考研数学三公式大全

1、高等数学公式导数公式：(tanx)2secx(arcsinx)(cotx)2cscx(secx)secxtanx(arccosx)(cscx)cscxcotx(ax)axIna(arctanx)(Iogax)1(arccotx)1a1x2x215/19基本积分表:tanxdxIncosxCcotxdxInsinxsecxdxInsecxtanxdx2cosxdxsin2x2secxdx2cscxdxtanxCcotxCcscxdxIncscxcotxsecxtanxdxsecxCcscxcotxdxcscxC22caxadx122xa2adx122ax2adx-adx1InxaxaIn-ax2

2、2,axxaxdxCInashxdxchxCchxdxshxCdxIn(xx2a2)C22Innsinxdxncosxdx00、x2a2dxx2:xa22x22adxx2x2a2、a22xdxx2a2x2In討x2a2)Ca2Inx22a.xarcsinC2a三角函数的有理式积分:2usinx2,cosx1u2u-2，udx2duu2A.积化和差公式:sincos丄sin(2)sin(cossin-sin(2sin()coscos-cos(2)cos(sinsincos()cosB.和差化积公式:sinsin2sincos22sinsin2cossin22coscoscos2coscos22b

3、2R(R为三角形外接圆半径)sinAsinBsinC1.正弦定理:2.余弦定理:cos2sin2sin22222cosA2222cosB2222cosCcosAb2c22bc1 111abc23/hasinCsinAsinB2RsinAsinBsinC2 2224R222sinBsinCbsinAsinCcsinAsinBp(pa)(pb)(pc)2sinA2sinB2sinC1（其中p才bc）,r为三角形内切圆半径）4.诱导公试-sin+cos-tg-ctg-+sin-cos_tg-ctg+-sin-cos+tg+ctg2-sin+cos-tg-ctg2+sin+cos+tg+ctg三角函数

4、值等于的同名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限2+cos+sin+ctg+tg2+cos-sin-ctg_tg32-cos-sin+ctg+tg32-cos+sin-ctg-tgsin()sincoscossintg()-tgtg1tgtg6.二倍角公式：（含万能公式）sin22sin2tgcos21tgcos2cos2sin22cos21tg22tg?sing21tg''1tg5.和差角公式7.半角公式:cos(tgtg)coscostg()(1sinsintgtg)12sin21tg21tg21cos2cos21cos222

5、（符号的选择由2所在的象限确定）sin221cos2cos21cos2cos212cos金彳22s/Bill2J1sinf(cos2sin2)2cossin221cos2cos22tg21cos.1cossin1cos高阶导数公式一一莱布尼兹1cossin()公式:u(n)vnuvn(nUSn(n2!D(nk1)u(nk)v(k)uvk!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f(b)f(a)f()(ba)柯西中值定理：f(b)f(a)f()F(b)F(a)F()n(n)k(nk)(k)(UV)CnUVk0当F(x)x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理多元函数微分法及应用UV(n)全微分：dz

6、dxdyxy全微分的近似计算：zdz多元复合函数的求导法：duudxdydzxyzfx(x,y)xfy(x,y)yzfu(t),v(t)dzzuzvdtutvtzfu(x,y),v(x,y)x当uu(x,y),vv(x,y)时，dudxdydvdxxyx隐函数的求导公式：隐函数F(x,y)0,史巳,dxFy隐函数F(x,y,z)0,匕,xFzvdyyd2y.2-(氏)+(FX)dydxxFyyFydxzFyyFz多元函数的极值及其求法:fxy(Xo,yo)B,fyy(Xo,yo)C设fx(Xo,yo)fy(Xo,yo)0,令：fxx(Xo,yo)A,ACB2口斗A0时，0,（x。，y。）为极大

