实数的连续性定理及其应用研究

1、实数集合的连续性是实数系的一个基本特征，它是微积分学的坚实的理论基础人们从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，得到了一连串的有关实数的连续性定理,其中包括：确界存在定理，闭区间套定理，单调有界收敛定理，聚点定理，有限覆盖定理，柯西准则，致密性定理等.本文主要阐述实数集八个基本定理及其相关内容，而且在基于实数系连续性公理基础之上，顺序证明了这八个基本定理.首先用单个定理做基础来证明其它的定理其中重点求证了有限开覆盖定理及区间套定理和其它定理间的等价关系；而后，运用和一般教材不同的证明顺序先后对八个定理进行了循环证明，继而得出定理之间相互等价；最后，介绍它们在研究连续函数性质方面的重要应用并进行

2、了推广，获得了对实数集完备性基本特征的更深刻的认识和理解.关键词：连续性；区间套；有限开覆盖；等价性AbstractContinuityofthesetofrealnumbersisbasiccharacteroftherealnumbersystem,anditisstabletheorybackgroundofcalculus.Peopledescribedanddepicteditfromdifferentangles,andaseriesofcontinuoustheoremsofrealnumbersareobtained,includingexistencetheoremofsup

3、remum,theoremofnestedclosedinterval,boundedmonotoneconvergencetheorem,accumulationprinciple,thefinitecoveringtheorem,Cauchycriterion,thecompactnesstheoremandsoon.Inthisthesis,eightfundamentaltheoremsandrelatedcontentsfortherealnumbersetaredescribedandtheeightfundamentaltheoremsareprovedinasequenceba

4、sedonthecontinuityaxiomofrealnumbersystem.First,withthesingletheorem,theothertheoremsareproved,inwhichtheequivalencerelationbetweenthefinitecoveringtheorem,theoremofnestedclosedintervalandothertheoremsaremainlydiscussed.Second,thecycleprooffortheeighttheoremsaregivenoneafteranotherintheorderwhichisd

5、ifferentfromgeneraltextbooksandtheirequivalencerelationsareobtained.Finally,theirimportantapplicationsininvestigatingthepropertiesofthecontinuousfunctionsareintroducedandextended,anddeeperunderstandingofthebasicfeaturesofcompletionabouttherealnumbersetisreceived.Keywords：Continuity;theNestedInterval

6、;limitedopencovering;Equivalence引言1第一章实数连续性相关概念及定理证明11.1 实数空间11.1.1 实数的定义与性质11.1.2 实数的定义与性质11.1.3 实数公理31.1.4 实数集的连通性41.2 实数连续型基本定理及证明51.2.1 确界存在定理51.2.2 单调有界定理与区间套定理61.2.3 紧性定理81.2.4 柯西准则91.3 实数基本定理的等价证明101.3.1 基本定理循环例证101.3.2 用区间套定理证明其他定理121.3.3 用单调有界定理证明其余五个定理131.3.4 用有限覆盖定理证明其他定理15第二章实数连续性的应用研究16

7、2.1 连续函数性质的证明182.1.1 连续函数的有界性定理182.1.2 连续函数的介质性定理182.1.3 一致连续性定理202.2 实数连续性等价命题的应用212.2.1 确界定理在解题中的应用212.2.2 有限覆盖定理在解题中的应用222.2.3 柯西收敛准则在解题中的应用232.3 实数连续性的推广应用23结论26参考文献2728引言数学分析是以函数和各种分析性质为基本基本对象，其主要包含连续性，可积性以及可微性.可积性与可微性是创建在极限理论基础之上的，但是极限理论又是基于在实数空间1的连续性，也就是实数集连续性的基础之上.实数集的连续定理在数学分析中属于基础的部分，实数集的连

8、续性定理主要包含有：确界存在性定理，闭区间套定理，单调有界收敛定理，聚点定理，有限覆盖定理,柯西准则，致密性定理，一致连续性定理.本文阐述了实数集合上八个基本定理和相关内容.以实数系的连续性为公理，顺序证明.先以单个定理证明其他.其中重点证明区间套定理及有限开覆盖定理与其他定理之间的等价关系.而后运用和一般教材不同的证明顺序先后对七个定理进行了循环证明，继而得出定理之间相互等价；最后，介绍它们在研究连续函数性质等方面的重要应用并进行了推广，获得了对实数集完备性基本特征的更深刻的认识和理解,进一步印证了实数完备性定理在整个数学分析理论体系中的基础地位.文章开头首先从介绍实数空间开始，为了定义实数

9、空间，首先需要定义实数的运算和关系，并承认有理数的一些熟知性质，如有理数是最小的全序域，所谓全序域简单地说就是可以比较大小，和作加、减、乘、除四则运算.有理数集是稠密的，即对任意有理数a、b(a<b),总存在有理数c,使得a:c:b.除此之外，有理数还满足阿基米德原理，也就是说对任何正有理数baa>0,一定有自然数n,使得nab.在实数空间部分，文章中也会对实数的性质和域公理1,还有对实数集的连通性做了详细阐述.在数学分析课程的学习中，大家对有界集合的确界概念已经很熟悉了，为了证明其存在性，本文章会引入实数连续性系统的第一个定理-确界存在定理.如果全序集里任何非空且有上界的集合一定

