自动控制原理 2-数学模型

1、第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 2-0 引言引言 2-1 微分方程的建立及线性化微分方程的建立及线性化 2-2 传递函数传递函数 2-3 结构图结构图 2-4 信号流图信号流图2.0 2.0 引言引言 要对自动控制系统进行定量（精确）地分析和设计，首先要要对自动控制系统进行定量（精确）地分析和设计，首先要建立系统的数学模型。建立系统的数学模型。 数学模型：描述系统内部各物理量之间关系的数学模型：描述系统内部各物理量之间关系的数学表达式数学表达式。 物理量：高度、速度、温度、压力、流量、电压、电流物理量：高度、速度、温度、压力、流量、电压、电流 。 数学表达式：数学表达式：代

2、数方程、微分方程代数方程、微分方程 静态静态数学模型数学模型 ：系统变量之间与：系统变量之间与时间无关时间无关的静态关系的静态关系 动态动态数学模型：系统变量对时间的变化率，反映系统的动态特性数学模型：系统变量对时间的变化率，反映系统的动态特性控制系统数学模型的类型控制系统数学模型的类型时域模型时域模型微分方程微分方程频域模型频域模型频率特性频率特性结构图结构图=方框图方框图数学模型数学模型复（复（S）域模型）域模型传递函数传递函数建模方法建模方法 ：分析法、实验法：分析法、实验法实验法（黑箱法、辨识法、灰箱法）：人为施加实验法（黑箱法、辨识法、灰箱法）：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应

3、，根据输入输某种测试信号，记录基本输出响应，根据输入输出响应辨识出数学模型。出响应辨识出数学模型。 方法方法-频率特性法频率特性法; ;最小二乘法最小二乘法 ( (曲线拟合曲线拟合) ) u 分析法：分析法：根据系统运动规律（定律、经验公式）根据系统运动规律（定律、经验公式） 和结构参数，推导系统输入输出之间数学和结构参数，推导系统输入输出之间数学 关系。关系。 -适用于简单的系统。适用于简单的系统。黑匣子黑匣子输入（充分激励）输入（充分激励）输出（测量结果）输出（测量结果）2.1 2.1 线性微分方程的建立及求解线性微分方程的建立及求解一一. .微分方程的建立微分方程的建立 微分方程是控制系

4、统最基本的数学模型。微分方程是控制系统最基本的数学模型。 1 1、计算分析法步骤、计算分析法步骤 （1 1）确定输入、输出及中间变量。）确定输入、输出及中间变量。 （2 2）根据各个元件的物理规律、定律，列写）根据各个元件的物理规律、定律，列写各个元件的微分方程，得到一个微分方程组。若总各个元件的微分方程，得到一个微分方程组。若总变量数为变量数为n n，应列写，应列写n-1n-1个独立方程。（忽略次要因个独立方程。（忽略次要因素，使问题简化。）素，使问题简化。） （3 3）解方程组：消去中间变量，即得控制系）解方程组：消去中间变量，即得控制系统的输出和输入的微分方程。（统的输出和输入的微分方程

5、。（输出量放在方程的输出量放在方程的左边，输入量放在右边；各导数项按降阶排列。左边，输入量放在右边；各导数项按降阶排列。） 例例1 1. .机械平移系统。求在外力机械平移系统。求在外力F(t)F(t)作用下，物体作用下，物体的运动轨迹。的运动轨迹。 mkF(t)x(t)位移阻尼系数f阻尼器弹簧mF1(弹簧的拉力弹簧的拉力)F(t)外力外力F2阻尼器的阻力阻尼器的阻力忽略重力因素忽略重力因素解：首先确定：输入解：首先确定：输入F(t),F(t),输出输出x(t)x(t) 其次：理论依据其次：理论依据 1.1.牛顿第二定律：物体所受的合外力等于物体牛顿第二定律：物体所受的合外力等于物体质量与加速度

6、的乘积；质量与加速度的乘积； 2.2.牛顿第三定律；作用力等于反作用力。牛顿第三定律；作用力等于反作用力。 单独取出单独取出m m进行分析，这里不考虑重力的影响。进行分析，这里不考虑重力的影响。maFtx fFtkxF而)()(21mF1(弹簧的拉力弹簧的拉力)F(t)外力外力F2阻尼器的阻力阻尼器的阻力例例2 2. RLC. RLC电路。分析在输入电压电路。分析在输入电压u ur r(t)(t)作用下，电容上作用下，电容上电压电压u uc c(t)(t)的变化。的变化。12( )( )( )( )( )( )ax tF tFFmaF tkx tfx tmx t代代入入上上式式得得RLCur(

7、t)uc(t)i(t) 解：解： 设中间变量为设中间变量为 i i(t)(t)，u ur r(t) (t) 、u uc c(t)(t)分别为分别为 输输入、输出变量。入、输出变量。依据：电学中的基尔霍夫定律依据：电学中的基尔霍夫定律 机械平移系统的微分方程为：机械平移系统的微分方程为：( )( )( )( )mx tfx tkx tF t( )( )( )( )rcdi tu tRi tLu tdt，（1）( )( )2Cduti tCdt， （ ）由（由（2 2）代入（）代入（1 1）得：消去中间变量）得：消去中间变量i(t)i(t)，整理得：，整理得：22( )( )( )( )ccCrd