7、值A0,（x。，y。）为极小值则：ACB20时，无极值ACB20时,不确定常数项级数：(n1)n2等比数列：1qq2等差数列：23调和级数：-123级数审敛法：1、正项级数的审敛法根植审敛法（柯西判别法）：1时，级数收敛设：limnun，则1时，级数发散1时，不确定2、比值审敛法：1时，级数收敛设：lim乩，则1时，级数发散nUn1时，不确定3、定义法：snu1u2un;limsn存在，则收敛；否则发散。n交错级数u1u2u3u4（或u1u2u3,un0）的审敛法莱布尼兹定理:如果交错级数满足UnUn1limun0,那么级数收敛且其和sU1,其余项rn的绝对值rUn1绝对收敛与条件收敛:，其中

8、un为任意实数;Un（1）肯定收敛，且称为绝对收敛级数;（1）为条件收敛级数。调和级数：1发散，而（1F收敛;nn级数：12收敛；np级数：1P1时发散np'p1时收敛(1)U1U2U(2)U1|I|u3如果（2）收敛，则如果（2）发散，而（1）收敛，则称函数展开成幕级数:函数展开成泰勒级数:f(x)f(X°)(XX。)f4x°(xx。)22!(n),f(x0)(x宀n!(n1)余项：Rn(n1)!()(xXo)n1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn0x00时即为麦克劳林公式:f(x)f(0)f(0)x2!f(n)(0)nXn!幕级数:1xx211

9、时，收敛于1x1时，发散对于级数(3)aoa1x2a2x数轴上都收敛，则必存在R，nanX/|x使：|x"|x，如果它不是仅在原点R时收敛R时发散，其中R称为收敛半径。R时不定收敛,也不是在全0时，R-求收敛半径的方法：设limnan1an其中an，an1是(3)的系数，则0寸，R时，R0些函数展开成幕级数:m(1x)2!1)x2m(m1)(mn1)nxn!x1)sinxx3X3!5x5!2n1欧拉公式:ixecosxisinx1)nX(2n1)!ixecosx或sinxixe2ixixee2一阶微分方程：y可分离变量的微分方程g(y)dyf(x)dxf(x,y)或P(x,y)dxQ

10、x,y)dy0:一阶微分方程可以化为g(y)dyf(x)dx的形式，解法:得：Gy)齐次方程：一阶微分方程可以写成设uy，则dyxdx即得齐次方程通解。duxdx，F(x)C称为隐式通解。dydxdudxf(x,y)(x,y).即写成y的函数，解法:x一阶线性微分方程:1、阶线性微分方程:dydxP(x)yQ(x)(u)，dxxdu(u)u分离变量，积分后将x代替u,当Q(x)0时，为齐次方程,yCeP(x)dx当Q(x)0时，为非齐次方程，y(Q(x)eP(x)dxdxC)eP(x)dx2贝努力方程:全微分方程：如果P(x,y)dxd2ydx2P(x)2Q(x)yf(x)，f(x)f(x)0

11、时为齐次0时为非齐次理P(x)yQ(x)yn，(n0,1)dxQ(x,y)dy0中左端是某函数的全微分方程，即:uudu(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0,其中：P(x,y),Q(x,y)xyu(x,y)C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*)ypyqy0,其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：()r2prq0,其中r2,r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数;2、求出()式的两个根几卫3、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解:r1,r2的形式(*)式的通解两个不相等实根(p24q0)Xr2xyceQe两个相

12、等实根(p24q0)y(C1C2X)er1x一对共轭复根(p24q0)Ai,aipJ4qp22，2yex(c1cosxc2sinx)二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqyf(x),p,q为常数f(x)exPm(x)型，为常数；f(x)exR(x)cosxPn(x)sinx型线性代数公式大全一一最新修订1、行列式1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式；2. 代数余子式的性质： 、Aj和aj的大小无关； 、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0； 、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A；3. 代数余子式和余子式的关系：Mij(1)ijAjAj(

