四章节向量空间ppt课件

1、第四章 向量空间本章主要讨论向量空间。它是线性代数的根本内容之一。这里的向量是一个集合里元素的称号，而空间在数学上的含义就是一个集合，在其中定义了运算，而且这些运算满足一组法那么。我们可以经过这些运算的法那么导出该集合的“构造。4.1 n 维向量空间Rn4.3 向量空间的概念与子空间4.2 向量的线性相关性4.4 线性方程组解的构造n1212T1212 ( ,.,) (1,2,., ) ( ,.,) ( ,.,) ( ,.,) ninnnnx xxnx ininx xxorx xxnx xxaaa一组有序的 个实数组称为一个维向量，其中称为该向量的第 个分量，维向量记为行向量列向量如果两个维向

2、量12 (,.,)(1,2,., ) niiy yyxy inbabab的对应分量相等，即，则称向量与相等，记为一、n维向量的定义1212 (0,0,.,0) (,.,)( ,.,) () ()nnnxxxx xxnmnmmn00 xx分量全为零的维向量称为零向量，记为 ，即:称向量为向量 的负向量，记为由若干个 维列 行 向量组成的集合叫做向量组，一个只含有个向量的向量组总是与一个或阶矩阵一一1212TTT12TTTT12.,.,(,.,),.,.,mmmmmnAnmmnBmna aaAa aabbbBbbb对应 如 个 维列向量组成的向量组 ：构成了一个阶矩阵； 个 维行向量所组成的向量组

3、：就构成了一个阶矩阵12121112 ( ,.,) (,.,) (,.,) (,.,)nnnnnx xxy yyxyxyxxxxyxyx设规定二、n维向量的运算 一切 n 维向量所构成的集合，按上面规定的两种运算，可以验证它是符合下面八条运算法那么，这样的 n 维向量的集合称为 n 维向量空间。记为 Rn。三、n维向量空间1. 2. ()()3. 4. ()5. ()()6. ()7. ()8. 1 abbaabcabca0aaa0aaaaaababaa一、线性组合与线性表示一、线性组合与线性表示1.定义：设有向量组A：a1,a2,am及向量a，假设存在 m 个实数 x1,x2,xm，使成立，

4、那么向量 a 称为向量组 a1,a2,am的一个线性组合，或称向量 a 可由向量组 a1,a2,am线性表示。假设向量a可由向量组A: a1,a2,am线性表示，那么向量方程 有解.1 122mmxxxaaaaL1 122.mmxxxaaaa定理定理1.向量向量a能由向量组能由向量组a1,a2,am(m2)线性线性表示的充要条件矩阵表示的充要条件矩阵A=(a1,a2,am)的秩等于的秩等于矩阵矩阵B= (a1,a2,am,a)的秩。的秩。二、等价向量组1.定义2：假设向量组 A：a1,a2,ar 中的每个向量均可被向量组 B：b1,b2,bs 线性表示，那么称向量组 A 可被向量组 B 线性表

5、示，假设向量组 A 与 B可以相互线性表示，那么称向量组 A 与 B 等价.2.等价关系的三条性质： 1)反身性：一个向量组与它本身是等价的；2)对称性：假设向量组 A 与向量组 B 等价，那么向量组 B 与向量组 A 也等价；3)传送性：假设向量组A与向量组B等价，向量组B与向量组C等价，那么向量组A与向量组C是等价的。3.向量组等价与矩阵秩的关系：(1)假设向量组A与B所构成的矩阵依次记为A、B，那么向量组 B 能被向量组 A 表示的充要条件是，一定存在矩阵 C 使得 B = AC.12121212112212111211212(,.,)( ,.,)(1,2,., ) ,., .(,.,)

6、.( ,.,)(,.,)mpiiimiiiiiimimmmipmBAipxxxxxxxxxxxxAa aaBb bbbbaaaa aab bba aa设，由于向量组能由向量组 线性表示，即对向量存在实数使从而2122212. . .ppmmmpxxxxxxBAC即1112121222121212. ( ,.,)(,.,). . .pppmmmmpxxxxxxxxxCBACb bba aaBA反之若存在矩阵 ，有，则所以 的列向量可被 的列向量线性表示.(2)ABABBABABAAB设矩阵 与 是行等价的，即矩阵 经过行的初等变换变为矩阵 ，则 矩阵的每个行向量都是 的行向量的线性组合，即 的行

