n隐函数的求导公式PPT学习教案

1、会计学1n隐函数的求导公式隐函数的求导公式 一一 一个方程的情形一个方程的情形在上在上册册0),(. 1 yxF0),( yxF的求导法的求导法. .已经讨论过方程下列定理给出了隐函数存在的充分条件.所确定的隐函数所确定的隐函数)(xyy 第1页/共44页隐函数存在定理),(yxF),(00yxP设二元函数设二元函数的某一邻域内满足的某一邻域内满足: :在点在点, 0),()3(00 yxFy则方程则方程; 0),()2(00 yxF),(xyy ),(00 xyy 的某一邻域内并有),(),(ddyxFyxFxyyx (1) 具有连续偏导数具有连续偏导数;0),( yxF),(00yxP它满

2、足条件在点在点隐函数的求导公式恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数说明说明公式推导如下公式推导如下第2页/共44页, 0),( yxFy),(),(ddyxFyxFxyyx .yxFF ),(yxFx),(yxFy xydd 0 ),(xF)(xy0 将恒等式将恒等式两边关于两边关于x求导求导,得得0),( yxF)(xyy 将将代代入入第3页/共44页例例验验证证方方程程0122 yx在在点点)1 , 0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时1 y的的隐隐函函数数)(xfy ，并并求求这这函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数在在0 x的的值

3、值.解解令令1),(22 yxyxF则则,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF依定理知方程依定理知方程0122 yx在点在点)1 , 0(的某邻域的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且内能唯一确定一个单值可导、且0 x时时1 y的的函数函数)(xfy 第4页/共44页函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数为为yxFFdxdy ,yx , 00 xdxdy222yyxydxyd 2yyxxy ,13y . 1022 xdxyd1),(22 yxyxF第5页/共44页0122 yx 法法2 方程确定了方程确定了1个个1元函数元函数方程两边对方程两边对x求导求导

4、：022 dxdyyx,yxdxdy , 00 xdxdy)(xyy 余下同法余下同法1第6页/共44页8先变形方程先变形方程方程两边对方程两边对x求导求导,arctan)ln(2122xyyx ,)(1122212222xyxyxyyxyyx yxyyyx .ddxyyxxy 例例.dd,arctanln22xyxyyx求求已知已知 法一 推导法解解（即一元隐函数求导法）第7页/共44页9解解令令则则,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFxy dd.xyyx 例例.dd,arctanln22xyxyyx求求已知已知 )

5、,(),(ddyxFyxFxyyx 隐函数的求导公式法二 公式法第8页/共44页隐函数存在定理隐函数存在定理2 2 设函数设函数),(zyxF在点在点,(0 xP),00zy的某一邻域内有连续的偏导数，且的某一邻域内有连续的偏导数，且,(0 xF0),00 zy，0),(000 zyxFz，则方程，则方程,(yxF0) z在点在点),(000zyxP的某一邻域内恒能唯一确的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz ，它满足条件，它满足条件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ， zyFFyz . .0),(. 2 zy

6、xF第9页/共44页公式推导如下公式推导如下: :将恒等式将恒等式),(yxF),(yxz0 xFzF xz , 0 ,zxFFxz .zyFFyz yFzF yz . 0 ，0),(000 zyxFz0),( zyxF),(yxzz 将将代代入入两边对两边对x 求偏导求偏导（ y 看作常数看作常数）对对 y求求偏偏导导：( x看作常数看作常数）第10页/共44页例例 3 3 设设04222 zzyx，求求22xz .解解令令则则,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(32

7、2zxz 不用公式不用公式?第11页/共44页方程确定了方程确定了1个个2元函数元函数确定了隐函数确定了隐函数设方程设方程1 zxyzxy.,2222yzxz 试求试求解解yyxzyxz ),(yxzz y xz z x xz 0 )(x,yzz 练习练习方程两边对方程两边对x 求偏导求偏导：（ y 看作常数看作常数）第12页/共44页再将上式两边对x求偏导, （ y看作常数）yxzyxz 22xz2)()(2yxzy 确确定定了了隐隐函函数数设设方方程程1 zxyzxy.,2222yzxz 试求试求),(yxzz 2)(yx xz )(yx )(zy 1 由原方程x, y的对称性知 22yz

