;（存在的话）全部为0；?矩阵的秩的性质:r(A)r(kA)r(A)>1；AOr(AT)r(ATA)r(A)其中k0若Amn,Bns,若r(AB)0r(AB)wminr(A),r(B)P、Q可逆,r(A)r(PA)r(A)0;0wr(Amn)wmin(m,n)r(B)nr（A）B的列向量全部是r(AQ)r(PAQ);r(A

10、mn)Ax只有零解r(AB)r(B)A在矩阵乘法中有左消去律r(Bns)r（AB）r（B）B在矩阵乘法中有右消去律若r(A)rA与唯一的OrO等价称r(AB)wr(A)r(B),maxr(A),r(B)wAar(A)r(B),rAx0的解ErO即：可逆矩阵不影响矩阵的秩ABABOBOACBC为矩阵A的等价标准型r(A,B)wr(A)r(B)Cr(A)r(B)求矩阵的秩：定义法和行阶梯形阵方法6矩阵方程的解法(A0):设法化成(I)AXB(II)XAB(I)的解法：构造(AMB)初等行变换(EMX)(II)的解法:AE构造L初等列变换L(II)的解法:将等式两边转置化为atxtbt,用的方法求出

11、xt,再转置得X第三部分线性方程组1.向量组的线性表示2.向量组的线性相关性3.向量组的秩4.向量空间5. 线性方程组的解的判定6. 线性方程组的解的结构(通解)(1)齐次线性方程组的解的结构(基础解系与通解的关系)(2)非齐次线性方程组的解的结构(通解)1.线性表示：对于给定向量组2丄，n,若存在一组数k1,k2丄,kn使得k11k22Lknn,则称是1,2,L,n的线性组合，或称称可由1,2,L,n的线性表示线性表示的判别定理：可由1,2,L,n的线性表示由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程a1X1a12X2La1nXnb1、a21X1a22X2La2nXnb2有解LLLLLLLL

12、LLLam1X1am2X2LanmXnbna1a12La1nX1b1、a21a22La2nX2b2AxMMOMMMam1am2LamnXmbm2.设Amn，Bns，A的列向量为1,2,n，B的列向量为i,2,s，biiLbisb)2ib)22Lb2s则ABCms1,2,nG，C2丄,OsMMMbnibn2LbnsAic，(i1,2,L,s)Xi、ai.X2日2LanM（全部按列分块，其中Xn、axa?X2LanXn（线性表出）、有解的充要条件:bib2)；Mr（A）r（A,）n（n为未知数的个数或维数）为Axc的解Ai,2,sAi,A2,AsCi,C2,L,CsC|,C2,L,Cs可由i,2:

13、,n线性表示.即：C的列向量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵同理：C的行向量能由B的行向量线性表示，A为系数矩阵aia2LainiCiaiiiai22Lain2q即：a2ia22La2n2C2a2iia222La2n2C2MMMMMLLLanian2Lamnncmamiiam22Lamn2Cm向量b能山向駅组/线性表示线性方程组Ax冇解向疑组占能曲向昴组/线性表示AX=8有解WJt®玉兀暫向最纽A与向量组J?等价数臥岛，砥*使得杓叭*斎码+（零向屋）3.线性相关性向量组/：夕1*屿*Sx线性相关则称向屆纟F1/是线性相芸的，否则称它是线件1義的.脚元齐次线性方稈组Ax0匸）JKA

14、）jn有非零解判别方法:法1对于向量组码%,%+馬$+上舁珂=0的线性相关性等价丁齐次线性方程组你占+碣虫+十斫丿”=0是否有非零解(1齐欲线件方程组有非宙解Q向毘细线性相艮:(2齐次线性方程组乂冇零解O向試纽役性无关-关于向量组辰，,设矩阵A=(dfj(Z.+(7;)(1) 7*(-4)<W7O向量组塢卒,钱性相关;(2) r(A)=mo向量组aa2am线性无关.法3推论定理3向量组召几(皿沏銭性相关的充分必要集件是该向虽纟n屮至少宵个向暈可由其余向量銭性表示.设孑r?个澀向8a-=(如倚"心)(/=1,2,，处rtlara2,%构成的并阶彳f列式5如气5fl*i2DhOu&

15、gt;向竝组匕心线性无关;D二0o向量组ai9a29.yax线性相关.线性相关性判别法（归纳）向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组4丐,线性无关如果拚町+為昭+力耳=0零向量）贝!J必有A-A-Ar-®*朋元齐次线性方程组r=0只有零解.輛肺阵（為幻，槽丿的秩等于向帛的个数酬.向量组/中任何一个向量都不能由其余删-1个向量线性表示.?线性相关性的性质 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关 部分相关，整体必相关；整体无关，部分必无关.（向量个数变动） 原向量组无关，接长向量组无关；接长向量组相关，原向量组相关.（向量维数

