自动控制原理课件第五章

1、1第五章 频率响应法引言引言频率特性频率特性频率特性的几何表示频率特性的几何表示频率特性图频率特性图基本单元的频率特性图基本单元的频率特性图系统开环频率特性图的绘制系统开环频率特性图的绘制奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据由开环频率特性研究闭环系统的性能由开环频率特性研究闭环系统的性能2周期信号的频谱周期信号的频谱 任何一个满足任何一个满足dirichlet条件条件的周期为的周期为T函数函数f(t),都可以用都可以用Fourier级数表示，即可以分解为一系列谐波之和级数表示，即可以分解为一系列谐波之和1110)sincos()(nnntnbtnaatf1=2/T2/2/0)(1TTdttfTa2

2、/2/1cos)(2TTndttntfTa2/2/1sin)(2TTndttntfTb一一 引言引言3222T2T1tf(t)Ta0Tnnansin120nb幅值幅值0.10.2=1 T=10=1 T=50=1 T=4非周期信号的频谱非周期信号的频谱 非周期信号可以看做是周期为非周期信号可以看做是周期为的周期信号，其频谱是幅值为的周期信号，其频谱是幅值为无穷小而具有一切频率成分的无穷多个谐波之和。无穷小而具有一切频率成分的无穷多个谐波之和。1n22sin12sin2sin2)(1TaTnnansin12相对幅值相对幅值22sin1)(a00)(a当当0.10.3)(a5信号频谱与信号波形的关系

3、信号频谱与信号波形的关系单边指数函数单边指数函数)( 1)(/tetft假设其角频率假设其角频率0其其Fourier展开式为展开式为取取=1， =0.02，在计算机上仿真，在计算机上仿真为为n，其中，其中n )sin1cos11(lim2lim)(1222200tnttf具体推导见吴麒编具体推导见吴麒编自控原理自控原理p165n = 100n = 300n = 1000f(t)tf(t)t6l 信号频谱中所含有信号频谱中所含有 的高频成分越多，信号的波形起的高频成分越多，信号的波形起伏越迅速剧烈；伏越迅速剧烈； （函数导数的绝对值可能达到比较大的值）（函数导数的绝对值可能达到比较大的值）l 反

4、之，频谱中的高频成分越少，信号波形就越平缓。反之，频谱中的高频成分越少，信号波形就越平缓。 （函数导数的绝对值比较小）（函数导数的绝对值比较小）7 把控制系统中的各个变量看成为不同频率的正弦信号的把控制系统中的各个变量看成为不同频率的正弦信号的叠加；各个变量的运动就是系统对各个不同频率的信号的响叠加；各个变量的运动就是系统对各个不同频率的信号的响应的总和。应的总和。线性系统tt8TuuT9RC滤波电路如下图。设电路的输入电压为 tUtuisin)(。稳态输出为 。 )(tucCui(t)Ruc(t)ui(t)tUiuc(t)tUc二二 频率特性频率特性10RC电路的微分方程 iccuudtdu

5、TRCT 0)0(uuc拉普拉斯变换)()()(0sUsUussUTicctUtuisin)(22)(sUsUi022011)(11)(TusUTsTusUTssUicarctgTtTUeTTUutuTtcsin1122220）（拉氏反变换暂态分量暂态分量稳态分量稳态分量11arctgTtTUtucssin122）（ 2211TAarctgT）（tUtuisin)(输入：输入：稳态输出：稳态输出：)(sin()(tUA幅值的变化相位的变化1211)(TssGjarctgTjseTjTsGjG221111)()(此RC电路的传递函数 A )(jG)(jG)(jGjs 2211TAarctgT）（

6、幅值的变化相位的变化13：设系统的闭环传递函数： njjmiipszsKsG11)()()(设系统是稳定的，其所有的极点均分布在复平面的左半平面。)sincoscos(sin)sin()(000ttAtAtr当系统的输入为正弦函数2200)sins cos()(sAsR系统的输出220011)sins cos()()()()()(sApszsKsRsGsCnjjmii写成分布因式后反变换14jp无重根njjjpsAjsAjsAsC10201)(njtpitjtjjeAeAeAtc10201)(tjtjsseAeAtc0201)(p1为q重根jp有重根qqnjjjpsApsApsApsAjsAj

