第二章：轴向拉伸与压缩

1、第二章：轴向拉伸与压缩第二章：轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩余余 辉辉 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩轴向拉伸和压缩是一种工程中常见的杆件的基本变形，轴向拉伸和压缩是一种工程中常见的杆件的基本变形，例如：例如： 压压 杆杆引引 言言轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩的特点：轴向拉伸与压缩的特点： 受力特点：受力特点： 变形特点：变形特点：FFFF承受轴向变形的杆件称为拉杆或压杆。承受轴向变形的杆件称为拉杆或压杆。外力合力的作用线与杆轴线重合外力合力的作用线与杆轴线重合主要是沿轴线方向伸长或缩短主要是沿轴线方向伸长或缩短轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩一、内力与截面法一、内力与截面

2、法内力内力 外力引起的构件内部相连部分之间的相互外力引起的构件内部相连部分之间的相互作用力。作用力。 内力为作用于整个截面上的连续分布力。今后，内力内力为作用于整个截面上的连续分布力。今后，内力一般被用来特指截面上的分布内力的合力、或合力偶一般被用来特指截面上的分布内力的合力、或合力偶矩、或向截面形心简化所得到的主矢和主矩。矩、或向截面形心简化所得到的主矢和主矩。 轴力与轴力图轴力与轴力图轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩第一步：沿截面假想地截开，留下一部分作为研究对象，第一步：沿截面假想地截开，留下一部分作为研究对象， 弃去另一部分；弃去另一部分；求内力的方法求内力的方法 截面法截面法第二步：对留

3、下部分进行受力分析，根据平衡原理确定，第二步：对留下部分进行受力分析，根据平衡原理确定， 在暴露出来的截面上有哪些内力分量；在暴露出来的截面上有哪些内力分量； 第三步：第三步：建立平衡方程，求出未知内力。建立平衡方程，求出未知内力。轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩二、轴力与轴力图二、轴力与轴力图下面运用截面法确定拉、压杆横截面上的内力：下面运用截面法确定拉、压杆横截面上的内力： 拉、压杆横截面上内力的作用线与杆的轴线重合，故拉、压杆横截面上内力的作用线与杆的轴线重合，故 称为称为轴力轴力，记作，记作 。规定：规定：背向截面使杆件受拉伸的背向截面使杆件受拉伸的 轴力为正，指向截面使杆件受压缩的轴力为

4、负。轴力为正，指向截面使杆件受压缩的轴力为负。NF 轴力随横截面位置变化的图线称为轴力随横截面位置变化的图线称为轴力图轴力图。轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩例例2-1 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。解： 求OA段内力FN1设置截面如图ABCDPAPBPCPDOABCDPAPBPCPDFN10 xF01DCBANPPPPF 04851PPPPFNPFN21轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩同理，求得AB、BC、CD段内力分别为： FN2= 3PFN3= 5PFN4= P轴力图如右图BCDPBPCPDFN2CDPCPDFN3DPDFN4Nx

5、2P3P5PP+轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩轴力(图)的简便求法： 自左向右:轴力图的特点：突变值 = 集中载荷 遇到向左的P， 轴力FN增量为正；遇到向右的P ， 轴力FN增量为负。5kN8kN3kN+3kN5kN8kN轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩总结：总结： 在集中外力作用的横截面处，轴力图有突变，且突在集中外力作用的横截面处，轴力图有突变，且突变的大小就等于该集中外力的大小，突变的方向则需看变的大小就等于该集中外力的大小，突变的方向则需看该集中外力对后半段杆的作用是正该集中外力对后半段杆的作用是正(拉伸拉伸)或负或负(压缩压缩)，正者向上突变，负者向下突变。正者向上突变，负者向下突变。画

6、轴力图的规律：画轴力图的规律：画轴力图的注意事项：画轴力图的注意事项：1、待求横截面的轴力总是按符号为正进行假设、待求横截面的轴力总是按符号为正进行假设。2、画轴力图时，轴力图与原受力杆件相应的横截面要对准、画轴力图时，轴力图与原受力杆件相应的横截面要对准。3、轴力图上各特征点、轴力图上各特征点(或段或段)的值应标在相应的特征点的值应标在相应的特征点(或段或段) 上，而非标在纵轴上上，而非标在纵轴上。4、需在轴力图上画上间距大致相等的竖直线，而非剖面线、需在轴力图上画上间距大致相等的竖直线，而非剖面线。轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩一、应力的概念一、应力的概念应力是指截面上分布内力的集度应力是指