7、向量可由 的行向量线表示；由于初等变换是可逆变换，矩阵 亦可经初等行变换变为矩阵 ，从而 的行向量也可由 的向量(3)AABABABABABBABA线性表示，于是 的行向量与 的行向量等价.同理，若矩阵 与 列等价，则 与 的列向量也等价. 若线性方程组 中某一方程是其余方程作线性运算而得到的，称该方程为线性方程组的线其余方程的线性组合，同时也称该方程可由其余方程线性表示。若方程组 中每一方程均可被方程组 中的方程线性表示，称方程组可被方程组 线性表示；若方程组 与 可相互线性表示，称方程组性组合、线性表示与与 等价。等价显然，等价方程组有相同的解.12121212. ( )( ). ( )(

8、 )(|)12pmpmBARRBARRRb bba aaBAb bba aaABA B向量组 ： , ,被向量组 ： , ,线性表示，向量组 ： , ,与向量组 ： , ,等价的充要条件推论 .推论 .1212121212.(.)(.|.) (|)2)pmmmpBARRBAb bba aaAa aaA Ba aab bbAA BCBACAXB向量组 ： , ,能由向量组 ： , ,线性表示的充要条件是矩阵, ,的秩等于矩阵( | ), , ,的秩，即向量组 被向量组 线性表示，即存在矩阵 使得，即矩定理 .阵方程有解，证明：而该矩阵 ( )(|).RRAA B方程有解的充要条件是TT12TT3

9、123(1 1 2 2)(1 2 1 3)(1 1 4 0)(1 0 1 3 1)aaaaaaaa设向量、，例证明向量 能由向量组 、 、 线性表示，并求.表达式.43322142311212312312322(,)(,| )( )( ),1 1 1 11 1111 0 321 21 00 1210 1212 1 4 301 210 0 002 3 0 10 2420 0 00( )rrrrrrrrrrrrRRRAa a aBa a aaABaa a aBBA设，当时， 可被线性表示，为此把矩阵 化为行最简矩阵所解以.12( )22RBaaa，且123441231135.0113 ,11112

10、 设判断可否由 、 、例线性表示？31321212342123412341231 1 35(,|)0 1 131 11 11 1 3 51 1 3 51 0 2 20 1 1 30 1 1 30 1 1 30 2 2 60 0 0 00 0 0 0( ,:)( )2230rrrrrrRR B B设所以，故可被 、线性表示，且解TT12TTT12312123(1 1 1 1)(3 1 1 3)(2 0 1 1)(1 1 0 2)(3 1 23 0)aabbbaabbb设向量、，证明向量组 、 与 、 、例 .等价.43322142321212312(,)( ,)( )( )(|)1 3 2 1

11、31 3 2 1 31 1 0 110 4 2 2 2(|)1 1 1 0 20 2 1 1 11 3 1 2 00 4 2 2 21 3 2 1 30 2 1 1 1( )( )(|)0 0 0 0 00 0 0 0 0rrrrrrrrrrRRRRRRAa aBb b bABA BA BABA B设，当时，两向量组等价.而，所以证明：2121212,.,.,.,( )mnnnAnmnnnARna aaAe eeEe eeA设 维向量组 ： ,构成了阶矩阵， 阶单位向量 ,构成了 阶单位矩阵 ，证明： 维单位向量 ,能由向量组 线性表示的充要条件是例4.12,.,( )(|) (|)()(|)

12、min, ( )(|).nnARRRRnRnm nnRRne eeAA EA EEA EAA E维单位向量 ,能由向量组 线性表示的充要条件是 而，.所证以：又 明( ) ( ) ( )n mnn mm nnn mm nmRnRnRmmnAXEAAQAQEAAPPAEAP本例用方程的语言可描述为：方程 有解的充要条件是用矩阵的语言可描述为：对矩阵存在矩阵，使的充要条件是；对矩阵存在矩阵，使的充要条件是显然，当时，QA、 便是 的逆矩阵.1 122.mmxxxaaa01.定义：给定向量组A：a1,a2,am，假设存在不全为零的实数x1,x2,xm，使得关系式三、线性相关与线性无关恒成立，那么称向

