第五章 偏微分方程与特殊函数

1、化工应用数学 第五章 2022-4-3015.1 引言引言n5.1.1 偏微分方程的定义偏微分方程的定义n描述物理量在时、空域中变化规律的方程，描述物理量在时、空域中变化规律的方程，若含有未知若含有未知函数的偏导数，则称之为偏微分方程。函数的偏导数，则称之为偏微分方程。第五章第五章 偏微分方程与特殊函数偏微分方程与特殊函数化工应用数学 第五章 2022-4-3025.1.2 偏微分方程的规定偏微分方程的规定（1）方程中出现的偏导数的）方程中出现的偏导数的最高阶数最高阶数称为称为方程的阶数方程的阶数。（2）若方程中没有未知函数及其偏导数的乘积或幂等非线性项称方程为）若方程中没有未知函数及其偏导数

2、的乘积或幂等非线性项称方程为线性的，反之统称成为非线性的。线性的，反之统称成为非线性的。 在非线性方程中若仅对未知函数的所有最高阶偏导不是非线性的在非线性方程中若仅对未知函数的所有最高阶偏导不是非线性的拟线性的。拟线性的。（3）不含未知函数及其偏导数的项称之为自由项。自由项为零的方程称）不含未知函数及其偏导数的项称之为自由项。自由项为零的方程称为齐次方程，否则称为非齐次方程。为齐次方程，否则称为非齐次方程。第五章第五章 偏微分方程与特殊函数偏微分方程与特殊函数化工应用数学 第五章 2022-4-303例5.1.2 偏微分方程的规定偏微分方程的规定化工应用数学 第五章 2022-4-304一般来

3、说，求解一般来说，求解n阶线性常微分方程的通解，必阶线性常微分方程的通解，必定包含有定包含有n个独立的任意函数，若存在个独立的任意函数，若存在n个边界条个边界条件，则可确定这件，则可确定这n个常数，从而获得该方程满足边个常数，从而获得该方程满足边界条件的一个特定解。在偏微分方程中，通解具界条件的一个特定解。在偏微分方程中，通解具有特定形式的任意函数，且看以下例题。有特定形式的任意函数，且看以下例题。(1) 偏微分方程的定解问题偏微分方程的定解问题5.1.2 偏微分方程的规定偏微分方程的规定化工应用数学 第五章 2022-4-305 (2) 偏微分方程偏微分方程 是方程的通解是方程的通解 ，其中

4、，其中f 是任意函数是任意函数 。如如 等都是该方程的特解。等都是该方程的特解。 这些不同的函数，这些不同的函数，都满足二维拉普拉斯方程都满足二维拉普拉斯方程 2222()sin()uxyuxy，=-=-22224cos()uxyxy=-+-0 xyyuxu+=22()zf xy=-2222,cos ,ln()xuxyuey uxy=-=+cos,sinttuexuex-= 都可作为一维热传导方程都可作为一维热传导方程而函数而函数的通解。的通解。化工应用数学 第五章 2022-4-306 由此可以得出两点结论：由此可以得出两点结论： 偏微分方程的通解包含有任意函数，因此解偏微分偏微分方程的通解

5、包含有任意函数，因此解偏微分方程，一般都不是先求通解，后由定解条件确定特方程，一般都不是先求通解，后由定解条件确定特解，而是直接求特解。解，而是直接求特解。 一个特定形式的偏微分方程可以描述许多物理现象一个特定形式的偏微分方程可以描述许多物理现象的共性规律，可以有很多不同形式的特解。所以可的共性规律，可以有很多不同形式的特解。所以可称为称为“泛定方程泛定方程”。5.1.2 偏微分方程的规定偏微分方程的规定化工应用数学 第五章 2022-4-307 确定地描述某个系统的运动过程，除了反映确定地描述某个系统的运动过程，除了反映运动一般规律的偏微分方程（泛定方程）外，还必运动一般规律的偏微分方程（泛