7、截面上分布内力的集度 0limAFpA 如图如图 为分布内力在为分布内力在 k 点的集度，称为点的集度，称为 k 点的应力点的应力 拉压杆的应力拉压杆的应力 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩通常，将应力通常，将应力 p 分解为沿截面法向和切向的两个分量，分解为沿截面法向和切向的两个分量，其中其中 法向应力分量称为正应力，记作法向应力分量称为正应力，记作 切向应力分量称为切应力，记作切向应力分量称为切应力，记作 在国际单位制中，应力的单位为在国际单位制中，应力的单位为 Pa 21Pa =1N/m61MPa =10 Pa91GPa =10 Pa常用单位常用单位 MPa 有时用单位有时用单位 GPa 轴

8、向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩二、二、拉（压）杆横截面上的应力拉（压）杆横截面上的应力 观察拉（压）杆的变形观察拉（压）杆的变形，可以推断，可以推断 拉压杆横截面上只存在均匀分布的正应力拉压杆横截面上只存在均匀分布的正应力 NFAFN 横截面上的轴力横截面上的轴力 A 横截面的面积横截面的面积 正应力正应力 的正负号规定与轴力的正负号规定与轴力 FN 保持一致，即拉保持一致，即拉应力为正，压应力为负。应力为正，压应力为负。轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩例例 2-2 图示图示圆截面阶梯杆，已知轴向外力圆截面阶梯杆，已知轴向外力 、 ，AB 段与段与 BC 段的直径分别为段的直径分别为 与与 ，试计算该

9、杆横截面上的最大正应力。，试计算该杆横截面上的最大正应力。 120kNF 250kNF 120mmd 230mmd 解解:（1） 作轴力图作轴力图 （2） 计算正应力计算正应力 AB 段：段：3N11226214 20 10 N2010 m4Fd663.7 10 Pa = 63.7MPa（拉）（拉）轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 （2） 计算正应力计算正应力 BC 段：段：3N22226224 ( 30 10 )N 3010 m4Fd 642.4 10 Pa42.4MPa 压最大正应力：最大正应力： max163.7MPa拉AB 段：段：1= 63.7MPa拉轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩例例 2

10、-3 图示图示三角支架，已知三角支架，已知 AB 为直径为直径 的的圆截面杆，圆截面杆， AC 为边长为边长 的正方形截面杆，的正方形截面杆， ，试计算两杆横截面上的应力。，试计算两杆横截面上的应力。 解解:（1）计算两杆轴力计算两杆轴力 15mmd 20mma 10kNF 利用截面法，截取结点利用截面法，截取结点 A 为研为研究对象并作受力图究对象并作受力图 列平衡方程列平衡方程 0,xF N1N2cos300FF0,yF N1sin300FF轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 解得解得 N120kNF拉N217.3kNF 压（2）计算两杆应力）计算两杆应力 AB 杆：杆：3N1122624 20

11、 10 N 1510 m4Fd6113.2 10 Pa113.2MPa拉轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 （2）计算两杆应力）计算两杆应力 AB 杆：杆：1113.2MPa拉AC 杆：杆：3N22226217.3 10 N2010 mFa643.3 10 Pa 43.3MPa 压轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩二、二、拉（压）杆斜截面上的应力拉（压）杆斜截面上的应力 斜截面的方位角斜截面的方位角 ：以以 x 轴为始边，轴为始边，以外法以外法线轴线轴 n 为终边，为终边，逆时针逆时针转向的转向的 角为正，反角为正，反之为负之为负 。 斜截面上的全应力斜截面上的全应力coscosFFpAA轴向拉伸与压缩轴

12、向拉伸与压缩将将 p 沿斜截面的法向和切向分解，即得沿斜截面的法向和切向分解，即得 斜截面上斜截面上的正应力、切应力分别为的正应力、切应力分别为2cossin22A 横截面的面积横截面的面积 横截面上的正应力横截面上的正应力 切应力的正负号规定：围绕所取分离体顺时针切应力的正负号规定：围绕所取分离体顺时针转向的切应力为正，反之为负。转向的切应力为正，反之为负。 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩2cossin22结论：结论： max1. 在横截面上，即当在横截面上，即当 时，正应力最大，时，正应力最大， ；02. 在在 45 斜截面上，切斜截面上，切应力最大，应力最大， ；max23. ，即在任意两

