线性系统chap2.ppt[修复的]

1、线性系统理论线性系统理论第第2章章 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述第一部分第一部分: 线性系统的时间域理论线性系统的时间域理论线性系统时间域理论是以线性系统时间域理论是以时间域数学模型为系统描述时间域数学模型为系统描述,直接在时间域直接在时间域内分析和综合线性系统的运动和特性的一种理论和方法。内分析和综合线性系统的运动和特性的一种理论和方法。单输入单输出系统、时不变系统单输入单输出系统、时不变系统单变量高阶微分方程单变量高阶微分方程分析领域：稳定性、时域响应、稳态误差分析领域：稳定性、时域响应、稳态误差多输入多输出系统、时不变多输入多输出系统、时不变/时变系统时变系统状态空间描述

2、状态空间描述系统分析和综合系统分析和综合 运动学分析、能控能观性、运动稳定性、极点配置、运动学分析、能控能观性、运动稳定性、极点配置、解耦、观测器设计解耦、观测器设计经典线性系统时间域理论经典线性系统时间域理论 现代线性系统时间域理论现代线性系统时间域理论 第二章第二章 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述 2.1 状态和状态空间状态和状态空间 1.系统动态过程的两类数学描述系统动态过程的两类数学描述 2.状态和状态空间的定义2.1 状态和状态空间状态和状态空间 1.系统动态过程的两类数学描述系统动态过程的两类数学描述 2u1upu1y2yqynxxx,21系统状态系统状态系统输入系统

3、输入系统输出系统输出系统状态系统状态系统输入系统输入系统输出系统输出系统状态系统状态系统输入系统输入2u1upu1y2yqynxxx,21系统输出系统输出系统状态系统状态系统输入系统输入(1) 系统的外部描述系统的外部描述（输出（输出输入描述）输入描述）(2)系统的内部描述系统的内部描述 (1) 系统的外部描述系统的外部描述（输出（输出输入描述）输入描述）例如例如.对对SISO线性定常系统线性定常系统ubububyayayaynnnnn0)1 (1)1(10)1 (1)1(1)(复频率域描述（传递函数）复频率域描述（传递函数）01110111)()()(asasasbsbsbsssgnnnnn

4、uy(2)系统的内部描述系统的内部描述 状态空间描述状态空间描述 状态方程和输出方程。状态方程和输出方程。(3)外部描述和内部描述的比较外部描述和内部描述的比较 外部描述外部描述系统的不完全描述，不能反映黑箱内部结构的不能控系统的不完全描述，不能反映黑箱内部结构的不能控/不能观测的部分。不能观测的部分。内部描述内部描述系统的完全的描述，能够完全反映系统的所有动力学特性。系统的完全的描述，能够完全反映系统的所有动力学特性。2u1upu1y2yqynxxx,21将系统当做黑箱将系统当做黑箱时间域描述时间域描述将系统当做白箱将系统当做白箱状态变量组能完全表征动力学系统时间域运动行为的一个最小内部变量

5、组，表示为 x1(t),x2(t),xn(t) 。状态由状态变量组x1(t),x2(t),xn(t)所组成的一个列向量，表为x(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T。状态x的维数即为状态变量的个数dimx=n。状态空间：状态向量的集合。状态空间的维数=状态的维数2.状态和状态空间的定义(2).状态变量组最小性的物理特征状态变量组最小性的物理特征(3). 状态变量组最小性的数学特征状态变量组最小性的数学特征 (4). 状态变量组的不唯一性状态变量组的不唯一性 (5).系统任意两个状态变量组之间的关系系统任意两个状态变量组之间的关系 (6)有穷维系统和无穷维系统有穷维系统和无穷维系统 (7)

6、状态空间的属性状态空间的属性 状态空间为建立在实数域状态空间为建立在实数域R上的一个上的一个n维向量空间维向量空间R n状态随时间变化状态随时间变化状态空间中的一条运动轨迹状态空间中的一条运动轨迹几点解释几点解释 (1).状态变量组对系统行为的完全表征性状态变量组对系统行为的完全表征性 2.2 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述 系统的系统的状态空间状态空间描述（动态方程或运动方程）：描述（动态方程或运动方程）：状态方程状态方程（描述输入和状态变量之间的关系）（描述输入和状态变量之间的关系）输出方程输出方程（描述输出和输入、状态变量之间的关系）（描述输出和输入、状态变量之间的关系）1

7、u2upu1x2xnx1y2yqy动力学部件输出部件1.电路系统状态空间描述的列写示例电路系统状态空间描述的列写示例 )(te1RLCcU2R2RULiCiedtdiLdtduCRiRdtdiLdtduCRuLcLLcc11201.选择状态变量选择状态变量uc, iL2.列出电路原始回路方程列出电路原始回路方程211212121122121212212212121211()()()()()()ccLLcLRcLRuuieRR CRR CRR CRR RRiuieL RRL RRL RRRR RRuuieRRRRRR 3.化回路方程为规范形式。化回路方程为规范形式。211cLccLLd ud i