7、sAsC12121212111120201)(tpqptptpnjtpitjtjetAteAeAeAeAeAtcj11111121120201)(15)(002200010)(2)sincos(21)()(sincos()(jjsejGjAjAjjGsjssAsGA同理： 0)(2)()sincos()(220002jjsejGjAjsssAsGAtjtjsseAeAtc0201)(代入： )()()()()(jjGjeAejGjG)()()()()(jjGjeAejGjG)()()(00)(2)(2jjjeAjAeeAjA)()(00)(2)(2jjjeAjAeeAjA16)(sin)(22

8、)()(2)(2)(0)()()()(0000tAAjejeAAeeeAjAeeeAjAtctjtjtjjjtjjjs得系统的稳态响应：0sin)(tAtr系统的输入)()(jGA)()(jG)()()(jeAjG幅频特性幅频特性相频特性相频特性频率特性频率特性17微分方程、传递函数和频率特性函数三者的关系微分方程、传递函数和频率特性函数三者的关系18三三 频率特性几何表示频率特性几何表示(频率特性图频率特性图)p对数坐标图对数坐标图 (Bode diagram or logarithmic plot)(Bode diagram or logarithmic plot)p极坐标图极坐标图 (P

9、olar plot)(Polar plot)p对数幅相图对数幅相图 (Log-magnitude versus phase plot)(Log-magnitude versus phase plot)19)(Im)(Re)(jGjjGjG22)(Im)(Re)()(jGjGjGA)(Re)(Im)(jGjGarctg)(RejG)(ImjG实频特性实频特性虚频特性虚频特性)(jG在复平面中的位置也随之作相应的变化，移动的轨迹称为极坐标图极坐标图。 这样，当输入信号的频率 0由变化时，复数)(sG)(jGjs 与w相关的一个复数)(jG)(jG系统对频率为w信号的幅值增益系统对频率为w信号的相位

10、影响20例如，对于RC网络 2)(1111)(TjTjTjG给定时间常数T=0.52211)(ReTjG221)(ImTTjG-0.19-0.34-0.4-0.460.5-0.400.040.1380.20.3080.50.8110543210)(RejG)(ImjGImRe0123510是以 为圆心半径为1/2的半圆。22221)(Im21)(jGjGRe0,21j212211)(TAarctgT)(例如，对于RC网络 2)(1111)(TjTjTjG给定时间常数T=0.5-78.70-68.20-63.40-56.30-450-26.60000.1960.3710.4470.5550.70

11、70.894110543210)(A)(ImRe012351022幅频特性为的偶函数，相频特性为的奇函数。从零变化至+和从零变化至-的幅相曲幅相曲线关于实轴对称线关于实轴对称。一般的只绘制从零变化至+的幅相曲线。在系统幅相曲线中，一般用小箭头表示增大时的幅相曲线的变化方向。2211)(TAarctgT)(23l对于不同频率的正弦输入信号，对于不同频率的正弦输入信号，G(jw) 的幅值和相角不同（在复平面的幅值和相角不同（在复平面上的位置不同），表示对与不同频率的正弦输入信号，系统的影响不同。上的位置不同），表示对与不同频率的正弦输入信号，系统的影响不同。l只要绘制出只要绘制出 G(jw) 的幅

12、值和相角随频率变化的图线，就可方便地分析的幅值和相角随频率变化的图线，就可方便地分析系统的性能（对不同频率信号的影响）系统的性能（对不同频率信号的影响）对于极坐标图上任一点对于极坐标图上任一点从原点到它的距离为复数的模：表示系统对此点频率信号的幅值增从原点到它的距离为复数的模：表示系统对此点频率信号的幅值增益。益。原点与此点连线与正方向的夹角为复数的角：表示系统对此点频率原点与此点连线与正方向的夹角为复数的角：表示系统对此点频率信号的相位影响。信号的相位影响。24 对数频率特性又称为伯德图，由对数幅频特性图对数幅频特性图和对数对数相频特性图相频特性图组成，是工程中广泛使用的一种图示方法。对系统