13、1)ijM4.设n行列式D:将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D,，则D,(将D顺时针或逆时针旋转90.，所得行列式为D2，贝yD2将D主对角线翻转后(转置)，所得行列式为将D主副角线翻转后，所得行列式为n(n1)1)=D；n(n1)(1)D3，则D3D4，则D4D；5.行列式的重要公式：主对角行列式：主对角元素的乘积;、副对角行列式：畐U对角元素的乘积上、下三角行列式(、|)匚和丄：副对角元素的乘积n(n1)(1)h；主对角元素的乘积;n(n1)1丁；1)mnAB6.对于n阶行列式A，恒有：EA1)kSk，其中Sk为k阶主子式;7.证明A0的方法:拉普拉斯展开式:范德蒙行列式：大指标减小

14、指标的连乘积;特征值； 、A|A； 、反证法； 、构造齐次方程组Ax0，证明其有非零解; 、利用秩，证明r（A）n； 、证明0是其特征值;2、矩阵1. A是n阶可逆矩阵：A0（是非奇异矩阵）；r（A）n（是满秩矩阵）A的行（列）向量组线性无关；齐次方程组Ax0有非零解；bRn，Axb总有唯一解；A与E等价；A可表示成若干个初等矩阵的乘积；A的特征值全不为0;AtA是正定矩阵；A的行（列）向量组是Rn的一组基；A是Rn中某两组基的过渡矩阵；2.对于n阶矩阵A:*AAAAAE无条件恒成立；1、*、11、TT、1*、TT、*3.(A)(A)(A)(A)(A)(A)TTT*111(AB)BA(AB)B

15、A(AB)BA4.5.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和;关于分块矩阵的重要结论，A其中均A、B可逆:A2，则:I、AAsA1A2|Asn、（主对角分块）、OA1（副对角分块）、Ac1OB、Ao1CBA1OA1O111B1CA1B1A1CB1B1(拉普拉斯)(拉普拉斯)ErOOO3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的:等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵;对于同型矩阵A、B，若r(A)r(B)AB；2. 行最简形矩阵： 、只能通过初等行变换获得； 、每行首个非

16、0元素必须为1； 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;3. 初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换) 、若(A,E)卄作公)，则A可逆，且XA1；c 、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成a1B，即：(A,B)(E,A1B): 、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb，如果(A,b)#(E,x)，则A可逆，且4. 初等矩阵和对角矩阵的概念： 、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；、，左乘矩阵A，i乘A的各行元素；右乘,乘A的各列元素;对调两行或两列,符号E(i,j)，且E(i,j)1E(i,j)，例如：

17、1倍乘某行或某列，符号E(i(k)，且E(i(k)11E(i()，例如:k(k0)；倍加某行或某列，符号E(ij(k)，且E(ij(k)1E(ij(k)，如:(k0)；5.矩阵秩的基本性质： 、0r(Amn)min(m,n) 、r(AT)r(A)； 、若ANB，则r(A)r(B); 、若P、Q可逆，则r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩) 、max(r(A),r(B)r(A,B)r(A)r(B);(探) 、r(AB)r(A)r(B);(探) 、r(AB)min(r(A),r(B);(探) 、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且AB0,则：(探)I、B的列向量全部是齐

18、次方程组AX0解(转置运算后的结论)；n、r(A)r(B)n 、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)r(A)r(B)n;6.三种特殊矩阵的方幕： 、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式，再采用结合律;1a、型如01cb的矩阵：利用二项展开式;二项展开式:nOn(ab)Cnacnan1b1HICn11n1Cnabn.Cnbnmm.nmCnab;m0注：I、(an、cmb)n展开后有nn(n1)川|(nm1)1项;n!m!(nm)!C°c；mnmnCn川、组合的性质：cnmcCmnCmnCmnnCnr2n0rcnncn1;、利用特征值和相似对角化:7.伴随矩阵:、

19、伴随矩阵的秩：r(A*)r(A)r(A)x);r(A)、*AAA1、*Ain1lA关于A矩阵秩的描述：、r(A)n,A中有n阶子式不为0,n1阶子式全部为、r(A)n,A中有n阶子式全部为0;、r(A)n,A中有n阶子式不为0;线性方程组：Axb其中A为mn矩阵,则：8.9.、伴随矩阵的特征值:(AXX,A0;(两句话)、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程;AA1 、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb为n元方程;10.线性方程组Axb的求解： 、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换)； 、齐次解为对应齐次方程组的解；考研数学三公式大全 、特解：自由变量赋初值后求得;1

