第4章弯曲内力

1、第四章第四章 弯曲内力弯曲内力4-1 4-1 平面弯曲的概念和梁的计算简图起重机大梁起重机大梁PqAB4 4. .1 1.1.1 平面弯曲的概念PPP工程实际中的弯曲问题工程实际中的弯曲问题以弯曲变形为主的杆件通常称为梁以弯曲变形为主的杆件通常称为梁受力特点：在构件的纵向对称平面内，受到垂直于梁的轴线的力或力偶作用，使构件的轴线在此平面内弯曲为曲线，这样的弯曲称为平面弯曲。 常见弯曲构件截面常见弯曲构件截面1 载荷载荷的简化的简化4 4.1.1.2 2 受弯杆件的简化受弯杆件的简化FMq集中力集中载荷集中力偶均布载荷均布载荷是分布于单位长度上的载荷大小，称为载荷集度，单位N/m,常用KN/m。

2、固定铰支座固定铰支座活动铰支座活动铰支座固定端固定端(1)固定铰支座这种支座在支承处限定梁沿任何方向的位移，因 此，可用两个分力表示相应的约束力。(2)活动铰支座（滑动铰支座）这种支座只在支承处限定梁沿垂 直于支座平面方向的位移，因此，只产生一个垂直 于支座平面的约束力。(3)固定端这种约束既限定梁端的线位移，也限定其角位移，因 此，相应的约束力有三个：两个约束分力，一个约束 力偶矩。 2 支座支座的简化的简化火车轮轴简化火车轮轴简化车削工件的简化车削工件的简化3 梁的简化实例梁的简化实例吊车大梁简化吊车大梁简化简支梁简支梁外伸梁外伸梁悬臂梁悬臂梁FAxFAyFByFAxFAyFByFAxFA

3、yMA4 静定梁的基本形式静定梁的基本形式静定梁静定梁：梁的约束反力全部可由平衡方程直接定量计算出来的梁：梁的约束反力全部可由平衡方程直接定量计算出来的梁例例 一简支梁受力如图所示。试求一简支梁受力如图所示。试求C截面（跨中截面）截面（跨中截面）上的内力。上的内力。解：解：1、根据平衡条件求支座反力、根据平衡条件求支座反力qaFBy30AMqaFAy0BMqAB212qaM 222qaM 4aaaCAyFByF4.2 梁的内力梁的内力剪力与弯矩剪力与弯矩4.2.1 用截面法分析计算梁的内力用截面法分析计算梁的内力2、求、求C截面（跨中截面）上的内力截面（跨中截面）上的内力qA212qaM aC

4、AyFQc, 0yF由得到：得到：02QcaqFAycMaqFQcAy2qaQc（剪力（剪力 的实际方向与假设方的实际方向与假设方向相反，剪力实际方向向上）向相反，剪力实际方向向上）, 0CM由得到：得到：0221MaqaaFMAyC122MaqaaFMAyC22qa（弯矩（弯矩M的实际方向与假设方向相同）的实际方向与假设方向相同）qB222qaM aCByF如以右侧梁作为研究对象，则：如以右侧梁作为研究对象，则：QcscMByFaqQc2qa222MaqaaFMByC22qa（剪力实际方向向下）（剪力实际方向向下）qAB212qaM 222qaM 4aaaCAyFByFaqFQcAy2qa取

5、左段梁为研究对象取左段梁为研究对象:取右段梁为研究对象取右段梁为研究对象:ByFaqQc2qa)(一侧yFQ截面左侧（或右侧）梁上的所有外力截面左侧（或右侧）梁上的所有外力向截面形心简化所得到的向截面形心简化所得到的主矢主矢。截面左侧梁上的剪力方向向上截面左侧梁上的剪力方向向上截面右侧梁上的剪力方向向下截面右侧梁上的剪力方向向下)(一侧oMM截面左侧（或右侧）梁上的所截面左侧（或右侧）梁上的所有外力（力和力偶）向截面形有外力（力和力偶）向截面形心简化所得到的心简化所得到的主矩主矩。122MaqaaFMAyC22qa222MaqaaFMByC22qaqAB212qaM 222qaM 4aaaCA

6、yFByF取左段梁为研究对象取左段梁为研究对象:取右段梁为研究对象取右段梁为研究对象:力矩力矩Mc对截面左侧梁为逆时针对截面左侧梁为逆时针力矩力矩Mc对截面右侧梁为顺时针对截面右侧梁为顺时针)(一侧yQFF截面左侧（或右侧）梁上的所有外力截面左侧（或右侧）梁上的所有外力向截面形心简化所得到的向截面形心简化所得到的主矢主矢。内力内力FQ是一个与横截面相切的分布内是一个与横截面相切的分布内力系的合力力系的合力,称为称为剪力剪力。)(一侧oMM截面左侧（或右侧）梁上的所有外力截面左侧（或右侧）梁上的所有外力（力和力偶）向截面形心简化所得到（力和力偶）向截面形心简化所得到的的主矩主矩。内力偶内力偶M