10、存在上确界，则称此全序集是完备的.在全序集中任何区间长趋于零的区间都存在非空交集，我们把该全序集称为是完备的.在本文中我们会给出区间套定理，此定理刻画和描绘了实数集是完备的，同时也给出经过逐步减小搜索范围，来找到所求点的方法.给定序列L,我们有没有办法去判断它有极限还是没有极限,极限定义也可以说是判断有没有极限的一种方法.但用定义判断极限存在需要知道极限值,而困难就在于此.如果序列是单调的，比如它是单调增加的，那么序列有没有极限问题就转换成了序列有没有上界的问题.这种情况下判断有没有极限问题是解决了.若是任意序列，只要序列给定，它有没有极限应是客观存在的事实，为了更好地去判断它，我们引入了序列

11、极限的柯西收敛原理.相应的我们还能得出函数的柯西收敛原理.简单地,函数和序列的柯西收敛原理就构成了实数的完备性.数学分析的主要研究对象是连续函数，因此熟悉连续函数的基本性质有着十分重要的意义.我们在熟悉连续函数三个基本性质的基础上，指出它们的相关意义，作为实数连通性"、紧性定理"应用，我们用此可以来证明函数的三个性质（中间值定理、有界定理、最值定理），至此，我们还可以得到一致连续性定理.在本论文中我们证明了实数连续性的七个等价命题.给出如果把其中一个定理当作公理，其他定理也均可由这一公理及其其他的公理证明.其直接证明方法就是运用每个命题来直接证明其他六个等价命题，而不是用其

12、他命题作为过渡.利用这种证明方法,能够深刻理解每一个命题如何从不同角度来刻画实数连续性及完备性的，促使实数连续性命题的结构和逻辑关系框架进一步清楚.极限理论问题首先是极限存在问题.给出已知数列能否判断其是否存在极限，不只是与数列本身结构相关，还与数列本身所在的数集有关系.如果在有理数集Q上讨论极限，那么单调有界的有理数列就不一定存在极限.例如，单调有界的有理数列A+-I就不存在极限，因为它的极限是e,是无理数.因为实数集合有关极限运算是n完全封闭的，这是实数集有别于有理数集的特别特征.因而，我们把极限理论基于实数集性质的基础之上，就能使得极限理论具备了牢固的基础.所以实数集的完备性是数学分析的

13、基础.它在整个数学分析中占据着重要的位置.第一章实数连续性相关概念及定理证明1.1 实数空间1.1.1 实数的定义与性质实数的构成限循环小数；或数）有理数（有限小数和无实数4无理数（无限不循环小其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数.在数学上，直观的把实数定义为与数轴上的点具有一一对应关系的数.在数学发展的历史上实数起先把实数仅称作数，再后来随着发展才引入虚数概念.实数可以用来测量连续的量.实际生活中，我们经常把实数近似成一个有限小数，也就是保留小数点后n位,其中n为正整数.在计算机的运用中，是因为计算机只能存储有限位数的小数，实数常常用浮点数来表示.而在理论上看来，任何实数是都

14、能够利用无限小数方式表示的，小数点的右边是一个无穷的数列，并且该小数可以是非循环的，当然也允许是循环的.实数的性质封闭性：（实数集R对+,_*,+）四则运算是封闭的.即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数.有序性：任取一对实数a,b一定具有以下关系中的一个：a：b,a.b,a=b.传递性：a.b,bc=a.c.阿基米德性14：Va,bWR,ba>0=三nWN使得na>b.稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数.实数集合R和规定了单位长度、原点、正方向的直线实数轴上的点对应.1.1.2 实数的定义与性质如果实数域R存在，它应当是由所有有理数基本列组成的序域.事实上，设

15、R的任一元素a都是某个有理数基本列an的极限.则存在kwn,使ak-a<1,从而a<1+ak.kk1+ak是有理数,有理数域是阿基米德序域,故存在nWN，使n1+ak.故有n.a.因此，R是阿基米德序域.若Ri,R2是两个实数域，则它们的元素都是有理数基本列的极限.映射f:RitR2，若liman=a,其中aWR,a0是有理数的基本列，匕在R2中的极限为a，则f(a)=a.易知f是Ri到R2的同构映射.因此，符合定义的实数域在同构的意义上是唯一的.构造设M是所有有理数基本列的集合.在M中定义等价关系、加法、乘法及序如下：对任意,HII三M.1 'an£n当且仅当l

16、im(an-bn)=0；2 a+b=a+bnnnn,3 -a,lb=abnnnnp54 -ianL)当且仅当存在有理数W>0,及n°WN,使当n>n0时，bn-an；.我们从有理数性质可以知道，以上基本数列的乘法、加法满足交换律、分配律和结合律.所定义的基本列的序是全序.实数集R的若干性质.10有理数Q在R中处处稠密对任意两实数a,b,若a<b,则必存在cWQ,使a:二c:b.2连续统实数集R与直线上点集R1对应.建立对应的方法如下：在直线l上取O点为原点，OA为单位，A点所在半直线为正向，建立直线坐标系第一次，以OA为单位，从。点开始，向左、右两边等分直线，得第一