20、1.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:alXIXIx22ma、aiia21ai2a22am2ni、a2IIIan、a2X2|有解的充要条件:aiXiainXna2nXnlllllllllll01aina2nanmXnbb2；bnamnXiX2XnanXnXiX2bib2Axb（向量方程，A为mn矩阵，m个方程，n个未知数）Xmbm（全部按列分块，其中tnr(A)（线性表出）r（A,）n（n为未知数的个数或维数）6.17/194、向量组的线性相关性1. m个n维列向量所组成的向量组A:i,2,|,m构成nm矩阵A（i,m）；TiTm个n维行向量所组成的向量组B:iT,；,川，m构成m

21、n矩阵B，2；Tm含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. 、向量组的线性相关、无关Ax0有、无非零解；（齐次线性方程组） 、向量的线性表出Axb是否有解；（线性方程组） 、向量组的相互线性表示AXB是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵Amn与Bln行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax0和Bx0同解；（Pi0i例I4）4.r(ATA)r(A)；(Roi例i5)5.n维向量线性相关的几何意义:、线性相关,线性相关,线性相关0；,坐标成比例或共线（平行）；,共面；线性相关与无关的两套定理：若1,2,s线性相关，则若1,2,s线性无关，则必线性相关;,.Hl,si必线性无关;若r维向量组A

22、的每个向量上添上n若A线性无关，则B也线性无关；反之若二者为对偶）（向量的个数加加减减，r个分量，构成n维向量组B:B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）考研数学三公式大全7.8.9.性;10.11.12.性)13.14.简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定;向量组A(个数为r)能由向量组B(个数为s)线性表示，且A线性无关，则rs(二版P74定理7)；向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)r(B)；(F86定理3)向量组A能由向量组B线性表示AXB有解；r(A)r(A,B)(Pg5定理2)向量组A能由向量组B等价r(A)r(B)r(A,B)(F85定理2推论)方阵A可逆存

23、在有限个初等矩阵P,P2,|,P，使APP2|R；、矩阵行等价:ABPAB(左乘，P可逆)Ax0与Bx0冋解、矩阵列等价:ABAQB(右乘，Q可逆)；、矩阵等价：ABPAQB(P、Q可逆)；对于矩阵Amn与Bin： 、若A与B行等价，则A与B的行秩相等； 、若A与B行等价，则Ax0与Bx0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关 、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； 、矩阵A的行秩等于列秩；若AmsBsnCmn，则： 、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵； 、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；(转置)齐次方程组Bx0的解一定是ABx0的解，考试中可以

24、直接作为定理使用，而无需证明； 、ABx0只有零解Bx0只有零解； 、Bx0有非零解ABx0一定存在非零解；设向量组Bnr:b1,b2JII,br可由向量组Ans：日,玄2,川,线性表示为：(P110题19结论)(b,b2,|,br)佝忌,川且)(BAK)其中K为sr，且A线性无关，则B组线性无关r(K)r；(B与K的列向量组具有相同线性相关(必要性：；rr(B)r(AK)r(K),r(K)r,r(K)r;充分性：反证法)r(A)m、Q的列向量线性无关;P87)注：当rs时，K为方阵，可当作定理使用；、对矩阵Amn，存在Pnm，PAE.(A)n、1,2J1,s线性相关存在一组不全为0的数灯k2

25、,|,ks，使得k!k22、对矩阵Amn，存在Qnm，AQEmP的行向量线性无关；|nkss0成立；(定义)Xi（1,2J|,s）x0有非零解，即Ax0有非零解;r（1,s）s，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15.设mn的矩阵A的秩为r，贝Un元齐次线性方程组Ax0的解集S的秩为：r（S）nr；16.若为Axb的一个解,2,nr为Ax0的一个基础解系，则1,2,川，nr线性无关；（Pm19/19题33结论）5、相似矩阵和二次型1.正交矩阵AtAE或A1At（定义），性质:、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aiaj0、若A为正交矩阵，则A1At也为正交阵，且A 、若A、B正交阵，则AB也是