13、量组a1,a2,am线性相关，否那么称该向量组线性无关，即假设上述等式当且仅当x1=x2=xm=0时成立，那么a1,a2,am线性无关.由次可见，向量组a1,a2,am能否线性相关就是看方程组 能否有非零解。1 122.mmxxxaaa0定理定理4：向量组：向量组a1,a2,am(m2)线性相关的充要线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其他向量的线性组条件是其中至少有一个向量是其他向量的线性组合合.121 12212112121 ,., .,., 0 .mmmmmmmmmmmxxxx xxxxxxxxx a aaaaa0aaaa若向量组线性相关，则有且不全为零，无设，证妨：则明1212.(

14、.) ).(3mmmRma aaAa aaA向量组 , ,线性相关的充要条件是它构成的矩阵, ,的秩小于向量个数；向量组线性无关的充要条件是定理1 111111 11111121112 . .,., 1,.,.,iiiiimmiiiiimmiimmxxxxxxxxx xxxxaaaaaaaaaa0a aa充分性：而是不全为零的数，所以向量组线性相关。定理定理5 . 假设假设Rn中有一组线性无关的向量中有一组线性无关的向量b1,b2,bm和一向量和一向量a，而向量组，而向量组a,b1,b2,bm线线性相关，那么向量性相关，那么向量a可由向量组可由向量组b1,b2,bm线性表线性表示，且表示法独一

15、示，且表示法独一.12121 122,.,.,.0mmmmx x xxxxxxx a b bbabbb0线性相关， 有不全为零的数，则有 且因证明：为。1 12212121212 0 .,., ,.,0 .mmmmmmxxxxx xxx xxxxxx bbb0b bbabbb如果，则有而线性无关，这样就全为零了，因此，故有1 1221 12211112 . ().(),.,(1,2,.,).mmmmmmmmiixxxyyyxyxyxy imabbbbbbbb0b bb下面来证明唯一性：如果有两种表示法，即将上面两式相减，得由于线性无关，故而有1212121212(,.,)( ,., ),.,(

16、 ),., ( )( )1 ( ),.,2mmmmmRmmRRmRmBb ,bbAb bbab ,bbBb bbaBAAab ,bb证法设，由于向量组线性无关，又向量组线性相关，：故向量 可被向量组唯一线性表示。2.如何断定 m 个 n 维向量的线性相关性 (1)利用定义 (2)利用矩阵的秩 n维列向量组a1,a2,am与一个mn阶矩阵之间有一一对应的关系；同样n维行向量组b1,b2,bm也与一个mn阶矩阵之间有一一对应的关系，因此，断定向量组的线性相关性只需来求该向量组所对应矩阵的秩即可。当矩阵的秩等于该向量组中向量的个数，那么向量组线性无关，否那么，线性相关。3.关于向量组的线性相关性，我

17、们还有如下结论1).假设向量组只需一个向量，它线性无关的充要条件是该向量不是零向量；2).假设向量组是由两个向量组成，它们线性相关的充要条件是它们的分量对应成比例；3).假设一个向量组中含有零向量，那么此向量组一定线性相关；4).假设一向量组中有部分向量线性相关，那么此整个向量组线性相关；5).假设一个向量组是线性无关的，那么它的任何部分向量组必定线性无关；6).假设一组n维向量线性无关，将它们在同一位置添加p个分量，成为一组n+p维的向量组，这样的向量组也线性无关；7).假设一组向量线性相关，那么去掉假设干分量而得到的向量组也线性相关。8).m个n维向量组成的向量组当m n 时一定线性相关。

18、123, 112223331、例5. 知向量组线性无关, 证明向 线性无关量组112233131122233123131122233123 ()()()01 0 101 0 101 1 001 1 0200 1 100 1 10kkkkkkkkkkkkkkkkkk 00设，则由于、线性无关，则证，而，所以方程组只有零解，故 、明：线性无关.1231232 ,3 ,5 ,4716.? 设向量判断该向量组是否线性相关例1231231 23123,2 35 01114 7101111 23 0 1 110 00( )23,.RA A 所以：线性相关解1232341234123, 7. , 设向量组线