17、批分点(与单位端点重合的点),它们对应全体整数.划分直线，得第nn批分点，其中pwn+,p>1,nn=2,3,.这样所得分点，连同第一批分点，对应全体有理数.现令第n批分点中两个相邻分点之间(包括两端点)所有点组成之集为第n级子区间，于是，直线l上每一点B,如果它不是某一批分点，它便包含于一系列子区间之中，这些形成一个区间套.实数b.这时规定b与b对应.建立直线坐标系的直线R1称为数直线，或实直线，或连续统；在它上面已不再有“洞”.由于实数集R与实直线Ri等价，以后不再区别R与R1.3。实数表示成无尽小数形式由上可知，每一个实数都可以表示成P进制无尽小数.方法如下：设a是正实数，其在R上

18、对应的区间套，如果a是有理数，并且还是某些区间的端点，于是规定它在右边区间上.又令ai为区间左端点对应的整数(自然数)；n>1时,区间左端点为第a0(a”=0,1,2,'','p1)个分点.于是得到一个唯一确定的非负整数歹Ij(ai.a”.)(0_ai:二p,i=1,2,3,).反之，给出一个这样的非负整数列，可以确定唯一的一个区间套，从而唯一地确定一个实数.1.1.3实数公理公理1(域公理)X/x,y,zwR,有(1)交换律：x+y=y+x,x.y=y，x；(2) 结合律：(x+y)+z=x+(y+z)(xy卜z=x(y-z)；(3) 分配律：xy+z)=x，y

19、+x，z;(4)两个特殊元素0与1：/xWR,有x+0=x,x，1=x;(5)每个XWR,关于“+”的逆元-X,关于“”的逆元x(此时x¥0),有x.Lx=0,x,x=1公理2(全序公理)与“+”、“.”运算相容的全序公理(1)寸X,ywR,下列三种关系x：:y,x=y,x-y有且仅有一个成立；(2)传递性：若x<y,y<z,则x<z;(3)与“+”相容性：若x<yU/zWR,有x+z<y+z;(4)与“相容性：若x<y,z>0,则x，z<y，z.公理3(阿基米彳惠(Archimedes)公理14)Vx>0,y>0,znN,

20、使得nx之y.公理4(完备性公理)有上界非空数集必有上确界.1.1.4实数集的连通性8实数集R中有关区间的准确定义:如果R的子集E中至少包含有两个点，而且如果a,bEE,a<b,则有标，b-x三RaMxMb；二E子集E被称为是一一个区间我们熟知，在实数集R中的区间可以分为以下9类：（一个，二）,（a,二）,a,二）,（-£.?,a）,（一匕，a（a,b）,（a,b,a,b）,a,b因为，一方面以上9类集合中的每一个显然都是区间；另方面，若是EUR为一个区间，我们可以看作E有无下（上）界，和在有下（上）界的情况下看做其下（上）确界究竟能否属于E，而把E纳入到上述9类之一实数空间R

21、是一个连通空间.因为区间（a,明，（-o,a）和（a,b）都同胚于R,所以这些区间也都是连通的；由于（a,二二）=a，二二），（二二，a）二（一二，a（a,b）二a,b）二a,b,（a,b）二（a,b=（a,b）可见区间a,=o）,（血，a,a,b）,（a,b和a,b都是连通的.此外还有，如果E是R的一个子集，并且它包含着不少于两个点.如果E不是一个区间，则3a,bWr,a<b,予a,b0E，也就是说，存在a<c<b，使得c正E;从而，若令A=（-吟c）-E,B=（c,二）-E于是可得到A和B均是E的非空开集，还有庆=8=£与庆门8=空集，所以E不连通.定义1把实数

22、集R分成两个子集X、Y,使满足：（1）X、Y至少包含一个实数；（2）每一实数或属于X，或属于Y；（3）任一属于X的实数，小于属于丫的实数；（4） X中无最大数.则称X、Y为实数的一个分划，记作（XY）,X称为分化的下类,Y称为分化的上类.定理1（戴德金定理）设（XY）为以实数分划,则丫必有最小数.论述到此，我们有上述得到了实数集是全序域，并且还是连通集，我们把此连通的域称为是实数空间，仍用记号R表示.1.2实数连续型基本定理及证明1.2.1 确界存在定理定义2（确界）设SUR,若m“WR满足：（1） VxWR,x,即"是S的上界；（2） V君0,三x°WS,使得Xo名，即“

23、W不是S的上界.则称是S的上确界，记为=supS.若WR，满足：（3） VxWS,有x“；（4） Vs0,三x°WS,有x0之+6；则称之是S的下确界，记作t=infS.即：上确界是最小的上界，下确界是最大的下界.定理2（确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界.证明：我们只要能够证明非空且有上界的数列集合一定存在上确界即可，而对非空且有下界的数列集合一定存在下确界能有类似的论明.在数学分析课程学习的过程中可以知道任一个实数x都能够表示为以下形式x=x（x）其中x表示x的整数部分,（x）表示x的非负小数部分.我们将（x）表示成无限小数的形式：（x）=a1,a21an其中aa2