13、的频率特性取以10为底的对数)(434. 0)(lg)(lg()(lg)(jAeAjGj令 )(lg)(lg)(AjGL)(贝尔（贝尔（B B）分贝分贝(dB) (dB) 1B=20dB1B=20dB对数相频特性对数相频特性对数幅频特性对数幅频特性25对数幅频特性图和对数相频特性图均以=lg为横坐标分度。为了便于直接读取实际角频率值，一般在轴上所标记的仍然是值。 的每一个单位表示变化10倍，被称为一个十倍频程，记为dec。=0点对应的位置在负向无穷远点。lg-101230.10.20.4 0.61246102040 60100对数坐标对数坐标采用对数坐标，在低频段表示的频率特性的精度高，在高频

14、段表示的频率特性的精度低，这正好符合一般的工业过程控制对象的需求。26以 为纵坐标（dB）)(lg20)(lg20)(AjGL以 为纵坐标（rad或度）)(以=lg为横坐标（dec）对数相频特性图对数幅频特性图27Cui(t)Ruc(t)11)(TssG 2211TAarctgT）（)(dbL 0 0-45o -90o )(lg20)(lg20)(AjGL 对数频率特性实现了横坐标的非线性压缩，便于大范围反映频率特性的变化情况。 对数幅频特性采用加减运算，简化曲线绘制。28 在一定的频率范围内，以对数幅频特性L()为纵坐标，以对数相频特性 ()为横坐标，以角频率为参变量绘制的频率特性图为对数幅

15、相特性图，也称Nichols图。)()(dbL90O 0O 90O 100-10-2029四四 基本单元的频率特性图基本单元的频率特性图 最小相位环节最小相位环节零极点全位于S左半平面非最小相位环非最小相位环零极点不全位于S左半平面比例环节 比例环节 惯性环节 惯性环节 震荡环节 震荡环节 一阶微分环节 一阶微分环节 二阶微分环节 二阶微分环节 微分环节 延时环节 积分环节 K）（0K11Ts）（0T12122TssT100T1Ts）（0T1222 TssTss1K）（0K11Ts）（0T12122TssT100T1Ts）（0T1222 TssTse30NiisGsHsG1)()()()()(

16、)(ijiieAjGNiijNiieAjHjG1)(1)()()(NiiAA1)()(Nii1)()(NiiNiiLAAL11)()(lg20)(lg20)(系统开环频率特性表现为组成诸基本环节频率特性的组合；而系统开环对数频率特性，则表现为诸典型环节对数频率特性叠加这一更简单的形式 31)0()(KKjG)(lg20)(dbKL0)(Bode图Nyquist图32211)(jejjGlg201lg20)(jL90)(Nyquist图0ReImBode图)dB)(L)(0110100402002040dB/dec2018090110100332)(jejjGlg20lg20)(jL90)(Bo

17、de图-40-20200401101000.111010090180decdB/20)dB)(L)(0Nyquist图0ReIm34TjeTTjjGarctan221111)(当 时， 此方程为半对数坐标中的0db线。1TdbL0)(当 时，对数幅频曲线可用一条过（ ，0）点，斜率为-20dB/dec的直线近似。1TdbTLlg20)(T1对数幅频特性对数幅频特性)1lg(101lg2011lg20)(2222TTTjL)dB)(LT101T201T51T21T1T2T5T10T2090450)(1020010转折频率35TjeTTjjGarctan221111)(对数幅频特性对数幅频特性)1

18、lg(101lg2011lg20)(2222TTTjL)dB)(LT101T201T51T21T1T2T5T10T2090450)(1020010转折频率交接频率处，实际的对数幅频曲线与渐近线的误差最大dbTTLT01. 32lg10)1lg(10)1(122可予以修正精确曲线36TjeTTjjGarctan221111)()dB)(LT101T201T51T21T1T2T5T10T2090450)(1020010转折频率精确曲线对数相频特性对数相频特性Tarctg)(当 时， 。当 时， 。在 处， 。1T0)(1T90)(T145)(取两个对称点， ， T1T12arctgTarctg11

19、)(1tg122arctgTarctg1)(2tg)45(4521T145)(曲线是以 ， 中心对称。 90)()(2137TjeTTjjGarctan221111)()dB)(LT101T201T51T21T1T2T5T10T2090450)(1020010转折频率精确曲线 Bode图ReImNyquist图38222222411)(TTA)(22)(211)(jeATjTjG2212)(TTarctg当 ，即 时，n180)(,0)(A0n01)0(A0)0(当 ，即 时，当 ，即 时，21)(nAon90)(1nnNyquist图2)(12nnarctg2222)(4)(11nn39)d