8、 u tdu tLCRCutu tdtdt 两个例子的式子很相似，故可用电子线路来模拟机两个例子的式子很相似，故可用电子线路来模拟机械平移系统。可见，看似完全不同的系统，具有相同的械平移系统。可见，看似完全不同的系统，具有相同的运动规律，可用相同的数学模型来描述。运动规律，可用相同的数学模型来描述。例例3 3：下图是具有转动惯量为：下图是具有转动惯量为J J的转子，与弹性系数为的转子，与弹性系数为K K 的弹性轴和阻尼系数为的弹性轴和阻尼系数为 的阻尼器连接。假设施加的的阻尼器连接。假设施加的外扭矩为外扭矩为 ，则系统产生偏离平衡位置的角位移，则系统产生偏离平衡位置的角位移 。试写出角位移试写

9、出角位移 与扭矩与扭矩 的微分方程。的微分方程。 mf( )M t( )M t( ) t( ) t212( )dtMJdt2( )mdtMfdt3( )MKt解：解：( )0t( )M t应与阻力矩总和平衡，即应与阻力矩总和平衡，即假设初始状态假设初始状态在平衡位置，扭矩在平衡位置，扭矩123MMMM（） 式中，式中，M1惯性体所产生的阻力矩，为惯性体所产生的阻力矩，为 M2阻尼器所产生的阻尼力矩，为阻尼器所产生的阻尼力矩，为 M3弹性轴所产生的弹性阻力矩，为弹性轴所产生的弹性阻力矩，为将将M1、 M2、 M3代入式（代入式（ ），得到描述系统输出输入关），得到描述系统输出输入关系的运动方程式

10、为系的运动方程式为22( )( )( )( )mdtdtJfKtM tdtdt牛顿定律牛顿定律二二. .非线性元件的线性化非线性元件的线性化 1.1.几种常见的非线性几种常见的非线性000输入输出输入输出输入输出ab饱和（放大器）死区（电机）间隙（齿轮） 非线性微分方程的求解很困难。在一定条件下，非线性微分方程的求解很困难。在一定条件下，可以近似地转化为线性微分方程。可以近似地转化为线性微分方程。 2.2.线性化的方法线性化的方法 （1 1）忽略弱非线性环节（如果元件的非线性因素）忽略弱非线性环节（如果元件的非线性因素较弱或者不在系统线性工作范围以内，则它们对较弱或者不在系统线性工作范围以内，

11、则它们对系统的影响很小，就可以忽略）。系统的影响很小，就可以忽略）。 （2 2）偏微法（小偏差法，切线法，增量线性化法）偏微法（小偏差法，切线法，增量线性化法） 偏微法基于一种假设，就是控制系统只是在平偏微法基于一种假设，就是控制系统只是在平衡点附近作微小变化。这符合闭环控制系统，一有衡点附近作微小变化。这符合闭环控制系统，一有偏差就产生控制作用，来减小或消除偏差，所以各偏差就产生控制作用，来减小或消除偏差，所以各元件工作在平衡点附近。元件工作在平衡点附近。0 xy饱和（放大器）y0 x0y=f(x)A(x0,y0) A(x A(x0 0,y,y0 0) )平衡点，函数在平衡点，函数在平衡点处

12、连续可微，则平衡点处连续可微，则可将函数在平衡点附近可将函数在平衡点附近展开成台劳级数展开成台劳级数002200021( )()()2!xxdyd yyf xyxxxxdxdx 忽略二次以上的各项，上式可以写成忽略二次以上的各项，上式可以写成 得到非线性元件的线性化数学模型得到非线性元件的线性化数学模型xky0yyy0 xxx0 xdxdyk()ykx略去书书P P2828例（例（电感部分直接用总的磁链分析，更易于理解电感部分直接用总的磁链分析，更易于理解）dddiudtdidt 在平衡工作点附近有：在平衡工作点附近有：000()()iiiiidddidiuLdtdidtdt 注意：这几种方法

13、只适用于一些非线性程度注意：这几种方法只适用于一些非线性程度较低的系统，对于某些严重的非线性，如：较低的系统，对于某些严重的非线性，如： 不能作线性化处理，一般用相平面法及描述不能作线性化处理，一般用相平面法及描述函数法进行分析。函数法进行分析。0继电特性0饱和特性111112112222( )( )( )( )( )( )( )( )( )1( )( )rccu tu ti tRdu ti ti tcdtu tu ti tRu ti t dtc rucu1C2C1R2R1i2i1u112211221222( )( )()( )( )ccCrd u tdu tRC R CRCR CRCutu

14、tdtdt 练习题练习题1 1：两级：两级RC RC 电路，研究以电路，研究以u ur r(t)(t)为输入电压，为输入电压，电容电容C C2 2上电压上电压u uc c(t)(t)为输出的微分方程。为输出的微分方程。电磁力矩：电磁力矩： 安培定律安培定律电枢反电势：电枢反电势： 楞次定律楞次定律电枢回路：电枢回路： 克希霍夫克希霍夫力矩平衡：力矩平衡： 牛顿定律牛顿定律brERiu mebcE icMmm mmmmmmmMfJ 电机时间常数电机时间常数 电机传递系数电机传递系数 )/()/(memmmmemmmccfRcKccfRRJTrmmmmrmmmmuKTuKT 消去中间变量消去中间变