13、个相互，即在任意两个相互垂直的斜截面上，切应力大小相等、垂直的斜截面上，切应力大小相等、转向相反，称为切应力互等定理。转向相反，称为切应力互等定理。 90 90轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 例例 2-4 图示图示压杆，已知轴向压力压杆，已知轴向压力 ，横截面，横截面面积面积 ，试求，试求 mm 斜截面上的正应力与斜截面上的正应力与切应力。切应力。 25kNF 2200mmA 解：横截面上的正应力解：横截面上的正应力 36N6225 10 N125 10 Pa = 125MPa200 10mFA mm 斜截面的方位角斜截面的方位角 50轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩代入公式即得代入公式即得 225

14、0cos125MPacos 5051.6MPa 50125MPasin2sin10061.6MPa22 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩一、拉压杆的轴向变形与胡克定律一、拉压杆的轴向变形与胡克定律 l1lFFl1lFF轴向变形轴向变形 1lll 线应变线应变 ll 线应变反映了拉压杆的变形程度，具有可比性。线应变反映了拉压杆的变形程度，具有可比性。 拉压杆的变形拉压杆的变形 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩胡克定律胡克定律 EE 弹性模量，由试验确定的材料常数，与应力具弹性模量，由试验确定的材料常数，与应力具 有同样量纲，常用单位有同样量纲，常用单位 GPa 胡克定律适用范围：胡克定律适用范围： 1.

15、 杆内应力不大于材料的比例极限，即杆内应力不大于材料的比例极限，即 p2. 单向拉压单向拉压轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩由胡克定律得，拉压杆轴向变形由胡克定律得，拉压杆轴向变形 若轴力若轴力 FN 、横截面面积、横截面面积 A 或弹性模量或弹性模量 E 沿杆的轴线为沿杆的轴线为分段常数，则拉压杆的总轴向变形为分段常数，则拉压杆的总轴向变形为 NF llEA N1ni iiiiF llE A 若轴力若轴力 FN 、横截面面积、横截面面积 A 沿杆的轴线为连续常数，则拉沿杆的轴线为连续常数，则拉压杆的总轴向变形为压杆的总轴向变形为 N( )( )lFxldxEA x 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩例

16、例 2-5 图示图示钢制阶梯杆，已知轴向载钢制阶梯杆，已知轴向载 ， ，AB 段横截面面积段横截面面积 ，BC 段段和和 CD 段横截面面积段横截面面积 ，三段杆的长，三段杆的长度度 ，钢材弹性模量，钢材弹性模量 ，试求该阶梯杆的轴向变形。试求该阶梯杆的轴向变形。 120kNF 250kNF 21300mmA 223600mmAA123100mmlll200GPaE 解解:（1）作轴力图）作轴力图 首先作出轴力图，如首先作出轴力图，如右图所示右图所示 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩（2）分段计算轴向变形）分段计算轴向变形 N1 111F llEA 333N2 22962220 10 N 100

17、10 m0.017 10 m200 10 Pa600 10 mF llEA3396220 10 N 100 10 m200 10 Pa300 10 m30.033 10 m333N3 33962330 10 N 100 10 m0.025 10 m200 10 Pa600 10 mF llEA 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩（3）计算总轴向变形）计算总轴向变形 31iill 0.033mm0.017mm0.025mm= 0.025mm轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩例例 2-6 试求图示等直杆因自重引起的伸长。已知杆的试求图示等直杆因自重引起的伸长。已知杆的原长为原长为 l ，横截面面积为，横截面面

18、积为 A ，材料的弹性模量为，材料的弹性模量为 E ，质量密度为质量密度为 。 解解: 杆的重力可视为沿杆轴均杆的重力可视为沿杆轴均布，其分布集度布，其分布集度 qgA由截面法，得由截面法，得 x 截面上的轴力截面上的轴力 NFqxgAx代入公式积分即得代入公式积分即得 2N( )12llFxgAxglldxdxEAEAE 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩例例 2-7 图示图示三角架，已知杆三角架，已知杆 1 用钢制成，弹性模量用钢制成，弹性模量 ，长度，长度 ，横截面积，横截面积 ；杆杆 2 用硬铝制成，弹性模量用硬铝制成，弹性模量 ，长度，长度 ，横截面积，横截面积 。若载荷。若载荷 ，试求结

19、点试求结点 A 的位移。的位移。 1200GPaE 11ml 21100mmA 270GPaE 2l 0.707m22250mmA 10kNF 解解:（1）计算杆的轴力）计算杆的轴力 截取结点截取结点 A ，作出受力图，由平，作出受力图，由平衡方程得两杆轴力衡方程得两杆轴力N1214.14kNFF拉N210kNFF压轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩（2）计算杆的轴向变形）计算杆的轴向变形 由胡克定律得两杆轴向变形由胡克定律得两杆轴向变形 3N1 119621114.14 10 N 1m200 10 Pa 100 10 mF llE A 30.707 10 m拉3N2 229622210 10 N