6、定方程）外，还必须根据实际问题的模型提出定解条件。定解条件包须根据实际问题的模型提出定解条件。定解条件包括初始条件（当方程含有时间变量时）和边界条件括初始条件（当方程含有时间变量时）和边界条件（关于空间变量的约束条件）。（关于空间变量的约束条件）。 泛定方程加定解条件构成一个确定的物理过泛定方程加定解条件构成一个确定的物理过程的程的“定解问题定解问题”，此时问题才可能有确定的特解。，此时问题才可能有确定的特解。5.1.2 偏微分方程的规定偏微分方程的规定化工应用数学 第五章 2022-4-308(3) 偏微分方程的求解方法偏微分方程的求解方法1、方程的建立、方程的建立 建模。建模。2、求解、求

7、解 （1）解析解：）解析解： 分离变量法分离变量法； 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法等。等。 （2）数值解：尤拉法、龙格库塔法等。）数值解：尤拉法、龙格库塔法等。5.1.2 偏微分方程的规定偏微分方程的规定化工应用数学 第五章 2022-4-3095.2 二阶偏微分方程分类二阶偏微分方程分类限两个自变量的二阶线性方程，未知函数限两个自变量的二阶线性方程，未知函数 u（x，y）一般形式：一般形式： F（x，y，u， ux，uy，uxx，uyy，uxy）=0 (5-4)线性形式：线性形式： Auxx+2Buxy+Cuyy+Dux+Euy+Gu+f=0 (5-5）A，B，C，D，E，f，G是是x，y的

8、函数的函数 当当A，B，C，D，E，G是常数时，式（是常数时，式（55）是二阶常系）是二阶常系数线性偏微分方程，数线性偏微分方程，ff（x，y）为已知函数是自由项。为已知函数是自由项。化工应用数学 第五章 2022-4-3010由参数由参数A，B，C判断二阶线性方程的分类判断二阶线性方程的分类设设M=M（x，y）为自变量域内的某一点，若在该点处有：为自变量域内的某一点，若在该点处有：(1) B2AC0，则方程在该点处为双曲线型的，如：，则方程在该点处为双曲线型的，如： uxxuyy0 （56）(2) B2AC0，则方程在该点处为抛物线型，如：，则方程在该点处为抛物线型，如：uyuxx0 （57

9、）(3) B2AC0，则方程在该点处为椭圆型的，如：，则方程在该点处为椭圆型的，如：uxxuyy0 （58）化工应用数学 第五章 2022-4-3011方程的类型在域内不一定是唯一的。如：方程的类型在域内不一定是唯一的。如： xuxxyuyy2yuxxuy0B2-AC0 xy， xy0， M在二，四象限双曲型在二，四象限双曲型 xy0， M在一，三象限椭圆型在一，三象限椭圆型 xy0(x或或y0)， M在在y或者或者x轴上轴上 抛物型抛物型三类方程：（最典型的物理含义）三类方程：（最典型的物理含义）双曲线型：双曲线型：utta2（uxxuyyuzz） 波动方程波动方程抛物线型：抛物线型：uta

10、2（uxxuyyuzz） 热传导方程热传导方程椭圆型：椭圆型：uxxuyyuzz0 拉普拉斯方程拉普拉斯方程化工应用数学 第五章 2022-4-30125.3 典型方程的建立典型方程的建立PzyQRxx,( , , )P Q Rx y z是的函数, u v若令（)=0是原方程的解12( , , ),( , , )u x y zCv x y zCuv ， 是两组相互独立的解(dxdydzpQR建立常微分方程组）5.3.1. 拉格朗日方法拉格朗日方法（一阶）（一阶）（将偏微分方程转化为常微分方程将偏微分方程转化为常微分方程）化工应用数学 第五章 2022-4-3013例例 124( ,0)2xzz

11、ZZxtZ xe求出 的解5.3 典型方程的建立典型方程的建立14dxdtdzz解：采用拉格朗日法解：采用拉格朗日法1244=xdxdtutxCdzzdxvCze 联立任意两个方程联立任意两个方程(4 ,)0 xztxe化工应用数学 第五章 2022-4-3014v=u令（ ）(4 )xztxe原方程的通解2,0)2xZ xe由于（ 32244=(4 ),22(4 )=,( )u =2xuuxuxZexeexueee，3(4)42.xtxZee5.3 典型方程的建立典型方程的建立212211CzvxxC V=u221()zxyxy22() ()Zx yxy化工应用数学 第五章 2022-4-3

