寿险精算习题及答案

1、习题第一章人寿保险一、n年定期寿险【例4.1设有100个40岁的人投保了1000元5年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为3%I、如果各年预计死亡人数分别为1、2、3、4、5人，计算赔付支出；II、根据93男女混合表，计算赔付支出。解：I表4T死亡赔付现值计算表年份年内死亡人数赔付支出折现因子赔付支出现值(1)(2)(3)=1000*(2)(4)(5)=(3)*(4)1110001.03970.872220001.03/1885.193330001.03二2745.434440001.03”3553.955550001.03“4313.04合计1500013468.48根据上表可知100张

2、保单未来赔付支出现值为：1000乂（1父1.03,+2黑1.03”+3黑1.03,+4黑1.03”+5黑1.03，）=13468.48（元）则每张保单未来赔付的精算现值为134.68元，同时也是投保人应缴的定缴纯保费。解：II表42死亡赔付现值计算表年份年内死亡人数赔付支出折现因子赔付支出现值(1)(2)(3)=1000*(2)(4)(5)=(3)*(4)11000*q40=1.65016501.031601.9421000*/40=1.80918091.03,1705.1631000*240=1.98619861.03工1817.4741000*q40=2.18121811.03-1937.

3、7951000*4040=2,39123911.03-2062.50合计100179124.86根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：2J_2J3_4_51000(q401.0311q401.03-21q401,0331q401.0341q401.03)=9124.86(元)则每张保单未来赔付的精算现值为91.25元，同时也是投保人应缴的定缴纯保费。【例4,2】某人在40岁时投保了10000元3年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%根据93男女混合表计算：I、单位定缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差；III、(总)定缴纯保费；解：I、单位定缴纯保费为，21_k1/2323、A

4、t0：3|=，vk1q40=(vq40v140-v240)=(vq40vp40q41v2P40q42)k=0_0,00165(1-0,00165)0,001812(1-0,00165)(1-0,001812)0,001993"1,051,0521.053=0.00492793(元)。II、单位赔付现值期望的方差为，2A40:3|"(A40:31)="v)k|q40-(A40：3|)=(vq40v1|q40v2|q40)-(&0目|)=0,00444265k田III、定缴纯保费为，10000MA：0.3=49.28(元)40：3|【例4,3】某人在50岁时投

5、保了100000元30年期定期寿险，利率为8%假设xlx=1000(1)，计算定缴纯保费。10529解：定缴纯保费为，100000A50:30=100000%1,08*1)kP50q50kk=0其中,l50kkP50二l5055-kl50k_l51k1，q50k=55150k55-kYk1)55-kA.A.5555-k29故，100000A50:3d=10000021,08k=010000011-（1/1.08）30=父父=20468.70（兀）551.081-（1/1.08）二、终身寿险【例4.4】某人在40岁时投保了10000元终身寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%根据93男女混合表计

6、算：I、单位定缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差；III、（总）定缴纯保费；解：I、单位定缴纯保费为，64k12365A|0=ZV“|q40=v父q40vX：1|q40vx：2|q40+.v父64|q40=0.18853（兀）°k0II、单位赔付现值期望的方差为，642A40-（A40）26V2（k1）k|q40-（急0）2=0.00191979k=0III、定缴纯保费为，10000MA4。=1885.29（元）三、n年定期生存寿险【例4.5某人在40岁时投保了10000元20年定期生存寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%根据93男女混合表计算：I、单位定缴纯保费；II、单位赔

7、付现值期望的方差；III、（总）定缴纯保费；解：I、单位定缴纯保费为，A4a/尸v20m20P40=0.342332（元）II、单位赔付现值期望的方差为，V23M20P40M20q40=0.0313891III、定缴纯保费为，10000MA40:20=3423.32（元）纯保费+风险附加费用=100m（E（z）+R）=100（0.3423317+0.0213183）=36.365（元）四、n年定期两全保险【例4.6】某人在40岁时投保了10000元20年两全寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%根据93男女混合表计算：I、单位定缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差；III、（总）定缴纯保费；

