将军饮马的六种模型

1、将军饮马的六种常见模型将军饮马问题一一线段和最短一.六大模型1.如图，直线l和l的异侧两点A、B,在直线l上求作一点P,使PA+PB最小。B,在直线l上求作一点分别在OM,ON上作点P,使PA+PB最小。A,Bo使PAB的周长最小5.如图，点A是/MON外的一点，在射线OM,ON上作点A,Bo使四边形PAQB的周长最小。ON上作点P,使PA与点P到射线OM的距离之和最小第1页共10页6.如图，点A是/MON内的一点，在射线ON上作点P,使PA与点P到射线OM的距离之和最小二、常见题目Parti、三角形1.如图，在等边ABC中，AB=6,ADXBC,E是AC上的一点，M是AD上的一点，AE=2,

2、求EM+EC的最小值解：二.点C关于直线AD的对称点是点B,连接BE,交AD于点M,则ME+MD最小,过点B作BHXAC于点H,贝UEH=AH-AE=3-2=1,BH=BC2CH2=；6232=33在直角BHE中，BE=JBH2EH=;(33)212=272.如图，在锐角ABC中，AB=4石，/BAC=45。，/BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点，解：作点B关于AD+MN的最小值在等腰则BM+MN的最小值是.的对称点B',过点B'作B'EXAB于点E,RtAAEB'中，根据勾股定理得到，B'E=交AD于点F,则线段B'E长

3、就是BM第2页共10页3.如图，ABC中，AB=2,/BAC=30°,若在AC、AB上各取一点M、N,使BM+MN的值最小，则这个最小值解：作AB关于AC的对称线段AB',过点B'作B'NXAB,垂足为N,交AC于点M,则B'N=MB'+MN=MB+MN.B'N的长就是MB+MN的最小值，则/B'AN=2/BAC=60°,AB'=AB=2,/ANB'=90°，/B'=30°。AN=1,在直角AB'N中，根据勾股定理B'N=J3Part2、正方形1 .如图，正方

4、形ABCD的边长为8,M在DC上，且DM=2,N是AC上的一动点，DN+MN的最小值为。即在直线AC上求一点N,使DN+MN最小。解：故作点D关于AC的对称点B,连接BM,交AC于点N。则DN+MN=BN+MN=BM。线段BM的长就是DN+MN的最小值。在直角BCM中，CM=6,BC=8,则BM=10。故DN+MN的最小值是10E在正方形ABCD内，在对角线2 .如图所示，正方形ABCD的面积为12,4ABE是等边三角形，点AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A.26B,2蕊C.3D.蕊第3页共10页解：即在AC上求一点P,使PE+PD的值最小。点D关于直线AC的对称点是点

5、B,连接BE交AC于点P,则BE=PB+PE=PD+PE,BE的长就是PD+PE的最/、值BE=AB=2733 .在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ,则PBQ周长的最小值为cm（结果不取近似值）.O2£_解：在AC上求一点P,使PB+PQ的值最小点B关于AC的对称点是D点，连接DQ,与AC的交点P就是满足条件的点DQ=PD+PQ=PB+PQ,故DQ的长就是PB+PQ的最小值在直角CDQ中，CQ=1,CD=2,根据勾股定理，得，DQ=J54.如图，四边形ABCD是正方形，AB=10cm,E为边BC的中点，P为BD上的一个动点，

6、求PC+PE的最小值；1.如图，若四边形ABCD是矩形,的一个动点，求PC+PD的最小值；解：连接AE,交BD于点P,则AE就是PE+PC的最小值在直角ABE中，求得AE的长为胞Part3、矩形AB=10cm,BC=20cm,E为边BC上的一个动点，P为BD上第4页共10页解：作点C关于BD的对称点C',过点C',作C'BXBC,交BD于点P,则C'E就是PE+PC的最小值直角BCD中,CH=205直角BCH中，BH=875BCC'的面积为：BHXCH=160C'EXBC=2X160贝UCE'=16Part4、菱形1.如图，若四边形ABC