20、0.707m70 10 Pa250 10 mF llE A30.404 10 m压轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩（3）计算结点）计算结点的位移的位移 在小变形条件下，以切线代弧在小变形条件下，以切线代弧线、以直代曲，可得结点线、以直代曲，可得结点 A 的的水平位移、竖直位移分别为水平位移、竖直位移分别为H220.404mmAAAl V445AAAA A 1.404mm12sin45tan45ll轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩在小变形的条件下，在确定支座反力和内在小变形的条件下，在确定支座反力和内力时，一般可忽略杆件变形、按照结构的原力时，一般可忽略杆件变形、按照结构的原始尺寸和位置来进行计算；在确

21、定位移时，始尺寸和位置来进行计算；在确定位移时，则可采用上述则可采用上述 “以切线代弧线以切线代弧线” 、“以直以直代曲代曲” 的方法。这样，可使问题的分析计的方法。这样，可使问题的分析计算大大简化。算大大简化。 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩二、拉压杆的横向变形与泊松比二、拉压杆的横向变形与泊松比 拉压杆的横向线应变拉压杆的横向线应变 1bbbbb 试验表明，当杆内应力不大于材料的比例极限时，试验表明，当杆内应力不大于材料的比例极限时，拉拉压杆的横向线应变压杆的横向线应变 与轴向线应变与轴向线应变 成正比，即有成正比，即有 其中，其中， 为材料常数，称为横向变形因数或泊松比，为材料常数，称为横

22、向变形因数或泊松比，泊松比泊松比 无量纲。无量纲。轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩例例 2-8 已知钢制螺栓内径已知钢制螺栓内径 ，拧紧后测得，拧紧后测得在长度在长度 内的伸长内的伸长 ；钢材的弹性；钢材的弹性模量模量 ，泊松比，泊松比 。试求螺栓的预紧。试求螺栓的预紧力与螺栓的横向变形。力与螺栓的横向变形。 110.1mmd 60mml 0.03mml 200GPaE 0.3解：拧紧后螺栓的轴向线应变解：拧紧后螺栓的轴向线应变 40.03mm5 1060mmll 螺栓横截面上的应力螺栓横截面上的应力 94200 10 Pa5 10100MPaE 螺栓的预紧力螺栓的预紧力 6262100 10 P

23、a10.110 m8012N4FA轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩螺栓的横向应变螺栓的横向应变 440.3 5 101.5 10 螺栓的横向变形螺栓的横向变形 411.5 1010.1mmdd 31.515 10mm 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩一、拉伸试验与一、拉伸试验与 曲线曲线试验标准：试验标准： GB/T 2282002 金属拉伸试验方法金属拉伸试验方法 标准拉伸试样：标准拉伸试样：规定标距规定标距: 10ld或者或者 5ld材料在拉伸时的力学性能材料在拉伸时的力学性能 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩试验设备试验设备 液压式液压式 电子式电子式 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩低碳钢拉伸低碳钢拉

24、伸轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩二、低碳钢拉伸二、低碳钢拉伸 曲线曲线 1. 线弹性阶段线弹性阶段 ( Oa 段段 ) 性能特点性能特点 弹性变形弹性变形 弹性变形：卸载后会消失的变形弹性变形：卸载后会消失的变形 应力与应变成正比应力与应变成正比性能参数性能参数 比例极限比例极限 p 胡克定律适用范围：胡克定律适用范围： P 比例极限比例极限 E弹性模量弹性模量 E 就等于就等于 Oa 直线段的斜率直线段的斜率 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩2. 屈服阶段屈服阶段 ( bc 段段 ) 性能特点性能特点 塑性变形塑性变形 塑性变形：卸载后不会塑性变形：卸载后不会 消失的变形消失的变形 屈服现象屈服现

25、象性能参数性能参数 屈服极限屈服极限 s 屈服极限屈服极限 ：下屈服点的应力，发生屈服现象的：下屈服点的应力，发生屈服现象的 最小应力最小应力s 屈服现象：材料暂时丧屈服现象：材料暂时丧 失变形抗力失变形抗力 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩3. 强化阶段强化阶段 ( ce 段段 ) 性能特点性能特点 弹弹塑性变形塑性变形 强化现象强化现象性能参数性能参数 强度极限强度极限 b 强度极限强度极限 ：最高点的应力，断裂前所能承受的：最高点的应力，断裂前所能承受的 最大应力最大应力b 强化现象：材料恢复了强化现象：材料恢复了 变形抗力变形抗力 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩4. 缩颈阶段缩颈阶段 ( e