16、变动） 两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关向量组1,2,n中任一向量i（1wiwn）都是此向量组的线性组合燧大无关组若在向0俎川中找到向戟內*色*，碍满足（1）鬲:仪j*性*叫綫性丄关，強）A中忏一问邱战可山.和童爭，刚耐用祖“圧同帚坦丿旳拘ia向量空间的基设卩为向制帘的.ATT尸个向氷旳，*“卩、月满足 "牡斗线性无黄; 尸中任向谥梆可由“町蜒性表示则称向圮纽角卫亠就称为向址空阿F的一个基.棊础解系若齐次城性方&紺五=0的一创1解向城f-点渦足烷农一心线性无矩（2）彳工二伽勺任解那可山二蟲上线性表示*则称如张皿称为缶=a时一个甚础解礼若1,2,n线

17、性无关，而1,2,n,线性相关,则可由1,2,n线性表示，且表示法唯一4. 最大无关组相关知识向量组的秩|向量组1,2,L,n的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩记作r（1,2,L,n）|矩阵等价A经过有限次初等变换化为B.向量组等价1,2,n和1,2,n可以相互线性表示记作：1,2,n%1,2矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩.行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，且不改变行(列)向量间的线性关系 向量组1,2,s可由向量组1,2,n线性表示,且Sn，则1,2,s线性相关向量组1,2,s线性无关，且可由1,2,n线性表示，则S门. 向量组1,2,s

18、可由向量组1,2,n线性表示，且r(1,2,s)r(1,2,n),则两向量组等价; 任一向量组和它的极大无关组等价向量组的任意两个极大无关组等价 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定 若两个线性无关的向量组等价，则它们包含的向量个数相等 设A是mn矩阵,若r(A)m,A的行向量线性无关；5. 线性方程组理论线性方程组的矩阵式Ax向量式X11X22LXnn&1312LainX1bl1j321322L32nX2b2jA,x,其中j,j1,2,L,nMMMMMMam1am2Lamnxnbmmj(1)解得判别定理定理：序元线性方程组 无解的充分必耍条件是环; 有唯一解的充

19、分必婆条件杲爲心£外=为； 有无限多解的充分必要条件是凰劲血4囱并(1)1,2是Ax的解,12也是它的解(2)是Ax的解,对任意k,k也是它的解齐次方程组(3)1,2,L,k是Ax的解,对任意k个常数1,2,L,k,1122kk也是它的解(4)是Ax的解,是其导出组Ax的解,是Ax的解(5)i,2是Ax的两个解,12是其导出组Ax的解(6)2是Ax的解,则1也是它的解12是其导出组Ax的解(7)1,2,L,k是Ax的解，则1122Lkk也是Ax的解12Lk2)线性方程组解的性质：12112L12Lkk是Ax0的解k0判断1,2丄，s是Ax的基础解系的条件： 1,2,L,s线性无关；

20、1,2,L,s都是Ax的解；snr(A)每个解向量中自由未知量的个数(4)求非齐次线性方程组Ax=b的通解的步骤(1)将增广矩阵(Ab)通过初等行变换化为阶梯形矩阵；当r(Ab)r(A)rn时，把不是首非零元所在列对应的nr个变量作为自由元；令所有自由元为零，求得Axb的一个特解0；(4) 不计最后一列，分别令一个自由元为1，其余自由元为零，得到Ax0的基础解系1,2,.,n-r;(5) 写出非齐次线性方程组Axb的通解x0k11k22.knrnr其中k1,k2,.,knr为任意常数（5）其他性质一个齐次线性方程组的基础解系不唯一1,丄，s,线性无关VAx与Bx同解（代B列向量个数相同）ArB

21、r（A）r（B），且有结果: 它们的极大无关组相对应，从而秩相等; 它们对应的部分组有一样的线性相关性； 它们有相同的内在线性关系V矩阵Amn与Bln的行向量组等价齐次方程组Ax与Bx同解PAB（左乘可逆矩阵P）;矩阵Amn与Bin的列向量组等价AQB（右乘可逆矩阵Q）第四部分方阵的特征值及特征向量1. 施密特正交化过程2. 特征值、特征向量的性质及计算3. 矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化1.标准正交基n个n维线性无关的向量，两两正交，每个向量长度为1.亠=TT向量a,a2,L,an与b,b2丄，bn的内积(n)abvaib_a2br_L_anbni1与正交（，）0记为:向量q,a