12、0151zzyXzxx =1dxdydzyxz 解 ：122212111()dxdyuyxCyxdydzdxdzdxzzxc5.3 典型方程的建立典型方程的建立2122111()zzvCxyxxC其解为22()1()vg uzgyxxy即22() () 1zx y g yx方程的解为：方程的解为：例例 2 化工应用数学 第五章 2022-4-301612311,.,)0nnnnxxF x x xxxx（，123( , , .,)nU x x xxC解：设为原方程的一个解函数212,.,nnuuuUUUxxx1=1212U=,.nnnnxxUxUxU5.3.2 非线性（一阶）非线性（一阶）0F

13、代入中121121.nnnndxdudxdxdufufufufxfx常微分方程的辅助方程fu对 的导数12,.nu uu能求解出，10uiiidudxu5.3 典型方程的建立典型方程的建立化工应用数学 第五章 2022-4-301722zzxYzxy例：( , , )U x y zc123,uuuuuuxyz令1233,uuzzxuyu代入原方程222123=0fxuyuzu3122221231232 u22dudududxdydzxyuzuuuu5.3.2 非线性（一阶）非线性（一阶）解：解：化工应用数学 第五章 2022-4-3018111222312123,cccuuuxyz123duu

14、 dxu dyu dz111312222()()()cccdudxdydzxyz1211221232()2()2()uc xc yc z1112111121lnln21lnlnln2()dxcuxxcucux5.3.2 非线性（一阶）非线性（一阶）化工应用数学 第五章 2022-4-30195.3.3 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法(1) 将常微分方程转化为代数方程将常微分方程转化为代数方程(2) 将偏微分方程转化为常微分方程将偏微分方程转化为常微分方程5.3 典型方程的建立典型方程的建立通过拉斯变换，可将两个自变量的偏微分方程转化为常微通过拉斯变换，可将两个自变量的偏微分方程转化为常微分方程。

15、由于拉氏变换包括变量从零多无穷的积分，所以仅分方程。由于拉氏变换包括变量从零多无穷的积分，所以仅对从零到无穷有意义的自变量才有可能进行拉氏变换，一般对从零到无穷有意义的自变量才有可能进行拉氏变换，一般来说只适用解初值问题。来说只适用解初值问题。化工应用数学 第五章 2022-4-30205.3.3 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法2220001(0,0)txuuaxttxuTuT例例 定解问题定解问题 用拉氏变化求解，需要首先确定对哪一个自变量施行拉氏变换，就本例而用拉氏变化求解，需要首先确定对哪一个自变量施行拉氏变换，就本例而言，对言，对x与与t都可以。但对都可以。但对x偏导是二阶的，且没给出偏

16、导是二阶的，且没给出 ，所以选择对，所以选择对t作拉氏作拉氏变换。变换。0 xut0( , )( , )ptu x pu x t edt用用u(x,p)表示函数表示函数u(x,t)关于关于t的拉氏变换，即的拉氏变换，即首先对两端作拉氏变换，另利用条件。可得新方程，过程如下：首先对两端作拉氏变换，另利用条件。可得新方程，过程如下：0( ,)uLpu x pTt2222222200( , )( , )ptptuud ud u x pLedtu x t edtxxdxdx化工应用数学 第五章 2022-4-30215.3.3 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法2202( , )( , )d u x ppu

17、 x pTadx20222( ,)( ,)0Td u x ppu x pdxaa同时对另一边界条件作拉氏变换同时对另一边界条件作拉氏变换01( , )xTu x pp二阶常微分方程，其解为二阶常微分方程，其解为0( , )ppxxaaTu x pAeBep 由于由于 时。时。u(x,t)应该有界，所以应该有界，所以u(x,p)也应该有界，故也应该有界，故B=0，再有条件得：再有条件得：x01TTApp10TTAp100( ,)pxaTTTu x pepp100( , )() /(2)u x tTT erfc xa tT化工应用数学 第五章 2022-4-3022 用拉氏变换解偏微分方程的要点是