26、f 段段 ) 缩颈现象：变形局部化缩颈现象：变形局部化 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩三、卸载规律与冷作硬化现象三、卸载规律与冷作硬化现象 冷作硬化现象：冷作硬化现象：卸载规律：卸载规律：线性卸载，如图中线性卸载，如图中 直线段。直线段。dd材料预加塑性变形后重新材料预加塑性变形后重新加载，比例极限提高，塑加载，比例极限提高，塑性变形降低。性变形降低。 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩四、材料的塑性指标四、材料的塑性指标 （1）伸长率）伸长率 1100%lll l 为为标距原长；标距原长； l1 为试件拉断后标距长度为试件拉断后标距长度（2）断面收缩率）断面收缩率 1100%AAA A 为为原始横截

27、面积；原始横截面积； A1 为试件拉断后断口处的最小横截面积为试件拉断后断口处的最小横截面积工程中通常将材料划分为两类：工程中通常将材料划分为两类：5%,塑性材料塑性材料 5%,脆性材料脆性材料 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩五、名义屈服极限五、名义屈服极限 有些塑性材料不存在明显有些塑性材料不存在明显的屈服阶段，工程中通常的屈服阶段，工程中通常以产生以产生 0.2% 的塑性应变的塑性应变所对应的应力作为屈服强所对应的应力作为屈服强度指标，称为名义屈服极度指标，称为名义屈服极限或条件屈服极限，记作限或条件屈服极限，记作0.2轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩铸铁拉伸铸铁拉伸轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩

28、六、铸铁拉伸时的力学性能六、铸铁拉伸时的力学性能 性能特点性能特点 铸铁拉伸铸铁拉伸 曲线曲线 1. 塑性变形很小塑性变形很小 2. 强度指标：强度极限强度指标：强度极限 b3. 抗拉强度很低抗拉强度很低4. 弹性模量：割线弹性模量弹性模量：割线弹性模量轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩试验标准：试验标准： GB/T73142005 金属压缩试验方法金属压缩试验方法 标准试件：短圆柱，高度与直径比一般为标准试件：短圆柱，高度与直径比一般为 2.53.5 材料在压缩时的力学性能材料在压缩时的力学性能 低碳钢压缩低碳钢压缩轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩1. 低碳钢压缩低碳钢压缩 曲线曲线 比例极限比例极限

29、 p 、屈服极限、屈服极限 s 、弹性模量、弹性模量 E 与拉伸时与拉伸时大致相同。大致相同。 不存在强度极限不存在强度极限 b 。轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩铸铁压缩铸铁压缩轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩2. 铸铁压缩铸铁压缩 曲线曲线 抗压强度极限抗压强度极限 bc 明显明显高于抗拉强度极限高于抗拉强度极限 bt（约（约为为 34 倍）倍） 断口方位角大致为断口方位角大致为 45 55 脆性材料适宜制作承压构件。脆性材料适宜制作承压构件。 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩一、极限应力、许用应力与安全因数一、极限应力、许用应力与安全因数 1. 强度失效与极限应力强度失效与极限应力 强度失效的两种形

30、式强度失效的两种形式 塑性材料为塑性屈服；脆性材料为脆性断裂塑性材料为塑性屈服；脆性材料为脆性断裂极限应力极限应力 材料强度失效时所对应的应力，记作材料强度失效时所对应的应力，记作 u ，有，有s0.2ubtbbc或塑性材料（拉压相同）塑性材料（拉压相同） 脆性材料（拉压不同）脆性材料（拉压不同） 拉压杆的强度计算拉压杆的强度计算 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩2. 许用应力与安全因数许用应力与安全因数 材料安全工作所容许承受的最大应力，记材料安全工作所容许承受的最大应力，记作作 ，规定，规定许用应力许用应力 u n其中，其中，n 为大于为大于 1 的因数，称为安全因数的因数，称为安全因数 。对