24、an的每一个数字都是0,1,2,9中的一个，若（x）是有限小数，则在后面接上无限个0.这称为实数的无限小数表示.我们可明显注意到有限小数a12-a0一和无限小数a12a0大小是相等的，为表示其唯一性，预先约定在（x）上无限小数的表示中肯定不出现后者.这样任何一个实数集合S都可以由一个确定的无限小数的集合来表示：a0+0.a1a2ana0=x10.a1a21'an=（x）,xWS.设集合S存在上界，于是可令S中的元素整数的部分的最大数字是a。，可知a0必存在，因为不然,S不可能存在上界，记S0=xxWS并且t=口0显然S0不是空集,并且对于任意XS,只要x更S0,就有X<«

25、;0.，记它紧接着来考察集合So里元素无限小数的表示中排在最前位的小数的数字们中最大的数字是可，类似的我们记S1=xxS0并且x的第一位小数为g。很明显Si同样不是空集，还有对于任何xWS，只要有x皂S1,就会存在x:二：0-0.,<1.如此下去，考察数集Sa中元素的无限小数表示中第n位小数的数字,令它们中的最大者为0tn,并记Sn=xxWSn*且x的第n位小数为0(n。显然Sn也不是空集，并且对于任意xS,只要x更Sn,就有x<0(0+0.0(02<Xn.不断地做下去，我们得到一列非空数集SnS°nSinnSn二，和一列数0(0,«1,«2&#

26、39;Qn'满足"0WZ,%w0,1，,9,kwN.令：=>0'0.：.1?2立n，卜面我们分两步证明P就是数集S的上确界.(1)设xwS,则或者存在整数n0之0,使得x正Sn0,或者对于任何整数n20,有xSn.若X星Sn0,便有X<«0+001口2一5n0；若xWSn”nWN)，由Sn的定义并逐个比，较x与P的整数部分及每一位小数，即知x=P.所以对任意的xWS，有xEP,即P是数集S的上界.1(2)对于任息给止的£>0,只要将自然数n0取得充分大，便有<名.取x°WSn。，则P与x0的整数部分及前n0位小数是

27、相同的，所以1xx0<-<8,即x°AP8，100所以任何小于P的数都不是数集S的上界.即证P是数集S的上确界.同理可证明非空有下界数集必有下确界.1.2.2单调有界定理与区间套定理定理3单调有界定理：任意单调有界数列一定是收敛的证明：不是一般性，我们设数列Xn单调而且递减存在有下界，依照确界原理存在以一定存在下确界a,满足：1 -nN-:Xn_2 一；°，-JXn0：Xn0；：,，：。取N=n0，-n.N：-xn：Xno:二：,；所以Xn-a<名于是limXn="即证n同理可证单调递增有上界数列也有极限定义3(区间套)闭区间序列.若满足条件i&

28、gt;对Vn，存在an+，bn+】Uan，bn】，即an<an+<bn+<bn,也就是有闭区间被包含在后面一个闭区间内；ii>bn-anT0，(nTg).即当nT8时区间长度趋于零.则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套，简称为区间套.简而言之，所谓区间套是指一个“闭、缩、套”区间列.定理4(区间套定理)设bn，6)为一区间套：Q1 an1，bnian，bnn=1,2o2 limbnan=0n-jk则an，bn】称为区间套，这时必存在唯一的一点SR使得anEKbn证明：因为an+bn+】Uan，bnl，所以a”是单调且递增的数列，并且存在上界，6是单调且递减的数列，并且存在

29、下界，那么从单调有界定理可知数列L，3的极限均存在不妨设liman=巴则limbn=lim(bnan)+an=lim(bn-an)+liman=-n二二ni二二n.nni二二则既是aC的上确界，又是bn的下确界，所以a”<t<bn,n=1,2,3,111若还有一点父也满足an<tr<bn,n=1,2,3J|I则由上可知|t-<bn-an,n=1,2,3,|则有11-1*<lim（bn-an）=0所以t=t*即证1.2.3紧性定理定义4（有限开覆盖）构成的集合.如果S中随意一点均含在H中最少一个开区间里，也就是对vxs,3IaH，使XwI,我们称h为s的开覆盖

30、，或者称h覆盖了s.如果H内开区间个数是有限（无限）的，可称H是S的一个有限开覆盖（无限开覆盖）.定理4（有限覆盖定理）若H=必，»为闭区间a,b的无限开覆盖，也就是在a,b的中每个点均含在H中最少一个开区间0,P）里.于是在H内一定存在有限数个开区问，它们组建成hb的一个有限开覆盖.证明：反证法.假设区间a,b不能被H中有限个开区间覆盖.将a,b等分为两个等长子区间，于是这两个等长子区间中最少有一个不能够被H里有限个开区间覆1盖,我们记此区间为a1,b1,并且b1-a1=fb-a2继续把等分为两个等长的子区间，一样最少存在一个子区间是不能够被1H内有限个开区间覆盖，我们记此区间是卜