19、性相关，而向量组线性无关，证明：(1)向量 可被向量组线性表示； (2)向量不能被向量组例线性表示.234231231234123411223312233411223312221333234(1),(2), ()(),xxxyyxxxx yxx yx 由于线性无关，故也线性无关；又线性相关，所以 可被线性表示；假设可被线性表示，则，又所以这与线性无关矛盾，证：故命题得证。1.极大线性无关组 设有向量组 A ，假设在A中能选出 r 个向量a1 , a2 ,ar，满足：1)向量组A0：a1,a2,ar线性无关；2)向量组A中的任一向量均可被向量组A0线性表示；或者满足：1)向量组A0：a1,a2,

20、ar线性无关；2)向量组A中的任何r+1个向量都线性相关；那么称向量组A0是向量组A的一个极大线性无关组.四、向量组的秩向量组的极大线性无关组普通是不独一的。一个向量组和它本人的极大线性无关组是等价的。2.向量组的秩 向量组 A 中的一个极大无关组中所含有的向量个数 r 称之为向量组 A 的秩，记为RA。定理：矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。证：设 A=(a1,a2,ar)，R(A)=k，并设k阶子式Dk 0，那么Dk所在的k列线性无关，又由A中一切k+1阶子式均为零知，A中恣意k+1个列向量都线性相关，因此Dk所在的k列是A的列向量组的一个极大 无关组，所以列向量组的秩

21、等于k。同理可证明行向量组的秩也等于k。 定理：设向量组A：a1,a2,am可由向量组B：b1,b2 ,bn线性表示，那么：RARB证：设向量组A的一个极大无关组为A0：a1,a2,ar，向量组B 的一个极大无关组为B0：b1,b2,bs，由于A与A0等价，B与B0等价，所1212121212. (.)(.,.2)pmmmpBARRb bba aaa aaa aa b bb向量组 ： , , 能由向量组 ： , ,线性表示的充要条件是, ,理,定.推论推论1：等价向量组的秩相等；：等价向量组的秩相等；推论推论2：设向量组：设向量组B是向量组是向量组A的一个部分组，假的一个部分组，假设向量组设向

22、量组B线性无关，且向量组线性无关，且向量组A能由向量组能由向量组B线线性表示，那么向量组性表示，那么向量组B是向量组是向量组A的一个极大无关的一个极大无关组。组。 以， A0可由B0 线性表示，由前面的定理可知，rs，故RARB 21112112144622 439789.6AA设矩阵，求矩阵 的列向量组的一个极大线性无关组，并把不属于最大无关组的向量用最大无关组例线性表示.1 12 141 01 040 11 100 11 03 0 00130 00130 00000 0000( )33RAAAA:对 施行初等行变换化 为行最简矩阵，即知，故列向量组的最大无关组中解含有：个124312512

23、31,2 4 433 aaaaaaaaaa列向量，而三个非零行的三个非零首元在，列，故 、 、为列向量组的一个极大无关组.且、 设V 是一个非空集合，P 是一个数域，在集合V的元素之间定义两种运算，一种叫做加法，一种叫做数乘；对于V 中的恣意两个元素 a,b 相加的和记为 a+b，任一元素a与数域P 中的任一数的乘积记为a， a+b、a 都仍为V 中的元素，且上述两种运算满足以下法那么一、定义1. 2. ()()abbaabcabc3. 4. ()5. ()() 6. ()7. () 8. 1 a0aaa0aaaaaababaa那么集合V 叫做向量空间，也称为线性空间，V 中的元素称为向量。当

24、P 为实数域时，向量空间V 称为实向量空间；当P 为复数域时，向量空间V 称为复向量空间，V 的零元素称为零向量；a 称为 a 的负向量。这里向量空间的概念有了很大的延拓，前面所引见的Rn只是我们常见的一种向量空间，它不是向量空间的全部。在这里，向量也不一定只是有序数组，向量空间中的运算只需满足八条运算规律，当然也就不一定是有序数组的加法和数乘。11101110 1. 2 .| .| .nnnnnninnnnnnnP xP xa xaxa xaanQ xQ xa xaxa xaR次数不超过 的多项式的全体，记作，即：对通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成向量空间。次多项式的全体，记作，即例例