8、解：K单位定缴纯保费为，A40：20|=A；0：20|+A4屋|=0.391722（元）II、单位赔付现值期望的方差为，Var（z）=Var（z）+Var（zz）2E（z1）E（z2）=0.004261III、定缴纯保费为，10000MA0：201=391722（元）六、延期寿险【例4.7】某人在40岁时投保了一份寿险保单，死亡年年末赔付，如果在40-60岁死亡，赔付50000元；65-75岁死亡，赔付100000元；在75岁后死亡，保险金为30000元。利用生命表93U、利率6豚件下的转换基数表计算该保单强缴净保费。解、这份保单可以分解为一份50000元的25年定期寿险、一份100000元延

9、期25年的10年定期寿险和一份30000元延期35年的终身寿险的组合，即，50000(M40-M65)100000(M65-M75)30000M7550000(M40M65)-70000M75E(z)=D40D40D40D40=8008.487(元)50000(13451.437800.72)-700004432.3893942.95这份保单还可以分解为一份30000元终身寿险、一份200000元的35年定期寿险和一份50000元延期25年的10年定期寿险的组合，即,一、30000M40E二一d4020000(M40-M75)D050000(M65-M75)D050000(M40M65)-70

10、000M75D40七、变额寿险【例4.8】利用计算基数表求下列保单在被保险人50岁签单时的1单位元定缴纯保费和方差，死亡年度末给付，年利率6%参照生命表(U,93,1000000):I、终身寿险；II、20年定期寿险；III、20年定期两全保险；IV、延期10年终身寿险；V、延期10年的20年定期寿险；VI、延期10年的20年定期两全保险。解、I、终身寿险：A50=M50"D50=11729.04"51090.53=0.229574DA50=DM50/DD50M50/d50=225.6235/2773.6211-(11729.0451090.53)2=0.028642II、

11、20年定期寿险：A50:201=(M50-M7o)/D50=(11729.04-6149.05)/51090.53=0.109218DA10:201=(DM50DM70)/DD50-(M50-M70)2/D；。_一一一一2一=(225.6235-60.4193)/2773.6211-(11729.04-6149.05)/51090.53)=0.047634III、20年定期两全保险：A50:201=(M50-M70D70)/D50=(11729.04-6149.0512374.69)/51090.53=0.351429-，、2一2DA50：201=(DM50DM70DD70)/DD50一(M5

12、0一M70D70)/D502二(225.6235-60.4193209.471)/2773.6211-(11729.04-6149.0512374.69)/51090.53)2=0.011583=9301.66/51090.53=0.182062IV、延期10年终身寿险：101A50=M60/D50_2_2_2101DA50=DM60/DDs0-M60/D50=130.1094/2773.6211-(9301.66/51090.53)=0.013763V、延期10年的20年定期寿险：101AL0|=(M60-Ms0)/D50=(9301.66-2802.27)/51090.53=0.12721

13、3122101DA50：201=(DM60-DM80)/DD50-(M60-M80)/D50_2_(130.1094-18.522)/2773.6211-(9301.66-2802.27)/51090.53);0.024048VI、延期10年的20年定期两全保险：i0|A50：20|=(M6o-M80D8o)/D50=(9301.66-2802.274312.51)/51090.53=0.211622=10|DA50:20|=(DM60DM80DD8o)/DD50(M6oM80Dgo/D；。_2=(130.1094-18.52240.7625)/2773.6211-(9301.66-2802.