31、巴,并且b2-a2=/（ba）如此进行下去，得到一个闭区间列an,%,它满足Ian,bnI-：Ian1,bn1I,n=1,2,'U_.一1而且bn-an=（b_a），于是an,bnJ为区间套，并且每个闭区间均不能够被H2内有限数个开区间来覆盖.由区间套定理可知，有唯一一点Sk,bn,n=1,2，川.因为H为a,b的一个开覆盖，因此有开区间（9P）WH,满足Uwp,P）,当n充分大的时候存在Bn,bn）,这就表明,能够被H中一个开区间覆盖，得出矛盾.证毕.定义4SUR,匕wR,如果上的随意去心领域里均含有S内不同于M的点，也就是sCu0仁,6弧我们称已为S的一个聚点.定理6（聚点定理）直

32、线上任意有界无限点集合最少有一个聚点之,也就是在自的8任何小邻域里均含有S里无穷多个点（E本身可以属于S,也可以不属于S）.证明：反证法.设A为有界集.即AUa,b.设A无聚点.则对于任意的xa,b,x不为A的聚点,故必有开区间I、，使得xWIx,且I、中至多只含有A的一个点x,这样开区间族=lx|xWa,b覆盖了a,b,由有限覆盖定理得，存在nnnIx/lllx,u使a,bkU葭，当然U'也覆盖A,再有lxk的构造知Ulxk至多含k-Lk工k虫有A的有限个点，因此A为有限集，这与A为无限集矛盾.即证.定理7（致密性定理）界数列必有收敛子列.证明：设数列H有界，即aMa”<b,V

33、nN.若a”nWN为有限集，则数列a。必有无穷项相同，把这些相同的项依下标从小到大排列得到Sn的一个收敛子列；如果A=an|nN是无限集，从聚点定理可知，A内一定存在一个据点a,再由据点定义，我们可得一个收敛子列，并且收敛于a.即证.1.2.4柯西准则定理8（柯西准则11）数列Qn收敛充要条件为：气A0,三NWN+,只要n,m>N,肯定有otm-otn<Z.证明：先正必要性.设an收敛于a,则对于任意的®>0,zN,Vn,m>N，有ana<-，ama父一22于是zama<anamana+ama<注2再证充分性.先证数列an有界.取名。=1,则

34、由定理知三N0,VnAN。有an-aNo+<1令M=maxjaj,1J",辰°+1,则对一切n,成立a,4M,由致密性定理,在an中必有收敛子列：|jmank=a由定理得V£A0,三NWN+,只要n,mAN,恒有kan-amI<-.在上式中令am=ank,当k充分大时，满足nk>N再令kT于是得到2an-a<z.即证.2该定理也被称为序列极限的柯西准则，相似的还有函数极限的柯西准则：设f(x炉U0(a卢定义，则极限|jmf(x产在的充要条件是：x1a.'''er./-'''V8>0,三6

35、>0,当0<Xa<6,0<xa<6时，有f(x)_f(x)<s1.3实数基本定理的等价证明1.3.1 基本定理循环4例证例1确界定理二单调有界定理.证明：可以设数列an为单调递增且有上界，从确界定理知an也有具有上确界，记为ot=sup右n,显然口就是其极限.事实上，V®>0,由上确界定义知，三aN,使an.:-;,由单增性知，当n之N时，有、-；：an-an-?,an-«|<名,即liman=:.n-.例2单调有界定理=闭区间套定理.证明：若1，*D为一区间套，那么a”单调递增且有上界，从单调有界定理可知%n存在极限J并且a

36、n0,n=1,2.由区间套的定义知limb“=£,又以单减有n)二二下界，所以bn1,n=1,2,.此说明an-bn,n=1,2，.下证U是唯一的，设之变满足上式，即anMbn,n=1,2，则有；一tWbn-anT0(nT°o).即1=.例3闭区间套定理二有限覆盖定理13.证明：若h是a,b内的无限开覆盖，如果定理不成立的话，也就是说不可用h内有限数个开区间覆盖a,b<等a,b吩成两个等长德子区间，那么其中最低会有一个半区间是不会被H内的有限个区间所覆盖的，不妨将它记为。1"1,继续把&1“1：1分成两个等长的小区间，同样的其中最低会有一个半区间，是

37、不能够被H中有限数个区间所覆盖的，也不妨把它记为a2,b2,像这样一直下去的话，我们就会得到一个闭区间套，我们把它记为In,bn。自，这之中的每个区间不可被H内有限数个开区间覆盖.经闭区间套定理，可知有唯一的点之WLn,bn,n=1,2，.因为H为L,b的覆盖，因此舸P产h,能够使C(a,P),再由保序性得到：当n相当大的时候，a<an<bn<P,也就是Ln,bnPi这样就和Ln,bn的组成矛盾，证毕.例4有限覆盖定理二聚点定理.10证明：设SUR是有界无限点集，则m>,buR,a,b为有限实常数，使得SUH，b如果S存在聚点,那么该聚点一定是属于&，b,我们容