15、量 i, Mm , Eb 可得：可得：练习题练习题2 2：电枢控制式直流电动机：电枢控制式直流电动机 线性微分方程的求解线性微分方程的求解（3）对输出量的拉式变换式进行拉式反变换，得到系统微）对输出量的拉式变换式进行拉式反变换，得到系统微 分方程的解。分方程的解。 线性微分方程的求解方法：线性微分方程的求解方法：解析法、拉普拉斯变换法、计算机辅助求解解析法、拉普拉斯变换法、计算机辅助求解拉普拉斯变换法求解微分方程基本步骤：拉普拉斯变换法求解微分方程基本步骤：（1）考虑初始条件，对微分方程中的各项进行拉式变换，）考虑初始条件，对微分方程中的各项进行拉式变换， 变成变量变成变量s的代数方程。的代数

16、方程。（2）由变量）由变量s的代数方程求出系统输出量的拉式变换式。的代数方程求出系统输出量的拉式变换式。( )( )f tF s( )( )F sY s( )( )Y sy t回顾：数学工具回顾：数学工具拉普拉斯变换与反变换拉普拉斯变换与反变换 拉氏变换定义：拉氏变换定义： 设函数设函数f(t)f(t)满足满足 t0t0 t0时，时，f(t)f(t)分段连续分段连续 则则f(t)f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作：的拉氏变换存在，其表达式记作： 控制工程上函数都满足拉氏变换要求：能量有限控制工程上函数都满足拉氏变换要求：能量有限拉氏变换基本定理拉氏变换基本定理 线性定理线性定理 位移定理位移

17、定理 延迟定理延迟定理 0( )stf t edt 0( ) ( )( )stF sL f tf t edt 11221122( )( )( )( )L a f ta fta F sa F s( )()atL ef tF sa ()( )sL f teF s 0lim( )lim( )tsf tsF s ( )( )(0)df tLsF sfdt (1)1( )( )(0)nnnn kknkd f tLs F Ssfdt 1( )(0)( )F sfLf t dtss 1222( )(0)(0)( )F sffLf t dtsss 初值定理：初值定理： 微分定理：微分定理： 积分定理：积分定理

18、：终值定理：终值定理： 0lim( )lim( )tsf tsF s 工程上典型函数的拉氏变换工程上典型函数的拉氏变换 时域上函数：时域上函数：f(t) 脉冲脉冲 (t) 单位阶跃单位阶跃 速度速度 加速度加速度 指数指数 正弦正弦 复数（复数（S）域：）域：F（s） 1212tate sint 1s21s31s1sa 22s 1 tt0tF(s)F(s)化成下列因式分解形式：化成下列因式分解形式： 1212()()()( )( )( )()()()mnk szszszB sF sA sspspsp 1212( )nnaaaF sspspsp ( )()( )kkkspB saspA s 拉氏

19、反变换拉氏反变换vF(s)F(s)中具有不同的极点时，可展开为中具有不同的极点时，可展开为 vF(s)F(s)含有多重极点时，可展开为含有多重极点时，可展开为 11111111( )()()()()()nrrrrrrnabbbaF sspspspspsp 11( )() ( )rrspB sbspA s111( )() ( )rrspdB sbspds A s 111( )() !( )jrrjspjdB sbspjA sds 111111( )() (1)!( )rrsprdB sbsprA sds 其余各极点的留数确定方法与上同。其余各极点的留数确定方法与上同。对于三阶以下的系统也可以用待

20、定系数法对于三阶以下的系统也可以用待定系数法（解方程）（解方程）式中，式中， 为单位阶跃函数，初始条件为为单位阶跃函数，初始条件为 ， ，试，试求该微分方程的解。求该微分方程的解。( )u t(0)1y (0)2y 22( )( )32 ( )5 ( )d y tdy ty tu tdtdt 225( )(32)ssY ss ss 例例1 1 设线性微分方程为设线性微分方程为解解：（1）对微分方程中的各项进行拉式变换得对微分方程中的各项进行拉式变换得 25( )(0)(0)3( )(0)2 ( )s Y ssyysY syY ss （）（2）将初始条件代入式（）将初始条件代入式（ ），得），得

21、( )( )(0)dftLsFsfdt 222( )( )(0)(0)d f tLs F ssffdt ( )12ABCY ssss 05( ) |2sAY s s 1( )(1)|5sBY s s 23( )(2)|2sCY s s253( )522tty tee （3）对式（）对式（2.1.3）进行分解：）进行分解：式中式中225( )(32)ssY ss ss 对对Y（S）进行拉式反变换）进行拉式反变换什么是什么是运动的模态运动的模态？（？（P29）2.2 2.2 传递函数传递函数 2.2.1 2.2.1 传递函数的定义和主要性质传递函数的定义和主要性质 解微分方程分析系统的输出响应很麻