8、R CLud td td ud iR CLeR id td t4. 导出状态变量方程和输出变量方程。导出状态变量方程和输出变量方程。eRRRiuRRRRRRRueRRLRCRRiuRRLRRRRLRCRRRCRRiuLcRLcLc2122121212212212121211211212)()(1)()()()(1以上方程可表为形如以上方程可表为形如 DuCxyBuAxx5.导出状态方程和输出方程。导出状态方程和输出方程。2.连续时间线性系统的状态空间描述连续时间线性系统的状态空间描述 线性时不变系统线性时不变系统 DuCxyBuAxx 线性时变系统线性时变系统 uDxCyuBxAx)()()(

9、)(ttttxn维状态；维状态；up维输入；维输入；yq维输出；维输出；t0初始时刻；初始时刻；Ann系统矩阵；系统矩阵；Bnp输入矩阵；输入矩阵；Cqn输出矩阵；输出矩阵；Dqp传输矩阵传输矩阵tt0 线性时不变系统的状态空间描述线性时不变系统的状态空间描述3个特点：个特点： (1)描述形式的描述形式的“线性属性线性属性”，系数矩阵的，系数矩阵的“时不变属性时不变属性” (2)描述形式的描述形式的“共性属性共性属性”、参数矩阵的、参数矩阵的“个性属性个性属性” (3)描述形式的简洁性描述形式的简洁性2.连续时间线性系统的状态空间描述连续时间线性系统的状态空间描述 连续时间线性系统的方块图连续

10、时间线性系统的方块图 )(tC)(tDx yux)(tAuDxCyuBxAx)()()()(ttttB( ) t离散时间线性系统的状态空间描述离散时间线性系统的状态空间描述?离散时间线性系统的状态空间描述离散时间线性系统的状态空间描述状态空间描述形式状态空间描述形式离散时间线性时不变系统离散时间线性时不变系统 )()()()()()1(kkkkkkDuCxyHuGxx传输矩阵阵输出矩阵阵输入矩阵阵系统矩阵阵:DpqCnqHpnGnn离散时间线性时变系统离散时间线性时变系统)()()()()()()()()() 1(kkkkkkkkkkuDxCyuHxGx离散时间线性系统状态空间描述的特点离散时

11、间线性系统状态空间描述的特点(1)状态方程形式上的差分型属性状态方程形式上的差分型属性(2)描述方程的线性属性描述方程的线性属性(3)变量取值时间的离散属性变量取值时间的离散属性 离散时间线性系统的方块图离散时间线性系统的方块图)(kH)(kC)(kD) 1( kx)(ky)(ku)(kx)(kG单位延迟)()()()()()()()()() 1(kkkkkkkkkkuDxCyuHxGxP25例题：假设某个国家，据普查统计例题：假设某个国家，据普查统计2001年年城乡人口分布是：城市人口城乡人口分布是：城市人口1千万，乡村人口千万，乡村人口9千万。人口流动情况：每年有千万。人口流动情况：每年有

12、4%上一年的城上一年的城市人口迁移去乡村，同时有市人口迁移去乡村，同时有2%上一年乡村人上一年乡村人口去城市。人口增长情况是：整个国家人口的口去城市。人口增长情况是：整个国家人口的自然增长率为自然增长率为1%。若采取激励性政策控制手。若采取激励性政策控制手段，每年一个单位正控制措施可以激励段，每年一个单位正控制措施可以激励5万城万城市人口去农村，而一个单位反控制措施，则反市人口去农村，而一个单位反控制措施，则反之。之。问题：建立反应这个国家城乡人口分布的状态问题：建立反应这个国家城乡人口分布的状态空间描述模型？空间描述模型？选择变量：选择变量：x1(k), x2(k)第第k年的城市人口和乡村人

13、口年的城市人口和乡村人口u(k)第第k年采取的激励性政策控制手段年采取的激励性政策控制手段Y(k)第第k年全国人口数年全国人口数 2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类连续变量动态系统按状态空间描述的分类 线性系统和非线性系统线性系统和非线性系统 连续时间系统和离散时间系统连续时间系统和离散时间系统 确定性系统和不确定性系统确定性系统和不确定性系统 2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类连续变量动态系统按状态空间描述的分类 线性系统和非线性系统线性系统和非线性系统 设系统的状态空间描述为设系统的状态空间描述为 ),(),(ttux,gyux,fx向量函数向量函数 ),(),(),(