38、易证明且b区间以外随意一个点均不可能是属于S的聚点，所以只要求证出：如果S没有聚点，那么这样就得出了矛盾.事实上，假设S不存在聚点，即a，b中任一点都不是S的聚点，由聚点定义，Vxea，b,3dx>o，使得u（x,&）中只含有s中有限个点，记H=力（x,讥卜乏B，b&,显然H是a,b的一个开覆盖，由有限覆盖定理知，存在有限个邻域覆盖kb,从而亦覆盖了S.由U（x,6xW勺性质立得s中只有有限个点，矛盾.例5聚点定理二柯西收敛准则.证明：设Gn是R中任一数列，满足条件：V&A0,三N>0,卡n,mN,有xn-xm<名.（3）由此易证机是有界的（事实上，对

39、8=1,三N1A0,当门A明时，有xn-xNf<1,从而x0|<xN1+1,取M=max&,x2，kN,xNJ+1）,则xnM,n21.），记S=Ln=1,2，则S为有界集.如果S是有限集，那么S中最少存在一个元素在Gn里会出现无穷多次，令此组成一个常数的子列Ln）,那么它一定是收敛的，假设它的极限是a,也就是有xnk=a,经条件（3）我们可知数列xn也收敛于a.如果s为无限集，那么由聚点定理可知S最少有一个聚点，不妨设为a,于是有limxm-.n_'二:我们从聚点等价的定义可明白，在S中存在彼此相互不同的点列，因而是数列k的一子列，也即是Onk,也就是有limxn

40、k二二.k）二.又xn-0（<xn-a+xn-xn，由（3）式立得limxn=ot.kknW例6聚点定理二致密性定理.证明：设数列k为有界数列，令$=&”n=1,2，如果S是有限集，那么由例5的证明我们可知存在收敛的子列.如果S是无限集，那么存在聚点，有聚点的等价定义立明（过程如例5）.例7致密性定理=柯西收敛准则.证明：设数列xn符合柯西收敛准则里的所有条件，于是xn为有界数列，那么一定存在收敛的子列，这样便可证得整个数列收敛.例8柯西收敛准则=确界定理.证明：假设s为非空并且存在上界数列，经实数的阿基米德性质我们可知，对随意的正数豆，总会存在整数ka,满足'ka为S上

41、界，但是%a=6%-1）不为S的11上界，也就是说为VS,使k:.-1-1 .1今分别取0t=,n=1,2，则存在n,使得篙为S的上界，但储不是S的上界.于nn是，aS,aE£n,n=1,2，(4)/nWZ+,3a/,有17.n至an>%-一，n=1,2,(5)nqu口/日|(11一口一由此易得h-Zn|<maxJ一,一、，于是，v6A0,三N>0,Vn,m>N，有1mn；儿n-/-m<&,由柯西收敛准则知%收敛，记limKn=九.下证人是S上确界.由(4)易得九是其上界.n-j二二11其次，V6>0,由一T。得三N>0,当n>

42、N，有八>Kn匕>九一5，由(5)nn2知：三口飞$,有0('：>兀1-1>九6.此说明K为S的上确界.n1.3.2 用区间套定理证明其他定理(1)证明确界存在定理假设E为非空且有上界M的数集，如果MWE,那么明显有M=SupE,如果M更E,那么取x0WE,在x0,M上构建区间套瓦,3,使得数列bn一直是E的上界，数列an总不会是E的上界，经区间套定理我们可得到liman=之=limbn,接下来利nj：n用类似单调有界定理求证确界定理的办法，可证得已=SupE.(2)证明单调有界定理假设Xn是递增且有上界M的数列，即X1XnEM.在X1,M构造区间套bk,bk让

43、bk保持为Xn的上界，ak一定不是Xn的上界,故一定有_N,_n>N,=ak_Xn_bk在另方面，经区间套定理可知，一定三之使ak<bk,进而,n勺<bk-ak,由于当kTi时，一定有bk-akT0并且nTg,可得XnT-.证毕(3)证明有限覆盖定理1312设R,b存在开覆盖M,没有有限子覆盖，则对a,b作区间套邑'让每一闭区间瓦,bn均没有有限子覆盖，由区间套定理，必存在aaIan,bn,今作t的邻域错一&,匕+&.因为bnant0nT%必有an,bnu(T，匕+b).这与A也的构造矛盾.故上，一定有有限子覆盖.(4)证明聚点定理设E=人是有界无穷点

44、集合，即存在a,b使a<x<b.今对a,b作区间套瓦巴)使每个瓦凡均含有集合E的无穷个点，从区间套定理，一定"Wbn，bn,n=1,2,.今作巴的邻域优T"S.由于bn-an-)OjT8,所以当n相当大的时候，一定存在an,bnU不&X+8),根据an,bn的构造方法，能够知道(U-+a)一定含有E的无穷个点，所以七为集合E的聚点.(5)证明Cauchy准则定理设。是Cauchy数列，前已证有界，即三m>0,使x”<m，今对m,m作区间套配心使每个闭区间ajbk都含有xn的无数个点，由区间套定理必生使ak父以，又由ak,bk的性质，必永使ak