25、 0inaaR且对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法也构成向量空间。二、向量空间的性质1212121212121122121. , 2. , 0 0VV000 0V000 0000000000 00零元素是唯一的假设是向量空间 中的两个零元素，则对于，有：，由于、负元素也是唯一的。设 有证明：证明：两个负元素 与 ，则：()03. 0 ( 1) . 0(10) 1 0 (-1)(1-1) 0 (-1)( 1) () () 04. 0 .11 0 ( )1 ( )( 00000000000证明：证明：；因为又因如果，则或假设，那么又1) 1 000所以同理可证：若，则三、维数、基与坐标三、维数

26、、基与坐标1.1.定义：在向量空间定义：在向量空间V V 中，假设存在中，假设存在 n n 个元个元素素a1,a2,ana1,a2,an满足：满足：1)a1,a2,an1)a1,a2,an线性无关；线性无关；2)V 2)V 中任一元素中任一元素 a a 总可由总可由a1,a2,ana1,a2,an线性表线性表示，那么，示，那么， a1,a2,an a1,a2,an就称为向量空间就称为向量空间V V 的的一个基，基中元素的个数一个基，基中元素的个数 n n 称为向量空间称为向量空间V V 的维数的维数. . 维数为维数为 n n 的向量空间称为的向量空间称为 n n 维向量空间，维向量空间，记作

27、记作VnVn。假设a1,a2,an为向量空间Vn的一个基，那么由基的定义，Vn可表示为1 1.|nnnixxxRaaaV12 121 11212T12,.,., .,.,. ( ,.,)nnnnnnnnnx xxxxx xxx xxa aaaaaaaa aaaVV设是向量空间的一个基，对于任一元素，总有且仅有一组有序数，使这组有序数就称为元素 在基下的坐标，并记为：2.2.定定义义 由前面的定理可知，向量空间的基是不独一的，但不同的两个基中含有的元素的个数是一样的。n 维向量空间中，恣意 n 个线性无关的向量都可充任该向量空间的一个基。240123434432143210001 1223344

28、T01234 1,4 (,3, ).P xxxxxa xa xa xa xaaaaaaa a a a aaaaa,aaaaaappp在向量空间中，就是的一组基，任何一个次数不超过 次的多项式都可表示为因此， 在这组基下的坐为例标四、向量空间中向量的坐标运算 12T1 12212T1 12212111222T1122 ,., , .( ,.,) .(,.,)()().() (,.,) nnnnnnnnnnnnnnxxxx xxyyyy yyxyxyxyxy xyxya aaa baaaabaaaabaaaV设是 维向量空间的一组基，对于任意的，且有于是TT12121122TT1212 ( ,.,

29、)(,.,)()() .() (,.,)( ,.,)nnnnnnx xxy yyxxxxxxx xxaaaa上述结果阐明：在n维向量空间Vn中取定了一个基之后， Vn中的向量与n维数组向量空间Rn中的向量之间就有了一一对应的关系，且这个对应关系具有如下性质：TT1212TT1212T12( ,.,)(,.,) 1) ( ,.,)(,.,) 2) ( ,.,)nnnnnx xxy yyx xxy yyx xx ababa设则也就是说，这种对应关系坚持了线性组合的对应，所以可以说Vn与Rn 有一样的构造，我们称Vn与Rn同构。1.定义：设 S 为向量空间V 的一个非空子集，假设 S 对于V 中的加

30、法运算与数乘运算也能构成向量空间，那么S 称为V 的子空间。定理：向量空间V 的非空子集 S 是V 的子空间的充要条件是S 对V 中的加法运算和数乘运算是封锁的。定理：向量空间V 的非空子集S 是V 的子空间的充要条件是：对 于 恣意的实数 x、y 和S 中的恣意两个向量 a、b 均有 x a + y b S五、子空间2.生成子空间 给定V 中一组向量 a1 , a2 ,am，那么它的一切能够的线性组合显然也构成子空间，把这样的子空间就称为由向量 a1,a2,am 所生成的子空间，记作：L(a1,a2,am)3.平凡子空间与非平凡子空间 V 中只需零向量的子集也构成子空间，该子空间称为零子空间