31、于塑性材料，压缩与拉伸的许用应力基本相对于塑性材料，压缩与拉伸的许用应力基本相同，无需区分；对于脆性材料，压缩与拉伸的许同，无需区分；对于脆性材料，压缩与拉伸的许用应力差异很大，必须严格区分。用应力差异很大，必须严格区分。 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩二、拉压杆的强度条件二、拉压杆的强度条件 保证构件安全可靠工作、不发生强度失效的条件称保证构件安全可靠工作、不发生强度失效的条件称为强度条件为强度条件 拉压杆的强度条件拉压杆的强度条件 NFA 工程中规定，在强度计算中，如果杆件的实际工作工程中规定，在强度计算中，如果杆件的实际工作应力应力 超出了材料的许用应力超出了材料的许用应力 ，但只要超出量

32、，但只要超出量 不大于许用应力不大于许用应力 的的 5% ，仍然是容许的。，仍然是容许的。轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩三、强度计算的三种类型三、强度计算的三种类型 根据强度条件，可以解决以下三类强度问题：根据强度条件，可以解决以下三类强度问题： 1. 校核强度校核强度 2. 截面设计截面设计 3. 确定许用载荷确定许用载荷 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩例例 2-9 图示图示圆截面阶梯杆，已知所受轴向外力圆截面阶梯杆，已知所受轴向外力 、 ；杆的直径；杆的直径 、 ；材料为低碳钢，屈服极限；材料为低碳钢，屈服极限 ，安全，安全因数因数 。试校核该阶梯杆的强度。试校核该阶梯杆的强度。 1F 20k

33、N250kNF 114.5mmd 216d mms235MPas2.0n 解解:（1）作轴力图）作轴力图 作出杆的轴力图作出杆的轴力图 （2）强度校核）强度校核 材料的许用应力材料的许用应力 ss235MPa 117.5MPa2.0n轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩分段进行强度校核分段进行强度校核 AB 段：段： 3N1126214 20 10 N=121.1MPa 14.510 mFA因为因为 1 3.6MPa3.1%5% 117.5MPa故故 AB 段强度满足要求段强度满足要求 BC 段：段： 3N2226224 30 10 N= 95.5MPa 2010 mFA 故故BC 段强度足够段强度足

34、够 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩解解:（1）计算斜拉杆轴力）计算斜拉杆轴力 例例 2-10 如图如图，已知吊重，已知吊重 ，两侧对称斜拉杆由圆截面的钢杆制成，两侧对称斜拉杆由圆截面的钢杆制成，材料的许用应力材料的许用应力 ， 角角为为 ，试确定斜拉杆横截面的直径。，试确定斜拉杆横截面的直径。 1000kNF 120MPa20截取吊环的上半部分，由平衡方程截取吊环的上半部分，由平衡方程 0,yF N2cos0FF得斜拉杆轴力得斜拉杆轴力 N532kNF 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩（2）截面设计）截面设计 36N24 532 10 N 120 10 PaFAd 根据拉压杆强度条件根据拉压杆强度条

35、件 解得解得 364 532 10 N0.075m75mm 120 10 Pad故取斜拉杆直径故取斜拉杆直径 75mmd 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩解解:（1）计算两杆轴力）计算两杆轴力 例例 2-11 如图如图，斜杆，斜杆AB 由两根由两根 的等边角钢构成，横杆的等边角钢构成，横杆AC 由两根由两根10号槽钢构成，许号槽钢构成，许用应力用应力 ，试确定其许用载荷，试确定其许用载荷 F 。 80mm 80mm7mm 120MPa截取节点截取节点 A ，由平衡方程，由平衡方程 0,xF N1N2cos300FF0,yF N1sin300FFN12FF拉N21.732FF压得两杆轴力得两杆轴力轴

36、向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩（2）确定许用载荷确定许用载荷 查型钢表，得斜杆查型钢表，得斜杆 AB 横截面积横截面积 22110.86cm221.72cmA 横杆横杆 AC 横截面积横截面积 22212.74cm225.48cmA 由斜杆由斜杆 AB 强度条件强度条件 6N114212 120 10 Pa21.72 10 mFFA 得得 130320N =130.3kNF 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩由横杆由横杆 AC 强度条件强度条件 得得 176536N =176.5kNF 6N224221.732 120 10 Pa25.48 10 mFFA 所以，该支架的许用载荷为所以，该支架的许用载荷

37、为 130.3kNF 由斜杆由斜杆 AB 强度条件强度条件 130320 N =130.3kNF 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 一、应力集中现象一、应力集中现象 由于构件截面形状或尺寸突然变化而引起的局由于构件截面形状或尺寸突然变化而引起的局部应力急剧增大的现象称为应力集中。部应力急剧增大的现象称为应力集中。 应力集中概念应力集中概念 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩二、理论应力集中因数二、理论应力集中因数 定义定义 maxK为理论应力集中因数，其中为理论应力集中因数，其中 max 为应力集中处的最为应力集中处的最大应力；大应力； 为同一截面上的名义平均应力为同一截面上的名义平均应力 理论应力集中

