第五章频率分析法(二)

1、开环传递函数方程 M(s)=0 的根，开环零点。 方程 N(s)=0 的根，开环极点。闭环传递函数 方程 M(s)=0 的根，闭环零点。 方程 N(s)+ M(s) =0 的根，闭环极点。 G sM sN so( )( )( )G sG sG sM sN sM sN sM sN sM scoo( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )11作辅助函数F(s)方程 N(s)+ M(s) =0 的根 F(s)的零点。 方程 N (s)=0 的根 F(s)的极点。辅助函数F(s)作将系统的开环极点与闭环极点统一在一个复变函数F(s)中。由于nm，开环极点、闭环极点个数相等 = n个。

2、辅助函数F(s)的频率特性F sG so( )( ) 1 1M sN sN sM sN s( )( )( )( )( )F jN jM jN j()()()()已知系统的开环频率特性Go(j)，则闭环系统稳定的充分必要条件为：当由0增至无穷时，辅助函数F(j )的角度增量为 或其中，p为s的右半平面上开环极点的个数。 一般情况下 p=0，判别式成为 或:()0F jp:()01 G jpo0)(0:jF0)(1 0:jGo稳定系统与不稳定系统的轨线与角度增量 （1）系统不稳定（2）系统稳定稳定系统的角度增量为0，或者说，轨线不包围原点。0ImReF(j)=0+=-20 0 Im Re F(j)

3、 =0+ =0 进而， F(j )平面就是1+G(j )平面。两平面的关系为平移关系。包围F(j )平面的原点等于包围G(j )平 面的-1+j0点G(j )曲线即在G(j )平面上的极坐标图，因此可修改判据为P=0时，围绕 1 点角度增量 P0时，围绕 1 点角度增量 0 -1 Im Re F(j) 0 Im Re G(j) :()00GjopjGo)(0:证明：辅助多项式 写为零极点表达式幅角增量 F(j )的每个零点，如果位于s平面的左半平面，当 : 0 时，则可以获得增量角为F(j )的每个零点，如果位于s平面的右半平面，当 : 0 时，则可以获得增量角为F jGjN jM jN jo

4、()()()()() 1F jkjzjpllniin()()()11:()01Gjolnlinijzjp1010()():22如，角度增量如，角度增量对于F(j )的极点，正好与零点相反。所以对于如果n个零点 与n个极点或者n个闭环极点与n个开环极点全部位于s的左半平面，则有 zai :()02 ja 0 Im Re -a a j+a azi2)(0:aj 0 Im Re a -a j-a lnlinijzjp1010()():()01Gjo即角度增量为零，因此有轨线不包围F(j )平面的原点，等价于开环频率特性的极坐标轨线Go(j )不包围G(j )平面的1+j0点。如果有p个开环极点位于s

5、平面的右半平面上 ,系统稳定的充分必要条件为角度增量为p。 证毕。022nnlnlinijzjp1010()():()01Gjopppnnppnn222222)(2lnlinijzjp1010()():()01Gjo1、最小相位系统系统稳定的充要条件为 Go(j )曲线不包围G(j )平面的1+j0点。例例57 系统的开环传递函数 讨论开环增益K的大小对系统稳定性的影响。 解：解：作极坐标草图:()00GjoG sKTsT sT so( )()()()123111AK( )( )000A( )( ) 0270且增加时，有作极坐标草图如图 。稳定性判别：当K小时，极坐标轨线围绕-1点的角度增量为

6、 不包围-1点，所以系统是稳定的。 当K大时，围绕 -1点的角度增量为 由于围绕-1点转了-2圈，不等于零，所以系统不稳定。 -1 Im Re G(j) K 小 K 大 0 A( )( ) :()00Gjo:()020 Gjo2、原点处有开环极点情况 原点有开环极点，个： 0 时，复变函数F(j)在原点处不解析，幅角增量值不定。 处理方法如图。作无穷小半圆饶过原点，即将原点处的开环极点视为s左半平面的极点来处理。由映射关系，s平面原点处的幅角增量，必有G(j) 平面无穷远处的幅角增量，以增补线来体现如图。G sKsG soon( )( ) 0+ j s平面 0 Re =0+ Im G(j)平面