14、274312.51)/51090.53)=0.010144第三节连续型(死亡即刻赔付)寿险定缴纯保费x【例4.9已知被保险人的寿命分布函数F(x)=，0WxW100,假设0=0.05,分别100求A。和DA。解、S(xiF(x)=*,"一1,1-(xt)tPxS(xt)100-(xt)S(x)-100-xfx(t)=tPxx.t1100一x1当x=40,fx(t)=，0MtM10040=60。601602小F二1一次60e060父61-0.05te600.050°=0.31674，2A4060e2tdt=.e2t600260、6001-20.05te2600.050

15、6;=0.1662544，口川40=2晨-(鼠)2=0.06593；【例4.10(x)投保终身寿险，死亡即刻赔付1元。假设余命服从常数死亡率分布，0=0.06,利息力6=0.03。计算，I、Ax、DAx；II、Pr(ztW19)=0.9,求19;III、假设有100个(x)独立同分布的个体购买了该保险，每人世纪缴纳保费为(1+R)Ax。在正态分布条件下要使保费有95%勺概率足够支付死亡赔偿，计算Rx+t解、在常数死亡力下，tPx=exp(Nds)=e，Nx#=N，则,xI、A=fe-"P<hddtTt，tx(、.)t,eexLdt二edt二00L，工不l/，2"|.)

16、t1Ax=edt=二一02c.22T.21DAx=Ax-(Ax)=；18II、Pr(Zt<4.9)=Pr(Vt<J.9)=R(t之展)=E(t之号)=0.9,lnvt(余命)的密度函数fx(t)=tpxNx+=uMe火,则,X葭yMe'dtM-erFF0.92ln_=e209=0.9,解得，、9=«0.9；III、Zagg=4+Z2+.+z100TN100E(z),100Var(z),根据题意,zagg-100E(z)Przagg<100(1R)E(z)=P,gg,100Var(z)100RE(z),100Var(z)=0.95-100E(z)-ggN(0,

17、1)“100Var(z)100RE(z)100Var(z)=1.96=10RAx1.96DAx1.961/18Rx=0.06929646510Ax20/3二、延期定额寿险【例4.11(x)投保延期10年的终身寿险,保额为1单位元，保险金在死亡时即刻给付。已知利息力为每=0.06,生存函数S(x)=e4°.04x,(x>0)o求赔付现值zt定缴净保费、方差和中位数4.05。解，fx(t)=S(xt)0.04(xt)-0.04eS(x)-0.04xe0.04t=0.04e强缴净保费：101A.="e<06t0.04e<04tdt=0.04'"

18、6皿七1=0.4391t110T=0.4e，=0.1471521010方差：102Ax=lo'e®12t0.04e<04tdt=0.04w"e4).16tdt-0.25e.16t110T=0.25e46=0.0504742,22i0iDAxq0Ax-(i0|Ax)=0.028820484中位数4.05：当事件zt=0时，意味着被保险人一直处于延期范围，在这段时间会有一个累积死亡概率,也称为重点概率。在本例中延期范围m=10,则，10Pf（Zt=0）=R（t二10）=00.04edt=0.32968也就是说有32.968%的死亡事件发生在延期范围内。由于0.32

19、968<0.5，说明中位数不在重点概率上。则，r100.04edt=0.5-0.32968=0.17032=w*=0.17032ur=17.32867721中位数=17.33。第五章生存年金第一节离散型年金1、终身生存年金【例5.1】某人今年45岁，花费10000元购买了一份期末付终身生存年金产品，利率5%根据93Ufc命表计算单位元精算现值的期望和方差，并计算每年可领取的金额。解、a45=詈D451610605.746106465.32=15.128Da4521rDM45川45、21(1i)QM45»45、2/或一(二)二二FF21.052r922.7917,24700.03

20、12a2-()=10.60760.0511849.2184106465.3200每年可领取金额=10000/a45=10000/15.128=661.026(元)2、定期生存年金【例5.2】某人在40岁购买了一份20年定期生存年金产品，如果存活可在每年年初领取1000元的给付，利率6%,根据93Ufc命表计算精算现值。解、1000a402Gl=1000:10001422016.8929-305710.3817二11882.8D4093942.94883、延期终身生存年金【例5.3对于（30）从60岁起每年年初6000元的终身生存年金，利率为6%试用93Ufc命表求建缴净保费。解、600030E