14、),(),(),(),(),(2121tgtgtgttftftftqnux,ux,ux,ux,gux,ux,ux,ux,f，若若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一个的全部或至少一个组成元为组成元为x、u的非线性函数的非线性函数,该系统该系统称为称为非线性系统非线性系统 若若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部组成元为的全部组成元为x、u的线性函数的线性函数,该系统称为该系统称为线性系统线性系统 对应于线性系统对应于线性系统 uDxCyuBxAx)()()()(tttt非线性系统可以用泰勒展非线性系统可以用泰勒展开方法化为线性系统开方法化为线性系统 12,Tnx xxx12,T

15、pu uuu12,Tqy yyy状态状态 输入输入 输出输出 时不变非线性系统的线性化？时不变非线性系统的线性化？利用泰勒级数进行一次线性化近似，类似小偏差法利用泰勒级数进行一次线性化近似，类似小偏差法线性系统和非线性系统线性系统和非线性系统 设系统的状态空间描述为设系统的状态空间描述为 ),(),(ttux,gyux,fx时不变非线性系统的线性化时不变非线性系统的线性化设设x0, u0, y0为上述方程组的一组解，利用泰勒级数进行一次线性化近似：为上述方程组的一组解，利用泰勒级数进行一次线性化近似：g(x,u)yf(x,u)x高阶小项高阶小项其中其中x=x-x0， u=u-u0线性系统和非线

16、性系统线性系统和非线性系统 忽略高次项忽略高次项 xAxBuyCxDu=A=C=B=用用x代替代替x，u代替代替 u，y代替代替y连续时间系统和离散时间系统连续时间系统和离散时间系统 当且仅当系统的输入变量当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量取值于状态变量和输出变量取值于连续时间点连续时间点,反映变反映变量间因果关系的动态过程为时间的量间因果关系的动态过程为时间的连续过程连续过程,该系统称为该系统称为连续时间系统连续时间系统 当且仅当系统的输入变量当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量只取值于状态变量和输出变量只取值于离散时间点离散时间点,反映变量反映变量间因果关系的动态过程为时间的

17、间因果关系的动态过程为时间的不连续过程不连续过程,该系统称为该系统称为离散时间系统离散时间系统.(1)( ( ), ( ), ),0,1,2,( )( ( ), ( ), ),kkk kkkkk kxf xuyg xu),(),(ttux,gyux,fx确定性系统和不确定性系统确定性系统和不确定性系统 称一个动态系统为称一个动态系统为确定性系统确定性系统,当且仅当不论是系统的特性和参数还是系当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的输入和扰动统的输入和扰动,都是随时间都是随时间按确定的规律而变化按确定的规律而变化的的. 称一个动态系统为称一个动态系统为不确定性系统不确定性系统,或者系统的特性和参

18、数中包含某种不确或者系统的特性和参数中包含某种不确定性定性,或者作用于系统的输入和扰动是或者作用于系统的输入和扰动是随机变量随机变量 . 2.4 由系统输入输出描述导出状态空间描述由系统输入输出描述导出状态空间描述 输入输出描述：微分方程，传递函数输入输出描述：微分方程，传递函数 2.4 由系统输入输出描述导出状态空间描述由系统输入输出描述导出状态空间描述 由输入输出描述导出状态空间描述由输入输出描述导出状态空间描述 对于单输入对于单输入,单输出线性时不变系统单输出线性时不变系统,其微分方程描述其微分方程描述 ububububyayayaymmmmnnn0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1

19、)(或其传递函数描述或其传递函数描述 011101111)()()(asasasbsbsbsbsUsYsgnnnmmmm可以导出其状态空间描述为可以导出其状态空间描述为 1111RdRcRbRARxnnnnnducxybuAxx 基本步骤：选取适当的状态变量组，确定对应基本步骤：选取适当的状态变量组，确定对应的参数矩阵组。的参数矩阵组。关键：选取适当的状态变量组关键：选取适当的状态变量组!状态变量组不同则状态方程不同！状态变量组不同则状态方程不同！下面介绍三种不同的转换方法下面介绍三种不同的转换方法结论1 给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,ububububyayayaymmmmn

20、nn0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出 011101111)()()(asasasbsbsbsbsUsYsgnnnmmmm(1)mn,即系统为严真情形 xyuxx0010001000000010101210mnbbbaaaa122311120101121nnnnnmmxxxxxxxaxa xa xuyb xb xb x 111101nnnxusasa sa(2)m=n,即系统为真情形 012100111101000000000101()()()nnnnnnnaaaabb abb abb ab u xxuyx011101111)()()(asas

21、asbsbsbsbsUsYsgnnnmmmmubxbabxbabxbabyuxaxaxaxxxxxxxnnnnnnnnnnnn)()()(112111001021113221111101nnnxusasa sa与(1)mn思路类似 结论2 给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出 (1)m=0情形此时输入输出描述为: ubyayayaynnn00) 1 (1) 1(1)(01110)(asasasbsgnnn选取n个状态变量 )(1) 1(121nnnnnyxxyxxyxyx其对应的状态空间描述为: xyuxx0, 0, 100010000000

