多元复合函数的求导法则

1、第四节多元复合函数的求导法则要求：熟练地计算复合函数的一阶偏导数，会计算抽象函数的二阶偏导数计算。重点：各种类型复合函数的求导与计算。难点：抽象函数的二阶偏导数计算。作业：习题8-4(嗑)2,4,6,82)3),10,112),122)3)4),13一.多个中间变量，一个自变量情况定理1如果函数u=cp(t)及v=W(t)都在点t可导，且函数z=f(u,v)在对应点具有连续偏导数，则复合函数 z=fW(t)在点t可导，且其导数公式为dz=&du+czdv(全导数)出二u出二vdt证明设t有增量&,相应函数u=9(t)及v=(t)的增量为Au,Av,此时函数z=f(u,v)相应获

2、得的增量为Az.又由于函数z=f(u,v)在点(u,v)处可微，于是由上节定理3证明有这里，当AuT0,AVT0时，5T0,超T0,上式除以At得包=包也+且曳包型.t：utfv:tttuduLVdv当&T0日寸，AuT0,&vT0*,3,tdt.,tdtdzz开du开dv所以=lim=+，即dtJ。.大cudtcvdtdz：:fdufdvFzdu三zdv出.:u出.:v出.:u出；:vdt此时，dz=2西+豆生从形式上看是全微分dz=2du+乡dv两端除以 dt 得dttudt二vdtu二v到的，常将也称为全导数.dt推论若z=f(u,v,w),u=9(t),v=W(t),w

3、=w(t)复合而的复合函数z=fIt),1-(t),w(t)1 满足定理条件，则有全导数公式例1.设函数u=xy,而x=et,y=sint,求全导数.dtdU 二UdX二Udyytytsint用牛=+=yxe+xlnxcost=e(sint+tcost).dt；xdt2ydt二.多个中间变量，多个自变量情况定理2若u=tP(x,y)及v=V(x,y)在点(x,y)具有偏导数， 而函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数z=f8(x,y)W(x,y)】在点(x,y)两个偏导数存在，且有公式z二z二U二z二v一二+;:x二U二xcv二x例2.设函数z=uv,而u=3x2+y

4、2,v=4x+2y,求包江.x.:y后方.z.z二u.ztvv1v.角牛一=vu6xulnu4x二u二x二v二x=2y(4x2y)(3x2y2)4x2y，2(3x2y2)4x2yln(3x2y2).注意为了帮助记忆，我们按各变量间的复合关系画出复合关系图如下：首先从自变量z向中间变量 u,v 画两个分枝，然后再分别从 u,v 向自变量 x,y画分枝，并在每个分枝旁边写上对其的偏导数.求红(必)时，我们只要把从二 x 二yz到x(y)的每条路径上的各偏导数相乘后，再将这些积相加即可得到-z 二 z 二 u 二 z 二 v/：z 二z二u二z二v+,(=十)xfu；xA；xfy：u；y:v；y推论

5、1.设函数u=5(x,y),v=W(x,y),w=w(x,y)在点(x,y)有偏导数，而函数z=f(u,v,w)在对应点(u,v,w)偏导数连续，则复合函数 z=f(x,y)(x,y),w(x,y)】在点(x,y)的两个偏导数存在，且有公式zz二 uz 二 v:Z:wz：z二u-z二v-z.w一=十+；一=+.x 二 u 二 xcv 二 x 二 w 二 xcy二u二y二v二y二w二y推论2.设函数u=9(x,y)具有偏导数，而函数z=f(u,x,y)可微，则复合函数z=f*(x,y),x,y在点(x,y)偏导数存在，且有公式-2-2记号f1；T，f12=,f2；二u二u二vf2z：V-U:.2

6、f“二江f22.2 例 6.设复合函数z=f(2x+3y,-),其中f(u,v)对u,v 具有二阶连续偏导数,二f二u-f.=+，:x；:u：:x；:xjz；z；:u;:f=+.:yjujy；:y注意史与更区别：Fxjx包是把函数 ffp(x,y),x,y中的 y 看成常数，对x求偏导,:xf是把f(u,x,y)中 u,y 看常数，对x求偏导.:x前者是复合后对X的偏导数，后者是复合前对例 3.设函数 u=f(x,y,z)=ex22七2,而z扁刀-：u开开；zx2y222x2.y2-z2角率=2xexy2zexy2xsiny;x；xjz；:x=2(yx4sinycosy)exyxsiny例 4

7、.设函数 z=uv+sint,而u=e,，v=cost 求全导数.dtdz；zdu出fu出；:v出ft=vet+u(-sint)+cost=e(cost-sint)+cost.例5.设抽象函数z=f(x2-y2,exy),其中f偏导数连续，求-,-.二x二y.复合函数的二阶偏导数若函数z=f(u,v),u=(x,y),v=(x,y)二阶偏导数连续，则复合函数z=f2(x,y)(x,y)】存在二阶偏导数.:z=x2siny求得和$.：z-：z-：u:z.：v:x：:u：:x其中f二二三二开(U，V)；:u；:u.:v：:x，f2,其中u=x2-y2,v=exy,:z开(u,v),：v5V-2二z

8、3y.1.，、-=2xyf1；-4f22+yf12-fz+2xf1).x；yxx复合函数求偏导数步骤：对某个自变量求导，应注意要经过一切与该自变量有关的中间变量而最后归结到该自变量.-2例7.设复合函数w=f(x+y+z,xyz),且f具有二阶连续偏导数，求w。ex二xcz-:w二fiyzf2.:x二fiixy2zf22(xyyz)f2iyf2.8.设函数u=f(x,y)的所有二阶偏导数连续，把下列表达式转换为极坐标2求二.:xjy.-zcz二u二zcv:x-十.:u；:xjv；:x.1.=2f1f2yx11x、=2(f113f12(-二)一7f2(f23f22(二)x3y-2x1=6f113

9、f22+2f12-2f2 练习题设函数z=f(x2y,),其中f(u,v)对xu,v具有二阶连续偏导数，求-2z:x2y(1)搞清复合关系一一画出复合关系图;(2)分清每步对哪个变量求导，固定了哪些变量;(3)形式(1)(包)2+(包)2；(2):xty.22二u二u.2.2z,1z.=du+一dv.:v上边两式平方后相加，得同理上边两式相加得四.全微分形式不变形设函数z=f(u,v)具有连续偏导数，则全微分:z:zdz=du+dv,L、/-utv若函数u=9(x,y),v=(x,y)有连续偏导数，则复合函数z=f(9(x,y)W(x,y)的全微分为解(1)直角坐标与极坐标关系 x=rcosB

10、,y=rsinfJ,则这里u=f(x,y)看作由函数u=F(r,6)及r=jx2+y2的复合函数，按复合函数求导公式，得日=arctan,复合而成x其中同理其中.:u；:u；:r；:u,u,；:usin1=+=cos6-_x?r；=xFx?r二rjrxxx2y2rcosncosu_y/-y2-2一22一二xyxy12sin二r.uur二u：71=十y.-ryyy.:uucossin.:r 一 rrsxcosu21L12xy2:yy=sin(-)2:xfu2,1fu2)-2(-)二rr二可见无论z是自变量 x,y 的函数或中间变量 u,v 的函数， 它的全微分形式是一样的，这个性质叫全微分形式不变性.例 9.利用全微分形式不变性求微分dz=d(eusinv),其中 u=xy,v=x+y.解因为dz=d(eusinv)=eusinvdu+eucosvdv又因为du=d(xy)=