38、因数理论应力集中因数 K 愈大，构件的应力集中程度愈大，构件的应力集中程度就愈大。就愈大。 构件的角愈尖，孔愈小，截面尺寸改变的愈急剧，构件的角愈尖，孔愈小，截面尺寸改变的愈急剧，应力集中的程度就愈大。应力集中的程度就愈大。 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩三、应力集中对构件强度的影响三、应力集中对构件强度的影响 在静载荷作用下，应力集中对构件强度的影响与在静载荷作用下，应力集中对构件强度的影响与材料有关：材料有关： 对于塑性材料制成的构件，由于屈服现象，可以不对于塑性材料制成的构件，由于屈服现象，可以不考虑应力集中的影响；对于脆性材料制成的构件，考虑应力集中的影响；对于脆性材料制成的构件，则一般

39、必须考虑应力集中的影响，但铸铁例外。则一般必须考虑应力集中的影响，但铸铁例外。 在交变载荷作用下，无论是塑性材料还是脆性材在交变载荷作用下，无论是塑性材料还是脆性材料，应力集中都将成为构件破坏的根源，都必须考料，应力集中都将成为构件破坏的根源，都必须考虑应力集中对构件强度的影响。虑应力集中对构件强度的影响。 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩简单的拉压超静定问题可以采用变形比较法求解，其简单的拉压超静定问题可以采用变形比较法求解，其一般步骤为：一般步骤为： 1. 建立静力平衡方程建立静力平衡方程 2. 建立变形协调方程建立变形协调方程 在超静定结构中，由于受到多余约束的限制，杆件变形在超静定结构中，

40、由于受到多余约束的限制，杆件变形必须相互协调，满足一定的关系。表示超静定结构中杆必须相互协调，满足一定的关系。表示超静定结构中杆件变形之间关系的方程称为变形协调方程。件变形之间关系的方程称为变形协调方程。 3. 建立补充方程建立补充方程 由物理方程和变形协调方程，建立补充方程由物理方程和变形协调方程，建立补充方程 4. 求解未知量求解未知量 联立方程，求解未知量。联立方程，求解未知量。 简单拉压超静定问题简单拉压超静定问题 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩例例 2-14 如图如图，等截面直杆两端固定，在截面处受一，等截面直杆两端固定，在截面处受一轴向外力轴向外力F 的作用，设其拉压刚度的作用，设其

41、拉压刚度EA为常数，试作出为常数，试作出其轴力图。其轴力图。 解解:（1）建立平衡方程）建立平衡方程 解除解除AB 杆约束，作受力图，杆约束，作受力图，其平衡方程为其平衡方程为 0ABFFF这是一次超静定问题，需要这是一次超静定问题，需要有一个补充方程才能获解。有一个补充方程才能获解。 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩（2）建立变形协调方程）建立变形协调方程 因两端固定约束的限制，变形后杆件的总长保持因两端固定约束的限制，变形后杆件的总长保持不变，即有变形协调方程不变，即有变形协调方程 0ACCBlll （3）建立补充方程）建立补充方程 根据胡克定律，根据胡克定律， N1,AACF lF llEA

42、EAN2(2 )(2 )BCBFlFllEAEA代入变形协调方程，得补充方程代入变形协调方程，得补充方程 20ABFF轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩（4）求解未知力）求解未知力 联立补充方程与平衡方程，求得未知约束力联立补充方程与平衡方程，求得未知约束力 2,3AFF 3BFF 作出图示轴力图作出图示轴力图 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩例例 2-15 图图示结构，已知杆示结构，已知杆EC、HD 的拉压刚度分别的拉压刚度分别为为E1A1、E2A2，横梁，横梁AB 是刚性的，试求载荷是刚性的，试求载荷F 引起的引起的EC、HD 两杆的轴力。两杆的轴力。解解:（1）建立平衡方程）建立平衡方程 作出横梁