20、B)(LT101T201T51T21T1T2T5T10T20180900)(1020010对数频率特性对数频率特性当 时， 此方程为半对数坐标中的0db线。（）01TdbL0)(当 时，对数幅频曲线可用一条过（ ，0）点，斜率为-40dB/dec的直线近似。（）1801TdbTLlg40)(T12222)2()1 (lg20)(lg20)(TTAL2212arg)(TTtg转折频率n40实际的数幅频特性既与频率实际的数幅频特性既与频率 和和 有关，又与阻尼比有关，又与阻尼比 有关，因而这有关，因而这种因子的对数幅频特性曲线一般不能用其渐近线近似表示，不然会引起种因子的对数幅频特性曲线一般不能用

21、其渐近线近似表示，不然会引起较大的误差。较大的误差。n)dB)(LT101T201T51T21T1T2T5T10T2090450)(1020010对数频率特性对数频率特性2222)2()1 (lg20)(lg20)(TTAL2212arg)(TTtg转折频率n20)dB)(L10010)(0901800.10.20.4 0.60.81246 8 10n 1 . 02 . 03 . 05 . 07 . 00 . 1渐近线0 . 17 . 05 . 03 . 01 . 02 . 0谐振峰谐振峰谐振频谐振频率率41振荡环节幅频表达式为2222)2()1 (1)()(TTjGA2222)2()1 ()

22、(TTg显然，如在某一频率时， 有最小值，则 便有最大值。)(g)(jG谐振峰值和谐振频率的计算谐振峰值和谐振频率的计算当 时， 有最小值为 可求得 的峰值为221n707. 001212)1(422)(g)(jGrM产生谐振峰值时的频率叫谐振频率，用 表示这个最大值称为谐振峰值，用 表示。r当 时707. 0)1 (4) 12()(222222Tg)1 (4)21 ()(222222Tg707. 00当 时0时，最小时，最小值为值为1，g (）随着随着单调衰减单调衰减1)21 (2412)(222442222244TTTTTg42与 间的关系曲线707. 001212rMrM707. 002

23、12nr43当 时，在极坐标图上离原点最远点（ 的最大值）对应的频率就是振荡环节的谐振频率 谐振峰值 用 与 之比来表示。21)(ArrM)(rA)0(ANyquist图ReIm00n r谐振峰值44TjeTTjjGarctan2211)(Nyquist图 与 互为倒数)1 (TjTj1111lg201lg20)(TjjL11arg)1arg(Tjj)dB)(L402002040T01. 0T1 . 0T1T10 精确曲线渐近线渐近线T01. 0T1 . 0T1T10)(04590 45TjTjG21)(2201 ReImNyquist图 与 互为倒数。TjT2122TjT21122Bode图

24、)dB)(L402002040T01. 0T1 . 0T1T10 精确曲线渐近线渐近线T01. 0T1 . 0T1T10)(090180 46jejG)(1)()(jGA)(Nyquist图Bode图47对于每一非最小相位环节，都有一种最小相位环节与之对应。二阶微分环节 一阶微分环节 震荡环节 惯性环节 非最小相位环非最小相位环零极点不全位于S左半平面最小相位环节最小相位环节零极点全位于S左半平面11Ts）（0T12122TssT100T1Ts）（0T1222 TssT11Ts）（0T12122TssT100T1Ts）（0T1222 TssT幅频特性相同，相频特性符号相反对数幅频曲线相同，对数

25、相频曲线关于0度线对称。48G(jw) 与与 1/ G(jw) 的的Bode图图G(jw) 与与 G(-jw) 的的Bode图图对数幅频相同，对数相频关于对数幅频相同，对数相频关于0线对称。线对称。对数幅频关于对数幅频关于0dB线对称，对数相频关于线对称，对数相频关于0线对称。线对称。49 在一个周期内，周期信号在一个周期内，周期信号 x(t) 必须绝对可积；必须绝对可积； 在一个周期内，周期信号在一个周期内，周期信号 x(t) 只能有有限个极大值和只能有有限个极大值和极小值；极小值； 在一个周期内，周期信号在一个周期内，周期信号 x(t) 只能有有限个不连续点，只能有有限个不连续点，而且，在

