大物复习大题

1、习题719一细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电量+Q,沿其下半部分均匀分布有电量-Q,如图所示，求圆心O处的电场强度。解：如图所示，在半圆形玻璃棒的上半部分取一线元dl=Rd6,其位置处相应的半径与X轴负向的夹角为e,其带电量dq=九dl=2Qd/(nR)=2QdH/n,其在O点产生的元场强的大小为dqQd二dE=2=224二；0R2二rR其方向如图所示。由于各个线元产生的元场强方向不一致，因此需把dE分解Qsiod二dEy=-dEsi中=-222二2；0R2由于电荷分布的对称性，最终O点场强的X分量Ex=0。因此，圆心O处的电场强度的Y分量为Ey=21dEy|二2；0R

2、2-1、s"d-)二0R2把O处的电场强度写成矢量式为E=Eyj=-2Q2j二2；0R2习题720在真空中有一长为l=10cm的细杆，杆上均匀分布着电荷，已知其电荷线密度九=1.0m10'C/m,在杆的延长线上，距杆的一端为d=10cm的一点上，有一电量为q0=2.0x10'C的点电荷，如图所示，试求该点电荷所受的电场力。解法I:沿细杆方向建立X轴方向向左，坐标原点就在q0所在处，在细杆上x处取线元dx,其带电为dq=Kdx,线元在q0所在处产生的元场大小为dq九dx.dxdE=2=24二；0x4二；0x整个细杆在q0所在处产生的电场大小为九峻4-X-2d-X1did

3、n九HE4-Ed')二-习题720图dl4二；0d(dl)点电荷q0所受的电场力为=q°E1lqo4二；0d(dl)1.010*0.102.0103-1243.148.85100.100.20=8.99N习题722如图所示为一沿X轴放置的长度为l的不均匀带电细棒，已知其电荷线密度为儿=Ao(x-a),式中及为常量，取U9=0,求坐标原点O处的电势。习题722图解：在棒上x处取线元dx,其带电量dq=Kdx=7u0(xa)dx,其在坐标原点O处产生的元电势为dq0(x-a)dxdU=4二0x4二0x整个带电细棒在坐标原点O处产生的电势为U二(dU=“°广%a)dx=&

4、#176;Ix_alnx】/4二；0ax4二；°0all-aln4二；0IL.a习题725图为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为P,球壳内表面半径为Ri,外表面半径为R2,设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。解：以O为中心，以(旦12)为半径，在球壳内取一厚度为dr的薄球壳，其可看成均匀带电球面，具带电量为dq-;?dV-4：r2dr,其在其内部任一点产生的电势为dq：4二r2drdU=4二；0r4二0rPrdr；。dr习题725图整个球壳在空腔内任一点产生的电势为PU=dU=-0R2rdr=R1；。1r2_2R2_2_2(R2-Ri)习题825圆柱形电容器，外柱的直径为4c

5、m,内柱的直径可以适当选择，若其间充满各向同性的介质，该介质的击穿电场强度大小为E0=200kV/cm,试求该电容器可能承受的最高电压。解：设该电容器的内、外柱半径分别为a和b,内、外柱带电分别为九和一九,则内、外柱间的场分布为E=（a<r<b）2二;r该场强的最大值也是击穿场强E。，可令上式中的r=a,即九Eo=Er_a=-2n&ab,两极间的电势差U"，皿=2,banoEa-baIn8九冗2-根据最值条件，可令ab=E0lnb_aE09'-2''=E0(ln-1)=0daab'<aJa代入（*）式即可得到该电容器可能承受的

6、最高电压max=bE。e32200102.7182习题826图示为一球形电容器，在外球壳的半径b及内外导体间的电势差U维持恒定的条件下，内球半径a为多大时才能使内球表附近的电场强度最小？并求这个最小电场强度的大小。解：内外导体间的电势差满足下面关系=1.47105V习题826图4二；°内球表面附近的电场强度可表小为E=-4二；0a2把代入得eUJ(一一)aabbUab-a2把对a求导数并令其等于零dEdbUbU(2a-b)da,2I,2、da<ab-aJ(ab-a)0解得a=b2所以，当a=b/2时，内球表附近的电场强度最小；这个最小电场强度的大小为EminbUbU4Uab-a