21、30a60=6000匹D30N0=6000N0=6000305710.3817二10787.38D60170037.78674、延期定期生存年金【例5.4】某人在30岁时投保养老金保险，保险契约规定，如果被保险人存活到60岁，则确定给付10年年金，如果被保险人到70岁依然存活，则从70岁起获得生存年金。如果年金每年年初支付一次，每次支付6000元，利率6%根据93U生命表计算定缴净保费。斛、是缴净保费=6000(aiQ|V30P30401a30)-6000(a0|30E30,401a30)=6000(1-VD60N70、6000r)二170037.78671.06(1-1.06,°)

22、0.0626606.0247109986.2647-11205.45)生=11205.45D60D301_v10或者，定缴净彳费=6000x(a讪+1qa60)M30E30=6000M(+1d三、年付一次变额生存年金1、一般变额生存年金【例5.5】某人30岁购买从60岁起支付的生存年金，契约规定：被保险人60-69岁每年付给6000元，70-79岁每年付给7000元，80岁后每年付给8000元。在预定利率6僚件下，根据93U1计算建缴净保费。解、保费=60003。E30a60：10|700040E30a70向.800050E30ag。肉二6000D60N60-N70.7000D70N70-N8

23、0_8000旦80N80-N90D30D60D30D70D30D80=(6000MN60+1000MN70+1000MN808000黑N90)+D30=11455.98(元)2、等额递增生存年金【例5.6】某人在50岁时购买了一份终身生存年金，给付从51岁开始每年一次，给付额第一年为5000元、第二年5500元、第三年6000元。计算这笔年金的精算现值。解、可以理解为一个每年支付4500元的料期等额生存年金加上一个每年递增500元的3年期等额递增生存年金，则，精算现值=4500a50+500(Ia)50=(4500N51+500S51)/D50=75416.67(元)五、年付多次生存年金1、年

24、付r次终身生存年金【例5.7】在例5.3中，若年金每月支付一次，求建缴净保费。解、净保费简算法:(12)12-1_24Nfin-11D606000M30a302)定6000M(301a30父3nE30)=6000M6060=10357.08(元)21224D30净保费简算法:(12)6000301a30i(r)-iAxi(r)d(r)=60001/r.r(1i)-1-iMx/Dx-2i/7-iTFr(1i)-11-(1i)=6000=94035.82(元)12(1.06112-1)-0.0614730.19-170037.79211211212(1.06-1)(1-1.06)【例5.8】某保单

25、提供从60岁起每月500元的生存年金，如果被保险人在60岁前死亡，则在死亡年年末获赔10000元。如果利率6%根据93竦计算精算现值。解、这张保单由定期寿险和延期终身生存年金构成，精算现值为，10000XA30-30i+6000x30|a302)=10000MM30-皿0+6000父24N60"冲-10676.33(元):11D3024D30第六章均衡净保费第一节离散型均衡净保费一、全期缴纳的均衡净保费【例6.1某人60岁购买了一份1000元的终身人寿保险，每年初缴付保费，终身缴付。已知利率6%按93雇计算死亡年年末赔付的年缴均衡净保费。解、1000Mp6n=1000MMi=9301

26、.6635=30.4264(元)N60305710.38172、定期寿险:P1x:n|1ax:n|Ax:n|?p1=Ax：n|px:n|ax:n|Mx-MxnNx-Nxn【例6.2】某人40岁购买了3年期1000元定期寿险，保险金在死亡年年末赔付，保险费每年初缴付保费，已知利率6%按93味分别计算2和3年内的缴均衡净保费。解、1000P410:31=1000M40-M4313451.4266-12997.288610001.709N40-N431422016.8929-1156275.066610002P；0：3|=A4a31a40:2|M40-M4313451.4266-12997.2886