7、 0 增补角 增补线 如果原点处的开环极点有个，则在平面上的无穷大半圆处所作的增补线应满足的增补角为这样，原点处有开环极点时，需要计入相应的增补角，幅角增量的计算才是正确的。 例例58 已知系统的开环传递函数为 试用奈氏判据判别闭环系统的稳定性。 解解 （1）作极坐标图 A() 与 () 均为单调减，作图。 ()2G sKs T sT so( )()()2311A( )( )0090 A( )( ) 0270 Re K 大 Im G(j) -1 K 小 （2）最小相位系统，稳定条件为 =1，在无穷远点邻域作增补线如图。K小时，角度增量为 (原角度) (增补角)满足条件，系统稳定。K大时，角度增

8、量为 (原角度) (增补角)不满足条件，系统不稳定。 Re K 大 Im G(j) -1 K 小 增补线 增补角 :()00Gjo:()02 Gjo2023)(0:jGo2023、非最小相位系统由s的右半平面开环极点确定，p0 稳定条件为 由s的右半平面开环零点确定， p=0 稳定条件仍为 例例59 已知系统的开环传递函数为由奈式判据判别闭环系统的稳定性。 解（1）作极坐标图。 A()单调减，() 单调减，穿越点作图。:()0Gjpo:()00GjoG sKss so( )( .)()0511A( )( )00270 A( )( ) 090 Re K 大 Im G(j) -1 K 小 180)

9、414. 1 (（2）稳定性判别=1，在无穷远点邻域作增补线如图K小时，角度增量为 (原角度) (增补角)不满足条件，系统不稳定。K大时，角度增量为 (原角度) (增补角)满足条件，系统稳定。 Re K 大 Im G(j) -1 K 小 增补线 2)(0:jGo23)(0:jGo22pp1、极坐标图与波德图的对应引例引例510 开环传递函数为 极坐标图稳定系统临界稳定不稳定 A()=1 ()- A()=1 ()=- A()=1 ()- ()=- A()1 GsKT sT sT sO( )()()()123111 Im Re G(j) -1 K 小 A() () Im Re G(j) -1 K

10、临 Im Re G(j) -1 K 大 波德图L() = 0dB () - L()0dB ()= - 20lgK小0dB0-180L()() L() = 0dB () = - 20lgK临0dB0-180L()() L() = 0dB () 0dB () = - 20lgK大0dB0-180L()() 距离系统稳定，距离系统稳定， L( )还差多少，或者还差多少，或者 ( )还差多少，还差多少，定义定义稳定裕度稳定裕度。稳定裕度：极坐标图与波德图的对应 Im Re G(j) -1 Ag c 20lgK0dB0-180L()()cLgcg2、稳定裕度定义幅值裕度Lg ：(g) = - 时，定义系

11、统稳定，必有：Lg 0dB)(lg20ggAL20lgK0dB0-180L()()cLgcgggL)L(dB0ggLA)(lg20dB0如果系统稳定，如果系统稳定， L( ) 再向上再向上移动多少分贝系统就不稳定移动多少分贝系统就不稳定了。了。如果是系统不稳定，相反，如果是系统不稳定，相反， L( ) 再改善多少分贝系统就稳再改善多少分贝系统就稳定了。定了。相位裕度相位裕度 c ：L( c) = 0 dB时时，定义定义系统稳定，必有：系统稳定，必有： c 0180)(cc cc180()20lgK0dB0-180L()()cLgcg如果系统稳定，如果系统稳定， ( ) 再负再负多少度系统就不稳