22、烦。解微分方程分析系统的输出响应很麻烦。 能否不解微分方程进行系统分析？能否不解微分方程进行系统分析？ -引申出新的概念引申出新的概念-传递函数。传递函数。 定义：定义：线性定常线性定常系统的传递函数，在系统的传递函数，在零初始条件零初始条件下，系下，系 统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。)()(sRsC零初始条件输入信号的拉氏变换输出信号的拉氏变换传递函数11011011 ( ) ( )nnmmnnmma sa sasa C sb sb sbsaR s 1011110111( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnmmmmm

23、mdddac tac tac ta c tdtdtdtdddbr tbr tbr tb r tdtdtdt 设线性定常系统由下述设线性定常系统由下述n n阶线性常微分方程描述：阶线性常微分方程描述： 在零初始条件下，并令在零初始条件下，并令R(s)R(s)Lc(t)Lc(t)，R(s)=Lr(t)R(s)=Lr(t)，可得可得s s的代数方程为：的代数方程为：10111011( )( )( )( )( )mmmmnnnnb sb sbsbC sM sG sR sN sa sa sasa 1011( )mmmmM sb sb sbsb 1011( )nnnnN sa sa sasa 性质性质1

24、1 传递函数是复变量传递函数是复变量s s的有理真分式函数，的有理真分式函数，mnmn， 且具有复变量函数的所有性质。（且具有复变量函数的所有性质。（物理可实现物理可实现） 性质性质2 G(s)2 G(s)取决于系统的结构和参数，与输入量的形式取决于系统的结构和参数，与输入量的形式 和初始条件等外部因素无关，可见传递函数有效和初始条件等外部因素无关，可见传递函数有效 地描述了系统的固有特性。地描述了系统的固有特性。 性质性质3 G(s)3 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提 供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理供任何该系统的物理结构。

25、因为许多不同的物理 系统具有完全相同的传递函数。系统具有完全相同的传递函数。性质性质4 4 传递函数与微分方程之间有关系。传递函数与微分方程之间有关系。)()()(sRsCsGdtdS 微分方程传递函数 如果将如果将 置换置换112()()( )( )( )( )( )()()()mnKszszC sM sG sR sN sspspsp 传递函数传递函数G(s)G(s)的的零点极点形式。零点极点形式。 零点零点 极点极点izip 性质性质5 5 只能反映零初始条件下输入信号引起的输出，只能反映零初始条件下输入信号引起的输出， 不能反映非零初始条件引起的输出。不能反映非零初始条件引起的输出。 传

26、递函数传递函数G(s)G(s)的的时间常数形式：时间常数形式：12m12n-(1)(1)(1)( )(1)(1)(1)KsssG ssT sT sTs 传递函数传递函数G(s)G(s)的的零点和极点对输出的影响。（见零点和极点对输出的影响。（见P P3232） 有什么影响？有什么影响？2.2.2 典型元件的传递函数典型元件的传递函数 任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。而成的。()()()()( )( )( )()()1m ll2TS22iiiii 1i 11nhh222jjjjj 1j 1Ke1s2s1C sG sR ssT1T s2T s

27、1 一、典型环节的传递函数一、典型环节的传递函数 1 1、比例环节：成比例的复现输入信号、比例环节：成比例的复现输入信号 微分方程：微分方程：c c(t)=(t)=K K r r(t)(t) 传递函数：传递函数：( )G sK 实例有：放大器、减速机、杠杆机构等实例有：放大器、减速机、杠杆机构等 2 2、惯性环节：输出量延缓地反应输入量的变化规律、惯性环节：输出量延缓地反应输入量的变化规律微分方程：微分方程：( )( )( )dc tTc tr tdt 传递函数：传递函数：( )( )( )1( )1Ts c sc sR sG sTs 为惯性环节时间常数。为惯性环节时间常数。T( )j1T(

28、)c t( )1r t t0 零、极点图：零、极点图： RCRC滤波网络属于惯性环节。滤波网络属于惯性环节。rucuRCti 3.3.积分环节：输出量为输入量的积分积分环节：输出量为输入量的积分-具有记忆功能，具有记忆功能，用来改善系统的稳态性能。用来改善系统的稳态性能。( )c t( )1r t t0微分方程为：微分方程为：01( )( )tc trdT 传递函数为：传递函数为：1( )( )C sR sTs 1( )G sTs 为积分时间常数。为积分时间常数。T( )j0 零、极点图：零、极点图： 4 4、微分环节：输出量为输入量的微分、微分环节：输出量为输入量的微分预示输入预示输入信号的

29、变化趋势，监测系统的动态行为。信号的变化趋势，监测系统的动态行为。微分方程为：微分方程为：( )( )dr tc tdt 传递函数为：传递函数为：( )( )C ss R s( )G ss 一阶微分方程为：一阶微分方程为：( )( )( )dr tc tr tdt ( )1G ss 零、极点图：零、极点图：( )j00( )j1 5.5.振荡环节：有两个储能元件，在运动过程中能量相振荡环节：有两个储能元件，在运动过程中能量相互交换，输出带有振荡特性。互交换，输出带有振荡特性。RLCur(t)uc(t)i(t)( )c t( )1r t t0微分方程为：微分方程为：22( )( )( )( )d