43、作出横梁AB 的受力图，的受力图，建立求解建立求解两杆轴力的有两杆轴力的有效平衡方程效平衡方程 0,AMN1N22033llFFFl 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩（2）建立变形协调方程）建立变形协调方程 由结构的变形图，由结构的变形图，得变形协调方程得变形协调方程 122 ll （3）建立补充方程）建立补充方程 利用胡克定律，由变形协调利用胡克定律，由变形协调方程即得补充方程方程即得补充方程 N1N211222FFE AE A（4）解方程，计算轴力）解方程，计算轴力 联立补充方程与平衡方程，求得联立补充方程与平衡方程，求得轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩11N1112234E AFFE AE AE

44、C 杆轴力杆轴力HD 杆轴力杆轴力22N2112264E AFFE AE A对于超静定结构，内力与杆的刚度有关，杆对于超静定结构，内力与杆的刚度有关，杆的刚度愈大，其内力就愈大。的刚度愈大，其内力就愈大。轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩例例 2-16 图示阶梯钢杆，在温度为图示阶梯钢杆，在温度为 时，两端固定时，两端固定在绝对刚硬的墙壁上，已知在绝对刚硬的墙壁上，已知 AC、CB 两段杆的横截面两段杆的横截面积分别为积分别为 、 ，钢材的弹性模，钢材的弹性模量量 、线膨胀系数、线膨胀系数 。试。试求当温度升高至求当温度升高至 时，杆内的最大正应力。时，杆内的最大正应力。 55 C15 C21200

45、mmA 22100mmA 200GPaE 5o1.25 10/ C解解:（1）建立平衡方程）建立平衡方程 作出杆受力图，有平衡方程作出杆受力图，有平衡方程 0ABFF（2）建立变形协调方程）建立变形协调方程 杆件总长维持不变，有变杆件总长维持不变，有变形协调方程形协调方程 FT0ll轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩式中，式中， 为两端约束力引起的轴向变形，为两端约束力引起的轴向变形， 为温为温度升高引起的轴向伸长。度升高引起的轴向伸长。FlTl（3）建立补充方程）建立补充方程 由胡克定律，由胡克定律， 根据线膨胀系数的定义，根据线膨胀系数的定义， 5T15 10 mll T8N 1N 2F1210

46、 mAF lF llFEAEA 代入变形协调方程，得补充方程代入变形协调方程，得补充方程 8510 m15 10 m = 0AF轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩（4）解方程，计算应力）解方程，计算应力 315 10 NAF 解方程，得解方程，得 杆内的最大正应力位于杆内的最大正应力位于CB 段的横截面上，为段的横截面上，为 3NTmax62215 10 N150MPa100 10 mFA对于超静定结构，由于多余约束的存在，当温度对于超静定结构，由于多余约束的存在，当温度变化时，杆件不能自由伸缩，将在杆内引起应力。变化时，杆件不能自由伸缩，将在杆内引起应力。这种因温度变化而产生的应力称为温度应力。这

47、种因温度变化而产生的应力称为温度应力。 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩例例 2-17 图示结构，已知杆图示结构，已知杆1、杆、杆2的拉压刚度同为的拉压刚度同为E1A1，杆，杆3的拉压刚度为的拉压刚度为E3A3 。若因加工误差，杆。若因加工误差，杆3的实际长度比设计长度的实际长度比设计长度 l 短了短了 （ ），试求将其），试求将其强行装配后各杆内产生的应力。强行装配后各杆内产生的应力。 l解解:（1）建立平衡方程）建立平衡方程 截取节点截取节点 A ，作受力图，列，作受力图，列平衡方程平衡方程 N1N20,sinsin0 xFFFN1N2N30,coscos0yFFFF轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压

48、缩（2）建立变形协调方程）建立变形协调方程 作出结构变形图，小变形，以直作出结构变形图，小变形，以直代曲，得变形协调方程代曲，得变形协调方程 13cosll（3）建立补充方程）建立补充方程 利用胡克定律，由变形协调方程得补充方程利用胡克定律，由变形协调方程得补充方程 N3N123311cosF lF lE AE A轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩（4）解方程，计算轴力与应力）解方程，计算轴力与应力 联立求解方程，得各杆轴力联立求解方程，得各杆轴力 211N1N231133cos21cosE AFFE AlE A311N3311332cos21cosE AFE AlE A再除以横截面面积，即得各杆应力。再除以横截面面积，即得各杆应力。 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩1265.3MPa压3112.9MPa拉这种因构件尺寸误差强行装配而产生的应力称这种因构件尺寸误差强行装配而产生的应力称为装配应力。为装配应力。 200GPaE 假设假设 ， ，三杆的拉压刚度均相，三杆的拉压刚度均相同，材料的弹性模量同，材料的弹性模量 ，则计算出各杆则计算出