22、2,L,anT的长度|,)a2腐afL訂i1I是单位向可II,）1.即长度为1的向量.2.内积的性质：正定性：（，）0,且（，）0对称性：（，）（，）"若是Ax的一个解，iL,s是Ax的一个解线性性：(12,)(1,)(2,)(k,)k(,)3.设A是一个n阶方阵，若存在数和n维非零列向量x,使得Axx，则称是方阵A的一个特征值,X为方阵A的对应于特征值的一个特征向量A的特征矩阵EA0(或AE0)A的特征多项式()(或AE()()是矩阵A的特征多项式(A)OA12LntrA，trA称为矩阵A的迹.上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素.若A0,则0为A的特征值，且

23、Ax的基础解系即为属于0的线性无关的特征向量n，f(A)是多项式,则:r(A)1A疋可分解为A=a2“b,b2,ML2,bn、A(印a?b2Lang)A,从而A的特征值an为：1trAa?b?Lanbn,23Ln0.邈a1,a2,L,anT为A各行的公比，b,b2丄,bn为A各列的公比.ai若A的全部特征值1,2丄 若A满足f(A)OA的任何一个特征值必满足f(i)0 f(A)的全部特征值为f(1),f(2)L,f(n)；If(A)f(i)f(2)Lf(n).A与At有相同的特征值，但特征向量不一定相同4. 特征值与特征向量的求法(1)写出矩阵A的特征方程AE0，求出特征值根据(AiE)x0得

24、到A对应于特征值i的特征向量设(AiE)x0的基础解系为1,2丄nri,其中rir(AiE).knrinri,则A对应于特征值i的全部特征向量为k11k22L其中ki,k2,L,心为任意不全为零的数5.A与B相似P1APB（P为可逆矩阵）6.A与B正交相似A可以相似对角化相似矩阵的性质:P1APBA与对角阵（P为正交矩阵）相似（称是A的相似标准形）EB,从而代B有相同的特征值，但特征向量不一定相同囲是A关于o的特征向量,P1是B关于o的特征向量.trAtr从而代B同时可逆或不可逆r(A)r(B)若A与B相似，则A的多项式f（A）与B的多项式f（A）相似.7.矩阵对角化的判定方法n阶矩阵A可对角

25、化（即相似于对角阵）的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量,主对角线上的元素为A的特征值.这时，P为A的特征向量拼成的矩阵，P1AP为对角阵i为对应于j的线性无关的特征向量,则有:P1APA可相似对角化nr(iEA)ki，其中kj为的重数A恰有n个线性无关的特征向量.：当i0为A的重的特征值时,A可相似对角化i的重数nr（A）Ax基础解系的个数.若n阶矩阵A有n个互异的特征值A可相似对角化8.实对称矩阵的性质: 特征值全是实数，特征向量是实向量； 不同特征值对应的特征向量必定正交；：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 一定有n个线性无关的特征向量若A有重的特征值，该特征值i的

26、重数=nr(iEA); 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形； 两个实对称矩阵相似有相同的特征值9.正交矩阵aAE正交矩阵的性质：Aa1； aAatae； 正交阵的行列式等于1或-1； A是正交阵,则A,A1也是正交阵； 两个正交阵之积仍是正交阵； A的行(列)向量都是单位正交向量组10.求正交矩阵把实对称矩阵化为对角阵的方法；1. 解特征方程A-AE=O,求出对称阵A的全部不同的特征值人.心,心2. 对每个特征值人，求出对应的特征向量，即求齐次线性方程组-ZtE)x=0的基础解系。3. 将属于每个人的特

27、征向屋先正交化，再单位化。这样共可得到"个两两正交的单位特征向量坯，羽,4. 以为列向量构成正交矩阵T=有TAT=A11.施密特正交规范化3线性无关,正交化2,1,3,1,2)1)1)(3,2)2)单位化:2-技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。代入方程，确定其自由变量让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个解向量第四部分二次型1.二次型及其矩阵形式1.2.3.二次型向标准形转化的三种方式正定矩阵的判定二次型f(X1,X2丄,Xn)其中A为对称矩阵,A与B合同CtACB.naXj(X1,X2丄,Xn)j1a11a,2LainX1a21a22La2nX2LLLLLan1an2LannXnxtAx(X1,X2丄,Xn)T(代B为实对称矩阵,C为可逆矩阵正惯性指数二次型的规范形中正项项数符号差2pr(r为二次型的秩)负惯性指数二次型的规范形中负项项数两个矩阵合同它们有相同的正负惯性指数两个矩阵合同的充分条件是：A与B等价两个矩阵合同的必要条件是：r(A)r(B)疋：他们的秩与正惯性指数分别相等:正交变换diyi2标准形12.f（xX2丄，人）xtAx经过：'合同变换xCy化为f可逆线性变换正交变换法用正交变换化二次型为标准形（规范形）的具体步骤1将一次即衷咗她即也式/三xtAx.出占2求出且的所召特征值舛爲人:良求H对应于特征值的