30、 c tdc tLCRCc tr tdtdt传递函数为：传递函数为：22221( )12nnnG sLCsRCsss 令令：1nLC 称为自然振荡（无阻尼）角频率称为自然振荡（无阻尼）角频率12CRL 为阻尼系数为阻尼系数。011时衰减振荡单调增 零、极点图零、极点图: :( )j01P2P21,21nnpj 振荡环节有一对位于振荡环节有一对位于S S左半平面的共轭极点左半平面的共轭极点: : 弹簧质量阻尼器串联系统也属于这一类弹簧质量阻尼器串联系统也属于这一类: :2( )1( )( )1Y sG sF smsfs6.6.延迟环节：输出端要隔一定时间后才能复现输入信号延迟环节：输出端要隔一定

31、时间后才能复现输入信号微分方程为：微分方程为：( )()c tr t 传递函数为：传递函数为：( )sG se 为延迟时间为延迟时间当延迟时间很小时可得：当延迟时间很小时可得：1( )1G ss 特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一段时间。特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一段时间。实例：管道压力、流量、皮带运输等物理量的控制，其数实例：管道压力、流量、皮带运输等物理量的控制，其数 学模型就包含有延迟环节。学模型就包含有延迟环节。1121( )( )( )( )u tKttKt K K1 1是单个电位器的传递系统，是单个电位器的传递系统，12( )( )( )ttt 是两个电位器电刷角

32、位移之差，称误差角。是两个电位器电刷角位移之差，称误差角。 图图 电电位位器器12U (t)21K11K 1( )( )U sKs 电位器的负载效应，一般要求电位器的负载效应，一般要求10lpRR 1.1.电位器电位器二、实例：二、实例：图图 测测速速发发电电机机TGU( t )永磁铁TG激磁绕组U( t )( a)（b)输输出出绕绕组组、相相互互垂垂 直直 t( )( )( )tdtU tKtKdt ( ) t 转子角速度转子角速度（rad/s）tK 输出斜率（输出斜率（v/rad/s）( )( )( )tU sG sK Ss ( )( )( )tU sG sKs 图图直流测速发电机直流测速

33、发电机交流测速发电机交流测速发电机2.2.测速发电机测量角速度并将它转换成电压量的装置测速发电机测量角速度并将它转换成电压量的装置( ) stKSKt传递函数传递函数( ) s( )u s( )u s例例1.RC1.RC电路如图所示，求传递函数电路如图所示，求传递函数( )( )( )rcu tRi tu t( )( )Cduti tCdt ( )i t则微分方程为：则微分方程为：( )( )( )ccrdutR Cututdt ( )?( )crUsUs 消去中间变量消去中间变量解：依据：基尔霍夫定律解：依据：基尔霍夫定律rucuRCti可用方框图表示：可用方框图表示：)(sG)(sR)(s

34、C11RCs( )rUs( )cUsrucu1C2C1R2R1i2i1u对上式进行零初始条件下的拉氏变换得：对上式进行零初始条件下的拉氏变换得：( )1( )( )1crUsG sUsRCs ( )?( )crUsUs 例例2.2.双双T T网络，求传递函数网络，求传递函数解：方法一：根据基尔霍夫定理列出下列微分方程组：解：方法一：根据基尔霍夫定理列出下列微分方程组：111112112222( )( )( )1( )( )( )( )( )( )1( )( )rccu tu ti tRu ti ti tdtcu tu ti tRu ti t dtc 方程组两边取零初始条件下的拉氏变换得：方程组

35、两边取零初始条件下的拉氏变换得：111112112222( )( )( )1( )( )( )( )( )( )1( )( )rCCUsUsIsRUsIsIsC sUsUsIsRUsIsC s 21122112212( )1( )()1CrUsUsR C R C sR CR CR Cs 消去中间变量得：消去中间变量得：方法二：用复阻抗比：方法二：用复阻抗比：122212121212212121122121( )111111( )()111()1CrUssCU ssCRRsCsCsCsCRRsCsCR RC C sRCRCRC s 1212212121( )1( )1111/()rcUsSCUs

36、sCRRRsCsCsCsC 注意：双注意：双T T网络不可看成两个网络不可看成两个RCRC网络的串联，即：网络的串联，即：2112221122( )( )11( )1( )1( )1( )(1)(1)crcrUsUsUsR C sUsR C sUsUsR C sR C s ，R1R2urC1C2ucu2 与双与双T T网络相比少一个交叉项网络相比少一个交叉项R R1 1C C2 2S S，这就是负载效应。只，这就是负载效应。只有当第一个有当第一个RCRC网络的负载阻抗为无穷大时，双网络的负载阻抗为无穷大时，双T T网络的传递函网络的传递函数才等于两个数才等于两个RCRC网络的串联。网络的串联。

37、例例3 3：求下图所示运算放大器的传递函数。图中：求下图所示运算放大器的传递函数。图中R Rf f是反馈电是反馈电阻，阻，i if f是反馈电流，是反馈电流，R Ri i是输入电阻，是输入电阻，u ur r和和i ir r是输入电压和电是输入电压和电流，流，u uc c是输出电压是输出电压, ,i i0 0是进入放大器的电流。是进入放大器的电流。urucRfRiRui0irif-+解：解： rcifuuuuRR crifuuRR 即：即： 由此导出：由此导出： P( )( )fcriRUsKUsR 这个结论可以推广为：当负反馈端作为输入时，运算这个结论可以推广为：当负反馈端作为输入时，运算放大