22、1001210baaaan(2)m0情形此时输入输出描述为: ububububyayayaynnnnnnn0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(011101111)(asasasbsbsbsbsgnnnnnnnuuuyuxxuuuyuxxuuyuxxuyxnnnnnnn1)2(1)1(0)1(112102231011201 00112211011022201110aaaabaababbnnnnnnnnnnn其对应的状态空间描述为: uxyuxaaaaxnnn012112100, 0, 11000000010其中00112211011022201110aaaabaababbnnnnnnnn

23、nnn011110110111000010001bbbbaaaaannnnnn结论3 给定单输入单输出线性时不变系统的传递函数描述为： 01110111)(asasasbsbsbsbsgnnnmmmm其极点 即传递函数分母方程的根为两两互异实数，则对应的状态空间描述n,21(1) mn，即系统为严真情形 nissgksksksksgisinni, 2 , 1),)(lim)(2211对应的状态空间描述为 xyukkkxxnn1, 1, 12121(2) m=n，即系统为真情形 令nissgkasasasabbsabbsgsgbasasasbsbsbsbsgisinnnnnnnnnnnnnnnn

24、i, 2 , 1),)(lim)()()(01110011101110111对应的状态空间描述为：ubxyukkkxxnnn1, 1, 12121【例】已知描述系统的微分方程为uuyyyy64016064019218 试求系统的状态空间表达式。解 224016018640160064001921600022110003100112022130aaabaababb于是系统的状态空间表达式为uxxxxxx2240160018192640100010321321321001xxxy由方块图描述导出状态空间描述由方块图描述导出状态空间描述(1)化给定方块图为规范化方块图（当且仅当其组成环节的传递函数均

25、为一阶惯性化给定方块图为规范化方块图（当且仅当其组成环节的传递函数均为一阶惯性环节和比例放大环节）。环节和比例放大环节）。(2)对规范化方块图指定状态变量组。（当且仅当一阶惯性环节的输出有资格取为对规范化方块图指定状态变量组。（当且仅当一阶惯性环节的输出有资格取为状态变量）状态变量）(3)列写变量间关系方程。列写变量间关系方程。(4)导出变换域状态变量方程和输出变量方程。导出变换域状态变量方程和输出变量方程。(5)导出状态空间描述。导出状态空间描述。例1 设系统方块图如下，试列写其状态空间描述 451372sss21s解 上图等效为 21s45s12su1xy3x2x指定状态变量组后，列写变量

26、间的关系方程：21333223112)(2)(54xxyyxxxuxxxuxx4512451372sssss写成矩阵形式 321321321011025211210504xxxyuxxxxxx例2 设单输入单输出系统的传递函数为 3322113211231113231)()()()()()(sesesesesessssBsg试列写其状态空间表达式。 21333223112)(2)(54xxyyxxxuxxxuxx解 可画出系统结构图如下 11s21s31s11s11s11e12e13e2e3eu1xy3x2x5x4x写出变量之间的关系 53423132121115354243133212211

27、1xexexexexeyuxxuxxuxxxxxxxx332211321123111)()()(sesesesesesg写成矩阵形式 54321321312115432132111543211110000000000000000100001xxxxxeeeeeyuxxxxxxxxxx534231321211153542431332122111xexexexexeyuxxuxxuxxxxxxxx也可以画出结构图为 11s11s11se1131s21se13e12uy11x12x13x2x3xe2e33322113211231113231)()()()()()(sesesesesessssBsg可

28、写出系统的动态方程为 ueeeeexxxxxxxxxx32131211321312113211132131211000000000010000100003213121111100 xxxxxy 例3)1 (11)()()(2121211211sszsssksszsssksssszsksG设画出结构图 uyk11ss21ss12zs 1x2x动态方程为 21122121210101xxkyuzsxxssxx注：由方块图描述导出状态空间描述，其结果是否唯一？阶次是否变？注：由方块图描述导出状态空间描述，其结果是否唯一？阶次是否变？注：由方块图描述导出状态空间描述，其结果不唯一！但阶次不变。注：由方

29、块图描述导出状态空间描述，其结果不唯一！但阶次不变。2.5 线性时不变系统的特征结构线性时不变系统的特征结构 特征多项式特征多项式 连续时间线性时不变系统 BuAxx)det()()(1AsIAsIAsI特征多项式预解矩阵特征矩阵(1) 特征多项式0111)det()(sssAsIsnnn110,n均为实常数 (2) 特征方程 00111sssnnn(3) 凯莱-哈密尔顿（Caley-Hamilton）定理 0)(0111IAAAAnnn线性时不变系统的特征结构由特征值特征值和特征向量特征向量所表征。(4) 最小多项式 )()()()()(1ssPsAsIadjAsI)()(sPs 与的各个元