26、这些不连续点上，而且，在这些不连续点上， x(t) 的函数值必须是有限的函数值必须是有限值。值。 50一、开环对数频率特性曲线一、开环对数频率特性曲线NiisGsHsG1)()()()()()(ijiieAjGNiijNiieAjHjG1)(1)()()(NiiAA1)()(Nii1)()(NiiNiiLAAL11)()(lg20)(lg20)(51例例51 已知系统开环传递函数为已知系统开环传递函数为) 11 . 001. 0)(15() 1(10)(2sssssG试绘制系统开环对数幅频渐进特性曲线。试绘制系统开环对数幅频渐进特性曲线。101s151s11 . 001. 012ss基本环节比

27、例比例一阶微分一阶微分一阶惯性一阶惯性震荡震荡L（）0.211020)(52例例51 已知系统开环传递函数为已知系统开环传递函数为) 11 . 001. 0)(15() 1(10)(2ssssssG试绘制系统开环对数幅频渐进特性曲线。试绘制系统开环对数幅频渐进特性曲线。101s151s11 . 001. 012ss基本环节比例比例一阶微分一阶微分一阶惯性一阶惯性震荡震荡L（）0.211020)(s1积分积分jsjs1010lg20lg20)(KL53sKsK0K或 ( )， 为包含的积分环节的个数； 对数幅频特曲线斜率为20 dB/dec，平移 2. 相频特性曲线90 度。Klg20一阶环节，

28、包括惯性环节、一阶微分环节以及对应的非最小相位环节。Tn1 交接频率 ； 低频斜率为0，交接频率后为 20dB/dec。：54二阶环节，包括振荡环节、二阶微分环节以及对应的非最小相位环节。Tn1 交接频率 ； 低频斜率为0，交接频率后为 40dB/dec。：551）开环传递函数基本环节分解）开环传递函数基本环节分解2）确定各环节的交接频率，将各交接频率标注在）确定各环节的交接频率，将各交接频率标注在半对数坐标图的半对数坐标图的 轴上轴上3）绘制低频段）绘制低频段 渐近线渐近线minmin斜率取决于含有积分环节的个数 ，因而直线斜率为20 dB/dec。56b) ：方法一方法一：在 的范围内，任

29、选一点 ，计算min000lg20lg20)(KLa方法二方法二：取频率为特定值 ,则 10KLalg20) 1 (方法三方法三：取 为特殊值0，即)(0aL0lg20)(00KLa则 ， 10K10K过 在 范围内作斜率为 的直线。显然，若有 ，则点 位于低频渐近线的延长线上。)(,(00aLmindecdB/20min0)(,(00aL574）作）作 频段渐近特性曲线：频段渐近特性曲线： 每个交接频率点处，直线的斜率发生变化，变每个交接频率点处，直线的斜率发生变化，变化规律取决于该交接频率对应的基本环节的种类化规律取决于该交接频率对应的基本环节的种类 当系统的多个环节具有相同交接频率时，求

30、斜当系统的多个环节具有相同交接频率时，求斜率变化值的代数和。率变化值的代数和。min5）作相频特性曲线。）作相频特性曲线。 根据开环相频特性的表达式，在低频、中频及高根据开环相频特性的表达式，在低频、中频及高频区域中各选择若干个频率进行计算，然后连成曲线。频区域中各选择若干个频率进行计算，然后连成曲线。58例例51 已知系统开环传递函数为)40010)(1(40002000)(22ssssssG试绘制系统开环对数幅频渐进特性曲线。解：第一步：解：第一步：开环传递的基本环节分解) 1202120)(1()21 (10)()(222ssssssHsG第二步：第二步：确定各交接频率rad/s11斜率

31、减小20dB/decrad/s22斜率增加20dB/decrad/s203斜率减小40dB/dec59) 1202120)(1()21 (10)()(222ssssssHsG-40dB/dec -60dB/dec -40dB/dec -80dB/dec )(L 1 2 20 20dB 1 )(60二、开环极坐标图的绘制开环的传递函数 sG开环的频率特性 jjwseAsG幅频特性 jGA jG相频特性61 某0型单位反馈系统的开环传递函数为) 1)(1()(21sTsTKsG0,21TTK试概略绘制系统开环幅相曲线。析析：)(sG KA1 221211TA 222311TA 01 12arcta