38、器的传递函数等于负的反馈复阻抗与输入复阻抗之放大器的传递函数等于负的反馈复阻抗与输入复阻抗之比（自动控制中常用负极性端作为输入端）比（自动控制中常用负极性端作为输入端） 。PK( )rUs( )cUs2-4 2-4 结构图结构图一一. .结构图的概念和组成结构图的概念和组成 1.1.概念概念 将方框图中各时间域中的变量用其拉氏变换将方框图中各时间域中的变量用其拉氏变换代替，各元件的名称换成各元件的传递函数，这代替，各元件的名称换成各元件的传递函数，这时方框图就变成了结构图。时方框图就变成了结构图。 2. 2. 组成组成 (1)(1)方框：有输入信号，输出信号，传递线，方方框：有输入信号，输出信

39、号，传递线，方框内的函数为输入与输出的传递函数，一条传递框内的函数为输入与输出的传递函数，一条传递线上的信号处处相同。线上的信号处处相同。 G(s)X(s)Y(s) (2) (2)比较点：比较点： 综合点，相加点综合点，相加点 加号常省略加号常省略 负号必须标出负号必须标出 (3)(3)引出点（线）：引出点（线）： 一条传递线上的信号处处相等一条传递线上的信号处处相等 ，引出点的信，引出点的信号与原信号相等。箭头表示信号传递的方向。号与原信号相等。箭头表示信号传递的方向。G(s)X(s)Y(s)X(S)二二. .结构图的绘制结构图的绘制 1 1、绘制步骤、绘制步骤 （1 1）将系统中每个环节的

40、方程或传函列出来）将系统中每个环节的方程或传函列出来 （2 2）将每个环节的结构图绘出来）将每个环节的结构图绘出来 （3 3）按信号传递的方向将方框连起来）按信号传递的方向将方框连起来例例1 1：绘制双：绘制双T T网络的结构图网络的结构图rucu11sC21sC1R2R1i2i1u111112112222( )( )( )1( )( )( )( )( )( )1( )( )rCCu su sIsRu sIsIssCu susIsRusIssC 画图时，每个环节写成如下形式：画图时，每个环节写成如下形式：G(s)R(s)C(s)从左向右列方程组从左向右列方程组( )( )( )R sG sC

41、s 绘图：绘图：u ur r(s)(s)为输入，画在最左边。为输入，画在最左边。v若重新选择一组中间变量，会有什么结果呢？若重新选择一组中间变量，会有什么结果呢？( (刚才刚才中间变量为中间变量为i i1 1,u,u1 1,i,i2 2，现在改为，现在改为I,II,I1 1,I,I2 2) )rucu1C2C1R2R1I2II选择不同的中间变量，结构图也不一样，但是整选择不同的中间变量，结构图也不一样，但是整个系统的输入输出关系是不会变的。个系统的输入输出关系是不会变的。11R21sC2R1sC11sC)(sur)(suc)(1sI)(2sI)(sI绘图：绘图：2121211221211( )

42、( )( )()cru sG su sR R C C sRCR CRCs 电磁力矩：电磁力矩：电枢反电势：电枢反电势：电枢回路：电枢回路：力矩平衡：力矩平衡：brERiu mebcE icMmm 例例2 2 电枢控制式直流电动机电枢控制式直流电动机)()()(sEsIRsUbr )()(scsEmeb )()(sIcsMmm )()()(sMsfssJmmmmm )()(sssmm mmmmmmmmJfMddt )()()(sEsIRsUbr )()(scsEmeb )()(sIcsMmm )()()(sMsfssJmmmmm )()(sssmm 直流电动机结构图直流电动机结构图Ur例例3.3

43、.分析分析P P6666习题习题2-152-15三三. .结构图的等效变换结构图的等效变换 1 1、三种基本连接形式、三种基本连接形式 （1 1）串联）串联G(s)X(s)Y(s)12( )( )( )( )( )y sG sGsGsx s X1(s)G1(s)G2(s)X(s)Y(s)12( )( )( )G sG sG s G(s)X(s)Y(s)X(s)G2(s)G1(s)Y1(s)Y2(s)Y(S) （2 2）并联）并联(3)(3)反馈反馈1( )( )( )G sG s H s R(s)C(s)( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )C sE s G sE sR sB

44、 sB sC s H s C(s)G(s)H(s)E(s)R(s)证明：证明：11( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )C sR sB s G sR s G sC s H s G sC sH s G sR s G sC sG ssR sH s G s 1( )( )1( )( )G sH ssG s 单位负反馈时：单位负反馈时：)()()(sEsIRsUbr )()(scsEmeb )()(sIcsMmm )()()(sMsfssJmmmmm )()(sssmm 直流电动机结构图直流电动机结构图Ur