7、M是与横截面垂直的内力系的合是与横截面垂直的内力系的合力偶矩，有使梁产生弯曲的趋势，故称力偶矩，有使梁产生弯曲的趋势，故称力偶矩力偶矩M M弯矩弯矩。4.2.2 弯曲内力弯曲内力剪力、弯矩的定义剪力、弯矩的定义剪力剪力 ：Q截面上的剪力对所选梁段上任意一点的矩为截面上的剪力对所选梁段上任意一点的矩为顺时针顺时针转向时，转向时，剪力为正；剪力为正；反之反之为负。为负。 概括概括为为“左段下右段上，剪力为正左段下右段上，剪力为正”。4.2.3 剪力与弯矩正负号规定剪力与弯矩正负号规定弯矩弯矩M：使梁弯曲呈凹形的弯矩为正，反之则为负。：使梁弯曲呈凹形的弯矩为正，反之则为负。同一位置处左、右侧截面上内

8、力分量必须具有相同的正负号。同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号。1)在需要计算内力的截面处，以一个假想的平面将梁切开，选其中一段为研究对象(一般选择载荷较少的部分为研究对象，以便于计算)。2)对研究对象进行受力分析，此时，一般按正方向画出剪力与弯矩。3)由平衡方程Fy=0计算剪力FQ。4)以所切截面形心为矩心，由平衡方程MC(F)=0计算弯矩。计算弯曲内力（剪力和弯矩）的方法概括如下：计算弯曲内力（剪力和弯矩）的方法概括如下：*4.3 剪力、弯矩方程及剪力图和弯矩图剪力、弯矩方程及剪力图和弯矩图一、剪力方程和弯矩方程一、剪力方程和弯矩方程 在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩

9、随截在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截 面的位置而变化。面的位置而变化。因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，的函数，即即)(),(xMMxFFQQ称为称为剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程ABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDFAyFABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNEDFByF因此，必须因此，必须分段分段列出梁的剪力方程和弯矩方程，列出梁的剪力方程和弯矩方程，各段的分界点各段的分界点为各段梁的为各段梁的控制截面控制截面。* * 控制截面的概念：控制截面的概念：外力规律发生变化的截面外力

10、规律发生变化的截面集中力、集中力、集中力偶作用点、分布载荷的起点和终点处的横截面。集中力偶作用点、分布载荷的起点和终点处的横截面。xQxM(+)(+)(-)(-)二、剪力图和弯矩图二、剪力图和弯矩图用图示方法形象地表示剪力用图示方法形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。和弯矩沿梁轴线的变化情况。注意：注意：必须标明控制必须标明控制截面上的内力值截面上的内力值例例1 悬臂梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，悬臂梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图，并求出梁的作出梁的剪力图和弯矩图，并求出梁的 和和 及及其所在截面位置。其所在截面位置。maxQFmaxM

11、Pm=PaACBaa取参考坐标系取参考坐标系Axy。解：解：xy1、列出梁的剪力方程和弯矩方程、列出梁的剪力方程和弯矩方程AB段段:0)(xFQ)0(axPamxM)()0(axxxBC段段:Pm=PaACBaaxxPxFQ)()2(axa)()(axPmxM)2(axaPxPa22、作梁的剪力图和弯矩图、作梁的剪力图和弯矩图-P图QFPa图M(+)(-)maxQFmaxM3、求、求 和和PFQmaxPaMmax（在（在BC段的各截面）段的各截面）（在（在AB段的各截面）段的各截面）注意：注意：1、在列梁的剪力方程和弯矩方程时，参数、在列梁的剪力方程和弯矩方程时，参数x可以从坐标原可以从坐标原

12、点算起，也可从另外的点算起，仅需要写清楚方程的适用点算起，也可从另外的点算起，仅需要写清楚方程的适用范围（范围（x的区间）即可。的区间）即可。2、剪力、弯矩方程的适用范围，在集中力（包括支座反、剪力、弯矩方程的适用范围，在集中力（包括支座反力）作用处，力）作用处， 应为开区间，因在该处剪力图有突变；应为开区间，因在该处剪力图有突变；而在集中力偶作用处，而在集中力偶作用处，M(x)应为开区间，因在该处弯矩应为开区间，因在该处弯矩图有突变。图有突变。)(xFQ3、若所得方程为、若所得方程为x的二次或二次以上方程时，则在作图的二次或二次以上方程时，则在作图时除计算控制截面的值外，应注意曲线的凹凸向及