30、多项式之间互质？ 定义 (s)为系统矩阵A的最小多项式，最小多项式 (s)也满足凯莱-哈密尔顿定理，即 (A)=0 (5) 系统矩阵的循环性 如果系统矩阵A的特征多项式 (s)和最小多项式 (s)之间只存在常数类型的公因子k，即)()(sks则称系统矩阵A是循环的。 特征值特征值”的根特征方程“系统特征值0)det(AsI特征值集特征值集 对对n维线性时不变系统，有且仅有维线性时不变系统，有且仅有n个特征值，特征值的全体构成系统的特征值集。个特征值，特征值的全体构成系统的特征值集。 n,0)det(|21AI特征值的形态特征值的形态 特征值的形态要么为实数，要么为共轭复数特征值的形态要么为实数

31、，要么为共轭复数 特征值类型特征值类型 系统特征值可区分为系统特征值可区分为“单特征值单特征值”和和“重特征值重特征值”两种类型两种类型 连续时间线性时不变系统连续时间线性时不变系统 BuAxx 问题问题: 对应于特征值对应于特征值 i究竟有几个独立的特征向量究竟有几个独立的特征向量? 答案答案: 矩阵的重特征值矩阵的重特征值 i所对应的线性独立的特征向量可能不所对应的线性独立的特征向量可能不止一个。止一个。 它的独立特征向量的数目它的独立特征向量的数目=n-rank( iI-A) q 因此，因此，r重的特征值可能存在重的特征值可能存在1至至r个线性独立的特征向量。个线性独立的特征向量。 独立

32、的特征向量数到底具有什么意义独立的特征向量数到底具有什么意义? 它与特征值的重数之间有何关系它与特征值的重数之间有何关系? 下面引入下面引入代数重数与几何重数代数重数与几何重数两个概念。两个概念。特征值的代数重数特征值的代数重数 代数重数代数重数 i 代表特征值集代表特征值集中值为中值为 i 的特征值个数的特征值个数 特征值的几何重数特征值的几何重数)(AIrankniii的几何重数特征值重数和类型的关系特征值重数和类型的关系 对对n 维线性时不变系统，若维线性时不变系统，若 i A为单特征值，则其代数重数为单特征值，则其代数重数 i和几何重数和几何重数 i之间必之间必 有有ii1 对对n 维

33、线性时不变系统，若维线性时不变系统，若 i A为重特征值，则其代数重数为重特征值，则其代数重数 i和几何重数和几何重数 i之间必之间必 有有ii1即独立特征向量个数即独立特征向量个数30000100011000011000110001100002特征值的代数重数？特征值的代数重数？ 特征值的几何重数？特征值的几何重数？求矩阵的特征向量实例例 求如下矩阵的特征向量002121103A解： 1. 由特征方程|I-A|=0求得系统的特征值。0)2)(1(02121103|2AI解该特征方程，可求得系统的特征值为1=1 2=3=2即2为系统的二重特征值，其代数重数为22. 计算1=1的特征向量。(1I

34、-A)v1=0解之得特征向量v1的通解为 v1=v11 v11 2v11T令v11=1，解之得 v1=v11 v12 v13T= 1 1 2T3. 计算重特征值2=3=2的特征向量。 按定义有 (2I-A)v2=0由于 n-rank(2I-A)=2因此，特征值应有2个独立特征向量，故该重特征值的几何重数亦为2。解之得特征向量v2的通解为 v2=v21 v22 v21T令v21=1、v22=0和1、解之得v2=1 0 1 T 和 v3=1 1 1T即重特征值2有两个线性独立的特征向量。某些重特征值的线性独立特征向量数某些重特征值的线性独立特征向量数(几何重数几何重数)小于其代数重数小于其代数重数

35、，从而使得矩阵所，从而使得矩阵所有特征值所对应的有特征值所对应的线性独立特征向量数之和小于矩阵维数线性独立特征向量数之和小于矩阵维数。为此，为此， 引入广义特征引入广义特征向量和特征向量链。向量和特征向量链。下次课任务：下次课任务：1、自己看书，讲解广义特征向量和特征向量链。、自己看书，讲解广义特征向量和特征向量链。2、研究单级倒立摆系统的状态空间模型的建立过程。也可以以其他实际系统作为、研究单级倒立摆系统的状态空间模型的建立过程。也可以以其他实际系统作为实例，研究其状态空间模型的建立过程。实例，研究其状态空间模型的建立过程。广义特征向量广义特征向量 对n维线性时不变系统，设i为nn维系统矩阵