45、mrmr ( )( )s1( )( )s(s1)mmmmKsUsTKsUsT 传递函数：传递函数：( (前前例例2) 2) 电枢控制式直流电动机电枢控制式直流电动机（1 1） 分支点的移动分支点的移动( (前乘，后除）前乘，后除） R R( (s s) )分分支支点点（引引出出点点）前前移移G(s)C C( (s s) )C C( (s s) ) 分分支支点点（引引出出点点）后后移移R R( (s s) )G(s)R R( (s s) )C C( (s s) )C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)G(s)C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)R R( (s

46、 s) )( )( ) ( )C sR s G s 1( )( ) ( )( )( )R sR s G sR sG s2 2、结构图的变位变换（见、结构图的变位变换（见P P4747表表2-12-1）C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)Q Q( (s s) )比比较较点点前前移移 比比较较点点后后移移C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)Q Q( (s s) )G(s)C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)Q Q( (s s) ) C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)G(s)Q Q( (s s) )( )( ) ( )

47、( )( ) ( ) ( )( )C sR s G sQ sQ sR sG sG s ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )C sR sQ s G sR s G sQ s G s （2 2）比较点的移动）比较点的移动( (前除，后乘）前除，后乘）（3 3）相邻比较点位置可以交换（注意相邻）相邻比较点位置可以交换（注意相邻） 相邻引出点位置可以交换相邻引出点位置可以交换（4 4）负号可以在支路上移动）负号可以在支路上移动补充结论：控制系统方块图简化的原则补充结论：控制系统方块图简化的原则 1.1.利用串联、并联和反馈的结论进行简化利用串联、并联和反馈的结论进行简化 即：三种典型

48、结构可直接用公式即：三种典型结构可直接用公式 2.2.解除交叉环，即变成大环路套小环路解除交叉环，即变成大环路套小环路 比较点移向比较点：比较点移向比较点：相邻比较点之间可以互移相邻比较点之间可以互移 即：相邻综合点可互换位置、可合并即：相邻综合点可互换位置、可合并 引出点移向引出点：引出点移向引出点：相邻引出点之间可以互移相邻引出点之间可以互移 即：相邻引出点可互换位置、可合并即：相邻引出点可互换位置、可合并 注：若注：若比较点和引出点相邻，之间不能互移。比较点和引出点相邻，之间不能互移。 错！错！G1G2G3H1G1G2G3H1G2综合点移动综合点移动1 1G1G2G3H1综合点越过引出点

49、了！综合点越过引出点了！综合点不能向引出点移动，综合点不能向引出点移动， 切记：要向切记：要向同类同类移动！移动！错！错！综合点移动综合点移动2 2G2H1G1G3向向同类同类移动移动综合点移动综合点移动3 3G2H1G1G3G11并联并联2反馈反馈3串联串联G1引出点移动引出点移动G1G2G3G4H3H2H1abG1G2G3G4H3H2H1G41引出点向引出点移动引出点向引出点移动ab将引出点将引出点a a移到引出点移到引出点b b相邻引出点互换位置相邻引出点互换位置G1G2G3G4H3H2H1G41反馈反馈1 1反馈反馈2 2反馈反馈3 33432321432143211)(H HG GG

50、 GH HG GG GH HG GG GG GG GG GG GG GG Gs s 例例: : 将系统方块图简化。将系统方块图简化。- - - -C CB BA A（c c）方方块块图图11sC21sC)(1sUC)(sUr)(1sI)(sUc)(sUc)(2sI11R21R)(1sUC分支点分支点A A后移，比较点后移，比较点B B前移。比较点前移。比较点1 1和和2 2交换。交换。12- - - -1RsC211R21RsC11sC21)(sUc)(sUr- -sCR21) 1)(1(12211sCRsCR)(sUr)(sUc1)(121221122121sCRCRCRsCCRR)(sUr

51、)(sUc- - -sCR111sCR221sCR21)(sUr)(sUc- -2-5 2-5 信号流图及梅逊公式信号流图及梅逊公式1 1、概念：信号流图是表示一组联立线性代数方程的图，、概念：信号流图是表示一组联立线性代数方程的图，描绘了信号从系统中一点流向另一点的情况，且表明描绘了信号从系统中一点流向另一点的情况，且表明了信号之间的关系。包含了结构图所包含的全部信息，了信号之间的关系。包含了结构图所包含的全部信息，与结构图一一对应。与结构图一一对应。 例：例：212 1xa x因果增益节点 输出方向2x1x1122xax 12a用小圆圈表示变量，带箭头的连线上标上增益值。用小圆圈表示变量，

52、带箭头的连线上标上增益值。 2.2.术语：术语： 输入节点：具有输出支路的节点。图中的输入节点：具有输出支路的节点。图中的 点。点。 输出节点（阱，坑）：仅有输入支路的节点。有时信号输出节点（阱，坑）：仅有输入支路的节点。有时信号流图中没有这样的节点，可从某节点变量引出一条增益流图中没有这样的节点，可从某节点变量引出一条增益为为1 1的支路，即可形成一输出节点，如图中的的支路，即可形成一输出节点，如图中的 。 混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。 如图中的如图中的 前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向，每个节前向通路：开始于输入节点，沿支路箭