8、2)()(2yxzx 第13页/共44页例例 4 4 设设),(xyzzyxfz ，求求xz ，yx ，zy .思路：思路：把把z看成看成yx,的函数对的函数对x求偏导数得求偏导数得xz ，把把x看看成成yz,的的函函数数对对y求求偏偏导导数数得得yx ，把把y看成看成zx,的函数对的函数对z求偏导数得求偏导数得zy .解解令令, zyxu ,xyzv 则则),(vufz 第14页/共44页把把z看成看成yx,的函数对的函数对x求偏导数得求偏导数得xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看成看成yz,的函数对的函数对y求偏导数得求偏导

9、数得)1(0 yxfu),(yxyzxzfv ),(xyzzyxfz 第15页/共44页整理得整理得,vuvuyzffxzff yx 把把y看看成成zx,的的函函数数对对z求求偏偏导导数数得得)1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff ),(xyzzyxfz 第16页/共44页0),( yxF)(xyy 说说明明1个个方程方程2个个变量，变量，确定了确定了1个个0),( zyxF),(yxzz 1元函数元函数1个个方程方程3个个变量，变量，确定了确定了1个个 2元函数元函数第17页/共44页隐函数求导原则n n个方程个方程, ,m m个变量个变量的

10、方程组的方程组可确定可确定 n n个个（m-nm-n元元）函数，函数，),(nm 一般的：一般的：由题目情况，由题目情况，其余其余m-nm-n个个变量变量作自变量，作自变量，选定选定n n个个变量作变量作函数变量，函数变量，方程组对某一个自变量求导时，方程组对某一个自变量求导时，其余自变量其余自变量看作常数。看作常数。一个方程推广到多个方程一个方程推广到多个方程第18页/共44页,0),(0),( vuxGvuxF如果方程组为),(),(xvvxuu 则可求则可求xvxudddd与与方程组两边关于方程组两边关于x求导求导,二方程组的情形(隐函数组)2个个方程方程3个个变量，变量，确定了确定了2

11、个个 1元函数元函数第19页/共44页 0),(0),(vuyxGvuyxF,xu ,yu ),(yxuu ).,(yxvv ,xv .yv 如果方程组为则则可求可求方程组两边关于方程组两边关于x求偏导求偏导, y看成常数看成常数方程组两边关于方程组两边关于y求偏导求偏导, x看成常数看成常数则可求则可求2个个方程方程4个个变量，变量，确定了确定了2个个 2元函数元函数第20页/共44页 0),(0),(vuyxGvuyxF隐函数存在定理隐函数存在定理 3 3 设设),(vuyxF、),(vuyxG在在点点),(0000vuyxP的某一邻域内有对各个变量的连续的某一邻域内有对各个变量的连续偏导

12、数，且偏导数，且0),(0000 vuyxF, ,),(0000vuyxG0 ，且偏导数所组成的函数行列式，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（或称雅可比式）式） vGuGvFuFvuGFJ ),(),(第21页/共44页在点在点),(0000vuyxP不等于零，则方程组不等于零，则方程组 0),( vuyxF、 0),( vuyxG在点在点),(0000vuyxP的某一邻域内恒能唯一确定一的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数组单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxuu ，),(yxvv ，它们满足条件，它们满足条件),(000yxuu , ,vv 0),(00yx

13、，并有，并有,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu 第22页/共44页vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv ),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu .),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv 第23页/共44页25例例)0, 0( ,212222 zyzyxzyx设设及及求求xzxydd,dd.dd,dd11 xxxzxy解解分析分析),(xyy ).(xzz 直接代入公式；直接代入公式；法一令令, 2),( zyxzyxF.21),(222zyxzyxG 0),(0),(zyxGzyxF),(),()