36、A的一个i重特征值(i=1,2,., i j , i j)，则 TikiTikiTiiiikiikiinknkvAIvAIvAvvAIvAIA非零向量的，满足级广义左特征向量的的属于非零向量的，满足级广义右特征向量的的属于10)(0)(10)(0)(11ikiiiikiiikiikivAIvvAIvvAIvvv1)1(2)2()1()()()()( 对对n维线性时不变系统，设系统矩阵维线性时不变系统，设系统矩阵A的的特征值特征值 i 的的代数重数为代数重数为 i ，则，则A的属于的属于 i 的的广义右特征向量组由广义右特征向量组由 i 个线性无关个线性无关n 1维非零向量组成维非零向量组成(i

37、=1,2,., , i j , i j) 。P54称此组特征向量为称此组特征向量为 i的长度为的长度为 k 的广义右特征向量链的广义右特征向量链（2）确定广义特征向量组的算法）确定广义特征向量组的算法广义特征向量的基本属性：广义特征向量的基本属性： 对对n维线性时不变系统，设维线性时不变系统，设 i为系统矩阵为系统矩阵A的属于的属于 i 重特征值重特征值 i的的k级广义级广义右特征向量，按以下方法定义的右特征向量，按以下方法定义的k个特征向量必为线性无关：个特征向量必为线性无关：（1）广义特征向量链）广义特征向量链关于广义特征向量和特征向量链另一种定义和求法关于广义特征向量和特征向量链另一种定

38、义和求法 广义特征向量是重特征值广义特征向量是重特征值 i所对应的所对应的某个线性独立的特征向量某个线性独立的特征向量vj满足如下方程组满足如下方程组的的向量向量vj,k:,.3 , 2)(1,1 ,kvvAIvvkjkjijj 解上述方程组一直到无解为止，就可求得特征值解上述方程组一直到无解为止，就可求得特征值 i的特征向量的特征向量vj所对应的所有所对应的所有广义特征向量广义特征向量vj,k 。例 求如下矩阵的特征向量和特征向量链解 1. 由特征方程|I-A|=0可求得系统的特征值为1=2=3=-1 即-1为系统的三重特征值，其代数重数为3。111201634A由于 n-rank(1I-A

39、)=2 因此，该特征值-1有2个独立特征向量，几何重数亦为2。 由于该重特征值的几何重数小于代数重数，因此两个独立特征向量中有一个一定存在广义特征向量。 2. 计算对应于三重特征值-1的特征向量。按定义有 (1I-A)v1=00211211633131211vvv即 解之得如下特征向量的通解式： v1=v11 v12 -(v11+v12)/2T3. 计算对应于特征向量的广义特征向量和特征向量链。按定义式，特征向量v1的广义特征向量v1,2满足 (1I-A)v1,2= -v1 即)(2/ 1211211633121112112, 1vvvvv因此，根据方程的可解性，v11和v12满足v11=-3

40、v12此时的广义特征向量v1,2的解为v1,2= r1 r2 -(r1+r2-v12)/2T其中r1和r2为任意数。因此存在广义特征向量的特征向量v1为和其对应的广义特征向量可以分别取为v1=v11 v12 -(v11+v12)/2T =-3v12 v12 v12 T =1 -1/3 -1/3 Tv1,2=r1 r2 -(r1+r2-v12)/2T=1 2/3 -1 T另外一个不存在广义特征向量的三重特征值1的特征向量为v2=v11 v12 -(v11+v12)/2T=1 0 -1/2 T本例共求得3个特征向量和广义特征向量。 故特征值1对应于特征向量v1的特征向量链为v1和v1,2。结论结论

41、 2.6 状态方程的约当规范形状态方程的约当规范形特征值为两两互异的情形特征值为两两互异的情形对对n个特征值个特征值 1、 2、 n两两互异的两两互异的n维线性时不变系统，基于维线性时不变系统，基于n个特征向量构造变换阵个特征向量构造变换阵 P = 1、 2、 n，则状态方程，则状态方程 BuAxx可通过线性非奇异变换可通过线性非奇异变换 1Pxx而化为约当规范形。而化为约当规范形。 BPBu,Bxxn211 约当规范形约当规范形被广泛应用于线性时不变系统结构特性的分析。被广泛应用于线性时不变系统结构特性的分析。任意线性时不变任意线性时不变系统的状态方程都可以通过系统的状态方程都可以通过线性非

42、奇异变换线性非奇异变换化为约当规范形。化为约当规范形。Pxx（）niAvviii2 , 1特征向量特征向量P-1AP，对角规范型对角规范型系统状态实现完全解耦，状态变量之间的耦合已完全被解除系统状态实现完全解耦，状态变量之间的耦合已完全被解除112112222121111nnnnnnP若若A阵为阵为能控规范形能控规范形1210100001000010naaaaA则则P阵是一个阵是一个范德蒙德范德蒙德(Vandermonde)矩阵，为矩阵，为 考虑，如何证明？考虑，如何证明？即即P的每一列向量即为的每一列向量即为A的属于相应特征的属于相应特征值的一个特征向量值的一个特征向量当出现复数特征值时，可