18、：用拉氏变换解偏微分方程的要点是： （1）首先确定对哪个自变量作拉氏变换。要求该自变量变化范）首先确定对哪个自变量作拉氏变换。要求该自变量变化范围（围（0，），而且根据拉氏变换的微分性质），而且根据拉氏变换的微分性质 该变量必需具备上式有关的初值条件。如若有两个自变量都该变量必需具备上式有关的初值条件。如若有两个自变量都满足要求，那应取决于对哪个自变量求解过程最简单为准。满足要求，那应取决于对哪个自变量求解过程最简单为准。 （2）除对方程作拉氏变换外，还要对凡在方程变化中没有用到）除对方程作拉氏变换外，还要对凡在方程变化中没有用到的定解条件都要作拉氏变换，使其作为变换后新方程的定解条件。的定解

19、条件都要作拉氏变换，使其作为变换后新方程的定解条件。( )12(1)( )( )(0)(0)(0)nnnnnL ftP f ppfpff-=-5.3.3 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法化工应用数学 第五章 （3）最后得到定解问题的解的关键是对新方程之解作拉氏）最后得到定解问题的解的关键是对新方程之解作拉氏逆变换。当象函数较复杂时，运用查表和拉氏变换一章介绍逆变换。当象函数较复杂时，运用查表和拉氏变换一章介绍的几种求逆变换方法也不得其解时，就只能运用拉氏变换的的几种求逆变换方法也不得其解时，就只能运用拉氏变换的反演公式，通常用复变函数的围道积分法求解。反演公式，通常用复变函数的围道积分法求解。5.

20、3.3 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法化工应用数学 第五章 2022-4-30245.4 定解条件和定解问题定解条件和定解问题 引言中指出引言中指出数学物理方程是具有某类共性的物理现象的数学物理方程是具有某类共性的物理现象的泛定方程。在引言中我们也看到了，同一个泛定方程可以泛定方程。在引言中我们也看到了，同一个泛定方程可以有多个不同函数的解。因此对实际的物理现象特性的讨论有多个不同函数的解。因此对实际的物理现象特性的讨论还需对其特定的还需对其特定的“环境环境”和起始状态加以描述和限定和起始状态加以描述和限定定解条件，结合泛定方程，便可确定定解问题的特解。定解条件，结合泛定方程，便可确定定解问题的

21、特解。化工应用数学 第五章 2022-4-3025 5.4.1 初始条件（初值条件）初始条件（初值条件） 对于随着时间而发生变化的问题，必须考虑研究对象的初对于随着时间而发生变化的问题，必须考虑研究对象的初始时刻的状态，即初始条件。始时刻的状态，即初始条件。 凡泛定方程中只含凡泛定方程中只含t的一阶偏导数的只需要一个初始条件，的一阶偏导数的只需要一个初始条件，u的初始分布。的初始分布。 泛定方程中含有泛定方程中含有t的二阶偏导数的则需要两个初始条件，的二阶偏导数的则需要两个初始条件，初始分布和初始速度。初始分布和初始速度。 初始条件给出了整个系统的状态（初始条件给出了整个系统的状态（t=0）。

22、稳态过程因与）。稳态过程因与t无无关，则不存在初始条件关，则不存在初始条件0( , , , )( , , )tu x y z tx y zj=00( , , , )( , , ),( , , )ttuu x y z tx y zx y ztjy=化工应用数学 第五章 2022-4-30265.4.2 边界条件边界条件(1) 第一边界条件第一边界条件已知函数已知函数直接给出在边界上的值（直接给出在边界上的值（s上的动点）上的动点） 如弦振动如弦振动 ，长为，长为 的弦两端固定，则边界条件为：的弦两端固定，则边界条件为： 0( , )0,( , )0 xx lu x tu x t=l（2）第二类边

23、界条件）第二类边界条件已知导数已知导数 一维热传导（杆的导热），设杆的一端一维热传导（杆的导热），设杆的一端xa绝热，绝热，则由外到内经过杆端的热量流速为零则由外到内经过杆端的热量流速为零化工应用数学 第五章 2022-4-3027因因K，S是常数，故是常数，故 对于二维、三维应以边界的外法向导数表述对于二维、三维应以边界的外法向导数表述 5.4.2 边界条件边界条件（2）第二类边界条件）第二类边界条件已知导数已知导数（3）第三类边界条件）第三类边界条件混合边界条件混合边界条件 给出边界上函数值与其法向导数构成的线性关系。如一维给出边界上函数值与其法向导数构成的线性关系。如一维导热，杆端导热，