13、其极时除计算控制截面的值外，应注意曲线的凹凸向及其极值。值。例例2 2 外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图。弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图。ABqF=qaCa2a解：解：xy1、取参考坐标系、取参考坐标系Cxy。根据平衡条件求支座反力。根据平衡条件求支座反力0AMqaFBy210BMqaFAy25AyFByFxx解：解：1、取参考坐标系、取参考坐标系Cxy。根据平衡条件求支座反力。根据平衡条件求支座反力2、列出梁的剪力方程和弯矩、列出梁的剪力方程和弯矩 方程方程yABqF=qaCa2axAyFByFqaxF

14、Q)(CA段段:)0 (axqaxxM)(x)()(axqFqaxFAyqAB段段 :)3(axaqxqa25x)(25)(axqaqaxxM2)(21axq)3(axa)0 (axyABqF=qaCa2axAyFByF3、作梁的剪力图和弯矩、作梁的剪力图和弯矩 图图-qa图QF(-)qaaxFQ23)(qaaxFQ21)3(qa21qa23(-)(+)2qa(-)EaxE23)(25axaqaqadxdM0ax25281)25(qaaxM281qa(+)(xFQ4-4 剪力、弯矩方程及剪力图和弯矩图剪力、弯矩方程及剪力图和弯矩图载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系：)()()(

15、22xqdxxdFdxxMdsq q0 0，F Fs s= =常数，常数， 剪力图为水平直线；剪力图为水平直线； M M(x) (x) 为为 x x 的一次函数，弯矩图为斜直线。的一次函数，弯矩图为斜直线。2.q2.q常数，常数，F Fs s( (x x) ) 为为 x x 的一次函数，剪力图为斜直线；的一次函数，剪力图为斜直线； M M(x) (x) 为为 x x 的二次函数，弯矩图为抛物线。的二次函数，弯矩图为抛物线。 分布载荷向上（分布载荷向上（q q 0 0），抛物线呈凹形；），抛物线呈凹形； 分布载荷向上（分布载荷向上（q q 0 b, 则则 。zzWW 4.4.2 常见截面的惯性矩

16、、抗弯截面系数及平行移常见截面的惯性矩、抗弯截面系数及平行移轴定理轴定理极惯性矩极惯性矩oyzAdAyzAPdAI2图形对图形对o点的极惯矩点的极惯矩单位：单位：4m讨论讨论（1）222yz APdAI2AdAyz)(22AAdAydAz22zyII zd,6424dIIPz,323dWzdzD)(64244dDIIPz)1 (6444D)(Dd)1 (3243DWz2 平行移轴定理平行移轴定理由由纯弯曲纯弯曲推导得到的结果可推广到推导得到的结果可推广到横力弯曲横力弯曲的梁：的梁：(b) (b) 对对R/ /h55的曲率梁，可使用直梁公式。的曲率梁，可使用直梁公式。(a) 横力弯曲的细长梁，即

17、梁的宽高比横力弯曲的细长梁，即梁的宽高比: :L/ /h55时，时， 其误差不大；其误差不大；hR4.4.3 对称弯曲正应力对称弯曲正应力BAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K1.1.C 截面上截面上K点正应力点正应力2.2.C 截面上截面上最大最大正应力正应力3.3.全梁全梁上上最大最大正应力正应力 FSx90kN90kNmkN605 . 0160190CM1. 求支反力求支反力kN90AyFkN90ByF4533Zm10832. 51218. 012. 012bhIMPa7 .61Pa107 .6110832. 510)302180(1

18、0606533ZKCKIyM（压应力）（压应力）解：解：示例示例BAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FSx90kN90kN2.2.C C 截面最大正应力截面最大正应力C C 截面弯矩截面弯矩mkN60CMC C 截面惯性矩截面惯性矩45Zm10832. 5IMPa55.92Pa1055.9210832. 510218010606533ZmaxmaxIyMCCBAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FSx90kN90kN3. 全梁最大正应力全梁最大正应力最大弯矩最大弯矩mkN5 .67

19、maxM截面惯性矩截面惯性矩45m10832. 5zIMPa17.104Pa1017.10410832. 5102180105 .676533ZmaxmaxmaxIyM4.5 弯曲强度条件及应用弯曲强度条件及应用一、弯曲正应力强度条件：一、弯曲正应力强度条件：maxmaxzWM可解决三方面问题：可解决三方面问题：（1 1）强度校核强度校核，即已知，即已知 检验梁是否安全；检验梁是否安全；, ,maxzWM（2 2）设计截面设计截面，即已知，即已知 可由可由 确定确定 截面的尺寸；截面的尺寸；, ,maxMmaxMWz（3 3）求许可载荷求许可载荷，即已知，即已知 可由可由 确定。确定。, ,Z

