大学物理03-2力矩转动惯量定轴转动定律

1、上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出ZO转动平面rAFM rFM ZM 沿沿Z 轴分量为轴分量为 对对Z轴轴的力矩的力矩ZMM FsinrFM MrF 对对O点点的力矩：的力矩：F上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出力不在转动平面内力不在转动平面内注：注：（1 1）在定轴转动问在定轴转动问题中，如不加说明，所指题中，如不加说明，所指的力矩是指力在转动平面的力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。内的分力对转轴的力矩。MrF 只能引起轴的只能引起轴的变形，对转动无贡献；变形，对转动无贡献；1rF转动平面1FrFr2

2、Frr只有只有 才对转动产生才对转动产生贡献！此力矩方向沿转轴贡献！此力矩方向沿转轴！2rF1212()rFFrFrF上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 是转轴到是转轴到F2作作用线的距离，称为力臂。用线的距离，称为力臂。sinrd 22sinzMrFF d（2 2）（4 4）在转轴方向确定后，力对转轴）在转轴方向确定后，力对转轴的力矩方向可用的力矩方向可用+ +、- -号表示，一般号表示，一般以向上为正，即以逆时针转动方向以向上为正，即以逆时针转动方向为正！为正！（3 3） 对转轴的力矩为零，对转轴的力矩为零，在定轴转动中不予考虑。在定轴转动中不予考

3、虑。1F转动平面2Frr1FrFrd上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出O描写刚体转动位置的物理量。描写刚体转动位置的物理量。Px在转动平面内，过在转动平面内，过O点作点作一极轴，设极轴的正方向一极轴，设极轴的正方向是水平向右，则是水平向右，则OP与极轴与极轴之间的夹角为之间的夹角为 。 角称为角坐标（或角位置）角称为角坐标（或角位置）。角坐标为标量，但有正负，符号与极坐标辐角一致。角坐标为标量，但有正负，符号与极坐标辐角一致。1.1.角坐标角坐标0:0:OxOPOxOP从从到到是是逆逆时时针针旋旋转转从从到到是是顺顺时时针针旋旋转转上页上页 下页下页

4、返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出描写刚体位置变化的物理量。描写刚体位置变化的物理量。角坐标的增量：角坐标的增量：称为刚体的角位移称为刚体的角位移xyP P2v1vR描写刚体转动快慢和方向描写刚体转动快慢和方向的物理量。的物理量。0dlimdttt 角速度角速度方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右手大拇指指向。方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右手大拇指指向。2.2.角位移角位移3.3.角速度角速度上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 角速度是矢量，但对于刚体定角速度是矢量，但对于刚体定轴转动来说，角速度的方向只有两轴转动来说，角速

5、度的方向只有两个：上或下，因此用正负号就可表个：上或下，因此用正负号就可表示角速度的方向，而不必写成带有示角速度的方向，而不必写成带有箭头的矢量形式。箭头的矢量形式。刚体上任一质元的速度表示为刚体上任一质元的速度表示为,vrvr0dlimdttt vrtddddvarrtt刚体上任一质元的切向和法向加速度分量表示为刚体上任一质元的切向和法向加速度分量表示为22n,varr3.3.角加速度角加速度00上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出000000 角加速度也是矢量，同角速角加速度也是矢量，同角速度一样，对定轴转动而言，只有度一样，对定轴转动而言，只有向上

6、或向下两个方向，因此也是向上或向下两个方向，因此也是用正负号来表示其方向。用正负号来表示其方向。 角坐标、角位移、角速度和角角坐标、角位移、角速度和角加速度等角量是用来描述定轴转动加速度等角量是用来描述定轴转动刚体的整体运动，也可用来描述质刚体的整体运动，也可用来描述质点的曲线运动。点的曲线运动。 位矢、位移、速度、加速度位矢、位移、速度、加速度等线量是用来描述质点的运动。等线量是用来描述质点的运动。ddt说明：说明：上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出应用牛顿第二定律，可得应用牛顿第二定律，可得OiFrifriiimirr对刚体中任一质量元对刚体中任一