27、=100040”=10002.4895N40-N421422016.8929-1239594.7526【例6.3】张某今年30岁购买了生存年金，从60岁起每年年初获6000元生存年金，利率6%如果保费在30和10年内均衡缴付，根据93味分别计算年均衡净保费。解、张某30岁购买的是一份延期30年的终身生存年金，如果30内均衡缴付，则有,301a30P(30|a30)=6000a30:30|6000N60N30-N606000M305710.3817_75234592743767.5118-305710.3817如果10内均衡缴付，则有,10P(301a30)二6000301a30a30:10|6

28、000N60N30-N406000305710.38172743767.5118-1422016.8929=1387.7522【例6.4】某人在45岁时购买寿险，契约规定若在第一年内死亡，给付保险金8000元，以后多存活一年后死亡，保险金减少500元，保险金额减少到零时，合同终止。若保险金额在死亡年末付，保费5年内缴清。利率为4%根据03Ml计算年缴净保费。解、该人购买的是定期16年递减寿险，每年递减额为500元。均衡方程式为，5P藐51=500X(DA)145：16|,1P_500(DA)45:161_50016M45-R4692_50016*47940.6403-1333419.03836

29、29432.2938_415-a45:5|一N45-N50-3041784.5773-2281977.2295一第二节连续型均衡净保费【例6.5】设生存函数lx=1-x-(x>0),0=0.05,试求40岁的人投保终身寿险的连续100型均衡净保费。解、tPxlx100-x-t100-x.1,.1fx吁tpx=E，当X=40时，fx60t160.t则有，A=vfx(t)dt=edt=0.31670''600所以，P40=3=40=0.0232a401一A40第四节一年多次缴的均衡净保费【例6.6(25)投保35年期的定期寿险，保险金额为10000元，保费在每月月初缴纳，保险

30、金在死亡年末付给，利率4%根据93味计算I、全期缴纳月保费；II、10年限期缴纳的月保费。解、I、年缴12次的年净保费：1(12),1、A25:35|M25M60P(IA25函)=(12)L=10000a25:35|N-N.12-1(D-D)n25n60212(D25D60)54683.2936-39801.6626二10000-=21.6511一8138148.1240-1134383.2491-(367688.9906-83431.7875)月保费为，P(12)(a25:35)/12=1.8042【例6.7】对于(40)的20年定期寿险，如果被保险人在保险期内死亡，除了赔付100000元外

31、，还退还过去已缴净保费的累积。假设利率5%保险赔付在死亡年末，保险费每年初缴付一次、20年付清，根据93叱计算以下几种情况的年缴均衡净保费。I、退换保费部分不计利息；II、退换保费部分按3%十复利；解、设年缴均衡净保费为P,则，I、不计利息；已缴净保费的累积虽然不计息，但给付以保险人在保险期内死亡为条件，这就构成定期递增的寿险，其收支平衡式为，Pxa40:轲=100000mA；0两十Pm(IA)40:201,解得，1100000A40：20|100000(M40-M60)P=-：=746.29a40:20|(IA)40:201(N40-N60)-(R40-R6020M60)1如果不退还还过去已

32、缴净保费,P.100000儿。可.100000Y40-:386.65(N40-N60)a-a40:20|II、按3%十复利：如果退还保费以利息率j计息，退还保费部分的给付是一个随被保险人死亡时间变动的年金终值，即，b"=PMSej,其现值变量为，WuVk*MPxljj,(0_k_n)n1k5令S=vSFd|jk|qxk-0n1精算现值为,E(W)=P'vk1S0k|qx,k=0收支平衡式为，P乂a；°：201=100000,A：。而+P,S,解得,1100000A4丽P=aSa40:20|21000000.049390512.773834-0.706665=409.2965第二章责任准备金第一节离散型责任准备金一、将来法全期缴费责任准备金【例7.1】设有1000个40岁的人同时投保1000元5年定期寿险，保费在5年内均衡缴付。当利率为6%根据93U生命表分析未来5年预期净保费收入和预期赔付支出。解、每人年缴净保费为，1CMA1|M40-M45CM13451.43-12667.171000P40.5I=1000=10001000=1.876062401a40:51N40-N451422016.88-100