32、nT 23arctanT 321AAAA2222211111TTK 32121arctanarctanTT KsG1 1112sTsG 1123sTsG比例单元比例单元惯性单元惯性单元惯性单元惯性单元62KA)0(0)0(0)(A)90(2)( 2222211111TTKA 21arctanarctanTT1) 开环幅相曲线的( )和( )。 02) 开环幅相曲线的变化范围(象限单调性)。63： 18013) 开环幅相曲线与实轴的交点。) 1)(1()(21sTsTKsGjs )1)(1 ()(1)(22222121221TTTTjTTKjG0)(ImxjG0 xKjHjGjHjGxxxx)(

33、)()()(Re所以：64例例52 设系统开环传递函数为) 1)(1()(21sTsTsKsG0,21TTK试绘制系统概略开环幅相曲线。析析：幅频特性22222111111)(TTKA)0(A0)(A21arctanarctan2)(TT90)0(270)(相频特性65系统开环频率特性：)1)(1 ()1()1)(1 ()()1)(1 ()1()()1)(1 ()(1)(1 ()()(222221221222221212222212212122222121TTTTKjTTTTKTTTTjTTKTTjjTjTKjHjG与实轴的交点：令0)(ImjG211TTx)(xjG)(RexjG2121TT

34、TKT663) 开环幅相曲线的变化范围(象限单调性)。其幅频特性随 的增大而减小其相频特性也是随 的增大而单调减小.671) 开环幅相曲线的( )和( )。 0幅频特性幅频特性 jGA jG相频特性相频特性 00A0起点A终点起点看比例和微积分环节起点看比例和微积分环节 含含SV：起点为原点，：起点为原点，90*V度度 含含1/ SV：起点为无穷远，：起点为无穷远，-90*V度度终点看分子阶数（终点看分子阶数（n）和分母阶数（）和分母阶数（m） nm： 终点原点。终点原点。 mn ： 终点无穷远。终点无穷远。(n-m)(-180)(m-n)(180)最最小小相相位位682) 开环幅相曲线的变化

35、范围(象限单调性)。 相角随相角随增大而增大，逆时针绘制增大而增大，逆时针绘制 相角随相角随增大而减小，顺时针绘制增大而减小，顺时针绘制 相角穿越相角穿越-180线的次数即线的次数即Nyquist图穿越负实轴的次数图穿越负实轴的次数 相角先受到转折频率较低环节的影响。相角先受到转折频率较低环节的影响。 180360)(Lj69) 15)(1() 1100()(2ssssKsG) 15)(1100() 1()(2ssssKsGj0.010.2 1-180-270j0.010.2 1-180-270) 1)(1100() 15()(2ssssKsGj0.010.2 1-180-270703) 开环

36、幅相曲线与实轴的交点坐标。系统的开环传递函数为 ，设 时，开环幅相曲线与实轴相交，此时满足)(sGx0)()(ImxxjHjGxkjHjGxxx)()()()()(RexxjHjG与实轴交点穿越频率71例例3 已知单位反馈系统开环传递函数为) 1)(1() 1()(21sTTssKsG0,21TTK试绘制系统概略开环幅相曲线。解：解：系统开环频率特性： 2222212211111)(TTKA21arctanarctanarctan2)(TT)0(A0)(A90)0(180)(72)1)(1 ()(1)(222221221212221221TTTTTTjTTTTjKjG0ImjG令 得01222

37、1221TTTT212121TTTT2121TTTT21211TTTTx)()()(2221212121212212121TTTTTTTTTTTTTTTTKjGx732121TTTTx所以，开环幅相曲线位于第三或第三与第四象限。综合上面两种情况得到概略幅相曲线：74例例4 已知系统开环传递函数为) 1() 1()(TsssKsG0,TK试绘制系统开环幅相曲线。解：解：其开环频率特性为22221111)(TKA21arctanarctanarctan2)(TT90)0(,)0(A0)(A270)(起点终点75因为 从 单调减至 ，故幅相曲线在第三与第二象限间变化。开环概略幅相曲线如右图。)(90