7、质量元im外力外力iF内力内力ifiiiiFfma 采用自然坐标系，上式在切向投影的分量式为采用自然坐标系，上式在切向投影的分量式为sinsiniiiiiii iFfm am r O注：这两个力其实都是与转轴注：这两个力其实都是与转轴垂直的分力，都在转动平面内。垂直的分力，都在转动平面内。至于与转轴平行的力或分力在至于与转轴平行的力或分力在这里不予考虑！这里不予考虑！上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出用用 乘以上式左右两端得乘以上式左右两端得ir2sinsini iii iii iFrf rmr 设刚体由设刚体由N个质元构成，对每个质元可写出上述个质元

8、构成，对每个质元可写出上述类似方程，将这类似方程，将这N个方程左右相加得个方程左右相加得2111sinsin()NNNi iii iii iiiiFrf rmr0sin1Niiiirf 根据内力性质（每根据内力性质（每一对内力等值、反向、一对内力等值、反向、共线，对同一转轴的力共线，对同一转轴的力矩代数和为零）得矩代数和为零）得OjririjijfjifijM jiM dijjiMM 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出211sin()NNi iii iiiFrmr得到：得到： 上式左端为刚体所受外力对转轴的合力矩，以上式左端为刚体所受外力对转轴的合力矩

9、，以Mz表示；右端求和符号内的量与转动状态无关，表示；右端求和符号内的量与转动状态无关，而只与刚体的质量分布有关，称为刚体转动惯量，而只与刚体的质量分布有关，称为刚体转动惯量，以以J 表示。于是得到表示。于是得到ddzMJJt其中转动惯量：其中转动惯量：21NiiiJrm单位：单位：kgm2上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出（2 2）Mz 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速的的符号：使刚体向规定的转动正方向加速的力矩为正。力矩为正。Mz 与与的符号相同的符号相同( (方向相同方向相同) )。ddzMJJt大小的量度；大小的量度；例如地球的转动惯量非常

10、巨大，因此转例如地球的转动惯量非常巨大，因此转动惯性也非常巨大，地球的自转角速度亘古不变！动惯性也非常巨大，地球的自转角速度亘古不变！ ，转动惯量是转动转动惯量是转动惯性惯性（1 1）Mz 一定，一定，J说明：说明：刚体定轴转动定律：刚体定轴转动定律：刚体在合外力矩的作用下，所获刚体在合外力矩的作用下，所获得的角加速度与合外力矩的大小成正比，与刚体的得的角加速度与合外力矩的大小成正比，与刚体的转转动惯量动惯量成反比。成反比。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出2dJrmdm质元的质量质元的质量r质元到转轴的距离质元到转轴的距离 刚体的质量可认为是连续分布

11、的，所以上式可写刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可写成积分形式成积分形式按转动惯量的定义有按转动惯量的定义有iimrJ2（2 2）J 和转轴位置有关，同一个物体对不同转轴的和转轴位置有关，同一个物体对不同转轴的转动惯量不同。转动惯量不同。（1 1）J 和质量分布有关，质量分布得和质量分布有关，质量分布得离转轴越远，离转轴越远，则则J 越大！如拖拉机飞轮。当然，同样大小的球形分越大！如拖拉机飞轮。当然，同样大小的球形分布，转动惯量布，转动惯量质量质量，因此半径相等的实心铁球绕，因此半径相等的实心铁球绕直径轴的转动惯量要大于石球或木球。直径轴的转动惯量要大于石球或木球。上页上页 下页下页 返

12、回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质量为什么大飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？都分布于外轮缘？上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出质点平动的牛顿第二定律与刚体定轴转动定律的对比：质点平动的牛顿第二定律与刚体定轴转动定律的对比：平动：平动：ddvFmt线动量线动量mv平动定律平动定律 转动：转动：ddzMJt角动量角动量J转动定律转动定律转动惯量：转动中惯性大小的量度。转动惯量：转动中惯性大小的量度。质量：平动中惯性大小的量度。质量：平动中惯性大小的量度。 与牛顿第二定律相似，力