14、,(),(ddzyGFzxGFxy ),(),(),(),(ddzyGFxyGFxz , 1 xF, 1 yF, 1 zF,2xxG ,2yyG , zzG zGyGzFyFzyGF),(),(第24页/共44页26 ),(),(zyGFJ, 1 xF, 1 yF, 1 zF,2xxG ,2yyG , zzG zy 211yz2 zGyGzFyF ),(),(zxGFzGxGzFxF zx 211xz2 zyzxxy 22dd1 x1 x0 0),(0),(zyxGzyxF),(),(),(),(ddzyGFzxGFxy ),(),(),(),(ddzyGFxyGFxz 第25页/共44页27

15、, 1 xF, 1 yF, 1 zF,2xxG ,2yyG , zzG ),(),(xyGFxGyGxFyF xy2211 yx22 1 x1 x1 0),(0),(zyxGzyxF),(),(),(),(ddzyGFzxGFxy ),(),(),(),(ddzyGFxyGFxz zyyxxz 222dd第26页/共44页例例)0, 0( ,212222 zyzyxzyx设设及及求求xzxydd,dd.dd,dd11 xxxzxy解解),(xyy ).(xzz 方程组两边方程组两边对对x求导1 x2xydd xzdd 0 y2 xzdd xydd z 确定了确定了2个个 1元函数元函数第27页

16、/共44页1 xdxdzzdxdyydxdzdxdy221x2xydd xzdd 0 y2 xzdd xydd z dxdy,22yzxz zy 211z 11 x2 dxdz,222yzyx zy 211y211 x2 第28页/共44页得得zyzxxy 22ddzyyxxz 222dd1 x1 x0 1 x1 x1 dxdy,22yzxz dxdz,222yzyx )0, 0( ,212222 zyzyxzyx设设.dd,dd11 xxxzxy 222113zyzy,1时时 x得得2, 1 zy第29页/共44页例例设方程组设方程组,0022222 vuxyuvyx确定函数确定函数和和),

17、(yxuu ),(yxvv .,yvxvyuxu 求求解解原方程组两边分别对原方程组两边分别对x2x求偏导数, y看成常数 2yv u 0 xu xv u2 v2 0 xu xv 0 2个个方程方程4个个变量，变量，确定了确定了2个个 2元函数元函数),(yxuu ).,(yxvv 第30页/共44页解方程组得解方程组得,2222 yxvvxuuxxvuxuv移项得：,022022 xvvxuuyxvuxuvx xv xu,)(24222vuuyxv vuuv22 vu2x22y .)(24222vuvyxu vuuv22 uv2 x22y 第31页/共44页原方程组两边分别原方程组两边分别对

18、对,022202 yvvyuuxyyvuyuvy,222vuxyvyvyu .222vuxyvyuyv 解方程组得解方程组得yvyu ,求求 0022222vuxyuvyx练习y求偏导数, x 看成常数第32页/共44页（分以下几种情况）（分以下几种情况）隐函数的求导法则0),()1( yxF0),()2( zyxF 0),(0),()3(vuyxGvuyxF第33页/共44页解解运用公式推导的方法，运用公式推导的方法，将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导并移项求导并移项x, vxvxxuyuxvyxuxxyyxJ ,22yx 第34页/共44页在在0 J的条件下，的条件下，xyyxxv

19、yuxu ,22yxyvxu xyyxvyuxxv ,22yxxvyu 将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导，用同样方法得求导，用同样方法得y,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv , vxvxxuyuxvyxux第35页/共44页已已知知)(zyzx ，其其中中 为为可可微微函函数数，求求? yzyxzx思考题第36页/共44页思考题解答记记)(),(zyzxzyxF , 则则zFx1 ，,1)(zzyFy ,)()(22zyzyzxFz ,)(zyyxzFFxzzx ,)()(zyyxzyzFFyzzy 于是于是zyzyxzx .第37页/共44页39作业习题习题8.58.5 (340(340页页) )第38页/共44页40例例.,yyrxxr 求求解解 法一法一,sincos ryrx对x求偏导: cossinsincosrrxr cos0sin1rr cos xr 0 sin cos r x 1 cosxr r sin x 第39页/共44页41对对 y求偏导求偏导,r sin .cosry ,sin yr同理, xrxrxrxr cossin0sincos1 cossinsincosrrx 0sin1cos 自己练.,sincos