38、270：令虚部为零，解得Tx1KjGx)()1 ()1 ()()(222TTjTKjG76由开环频率特性分析闭环系统的性能由开环频率特性分析闭环系统的性能 Nyquist图奈氏稳定判据系统稳定性 Bode图 系统的静态特性 系统的动态特性 最小相位系统的稳定性 和系统的稳定裕量775-6 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据一、奈氏判据的数学基础幅角原理一、奈氏判据的数学基础幅角原理)()()()()(2121nmpspspszszszsKsFImReImReSF(s)F78njjmiipszssF11)arg()arg()(argImReSImReS当 沿闭曲线 顺时针旋转一周时， 的总的角度增

39、量为 。即 顺时针包围原点的周数为 周。s)(sF)2)( PZFPZ FImReF(s)79 设除有限个奇点外，设除有限个奇点外， 是关于是关于 的解析函数。的解析函数。若若 平面上闭合曲线平面上闭合曲线 包围包围 的的 个零点和个零点和 个极个极点，且此曲线不通过点，且此曲线不通过 的任何零点和极点，当复的任何零点和极点，当复变量变量 沿沿 顺时针旋转一周时，其在顺时针旋转一周时，其在 平面上的平面上的映射映射 顺时针包围原点的圈数顺时针包围原点的圈数 。 （若（若 表示为逆时针包围）。表示为逆时针包围）。)(sFss)(sFZP)(sFs)(sFFPZR0R：80二、奈奎斯特稳定判据二、

40、奈奎斯特稳定判据开环传递函数： )()()()(sDsNsHsG映射函数映射函数 取为：取为：)(sF)()()()()(1)(sDsDsNsDsNsF)()(1)(sHsGsF=0 系统特征方程F(s)的零点为系统的闭环极点的零点为系统的闭环极点F(s)的极点为系统的开环极点的极点为系统的开环极点F(s)的零点和极点数相同的零点和极点数相同F(s)的映射曲线包围原点的圈数等于的映射曲线包围原点的圈数等于G(s)H(s)包围包围-1点圈数点圈数-1GH F ReIm81闭合曲线闭合曲线 取为取为包含整个右半平面的D形围线)()(sHsG)()(sHsGReIm0DE82)()(1)(sHsGs

41、F)()()()()(1sDsDsNsDsNImReF(s)R = F(s)右半平面零点数右半平面零点数Z F(s)右半平面极点数右半平面极点数P = 系统在右半平面闭环极点数系统在右半平面闭环极点数Z 系统在右半平面开环极点数系统在右半平面开环极点数PF(s)绕原点的圈数绕原点的圈数R：系统稳定系统稳定Z=0R= P83)()(1)(sHsGsF 不穿过不穿过原点原点且逆时针包围临界点且逆时针包围临界点原点原点的圈数的圈数等于开环传递函数的正实部极点数等于开环传递函数的正实部极点数P。F奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据F关于关于D形围线（或广义形围线（或广义D形围线）的映射曲线为形围线）的映

42、射曲线为系统稳定的充分必要条件是系统稳定的充分必要条件是)()(sHsG设反馈控制系统的开环传递函数设反馈控制系统的开环传递函数 不穿过不穿过(-1,0)且逆时针包围临界点且逆时针包围临界点(-1,0)的的圈数圈数R等于开环传递函数的正实部极点数等于开环传递函数的正实部极点数P。GHGH关于关于D形围线（或广义形围线（或广义D形围线）的映射曲线为形围线）的映射曲线为系统稳定的充分必要条件是系统稳定的充分必要条件是:顺时针圈数顺时针圈数R-P则系统不稳定则系统不稳定在有半平面有在有半平面有Z=R+P个闭环极点个闭环极点84正实部极点数正实部极点数)()(sHsG手动手动/计算机绘图得计算机绘图得

43、 曲线曲线GH0, 1 j包围包围 圈数圈数判据应用思路：判据应用思路：当当s沿沿D形围线或广义形围线或广义D形围线旋转一周时，相应的形围线旋转一周时，相应的开环传递函数开环传递函数 的映射：的映射：)()(sHsG851) 若若 无虚轴上极点无虚轴上极点)()(sHsGa) 在 ， 时GHjs , 0 ，对应极坐标图。jssHsG)()(b) 在 , 时，对应原点( 时) ； 或 点( 时) 系统开环根轨迹增益为 。jes90,90mn )0,(*jKmn *Kc) 在 ， 时，对应极坐标图关于实轴的对称图像。js 0 ,ReIm0D862) 若若 有积分环节有积分环节)()(sHsGa)