13、矩与牛顿第二定律相似，力矩Mz与角加速度与角加速度是共是共生共灭的，两者方向生共灭的，两者方向( (符号符号) )相同，相同，力矩是刚体转动状力矩是刚体转动状态态( () )发生变化的原因，发生变化的原因，当当Mz=0时，时，=0，保持不保持不变，刚体作匀角速度转动。变，刚体作匀角速度转动。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出v 质量离散分布质量离散分布22221 12 21Ni iN NiJmrm rm rm r J 的计算方法的计算方法v 质量连续分布质量连续分布222d di iiVJm rrmrV：质量元：质量元md：体积元：体积元Vd2 对质量

14、线分布的刚体：对质量线分布的刚体：dd , ml：质质量量线线密密度度。2 对质量面分布的刚体：对质量面分布的刚体：dd , mS：质质量量面面密密度度。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例题例题3-13-1 求质量为求质量为m、长为、长为l 的均匀细棒对下面三种的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量：转轴的转动惯量：（1 1）转轴通过棒的中心并和棒垂直；）转轴通过棒的中心并和棒垂直；（2 2）转轴通过棒的一端并和棒垂直）转轴通过棒的一端并和棒垂直；（3 3）转轴通过棒上距中心为转轴通过棒上距中心为h的一点并和棒垂直。的一点并和棒垂直。xo解：解：(1)(

15、1)建立坐标系，分割出质量元建立坐标系，分割出质量元dxx2222ddllmJxmxxl2121ml单位长度质量（线密度）：单位长度质量（线密度）： ，因此，因此mldddmmxxl（公式）（公式）上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出xOhdxx220ddlmJxmxxl以上说明，以上说明，J 与刚体质量、质量分布、轴的位置有关！与刚体质量、质量分布、轴的位置有关！231ml（2 2）（3 3）dxx2222ddlhlhmJxmxxl22112mlmh（公式）（公式）（）xO（）式中隐含着一个关于转动惯量的平行轴定理！式中隐含着一个关于转动惯量的平行轴定

16、理！上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出定理表述：定理表述：刚体绕平行于质心轴的某轴的转动惯量刚体绕平行于质心轴的某轴的转动惯量J，等于绕质心轴的转动惯量等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚体质量与两轴间加上刚体质量与两轴间距离平方的乘积：距离平方的乘积：2mdJJCdCO2OCJJmd可见，在所有彼此平行的轴中，可见，在所有彼此平行的轴中，绕通过质心的轴的绕通过质心的轴的转动惯量转动惯量 最小！最小！离质心轴越远，离质心轴越远， 越大！越大！CJOJ上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出平行轴定理的证明：平行轴定理

17、的证明：OPCdxmi i i i2CiiJm对对C 轴轴O 轴平行于轴平行于C 轴（质心轴）轴（质心轴）对对O 轴轴2OiiJm由图知由图知2222cosiiiidd2OiiJm22(2cos)iiiimdd22cos2iiiiiimm dmdcosiiiiimm x可见，可见，2OCJJmd平行轴定理平行轴定理0Cmx说明：平行轴定理适用于任意形状刚体，无论一维、二维说明：平行轴定理适用于任意形状刚体，无论一维、二维还是三维。另外，轴线可以在刚体内，也可以在刚体外。还是三维。另外，轴线可以在刚体内，也可以在刚体外。在质心坐标在质心坐标系中，质心系中，质心位于原点！位于原点！上页上页 下页下

18、页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例题例题3-23-2 求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量。设圆盘的半径为转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为质量为m，密度均匀。密度均匀。rdrR解：解：设圆盘的质量面密度为设圆盘的质量面密度为 ，在圆盘上取一半径为，在圆盘上取一半径为r、宽度为宽度为dr 的圆环（如图），环的面积为的圆环（如图），环的面积为2 rdr，环的质环的质量量dm= 2 rdr。可得可得423201d2d22RRJrmrrmR由于圆柱体是由一个个薄圆盘堆积起来的，因此由于圆柱体是由一个个薄圆盘堆积起来的，因此2

19、22111222iiiiJm RmRmR圆圆柱柱圆圆柱柱上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出CJJmR221mRJC如：如：2mRJJC2221322mRmRmR2CJJmd平行轴定理：平行轴定理：对于薄平板刚体，有对于薄平板刚体，有垂直轴定理：垂直轴定理：yxzJJJyxzxiyimiri22222 zi iiiiiiiiiiyxiiJmrmxym xm yJJx214xJmR上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出几种典型形状刚体的转动惯量几种典型形状刚体的转动惯量圆筒圆筒 22121()2Jm RR圆环圆环J=m