31、；V 本身也是 V 的子空间，这两种子空间称为平凡子空间，除此之外的任何子空间称为非平凡子空间。3123122211 421 20 31 224 2,4.a a aRb bABAB设，验证 的三个列向量是的一个基，并求 的列向量在这个基下例的坐标.312312311121232233,)( ,a a aRaa axyb ba a axyxyAEBAXA BAE要证是的一个基，只要能证线性无关，即只要证设(),记对矩阵( | )进行初等行变换，若 能：变成解,3123124338723332233312312123,.221 1 41224 2(|)21 20 3 0 368 71 224 20

32、 637 81 0 01224 2 0 12 0 1 010 0110 0 11,a a aRa a aRb ba a aAEBXA BA BAE则为的一个基，且当 变为 时，就变为因有，故为的一个基，且在下的TT42 1坐标为：22( , 1)，(, )33333123123123123123123,( ,)( ,),5,Ra a ab b bAa a aBb b ba a ab b b在中取定一组基，再取一个新基，记，求用表示的表示式(基变换公式)，并求向量在两个基中的坐标之间的关系式(坐标变换例 .公式).123123112312312312311231231231231(,)( ,)(

33、 ,)(,)( ,)( ,)( ,)(,) ( ,)(,)a a ae e eAe e ea a aAb b be e e Bb b ba a aA Bb b ba a a PPA BQ，又即基变换公式为：其中解：.TT1231231112321232331111122223333112233,),)( ,)( ,)y yyx x xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxxxa a axb b bABA BP设向量 在旧基和新基中的坐标分别是：(，(，即有，故:即 312312312312311112100231111434,63R aaabbba a ab b b已知的两个基为：例

34、,及,，求由基到基.的过渡矩阵.1123123112211221231231112211221 1 11 2 31 0 02 3 411 11 4 3()()1 0 0 0 101 1 1 1 0 0|)1 0 0 0 1 0 0 1 0011 1 0 0 10 0 11,0 101 2 302 3 41ABb bba aa PPA BA Ea a ab b bPA B、,，且而(由基到基的过阵解渡矩：23401 01 4 31 01.11 1122121 122221 12211121212221212.0.0 (1).0. . . .nnnnmmmnnnnmmmnna xa xa xa x

35、a xa xa xaxa xaaaaaax xaaaAx设有 次齐性方程组：记T (1) (2) nxAx0则式可写成向量方程一、方程组的解 1 11 2 21 1TT1211211 ,., (1) . (1) (2) nnnnxxxx xxx若为的解，则称方程组的解向量，它也是的解。二、解向量的性质 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 ,(2) (2) () (2) (2) () () kkkk若为的解，则也是的解。若为的解， 为实数，则也证明：明：是解证的。xxxA xA A A 0 xxA xAA0性性质质1.1.性性质质2.2. (1) 1 2 (1) SSS若用表示方程组

36、的全体解向量所组成的集合，由性质 、可知，集合对向量的线性运算是封闭的，所以集合就构成了一个向量间，称该向量空间为齐次线性方程组的解空间。定理：定理：n元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Amnx = O的全体解所构成的集合的全体解所构成的集合 S 是一向量空间，当系是一向量空间，当系数矩阵的秩数矩阵的秩 R(Amn) = r (n)时，解空间时，解空间 S 的维数为的维数为 n r.111,1,11111,11 .1 . 0. . . . . 0 . 1. . . n rrr n rrn rnrrrrrbbbbxb xbxxb x AAABOO设系数矩阵的秩为 ，并不妨设的前 个列向量线性无关

37、，于是的行最简矩阵为：，即有组：方程证, (3).r n rnbx 1 1 1 (1)(3)(3) ,., ,., (3)(1) ,., rnrrnxxxxxxnrAB由于与的行向量组等价，故方程组与方程组同解，在中，任取一组值，即唯一确定的值，就得的一组解，也就是的解。即令取下列组值：12100010,.,.001rrnxxx 111112222122121111 (3) ,., . (3) (1) . 10.0n rn rrrrrn rrbxbbbxbbxbbbnrbb 由依次可得从而求得也就是的个解，即：1,122,2.,., 0010.01n rrr n rn-rbbbb121 212