26、正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化;2. 施密特正交化：（a,时卜,）ba；b2bahb,bbrar屮呻b23!br1；b,bb2,b2br1,br13. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关;对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4.、A与B等价A经过初等变换得到B；PAQB,P、Q可逆；r(A)r(B),A、B同型；、A与B合同ctacB，其中可逆；xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数;、A与B相似P1APB:5. 相似一定合同、合同未必相似；若C为正交矩阵，则CTACBAB,（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；6. A为对称阵，则A为二

27、次型矩阵；7. n元二次型xAx为正定：A的正惯性指数为n；A与E合同，即存在可逆矩阵C，使CtACE；A的所有特征值均为正数；A的各阶顺序主子式均大于0;an0,A0；（必要条件）考研概率论公式汇总1随机事件及其概率AAA吸收律：AAAA(AB)AA(AB)A反演律：ABABABABnnAAi1i12.概率的定义及其计算P(A)1P(A)若ABP(BA)P(B)P(A)ABABA(AB)对任意两个事件A,B,有P(BA)P(B)P(AB)Aii1Aii1加法公式：对任意两个事件A,B,有P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(AB)P(A)P(B)nP(A)i1nP(A)P(AAj)i11i

28、jnnP(AAjA)(1)n1P(AAAn)3条件概率ccAP(AB)PBA-P(A)乘法公式P(AB)P(A)PBA(P(A)0)P(AAAn)P(A)PA2APAnA1A2An(P(AA2Am)0)全概率公式nnP(A)P(ABi)P(Bi)P(ABi)i1i1公式P(BkA)P(ABQP(A)P(Bk)P(ABk)P(Bi)P(ABi)4. 随机变量及其分布考研数学三公式大全分布函数计算P(aXb)P(xb)P(Xa)F(b)F(a)5. 离散型随机变量k1k(1)0-1分布P(Xk)p(1p),k0,1221/19二项分布B(n,p)若P(A)=pP(Xk)CnknkP(1P),k0,

29、1,Pn)nk!0,1,2,limCp：(1*定理limnp0有nnn1分布P()P(Xk)k!k0,1,2,6. 连续型随机变量(1)均匀分布U(a,b)1f(x)ba0,其他0,F(x)xaa1(2)指数分布E()xef(x)0,x0其他F(x)0,e(3)正态分布1f(x),，2N(,2)(x)2F(x)(te2dt*N(0,1)标准正态分布(x)沪T(x)t27多维随机变量及其分布考研数学三公式大全23/19维随机变量(X)的分布函数F(x,y)f(u,v)dvdu边缘分布函数与边缘密度函数xfx(x)f(x,v)dvfY(y)f(u,y)duFX(x)f(u,v)dvduyFy(y)

30、f(u,v)dudv8. 连续型二维随机变量(1)区域G上的均匀分布，U(G)1f(x,y)a，(x，y)G0,其他(2)二维正态分布f(x,y)12i2,121(x1)22(x1)(y2)(y2)2229. 二维随机变量的条件分布f(x,y)fx(x)fY|x(yx)fx(x)0fx(X)f(x,y)dyfx|Y(xy)fY(y)dyfy(y)fY(y)fX|Y(xy)fY(y)0f(x,y)dxfx(yx)fx(x)dxfx|Y(xy)f(x,y)fY(y)fYx(yx)f(x,y)fx(x)fY|x(yx)fx(x)fY(y)fxY(x|y)fY(y)fx(x)10. 随机变量的数字特征数学期望E(X)XkPkE(X)xf(x)dxk1随机变量函数的数学期望X的k阶原点矩E(Xk)X的k阶绝对原点矩E(|X|k)X的k阶中心矩E(XE(X)k)X的方差E