7、b22-b24习题827图示为两个同轴带电长直金属圆筒，内、外筒半径分别为R和R2,两筒间为空气，内、外筒电势分别为Ui=2U0,5=5,U0为一已知常量。求两金属筒之问的电势分布。解：两金属筒之间的电势差为U12=2U。-U。=U。所以R2Ridr工-=2二；0Kr2二；0设距轴线为r(Ri<r<R2)处的电势为U(r),则该处与外筒之间的电势差为r2r2drR2U(r)-U0=Edr=in2rr2二；0r2二；0rU0ln(RRi)in"r因此,U(r):U0_U°_ln(R2R1)inr这就是两金属筒之间的电势分布。该步也可以有如下等价作法：因内筒与r处的

8、电势差为rrU0r2U0-U(r)=Edr=in=0inRi2二;。R1in(R2R)R1所以,U(r)=2U0U0in(R2R)inRi习题916图习题916如图，一半径为R的带电朔料圆盘，其中有一半径为r的阴影部分均匀带正电荷，面电荷密度为十仃，其余部分均匀带负电荷，面电荷密度为-仃，当圆盘以角速度切旋转时，测得圆盘中心O点的磁感应强度为零，问R与r满足什么关系？解：取与圆盘同心、半径为r、宽度为dr的圆环，其带量电量为dq-；dS-；.一2二rdr其等效的圆电流为dl=dqT=其在中心O处产生的元场强为8=3=162r2因此，中心O点的磁感应强度为R1,.1,一_一Jocdr=-J0c.

9、(2r-R)r22令该磁感应强度为零可得R=2r习题917如图，有一密绕平面螺旋线圈，其上通有电流被限制在半径为R和R2的两个圆周之间。求此螺旋线中心解：以O点为圆心、以r为半径，在线圈平面内取宽度为dr的圆环面积，在此环面积内含有dN=ndr=Ndr/(R2-R1)匝线圈，其相应的元电流为di=IdNo其在中心O点产生的元磁场为I,总匝数为N,它O处的磁感应强度。dB二加二oN|dr2r2(R2-R1)r习题917图O点最终的磁感应强度为腔。(黑)累MNIlnR22限-即Ri习题923图该磁感应强度的方向垂直于图面向外。习题923半径为R的圆盘带有正电荷，其电荷面密度仃=kr,k是常数，r为

10、圆盘上一点到圆心的距离，圆盘放在一均匀磁场B中，其法线方向与B垂直。当圆盘以角速度绕过圆心O点且垂直于圆盘平面的轴作逆时针旋转时，求圆盘所受磁力矩的大小和方向。解：在圆盘上取半径为r、宽度为dr的细圆环，环面积为dS=2=rdr,环的带电量为dq-dS=kr2二rdr=2二kr2dr。其等效环电流为di=W=k,r2drT2二其元磁矩大小为dpm=dl二r2=k；T4drdPm的方向垂直于纸面向外。整个转动圆盘的磁矩为Pm=.dPmPm的方向垂直于纸面向外。根据线圈在磁场中所受磁力矩公式M=PmB可得圆盘所受磁力矩的大小为M=PmBsinQ=1kn©R5BsinkjicoR5B525

11、M的方向垂直于B向上。习题924如图所示，载有电流Ii和I2的长直导线ab和cd相互平行，相距为3r,今有载有电流I3的导线MN=r水平放置，且其两端M、N分别与小L的距离都是r,ab、cd和MN共面，求导线MN所受的磁力大小和方向。解：建立图示坐标系，在Ii和I2之间任一点x处的磁感应强度（暂设垂直于纸面向里为正）为:acAAM-nN,+rrr;bd;:习题924图：B(x)®I3dlLxx+dx题解924图B(x)=“Mi2二xoI22二(3r-x)I3NXMN上电流元13dx受到的力为dF=BLdx,方向"T”整个MN受到的力的大小为1r匚f2r10I1-oI2.dF