38、1121 ,., ,., ,., (1) . ,.,.n-rn-rn-rrn-rnnrnr S x 下面证明就是解空间的一组基。由于的 后个分量是个单位向量，是线性无关的；由向量组线性相关的性质，向量组也是线性无关的。最后证明方程组的任何一个解：都可由r线性表示。因1 122121 122 1 2 . , ,., (1) (1) (3) , . ,.,rrn rn-rn-rrrn rn-rnnrr此，作向量由于是的解 故也是的解，比较 与 可知，它们后面的个分量对应相等，又由于它们都满足方程因而知它们的前面个分量也必对应相等，因此，即故， . -rnrS是解空间的一组基，因而可知解空间的维数是

39、 (1)S解空间的基又称为方程组的基础解系.121 12212 ( )(1) 0 ( )(1) ,.,(1) (1) . ,.,n rn rn-rnRnRrnnrkkkk kkASA x当时，方程组只有零解，因而没有基础解系，此时解空间 只有一个零向量，即 维向量空间；当时，方程组必含有个向量的基础解系 。设求得是方程组的一个基础解系，即的解可表示为：其中1 12212(1) | ., ,.,rn rn-rn rkkkk kkSSxxR为任意实数。上式即为方程组的通解。此时，解空间可表示为：11 11221121 1222221 122 . (4). nnnnmmmnnma xa xa xba

40、 xa xa xba xaxa xbAxb由于向量空间的基是不唯一的，因而，齐次线性方程组的基础解系也就不唯一，所以通解的表达式也不唯一。设有非齐次线性方程组：它也可写成向量方程 (5) (5) (4) 向量方程的解也就是方程组解，它具有如下性质：1212*1 , (5) (2) (5) (2) (5) 3(5) (5) (2)(2) kxxxAx0 xxxxxx若都是的解，则是它对应的齐次方程组的解。若是方程的解，是的解，则仍是方程的解。由性质 可知，若能求得的一个解，则的任一解均可以表示为：其中是方程的解，又若方程的通解为：性质3.性质4.122*1 122.(5) .n rn-rn rn

41、-rkkkkkx则方程的任一解即可表示为：12*1 12212124 ,.,(5)(5) . ,.,., (2) n rn rn-rn rn-rk kkkkkk kk x 而由性质 可知，对任何实数，上式就是方程的解。于是方程的通解为：其中为任何实数，是方程的基础解系。123423451234123451234123451234135123231303213420(1)(2) 222120623105522.xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx求下列方程组的通解例14213123343243423(1),013111010111 34201 44111121

42、0102010101013111 01011 01 010 10200 1020 0 04210 010 03:11rrrrrrrrrrrrrrrrA齐次方程组 对系数矩阵进行行初等变换化成行解最简矩阵434241322120 002711 0 0 012140 1 0 07 ,:330 0 1 072720 0 0 12rrrrrrr基础解系为43213151235442T32525(1, 14,3,7,2) ,(2),1 2 31 1123113 2 11 1048222 2 21 1024112 3 111011205 5 202051353rrrrrrrrrrrrrrrcxA该方程组的

43、基础解第为通解为非齐次线性方程组 对其增广矩阵进行行初等变换化为行最简矩阵3453323( 6)1 231 11 23110 11200 11205 10 06510 016 60 00000 00000 018 1530 0000rrrr 2312323TT5 11 0 06 6710 1 0665 10 0 16 60 0 0000 0 0005, 7,5,6,1 1 1,06 6 6rrrrrcx齐次方程组的基础解系非齐次方程组的特解为所以方程组的通解为 ,133211 26974113 34 137.AXBXAB已知求 .其中例,72131321112312323| |0, , (1,2,3)13 3 21 11 3 3 21 126 9 7 410 0 3 3 6313 3 4 1370 0 6 6 126 :iirrrrrriAAXA BXBb b bXxxxAXBAxbA B因为不存在 故不能由求解 .设由解可得23222231 3 3 21 11 3 017 40 0 1 1 210 0 1 1210 0 0 0 000 0 0 000rrrr31211