20、WmaxzWM进行弯曲强度计算时，一般应遵循下列步骤1)分析梁的受力，依据平衡条件确定约束力；分析梁的内力(画出弯矩图)。2)依据弯矩图和截面沿梁轴线变化的情况，确定可能的危险面。（对等截面梁，弯矩最大截面即为危险截面；对变截面梁，则需依据弯矩和截面变化情况具体分析才能确定危险面）3)确定危险点。对于拉压力学性能相同的材料（如钢材），其最大拉应力和最大压应力点具有同样危险程度，因此危险点显然位于危险面上离中性轴最远处。而对于拉压力学性能不等的材料（如铸铁）则需分别计算梁内绝对值最大的拉应力和压应力。因为最大拉应力点和最大压应力点均可成为危险点。4)依据强度条件，进行强度计算。图示梁的的荷载及截

21、面尺寸如图所示，材料的容许拉应力t=40MPa、容许压应力c =100MPa，试校核该梁的强度。AB3m1m2mCDmkNq/10kNP20FB=30kNCz2002003030解：求支座反力；画内力图；FD=10kNM图20kN.m10kN.m157.5计算截面惯性矩；2323)155 .42(302001230200)1005 .157(200301220030zI44105 .6012mm10kN10kN20kNFs图Cz2002003030157.544105 .6012mmIzAB3m1m2mCDmkNq/10kNP20FB=30kNFD=10kNM图20kN.m10kN10kN20

22、kNFs图10kN.mB 截面最大拉应力：5 .7220zBtIB 截面最大压应力：5 .15720zBcIC 截面最大拉应力：5 .15710zctIC 截面最大压应力：5 .7210zCcICz2002003030157.54445 .6012105 .6012cmmmIzAB3m1m2mCDmkNq/10kNP20FB=30kNFD=10kNM图20kN.m10kN10kN20kNFs图10kN.m 经比较可知，最大拉应力发生在C 截面的下边缘；最大压应力发生在B 截面的下边缘。 ttMPa2 .2675.155 .601210103maxCz2002003030157.54445 .6

23、012105 .6012cmmmIzAB3m1m2mCDmkNq/10kNP20FB=30kNFD=10kNM图20kN.m10kN10kN20kNFs图10kN.mccMPa4 .5275.155 .601210203max此梁安全梁的设计主要依据正应力强度条件，即 zWMmaxmax 由正应力强度条件可知，要提高梁的强度可从降低最大弯矩Mmax和增大抗弯截面模量Wz来考虑。一、选择合理的截面形状 梁的抗弯截面模量Wz与截面尺寸和形状有关，截面面积相同的情况下， Wz越大截面形状越合理。 下面对矩形、方形、圆形截面加以比较。zhbCaaCzdzC166232ahaabhhabhWWzz方矩矩

24、形截面比方形截面好18. 132324344863262233dddaddaadaWWzz圆方方形截面比圆形截面好工形截面比方形截面好zzz 以矩形截面梁为例，横截面的正应力沿截面高度线性分布，当上下边缘的应力达到容许应力时，中性轴附近材料远小于容许应力，没能充分发挥材料作用，若将这部分材料移到离中性轴较远处，就可极大地提高梁的承载能力。故工字形截面、槽形截面、T 形截面均比矩形截面好。二、采用变截面梁 对于等截面梁，按强度条件只有Mmax截面上的最大正应力才达到，而其它截面上的最大正应力均没达到。 若采用变截面梁，使各截面上的最大正应力同时达到，此梁工程上称为。 等强度梁的抗弯截面模量设计如

25、下： zzWMxWxMmax)()(zzWMxMxWmax)()(变截面梁P悬臂凉台ABq吊车梁三、改善梁的受力情况 通过改善梁的受力情况，以降低梁的最大弯矩，从而提高梁的正应力强度。ABqlql2/8ABq2l/3l/6l/6ql2/72ql2/72ql2/24M图M图ABl/2l/2PABl/4l/2Pl/4Pl/4Pl/8M图M图l =lFNEAdx微段变形累加的结果微段变形累加的结果轴向变形轴向变形的整体变形的整体变形4.7 弯曲变形概述弯曲变形概述EAlFNABTxGIp pl微段变形累加的结果微段变形累加的结果 扭转扭转的整体变形的整体变形 弯曲变形的微段变形弯曲变形的微段变形zEIxMx)()(1zyMM d zEIy微段变形累加的结果微段变形累加的结果梁的轴线变成光滑梁的轴线变成光滑连续曲线连续曲线挠曲挠曲线。线。 弯曲变形的整体弯曲变形的整体变形变形角位移角位移：横截面相对于原：横截面相对于原来位置转过的角度，以来位置转过的角度，以 表表示。亦示。亦可以用该截面处的可以用该截面处的切线与切线与x轴的夹角描述。轴的夹角描述。符号规定符号规定：以梁轴线为基线，逆时针转以梁轴线为基线，逆时针转向为正，反之则为负。向为正，反之则为负。挠度挠度：截面形心在垂：截