12、定了。多少度系统就不稳定了。如果系统不稳定，相反，如果系统不稳定，相反， ( ) 再改善多少度再改善多少度系统就稳定了。系统就稳定了。稳定裕度说明稳定裕度说明：（1）稳定裕度定义）稳定裕度定义只适用于最小相位系统只适用于最小相位系统。非最小相位系统，由于情况非唯一，没有实用意义。非最小相位系统，由于情况非唯一，没有实用意义。（2）稳定裕度可以）稳定裕度可以作为频域性能指标作为频域性能指标使用。使用。可以用于系统分析，也可以用于系统设计指标使用。可以用于系统分析，也可以用于系统设计指标使用。（3）稳定裕度又可成为）稳定裕度又可成为相对稳定性指标相对稳定性指标。（4）部分情况下部分情况下，幅值裕度

13、，幅值裕度Lg与相位裕度与相位裕度 c不能单独不能单独使用。使用。大部情况下大部情况下，由于相位裕度，由于相位裕度 c 计算简单方便，因此，计算简单方便，因此，经常使用相位裕度经常使用相位裕度 c。解解 （1）求开环传递函数 分析，设：开环传递函数为 例例511 已知单位反馈的最小相位系统，其开环对数幅频特性如图所示，（1）试求开环传递函数；（2）计算系统的稳定裕度。 -60dB/dec 3.16 10 1 -40dB/dec -20dB/dec 0dB L() G sKsTsT soo( )()2122111111T11T10122T1 . 02T2020316121lglg.KsosKo

14、316.Gsssso( ).()(. )316 110122（2）计算系统的稳定裕度图上读到相位裕度 因为c 0，所以闭环系统稳定。对数相频特性如图所示。 幅值裕度 Lg 0，闭环系统稳定c 316.( .).31618020111316 tgtg6 .1425 .1724 .721804 .376 .142180)(180cc 3.16 10 1 c=37.4 0 -90 -180 -270 () ()( .)g 894180dB5 .11)(lg2094. 8gggAL一、一、闭环频率特性闭环频率特性与与开环频率特性开环频率特性关系关系 不便于渐近线作图不便于渐近线作图 二、二、矢量表示法

15、矢量表示法 可以借助于计算机工具将闭环频率特性准确地作出。可以借助于计算机工具将闭环频率特性准确地作出。 )(1)()(1)()(1)()(jGjGjGjGjGjGjGooooooc)()(cM Im Re G(j) -1 A P O 0 Go(j) )(jGOAoOP 1)(1jGPAoPAOAjGjGMoo)(1)()(PAOAc)(三、闭环频率特性的一般特征引例引例512 单位反馈系统的开环传递函数为 作开环频率特性与闭环频率特性。 开环频率特性 -20dB/dec -40dB/dec )625. 075. 01)(36. 01 (86. 0)(22sssssGo2008612lg .

16、db11036278.6 . 1625. 012 L() dB () 90 0 -90 -180 -270 0.1 1 10 0 20 -20 -40 -60 -360 -80 2.78 -4 o Lo -1 -3 0.86 1.6 作闭环系统波德图比较发现（1）低频段Lc()趋于0dB线，c()趋于0； （2）高频段Lc()趋于Lo()，c()趋于o()；（3）中频段Lc()产生了谐振峰值 M (r)。 L() dB () 90 0 -90 -180 -270 0.1 1 10 0 20 -20 -40 -60 -360 -80 2.78 -4 o Lo -1 -3 0.86 1.6 c Lc 分析：（1）低频段因此有：Lc()趋于0dB线，c()趋于0； （2）高频段因此有： Lc()趋于Lo()，c()趋于o()；)(1)()(jGjGjGooc1)()()(1)()(1)(00jGjGjGjGjGoojGooco)()(1)()(1)(jGjGjGjGojGooco（3）中频段谐振峰值 M (r)分析。稳定系统有：稳定系统有： c g，因此，稳定系统因此，稳定系统M ( r)的出现与两个频率相关。的出现与两个频率相关。 20lgK 0dB 0 -180 L() () c L