微波炉的销售与生产

1、课程名称： 数学模型 组 名：3 组组 长：周良浩院 系： 数学与统计学学院 专 业： 信息与计算科学 年 级： 2013级 组 员：周良浩 刘磊姚乐 王炎 李丹指导教师： 尚月赟 实验成绩：微波炉的生产与销售摘要本文是针对微波炉的生产与销售方案规划问题，建立线性规划模型，采用图解法与Lingo软件两种方法求解，验证两者的结果是否不同。并且用了Lingo软件对模型结果进行灵敏性分析，还用Matlab软件求解了上述模型，并比较了模型结果。最终确定最优解，以达到最大利润。关键字：线性规划 图解法 Lingo软件 Matlab软件 最优解1、问题重述某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微

2、波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和3个单位,所需工时分别为4和2个单位.若允许使用原料为100个单位,工时为120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和12台. 试建立一个数学模型，确定生产甲型、乙型微波炉的台数，使所获利润最大，并求出最大利润.要求：1、请参考奶制品生产和销售模型的建立、求解和分析的方法，确定本问题的数学模型，并采用图解法与Lingo软件两种方法求解，验证两者的结果 是否不同。 2、请用Lingo软件对模型结果进行灵敏性分析。 3、请用Matlab软件求解上述模型，并比较模型结果。2、模型分析与假设

3、2.1模型分析1、 比例性 每个决策变量对目标函数的“贡献”，与该决策变量的取值成正比；各个决策变量对于约束条件的“贡献”，与该决策变量的取值成正比。 2、 可加性 各个决策变量对目标函数的“贡献”，与其他的决策变量的取值无关；各个决策变量对于约束条件的右端项的“贡献”，与其他的决策变量的取值无关。 3、 连续性 每个决策变量的取值是连续的。比例性和可加性保证了目标函数和约束条件对于决策变量的线性性，连续性则允许决策变量的实数最优解。2.2模型假设1、甲型、乙型两种微波炉每单位的获利是与它们各自产量无关的常数，每单位原料生产出甲型、乙型微波炉的数量和所需时间是与他们各自产量无关的常数；2、甲型

4、、乙型两种微波炉每单位的获利是与它们相互间产量无关的常数，每单位原料生产出甲型、乙型微波炉的数量和所需时间是与他们相互间产量无关的常数；3、生产甲型、乙型微波炉的原料的数量可以是任意实数。3、符号说明S：相应的利润X1：生产甲型微波炉的台数X2：生产乙型微波炉的台数Z：整数4、问题分析这个优化问题的目标是使每个季度利润最大，要做的决策是生产计划，即要生产多少台甲型微波炉和多少台乙型微波炉，决策受到3个条件的限制：原料供应、工时限制和产量要求（甲、乙生产的最少数量）。按照题目所给，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就可得到下面的模型。5、问题的求解5.1模型的建立max S

5、=3x1 +2x2 2x1+3x2£100 s.t. 4x1+2x2£120 x1³6，x2³12，x1，x2ÎZ这是一个整线性规划问题。5.2模型求解用图解法求解可行域为：由直线l1：2x1+3x2=100，l2：4x1+2x2=120及x1=6，x2=12组成的凸四边形区域。直线l：3x1+2x2=c在此凸四边形区域内平行移动。易知：当l过l1与l2的交点时，s取最大值。 由 2x1+3x2=100 解，得4x1+2x2=120x1=20x2=20Smax=3´20+2´20=1005.2.2用lingo软件求解Ling

6、o程序代码：model:max=3*x1+2*x2;2*x1+3*x2<=100;4*x1+2*x2<=120;X1>=6;X2>=12;endLingo程序结果：生产20单位甲型微波炉，20单位乙型微波炉利润最大，为100单位。结果分析：原料无剩余，工时无剩余，原料与工时均为紧约束，两者增加，效益均会增加。影子价格，原料增加1单位，利润增加0.250单位；工时增加1单位，利润增加0.625单位。用Lingo软件求解与图解法求解得到最优解是一致的，但是图解法仅仅只能知道最优方案与最大利润，而Lingo软件求解不仅可以知道最优方案与最大利润，还可以知道原料和工时的影子价格

7、，这在确定购进原料价格和工人每小时工资时起到重大作用，可以让工时效益更大化，公司发展更有帮助。在解决线性规划问题时，使用Lingo软件会是问题更加简洁、明了，得到答案更加详细，有价值。敏感性分析：对于目标函数系数的变化的影响的讨论，称之为敏感性分析，利用Lingo软件得到的结果如下：上面输出给出了最优基不变条件下目标函数系数的允许变化范围：x1的系数为（3-1.666667，3+1）；x2的系数为（2-0.5，2+2.5）。注意：x1系数的允许范围需要x2系数2不变，反之亦然。由于目标函数的系数变化并不影响约束条件，因此此时最优基不变可以保证最优解也不变，但最优值变化。下面对“资源”的影子价格

8、作进一步的分析。影子价格的作用（即在最优解下“资源”增加1个单位时“效益”的增量）是有限制的。每增加1单位原料利润增长0.250单位（影子价格），但是，上面输出的CURRENT RHS 的ALLOWABLE INCREASE 和 ALLOWABLE DECREASE 给出了影子价格有意义条件下约束右端的限制范围：原料最多增加56单位，工时最多增加32单位。需要注意的是：灵敏性分析给出的只是最优基保持不变的充分条件，而不一定是必要条件。比如对于上面的问题，“原料最多增加56单位”的含义只能是“原料增加56单位时最优基保持不变，所以影子价格有意义，即利润的增加大于原料的投资。反过来，原料增加超过5

9、6单位，影子价格是否一定没有意义？最优基是否一定改变？一般来说，这是不能从灵敏性分析报告中直接得到的。此时，应该重新用新数据求解规划模型，才能做出判断。所以，从正常理解的角度来看，我们上面回答“原料最多增加56单位”并不是完全科学的。5.2.3用Matlab求解先把目标函数转化成最小值问题：min（-s）=-3x1-2x2程序：f=-3 -2;A=2 3;4 2;lb=6 12;ub=;x,fval=linprog(f,A,b,lb,ub)maxf=-fval结果：x= 20.0000 20.0000 fval= -100.0000 maxf= 100.0000即生产甲型微波炉20单位，乙型微

10、波炉20单位，可以获得最大利润100单位。MATLAB优点：1）MATLAB的程序极其简短。2）运算符丰富。3）MATLAB既具有结构化的控制语句（如for循环，while循环，break语句和if语句），又有面向对象编程的特性。 4）程序限制不严格，程序设计自由度大。例如，在MATLAB里，用户无需对矩阵预定义就可使用。 5）程序的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各种型号的计算机和操作系统上运行。MATLAB缺点：它和其他高级程序相比，程序的执行速度较慢。由于MATLAB的程序不用编译等预处理，也不生成可执行文件，程序为解释执行，所以速度较慢。6、结论解决线性规划问题时可以用图解法、Lingo软件和Matlab软件求解。图解法容易进行，但得到答案是有限的。Lingo软件和Matlab软件求解都需要使用计