7、D是菱形，AB=10cm,ZABC=45°,E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值；解：点C关于BD的对称点是点A,过点A作AEXBC,交BD于点P,贝UAE就是PE+PC的最小值在等月EAB中，求得AE的长为5无Part5、直角梯形1.已知直角梯形ABCD中，AD/BC,AB±BC,AD=2,BC=DC=5,点P在BC上桐动，则当PA+PD取最小值时，APD中边AP上的高为（）A、J17B、J17C、J17D、3171717.4D解：作点A关于BC的对称点A',连接A'D,交BC于点P则A'D=PA'+PD=PA

8、+PDA'D的长就是PA+PD的最小值S；AAPD=4在直角ABP中，AB=4,BP=1,根据勾股定理，得AP=Ji7AP上的高为:2_4_8.万1717第5页共10页Part6、圆形1 .已知。O的直径CD为4,ZAOD的度数为60°,点B是AD的中点，在直径CD上找一点P,使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值.解：在直线CD上作一点P,使PA+PB的值最小作点A关于CD的对称点A',连接A'B,交CD于点P,则A'B的长就是PA+PB的最小值连接OA',OB,则/A'OB=90°,OA'=OB=4根据勾股定

9、理，A'B=4.22 .如图，MN是半径为1的。O的直径，点A在OO上，/AMN=30°,B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为()解：MN上求一点P,使PA+PB的值最小作点A关于MN的对称点A',连接A'B,交MN于点P,则点P就是所要作的点A'B的长就是PA+PB的最小值连接OA'、OB,则OA'B是等腰直角三角形A'B=-2Part7、一次函数20.一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4).(1)求该函数的解析式；(2)O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D,

10、P为OB上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标.k1第6页共10页解：(1)由题意得：0=2x+b,4=b解得k=-2,b=4,y=-2x+4(2)作点C关于y轴的对称点C',连接C'D,交y轴于点P贝UCzD=C'P+PD=PC+PDC'D就是PC+PD的最小值连接CD,贝UCD=2,CC'=2在直角C'CD中，根据勾股定理CzD=2，2求直线C'D的解析式，由C'(-1,0),D(1,2).有0=-k+b,2=k+b解得k=1,b=1,y=x+1当x=0时，y=1,贝UP(0,1)Part8、二次函数O顺时针

11、旋转120。,C坐标；若不存在,1 .如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2,0),连结0A,将线段OA绕原点得到线段OB.(1)求点B的坐标；(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使BOC周长最小？若存在求出点请说明理由.解：(1)B(1,百)J322,32 2)y=xx33点O关于对称轴的对称点是点A,则连接AB,交对称轴于点C,则BOC的周长最小、322nw口、.3y=xx,当x=-1时，y=333C(-1)A,B,C三点的抛2 .如图，在直角坐标系中，A,B,C的坐标分别为(-1,0),(3,0),(0,3),物线的对称轴为直线l,

12、D为直线l上的一个动点，第7页共10页(1)求抛物线的解析式；(2)求当AD+CD最小时点D的坐标；(3)以点A为圆心，以AD为半径作圆A;解：(1)证明：当AD+CD最小时，直线BD与圆A相切；写出直线BD与圆A相切时，点D的另一个坐标。(2)连接BC,交直线l于点D,贝UDA+DC=DB+DC=BC,BC的长就是AD+DC的最小值BC:y=-x+3则直线BC与直线x=1的交点D(1,2),3 .抛物线y=ax2+bx+c(aw0)对称轴为x=-1,与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,其中A(-3,0)、C(0,-2)(1)求这条抛物线的函数表达式.(2)已知在对称轴上存在一点P,使得PB

13、C的周长最小.请求出点P的坐标.(3)若点D是线段OC上的一个动点(不与点O、点C重合).过点D作DEPC交x轴于点E,连接PD、PE.设CD的长为m,APDE的面积为S.求S与m之间的函数关系式.试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.第8页共10页(1)由题意得2a9a3bc0,解得b抛物线的解析式为22y3x(2)点B关于对称轴的对称点是点A,连接AC交对称轴于点P,则PBC的周长最小.设直线AC的解析式为y=kx+b,/A(-3,0),C(0,-2),则°3k2解得k=2,b=-22b3直线AC的解析式为y=-x-23把x=-1代入得y=4,P(-1,-)33(3)S存在最大值,即OE/3=(2-m)/2DE/PC,.