12、=fdF=JI3dxr:2。2兀(3rx)L1c=（Ii-I2）ln2,方向“T”2二讨论：若I1>12,则F方向向上；反之，若I1<I2,则F方向向下。习题11-12两相互平行无限长的直导线载有大小相等方向相反的电流，长度为b的金属杆CD与两导线共面且垂直，相对位置如图直线电流运动，求CD杆中的感应电动势，并判断解：建立图示坐标系，X轴水平向右，原点O在左边直导线处。在CD杆上任一点x处、由两平行无限长的直电流产生的磁感应强度（规定垂直于纸面向外为正）为C、CD杆以速度v平行于两端哪端电势高？B(x)=2二(x-a)2二x.aa''习题1112图在CD上x处取线元

13、dl,其方向C-D,即dl=dxi在该线元的元电动势为整个CD杆中的感应电动势为d；i=vB*dl=vB(x)dx)Iv2a由,111x_1°Ivln2(a+b)2n幻<x-axj-2冗2a+b鸟的方向C-D,因此，D端电势高习题1115无限长直导线通有电流I=I0e3。一矩形线圈与长直导线共面放置，其长边与导线平行，位置如图所示。求：（1）矩形线圈中的感应电动势的大小及感应电流的方向；（2）导线与线圈的互感系数。解：（1）设矩形线圈回路的绕行方向为顺时针的。在线圈内距长直导线为x处取宽度为dx、长度为l的矩形窄条面积，则通过该窄条面积的元磁通量为习题1115图.，°

14、I(t)d=B，dS=BdS'ldx2x通过整个矩形线圈的磁通量为1=d牛=（里2二所以，矩形线圈中的感应电动势为b-andx-Xb-Iad：'o%bddt2二adt%llnbd(ioet)=3%Ioletlnb2二adt2二a因为鸟0,所以该结果就是矩形线圈中感应电动势的大小；并且仍然因为；i>0,该感应电动势的万向为顺时针的，相应的感应电流亦为顺时针万向的。(2)根据定义，导线与线圈的互感系数为习题11-18一无限长直导线通以电流iI=I0sincot,和直导线在同一平面内有A.0I=l0Sint一矩形线框，其短边与直导线平行，线框不的尺寸及位置如右图所示，且b/c=

15、3o求：a(1)直导线和线框的互感系数；(2)线框土中的互感电动势。.c*'b解；(1)设矩形线框回路的绕行方向晒团习题1118图为顺时针的，则线框回路所围面积的法向垂直纸面向里。在距长直导线为r处取宽度为dr、长度为a的窄条面元dS,通过其元磁通量为._.0ld：J=B*dS=BdScosi=cos?adr2二r式中e为面元法向(垂直纸面向里)与磁感应强度b方向间的夹角。通过整个线框回路所围面积的磁通量为。学;0s。产；c0s二dr0labdr01ab01a=In=ln32二cr2二c2二因此，直导线和线框的互感系数口0aM=0ln32二(2)根据互感电动势公式可得线框中的互感电动势为dldLloa-；M-MM(l0sint)=-(In3)costdtdt2二此电动势是交变电动势，其大小和方向都随时间作周期性变化I习题1119图drr习题1119一无限长载有电流I的直导线旁边有一与之共面的矩形线圈，线圈的边长分别为l和b,l边与直导线平行。线圈以速度V垂直离开直导线，如图所示。求当矩形线圈与无限长直导线间的互感系数M=%l/(2n)时，线圈的位置及此时线圈内的感应电动势的大小。解：设任一时刻t矩形线圈的左边距无限长直导线