44、在 ， 时GHjs ,0，对应极坐标图。jssHsG)()(b) 在 , 时，对应原点( 时) ；或 点( 时) 系统开环根轨迹增益为 。jes90,90mn )0,(*jKmn *Kc) 在 ， 时，对应极坐标图关于实轴的对称图像。js 0 ,d) 在原点附近，闭合曲线 为 ，GHjes 90,90 映射为无穷大半径的圆弧，角度从 到 。jvesesHsGj)()(90v90vReIm0jj872) 若若 有虚轴上极点有虚轴上极点ja)()(sHsGReIm0a)js ,0ab) 在+ja附近，90,90jejasc),ajs jes90,90d)e),ajs f) 在-ja附近，90,90

45、jejasg)0 ,ajs 88三、奈奎斯特稳定判据应用举例三、奈奎斯特稳定判据应用举例例例56 某反馈系统的开环传递函数为) 12 . 0)(12)(110()(sssKsG其中 ，要求判断闭环系统是否稳定。20KReIm05101520-5 -1 0)(jGReIm0DP=0R=0R=P，系统稳定，系统稳定ReIm0 1 89例例57 把例6的开环比例系数是增大为100，要求重新判断闭环系统的稳定性。析：正实部极点数仍为P=0。作出系统的开环极坐标图。1) 当 从 连续增大到 时， 的曲线顺时针方向包围 点2圈，即 由于 ，闭环系统不稳定。)(sG)0, 1(j2RPR2)根据 知道闭环系

46、统具有两个右半平面极点2RPZ90为了用为了用NyquistNyquist稳定判据判断系统稳定判据判断系统的稳定性，只要明确曲线在复平面的稳定性，只要明确曲线在复平面上与上与 点的相对位置，而不是点的相对位置，而不是曲线本身形状的细节。曲线本身形状的细节。) 0, 1(j最小相位系统（右半平面无开环极点）：当s沿D形围线顺时针旋转一周时，相应的的映射曲线不包围 (-1，j0)点。91例例58 设系统的开环传递函数为2) 11 . 0)(1()(KsssKsG要求判断闭环系统是否稳定92jes jjjjjeeeeeGsG2) 11 . 0)(1(2)()(-90+ 900Nyquist一个半径为

47、无穷大的半圆，即顺时针方向转过半圆。不包围 点，闭环系统稳定。0, 1 j) 11 . 0)(1(2)(ssssG93例例59 将例8的 由2改为20，重新判断稳定性。K在 时 ,在复平面绘出Nyquist图，并仿照上例画出广义D形围线的映象。20K)0, 1(j2RPR析析：顺时针包围 点2周，即 。由于 ，所以系统是不稳定的。由 进一步可知有 ，即闭环传递函数有两个右半平面的极点。0P2RPZ94例例5-10 系统开环传递函数系统开环传递函数 ，由，由Nyquist稳定判据，判断系统稳定性。稳定判据，判断系统稳定性。 ) 1() 133. 0( 6)(ssssGImRe1PImRe)(66

48、) 1() 133. 0( 6)(jjeseseessssGjj9090:jes-1R=-1系统稳定95例例5-10 系统开环传递函数系统开环传递函数 ，由，由Nyquist稳定判据，判断系统稳定性。稳定判据，判断系统稳定性。 ) 1() 133. 0( 5 . 1)(ssssGImReR=1系统不稳定-1 Z=R+P=2系统右半平面有2个闭环极点96例例5-11 系统开环传递函数系统开环传递函数 ，由，由Nyquist稳定判据，判断系统稳定性。稳定判据，判断系统稳定性。 232) 101. 0() 1() 11 . 0()(sssKsGImReImReK=19.2K=334K=1.32104K稳定范围K19.2334K0 稳定r=0 临界稳定r1 稳定Kg=1 临界稳定Kg1 不稳定增益稳定裕量Kg的是对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性在增大Kg倍，则系统将处于临界稳定状态。103例例513 已知单位反馈系统3) 1()(sKsG设 分别为4和10时，试确定系统的稳定裕量。K解解：3222232)1 ()3()31 (arctan3)1 ()(jKKjG3x4K时， 5.0)(xjG2gk180)()(xxjHjG1)()(cc