43、以当作互异情况考虑，但 必包含共扼复数元，在系统分析与综合中，需作实数化处理。BAP,含复特征值得对角规范型含复特征值得对角规范型niiiiijjA11niiiiiA11模态矩阵121.iinxxxxxx 12.RiIinxxxxxx例例试将下列状态方程变换为约当规范形约当规范形uxxxxxx10051166116110321321解：A的特征值可由A0求出 05116611611AI3, 2, 1321对应于 11的特征矢量111A312111312111511661161103111210特征值为两两互异的情形特征值为两两互异的情形1011同理可以算出421296133111210则变换矩

44、阵P为 941620111321Puxxxxxx132300020001321321状态方程变换为约当规范形约当规范形结论结论特征值包含重值的情形特征值包含重值的情形对包含重特征值的n维线性时不变系统，设系统的特征值 ),(,),(),(222111重重重重重重lll那么，基于相应于各特征值的广义特征向量组所组成的变换阵Q，令 xQx1可将系统状态方程化为约当规范形： BQBuBxJJBuQxAQQxl1111,njilji21)(具有准对角线的形式具有准对角线的形式其中，Ji为相应于特征值i 的约当块：ikikiiiirrikiiiiiikikiiirkJliJJJJ1)(21)(, 2 ,

45、 1,11, 2 , 1lqqqQ21征向量为对应特征根的广义特其中：lqqq21例：例：P61重特征值情形的约当规范形是一个“嵌套式”的对角块阵，外层，中层，内层系统状态可实现可能的最简耦合。系统状态可实现可能的最简耦合。当系统矩阵当系统矩阵A所有的特征值所有的特征值I 的的 i= i，约当规范形为对角线矩阵。约当规范形为对角线矩阵。30000100011000011000110001100002特征值包含重值的约当规范型特征值包含重值的约当规范型约当标准形下的代数重数和几何重数： nnlJJJ21其中iiiiiiiJJJJ21ikikrriiiikJ111约当标准形i的代数重数：ii的几何

46、重数：i特征值在矩阵中出现的次数特征值在矩阵中出现的次数特征值所占约当小块的个数特征值所占约当小块的个数例：求下述系统约当规范型：xyuxx001,100041020122解：根据 得 即0 AI01221, 221（代数重数2）对于 显然代数重数等于几何重数，21对于 其几何重数为1221)(3AIrank（不可对角化）根据各特征值的代数重数与几何重数应有A的约旦标准型为：1112J特征值包含重值的情形特征值包含重值的情形下面求变换矩阵Q，使得：12111Q AQJ即： ，AQ QJ1112),(),(321321XXXXXXA32322112XXAXXAXXAX求得特征向量求得特征向量求得

47、广义特征向量TX2101TX 101 2TX 1023123012(,)100211QX XX得： 1120112110 12Q AQJQ BCQ 系统约旦标准型为：zyuzz210,1201112取坐标变换：x Qz2.7 由状态空间描述导出传递函数矩阵由状态空间描述导出传递函数矩阵传递函数矩阵传递函数矩阵定义：单输入单输出线性时不变系统，在零初始条件下，输出变量拉普拉斯变换和定义：单输入单输出线性时不变系统，在零初始条件下，输出变量拉普拉斯变换和输入变量拉普拉斯变换之比，称为系统的传递函数，即输入变量拉普拉斯变换之比，称为系统的传递函数，即 )( )( )(susysg多输入多输出线性时不

48、变系统多输入多输出线性时不变系统，在，在零初始条件零初始条件下，输出变量拉普拉斯变换和输下，输出变量拉普拉斯变换和输入变量拉普拉斯变换因果关系：入变量拉普拉斯变换因果关系：)( )()( susGsy称称G(s)为系统的传递函数矩阵。为系统的传递函数矩阵。其中其中 )()()()()()()()( ,)()()( 111111sgsgsgsgsGsusususysysyqpqppq，011101)()()(asasasbsbsbsusysgnnnmm(1) G(s)的函数属性的函数属性 传递函数矩阵传递函数矩阵G(s)在函数属性上是复变量在函数属性上是复变量s的的qp有理分式矩阵。有理分式矩阵

49、。 (2) G(s)的真性和严真性的真性和严真性 当且仅当当且仅当G(s)是真或严真时，是真或严真时，G(s)才是物理上可实现的才是物理上可实现的 零阵是严真的非零常阵是真的)(lim)()(lim)(sGsGsGsGss(3) G(s)的特征多项式和最小多项式的特征多项式和最小多项式 阶子式的最小公分母的所有的最小多项式阶子式的最小公分母、阶、阶、的所有的特征多项式1)()()(),min(21)()()(sGssGpqsGssGGG(4) G(s)的极点的极点 G(s)的极点定义为方程式的极点定义为方程式 0)( sG的根的根 P66例例2.10 (5) G(s)的循环性的循环性 若若 常