20、R2 RmO O 圆柱圆柱 212JmRLRR2R12112Jml细棒细棒l上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出R薄球壳薄球壳 223JmR实心圆球实心圆球 225JmRR空心空心 在计算转动惯量时，应注意充分运用在计算转动惯量时，应注意充分运用平行轴定平行轴定理理和薄片刚体的和薄片刚体的垂直轴定理垂直轴定理！想一想：圆柱想一想：圆柱 实心球实心球 的原因？的原因？212JmR225JmR实心球与空心球壳相比呢？实心球与空心球壳相比呢？上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出求一质量为求一质量为m的均匀实心球对其一条直

21、径轴的转动惯量的均匀实心球对其一条直径轴的转动惯量解：一球绕解：一球绕Z 轴旋转，在轴旋转，在离球心离球心 z 高度处切一厚为高度处切一厚为dz 的薄圆盘。其半径为的薄圆盘。其半径为22rRz222dd()dVrzRzz22dd()dmVRzz222211dd() d22JrmRzz其体积：其体积：其质量：其质量：其转动惯量：其转动惯量：XYZORrdzz上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出34 3mR其其中中dJJ222521() d282155RRRzzRmRXYZORrdzz222211dd() d22JrmRzz上页上页 下页下页 返回返回 退出

22、退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例题例题3-33-3 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为端分别悬有质量为m1和和m2的物体的物体1 1和和2 2，m1m1，物体物体1 1向上运动，物体向上运动，物体2 2向下运动，滑轮以顺向下运动，滑轮以顺时针方向旋转时针方向旋转，Mr的指向如图所示。根据质点的牛顿的指向如图所示。根据质点的牛顿第二定律和刚体的定轴转动定律，可列出下列方程组：第二定律和刚体的定轴转动定律，可列出下列方程组：式中式中 是滑轮的角加速度大小是滑轮的角加速度大小，a是两物体的加速度是两物体的加速度大小。滑轮边缘上

23、的切向加速度和物体的加速度大大小。滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度大小相等，即小相等，即从以上各式即可解得从以上各式即可解得ar11122221rTm gmam gTm aT rTrMJ上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出21r21r21212/12mmgMrmmgMraJmmmmmr21r222112/212mmm gMrTmgammm12r112112/212mmm gMrTmgammm而而上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出21r21/12mmgMrarmmm r当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令当不计滑轮质

24、量及摩擦阻力矩即令m=0、Mr=0时，有时，有1212212m mTTgmm2121mmagmm中学物理要中学物理要求！求！A1TBCAmBmCm2T光滑光滑又例：又例：1AB2B21rTm am gTm aT rTrMJar上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出1 1、确定研究对象、确定研究对象( (隔离物体隔离物体) )2 2、受力分析、受力分析3 3、列出方程组：、列出方程组： 平动物体列牛顿第二定律方程；平动物体列牛顿第二定律方程； 转动刚体列转动定律方程；转动刚体列转动定律方程； 角量与线量关系式；角量与线量关系式； 其他关系式。其他关系式。解题

25、方法：解题方法：4 4、求解方程组、求解方程组上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例题：测轮子的转动惯量例题：测轮子的转动惯量 如图所示，如图所示，用一根轻绳缠用一根轻绳缠绕在半径为绕在半径为R、质量为、质量为M 的轮的轮子上若干圈后，一端挂一质量子上若干圈后，一端挂一质量为为m的物体。已知从静止下落的物体。已知从静止下落h距离用了时间距离用了时间t，求轮子的转动，求轮子的转动惯量惯量J。h,M RmmgT T2 (1) (2)1 (3)2 (4)mgTmaTRJhataR222222 /2 /()2 /(2 )2ah thRtTm gh tmRgthJh上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例题例题3-43-4 一半径为一半径为R，质量为质量为m的的匀质圆盘，平放在匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间滑动摩擦系数为粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间滑动摩擦系数为 ，令圆盘最初以角速度令圆盘最