24、杆端x=a处自由冷却，环境介质温度为处自由冷却，环境介质温度为u0 ，则，则化工应用数学 第五章 2022-4-3028（3）第三类边界条件）第三类边界条件混合边界条件混合边界条件 杆端散发出的热流效率与端点温度与介质温度之差成正比杆端散发出的热流效率与端点温度与介质温度之差成正比,可改写可改写 5.4.2 边界条件边界条件对于长为对于长为 的杆两端自由冷却的杆两端自由冷却l第三类边界条件的一般形式第三类边界条件的一般形式化工应用数学 第五章 2022-4-30295.5 线性迭加原理线性迭加原理 在讲如何用分离变量法求解偏微分方程的定解问题前，先介绍一下线性偏微分方程解的迭加原理。 定义线性

25、偏微分算子定义线性偏微分算子L为为 线性偏微分方程的一般形式线性偏微分方程的一般形式 齐次线性偏微分方程齐次线性偏微分方程 2,11nnijii jxijiuuLabcx yx=抖=+抖邋2,11( )nnijii jxijiuuL uabcufx yx=抖=+=抖邋( )0L u =化工应用数学 第五章 2022-4-3030 设函数 是齐次线性偏微分方程 的特解，若级数 可逐项求偏微分，则该级数也是齐次线性偏微分方程( )0L u =(1,2,3, ,)iu in=( )0L u =的解。5.5 线性迭加原理线性迭加原理线性迭加原理线性迭加原理化工应用数学 第五章 2022-4-30315

26、.6 分离变量法分离变量法 对于多个自变量的偏微分方程定解问题的求解，对于多个自变量的偏微分方程定解问题的求解，在可能的在可能的情况下，我们总设法使自变量的个数减少情况下，我们总设法使自变量的个数减少。分离变量法就是基。分离变量法就是基于这种想法产生的。于这种想法产生的。 分离变量法也叫傅立叶方法，它利用变量分离形式的解法，分离变量法也叫傅立叶方法，它利用变量分离形式的解法，将求解偏微分方程的定解问题化为求解常微分方程的固有值问将求解偏微分方程的定解问题化为求解常微分方程的固有值问题，题，步骤是先找出一些满足边界条件的特解，然后利用迭加原步骤是先找出一些满足边界条件的特解，然后利用迭加原理，作

27、出这些解的线性组合，从而得到定解问题的解答。理，作出这些解的线性组合，从而得到定解问题的解答。 分离变量法对定解条件尤其是边界条件的要求比较苛刻，分离变量法对定解条件尤其是边界条件的要求比较苛刻，一般只涉及较为规则的边界问题。下面通过各种例题来介绍分一般只涉及较为规则的边界问题。下面通过各种例题来介绍分离变量法的具体应用。离变量法的具体应用。化工应用数学 第五章 2022-4-30325.6 分离变量法分离变量法例例这是齐次方程，齐次边界条件的定解问题。这是齐次方程，齐次边界条件的定解问题。 解解: u(x,t)是其一个解函数。是其一个解函数。 假设函数可以表示为各个自变量假设函数可以表示为各

28、个自变量单元函数的乘积，代入方程后可分离为各自变量的常微分方程。单元函数的乘积，代入方程后可分离为各自变量的常微分方程。 设设u(x,t)=X(x)T(t)，X(x)-x的函数，的函数，T(t)-t的函数的函数 化工应用数学 第五章 2022-4-30335.6 分离变量法分离变量法代入原方程中：将边界条件代入：化工应用数学 第五章 2022-4-3034运用迭加原理运用迭加原理积分。积分。01运用正交函数：两边同乘以，并从运用正交函数：两边同乘以，并从运用正交函数：两边同乘以，并从01运用正交函数：两边同乘以，并从01运用正交函数：两边同乘以，并从5.6 分离变量法分离变量法化工应用数学 第五章 2022-4-3035总结：通过假设，将变量分离总结：通过假设，将变量分离 确定待定系数（通过已知条件）确定待定系数（通过已知条件） 利用叠加原理得到解函数利用叠加原理得到解函数5.6 分离变量法分离变量法化工应用数学 第五章 2022-4-3036例例有界弦的自由振动有界弦的自由振动解：弦长为两端张紧固定且无外力作用的弦振动问题，