50、数ksksGG),()(称称G(s)是循环的是循环的 (6) G(s)正则性和奇异性正则性和奇异性 是非正则的为奇异满足方有理分式矩阵是正则的)()(0)(det)()(sGsGsGsGsGG(s)基于基于(A,B,C,D)的表达式的表达式考虑连续时间线性时不变系统考虑连续时间线性时不变系统 DuCxyBuAxx则则DBAsICsG1)()(设设G(s)的首一化特征多项式为的首一化特征多项式为 G(s)，A的特征多项式为的特征多项式为 (s)，若，若 )()(ssG必有必有 )(deg)(degssG若系统能控能观测，则若系统能控能观测，则 )()(ssGdeg表示多项式的次数表示多项式的次数

51、表表G(s)的极点集合的极点集合G G，A的特征值集合的特征值集合，若，若G G，则则G ；若系统能控能观；若系统能控能观测，则测，则G= 。5123152 xxuy1x【例】求如下系统的传递函数解 (1) 先计算逆矩阵C(sI-A)-1B5311)4)(2(1)(adj)(1ssssAsIAsIAsI)4)(2(1315ssssAsI53111315adj)(adjssssAsI代数余子式(2) 由传递函数计算公式可得)4)(2(5912525311)4)(2(21 )()(1sssssssBAsICsG结论结论G(s)的实用计算关系式的实用计算关系式令 CBBCABCAECBBCABCAE

52、CBCABECBEsssAsIsnnnnnnnnnnnn12110231211210111)det()(则)(1)(012211EsEsEsEssGnnnnDBAsICsG1)()(A的阶次较高时，上述方法较繁琐的阶次较高时，上述方法较繁琐q 同一个系统的状态空间模型，即使其维数相同，但其具体结构和系数矩阵也是多同一个系统的状态空间模型，即使其维数相同，但其具体结构和系数矩阵也是多种多样的，种多样的， 如系统矩阵如系统矩阵A可以为对角线矩阵的或者约旦矩阵的可以为对角线矩阵的或者约旦矩阵的, 也可以为其他形式的（如能控标准形）。也可以为其他形式的（如能控标准形）。 即状态空间模型不具有唯一性。即

53、状态空间模型不具有唯一性。为何同一个系统具有不同的状态空间模型为何同一个系统具有不同的状态空间模型?原因原因: 状态变量的不同选择状态变量的不同选择这就产生了一个问题这就产生了一个问题:各种不同选择的状态变量之间，以及它们所对应的状态空间模型之间各种不同选择的状态变量之间，以及它们所对应的状态空间模型之间的关系如何的关系如何? 2.8 线性系统在坐标变换下的特性线性系统在坐标变换下的特性坐标变换的坐标变换的实质实质是把系统在状态空间一个坐标系上的表征化为另一个坐标系上的是把系统在状态空间一个坐标系上的表征化为另一个坐标系上的表征。表征。 坐标变换坐标变换是状态空间方法分析和综合中广为采用的一种

54、基本手段是状态空间方法分析和综合中广为采用的一种基本手段突出突出系统的某些特性或特征，或是简化系统分析和综合的计算过程系统的某些特性或特征，或是简化系统分析和综合的计算过程。 x x y y A(xa,ya) (xa,ya) q 一个一个n阶动态系统，可通过选择阶动态系统，可通过选择n个状态变量以建立状态空间模型来描述。个状态变量以建立状态空间模型来描述。这这n个状态变量的选择不是唯一的。个状态变量的选择不是唯一的。一个一个n维线性独立的状态变量向量，维线性独立的状态变量向量，在在n维状态空间中构成一个坐标维状态空间中构成一个坐标系，系，即相当于空间中的一个基底。即相当于空间中的一个基底。 线

55、性空间中，随着表征空间坐标的基底的选取的不同，空间中的线性空间中，随着表征空间坐标的基底的选取的不同，空间中的点关于各种基底的坐标亦不同。点关于各种基底的坐标亦不同。 变换基底变换基底坐标变换坐标变换。状态变量所组成的状态空间为一个实线性空间，状态变量所组成的状态空间为一个实线性空间，状态空间中状态变状态空间中状态变量的不同选择类似于线性空间中的坐标系的不同选择。量的不同选择类似于线性空间中的坐标系的不同选择。 在右图所示，在右图所示，A点在两个坐标系下的坐点在两个坐标系下的坐标存在如下变化关系标存在如下变化关系(其中其中P为非奇异的为非奇异的变换矩阵变换矩阵)aaaayxPyx结论结论2.8 对系统的坐标变换代数上等同于对其状态空间的基矩阵的一个线性非奇对系统的坐标变换代数上等同于对其状态空间的基矩阵的一个线性非奇异变换。异变