45、<xk<bk(k=1,2III)于是有Xnk-Wbk-akT0(kT8)从而xnkTt,BPV&>0,sK,Vk>Kxnk_上又因为x”是Cauchy数列，即X7名>0,mN,X/n,nkAN=xn_xnk名，取Ni=maxK,N便有x“一斗Wx”一x“k+x“k一<2E,此即limx”=J证毕.nj二二1.3.3 用单调有界定理证明其余五个定理(1)证明确界存在定理设E是非空有上界M的数集，若MwE,则显然M=SupE，若M更E,则取xoWE,对k,M作区间套&n,bnl使bn总是E的上界，a”总不是E的上界，由于a”递增，bn递减，可证明

46、三上便liman=limbn.今证-就是E的上确界.因为bn总是nj二二n_E的上界，即X/xWE有xEbn,令nTg得xE之，又由liman=J即n_EAO,三N,VnAN有U8<an父且+名，而a”又总不是EE的上界,于是必三x1WE.使an<x1,从而U名<x1,于是得X=supE.证毕.(2)证明区间套定理13假设为区间套，由于a”是递增有上界数列，从单调有界定理可知，一定及使liman=0，由于bnant0fntg1,所以limbn=limfbn-an十liman=t,又在n_.：-；'n_.n_i:n_k>n的时侯，存在an<ak<bkE

47、bn,令Kt«可得an<t<bn,有关M的唯一性也易证，证毕.(3)证明有限覆盖定理设H是a,b的开覆盖.如果H没有有限子覆盖，那么对a,b构建区间套，让每一个闭区间an,bn均没有有限子覆盖，类似单调有界定理证明区间套定理的方法，由单调有界定理可得liman=|imbn,即n:二二n_:1二二一；.0,N,-nN=an-"：.,：:bn二-；.0,-IN,-nN=an：:''；,'-；：bn：.；,从而an，bn,_；,一；)这表明Bn,bn已被开区问8工+2所覆盖，这与.bn的作法矛盾，于是有限覆盖定理成立.(4)证明聚点定理设

48、63;=x是有界无限点集.构建数列xnuE,类似利用单调有界定理求证柯西准则的方法，能够得到k一定存在收敛子数列Xnl,满足XnT'kT电)，因此亡的邻域Ug名)一定有AJ的无穷个点.因为XnJuxnUE,所以U(£与必含有E的无数个点，这即是说U(之衿是E的聚点.(5)证明Cauchy准则定理xn是Cauchy数列,即>0,三N,Vn,m>N=xn-xm|<名前已证xn有界，若xnJ的任一项之后总有最大项，则记xnk=maxxk),xk#,Hl,k=1,2,用于是得子列x“k,它显然递减且有下界.由单调有界定理知xnj必收敛，设收敛于U,即对S>0,

49、Bk,Vk>K=xnk-1<s取N1=maxk,N,于是当k,n>K时便有xn：WxnXnk+xnk_f<2814此即xnT.nT8),如果X中任何一项后均不存在最大项,不失一般性我们不妨选择自第一项就是如此，并且记Xn1=X1，因为X1不为最大项，在Xn里一定有3n2An1使Xn2>Xn1，但是又由于Xn2同样不是最大项，Xn内也一定有n3>n2使得Xn3>Xn2,由此继续推证，一定得到子列Xn,这个子列递增而且是有上界的，再由单调有界定理，knk一定收敛，假若收敛于”.与上同理可证Xn_>n(n->笛).总之Cauchy数列Xn必收敛.

50、1.3.4用有限覆盖定理证明其他定理(1)证明确界定理设EUR,E#，且：3MR,</xE,x<M.任取X0E,构造闭区间瓦，M,假若E无上确界(最小的上界)，那么VX£1XO,M,有(1)当X是E的上界的时候，必有更加小的上界Xi<X,所以存在X开邻域Ax,此邻域都是E的上界；(2)当x不为E的上界的时候，明显存在E内的点X2>x,所以存在x开邻域Ax,此邻域中的每点都不能为E的上界.由此，k0,M内每个点x均可以找到一邻域Ax,这个邻域或者属于第一类，或者属于第二类，而且这些个邻域Ax:xWk，M组成lx。，M一个开覆盖，又从有限覆盖定理可知，一定有有限子

51、覆盖达人,92,，Ax”.值得注意的是，M所在区间是属于第一类的，与此相邻的开区间存在公共点，所以也应该属于第一类的，由此继续递推同样可以得到Xo在的区间也是属于第一类的.这就与XoWE相互矛盾.(2)利用有限覆盖定理证明单调有界定理设x”是单调递增有上界的数列，若Xn不收敛，则区间Xi，M内任一点X都不会是Xn的聚点，否则，设X的邻域'X-jX+;j内含有Xn的无数点，记它们之一22是Xnk,并且当k不同时，Xnk取的是不同的点，于是有11x一：二xnk:二x,k=1,2,2k2k令kT8得XnkTX.又因为Xn递增，寸n(n充分大)必三k,使nkWnWnk由15从而X-Xn<