53、头方向，每个节点只经过一次，最终到达输出节点的通路称之前向通路。点只经过一次，最终到达输出节点的通路称之前向通路。1Mixed nodeinput node(source)1x2x3x4x5x6x23a32a34a45a25a44a24a12a43a1235453aoutput node (sink)1x5x234,xxx 前向通路上各支路增益之乘积，称为前向通路总增前向通路上各支路增益之乘积，称为前向通路总增益益 用用 表示。表示。 回路：起点和终点在同一节点，并与其它节点相遇回路：起点和终点在同一节点，并与其它节点相遇仅一次的通路。仅一次的通路。 回路中所有支路的乘积称为回路增益，用回路中

54、所有支路的乘积称为回路增益，用 表示。表示。 不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路叫做不接触回路。叫做不接触回路。 在信号流图中，可以有两个或两个以上不接触回路。在信号流图中，可以有两个或两个以上不接触回路。kpaL3.3.信号流图的性质信号流图的性质: : 信号流图适用于线性系统。信号流图适用于线性系统。 支路表示一个信号对另一个信号的函数关系，信支路表示一个信号对另一个信号的函数关系，信号只能沿支路上的箭头指向传递。号只能沿支路上的箭头指向传递。 在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相加后的

55、信号送到所有的输出支路。相加后的信号送到所有的输出支路。 具有输入和输出节点的混合节点，通过增加一个具有输入和输出节点的混合节点，通过增加一个具有单位增益的支路把它作为输出节点来处理。具有单位增益的支路把它作为输出节点来处理。 对于一个给定的系统，信号流图不是唯一的，由对于一个给定的系统，信号流图不是唯一的，由于描述同一个系统的方程可以表示为不同的形式。于描述同一个系统的方程可以表示为不同的形式。4.4.信号流图的绘制信号流图的绘制: : 由微分方程绘制，这与画方块图差不多。由微分方程绘制，这与画方块图差不多。 由系统方块图绘制。由系统方块图绘制。例例1:1:绘制下图所示系统方块图的信号流图。

56、绘制下图所示系统方块图的信号流图。 图 2-31系 统 方 块 图G1G3G4HG2R(s)A1A2BC(s)(sUB)(1sUA)(2sUA 解：解：用小圆圈表示各变量对应的节点用小圆圈表示各变量对应的节点 在比较点之后的引出点在比较点之后的引出点 ，只需在比较点，只需在比较点后设置一个节点便可。也即可以与它前面的比较后设置一个节点便可。也即可以与它前面的比较点共用一个节点。点共用一个节点。 在比较点之前的引出点在比较点之前的引出点B B，需设置两个节点，分，需设置两个节点，分别表示引出点和比较点，注意图中的别表示引出点和比较点，注意图中的 。21,AA1e2eR1e1-H2G1G3G4G1

57、e2e5.5.梅逊公式：梅逊公式：任一结构图中，某输入对某输出的传函为任一结构图中，某输入对某输出的传函为1nkkPP 式中：式中：n n：为前向通路的条数；：为前向通路的条数； P Pk k ：为第：为第k k条前向通路增益；条前向通路增益； ：为系统特征式，：为系统特征式， =1- =1-（所有单独回路增益之和）（所有单独回路增益之和）+ +（所有每两个互（所有每两个互不接触回路增益乘积之和）不接触回路增益乘积之和）- -（所有三个互不接触回路（所有三个互不接触回路增益乘积之和）增益乘积之和）+1abcdefLL LL L L k k ：为第为第k k条前向通路特征式的余子式。即将条前向通

58、路特征式的余子式。即将中中与与第第k k条前向通路相接触的所在项去掉后，余下部分。条前向通路相接触的所在项去掉后，余下部分。梅逊公式练习梅逊公式练习ehfgR(s)abcdC(s)C(s)R(s)=1+afbg ch efhgahfced(1g)bdabc例：用例：用梅逊公式求下图的传函梅逊公式求下图的传函 注：注：可用梅逊公式直接对结构图或信号流图求传函。可用梅逊公式直接对结构图或信号流图求传函。例：求下图所示系统的传递函数例：求下图所示系统的传递函数12345645,1LbgLbckLehgLekLfLchL Lekfbgbckehgekfchekf 单单 独独 回回 路路两两 两两 互互

59、 不不 接接 触触 回回 路路R(s)C(s)acdekghbf1122,1,1( )(1)( )PabcdPadefC sabcdadefR s 由由公公式式6.闭环系统的传递函数：闭环系统的传递函数：+H ( s)+R( s)E( s)B( s)N( s)(1sG)(2sGC(s)图图: 反反馈馈控控制制系系统统方方块块图图12( )( )( )( )( )C sG s GsG sE s( )( )( )B sH sC s (1)(1)前向通路传递函数前向通路传递函数-假设假设N(s)=0N(s)=0 (2)(2)反馈回路传递函数反馈回路传递函数-假设假设N(s)=0N(s)=0 主反馈信号主反馈信号B(s)B(s)与与C(s)C(s)之比之比, ,反馈信号反馈信号控制控制对象对象控制器控制器C(s)输出信号输出信号C(s)C(s)与误差信号与误差信号E(s)之比之比, ,(3)(3)开环传递函数开环传递函数, ,假设假设N(s)=0N(s)=0 B(s) B(s)与与E(s