52、X，1令kTg得XnTX0这与假设Xn不收敛相矛盾.由于X不可能为x的聚点，于是在(xt,x+aJ只含有Xn内有限数个点，把x取遍1X1,M,可得到开覆盖H，从有限覆盖定理可知，H必为有限子覆盖mH=UXk-水，Xk.；klx1,M|_：xn?k-1这就说明H覆盖Xn,但是另外还有，每一个开区间(Xn-藁卜十氨)仅仅含有Xn中有限个点，所以H一定也仅含有Xn中的有限个点，如此的话又产生了矛盾.所以Xn一定收敛.(3)用有限覆盖定理推出区间套定理设an，是区间套，记则八是开集序列，若Tln£In-|an,bn|,Jn=E-In=0,则必有jn二a1,b1,即Jn是a1,b1的开覆盖.由

53、定m理1.4,必存在有限子覆盖UJnknla1,b1.从而k1_.Ia1,b1b_a1，anm-|bnm，b1这是不可能的.所以市0o0.设S仟In七n±.即anC«bn(n=1,2,11!,).的唯一性不必陈述.(4)证明聚点定理设E=x是有界无限点集，必存在a,b使a<x<b.如果不存在聚点，那么在闭区间la,b上有任何一点X均不能是E的聚点，因而X的6、邻域U(X,&)最多含有E的有限数个点，使X取尽a,b就得到开覆盖u(x,6x)|xWa,b)=H,从前述定理可知，H一定存在一个有限子覆盖H=;u1,U2,一；uka,b-E又因为每一个Ui(i=

54、1,2,III,k)均仅含E中有限个点，H一定也仅仅含E有限个点，此与HnE而且E为无限集相矛盾，因此E最少含一个聚点16(5)证明Cauchy准则定理设x为Cauchy数列，也就是说V名>0,三N,/n,m>N=xn_xm<2前面已经得证Xn是有界的，也就是存在a,b，使得a<xn<b,若Xn不收敛，则la,b内任何一点x都不会是x0的极限，于是必三名0A0,VN1,三mAN1nxmx之名0令0.20r.N0=maxN,N1则对/n>N0,必3m1>N。使xnx至xmxxn_xm>一这表明112数列xn只有有限项满足xnx<h，或者说x的

55、邻域U/x,包1只含xn的有限项.2I2)现在令x取尽闭区间a,b,可得到开覆盖U(x,y=H，从定理1.4可知，H一定有有限子覆盖H=U1,U2,.Uk二(a,b尸xn,因为每一个开区间Ui(i=1,2,，,k)上都只含有xn有限个数的点，H一定也只含有xn有限个点，但是这和Hnxn并且xn为无限集相互矛盾，因此Cauchy数列必收敛.17第二章实数连续性的应用研究2.1 连续函数性质的证明2.1.1 连续函数的有界性定理定理1连续函数的有界性理：假若函数f在闭区间a,b内连续，那么f在闭区问a,b内有界.证明：方法一：应用有限开覆盖定理从连续函数的局部有界性可知，寸xWa,b,三正整数M一

56、满足f在11(x,瓦)内,使得f(x)<Mx.考虑开区间A=U(x,讥)：xWa,b,显然，是a,b的一个开覆盖.由有限开覆盖定理，存在子覆盖"=U(x,6x)：x,a,b(i=1,2，n),且存在M使得，对一切xWU(x,6x)Qa,b有f(x)EMj.令M=maxMi,则对iixWab,f(x)<Mi<M,证毕.方法二：应用致密性定理假若f(x)在a,b内没有上界，于是对V正整数n,有xnWa,b能够让f(x0)An,存在数列x0Ca,b,从致密性定理，存在收敛子列x“k,并且记limxnk=t.k-)二二a<xnk<b,由保不等式性得UWa,b.有

57、连续函数的性质limf(x)=f(上)<收，而f(xn)Ank之kt=limf(x)=笛，矛盾.同理可证kj：kkkj：k有下界,证毕.2.1.2 连续函数的介质性定理定理2连续函数的介值性定理：若f在a,b内连续，而且f(a)¥f(b),N如果介于f(a)和f(b)之间随意实数，这里不妨假设f(a)<k<f(b),于是存在x0,能满足f(xo)=.证明：方法一：应用区间套定理令g(x)=f(x)-R,则g也是ah上的连续函数，且18g(a)=f(a)-R<0,g(b)=f(b)-R>0.于是问题转化为证明：存在x0Wa,b使得，g(x0)=0.将a,b平分，得，a,c,c,b,若g(c)=0,则c即为所求；当g(c)#0若g(c)>0,，bj=a,c,若g(c)<0,则记a1,b1=c,b.1此时，g(ai)<0,g(bi)>0,且bai=(b_a).21重旻上述步骤，行g(a0)<