DFT复杂体系的ON算法PPT学习教案

1、会计学1DFT复杂体系的复杂体系的ON算法算法2第1页/共27页3 rv(r)r考虑一个量子多粒子系，在考虑一个量子多粒子系，在r处的静态物理性质为处的静态物理性质为F，它依赖，它依赖于于r周围线度为周围线度为 的体积内的坐标，的体积内的坐标， 为为de Broglie波长量级。波长量级。Kohn证明，证明，F对于对于r处势的变化处势的变化v(r)是不敏感的。所以，是不敏感的。所以，r处的势保持不变，但比处的势保持不变，但比 更远的区域会变。更远的区域会变。v(r)=0第2页/共27页42。局域性的描述。局域性的描述 主要方案：采用局域化的主要方案：采用局域化的Wannier函数和密度矩阵方法

2、。函数和密度矩阵方法。 Wannier函数的衰减行为：函数的衰减行为： 有带隙的绝缘体（有带隙的绝缘体（1D, 3D, 无序，团簇，缺陷和表面），都有无序，团簇，缺陷和表面），都有 指数衰减行为指数衰减行为第3页/共27页5*( , )2( )( )Niiir rw r w rN是体系每个自旋的电子数。因为是体系每个自旋的电子数。因为wi是局域化的，是局域化的， 将按将按|r-r|衰衰减。对于绝缘体和金属，减。对于绝缘体和金属， |r-r|都表现出指数衰减率。都表现出指数衰减率。T 0时，时，衰减甚至更迅速。衰减甚至更迅速。在在DFT下，核心问题是使下，核心问题是使 成为一个投影算符，其作用是

3、把它成为一个投影算符，其作用是把它投射到占有态空间。投射到占有态空间。这在数学上等价于要求这在数学上等价于要求 必须是等幂的必须是等幂的 （Idempotent）,即要求其本征值在（即要求其本征值在（0,1）区间。）区间。如何把一个接近等幂的密度矩阵如何把一个接近等幂的密度矩阵 变为等幂矩阵变为等幂矩阵 将在下面将在下面介绍。介绍。(10.1)第4页/共27页6vivi根据根据Kohn近视原理，把体积为近视原理，把体积为V的体系分成的体系分成N个子体积个子体积vi(i-1.N)vi 3. 在在vi处取体积为处取体积为vi的区域，它包括的区域，它包括vi和一个缓冲区，然后和一个缓冲区，然后解出每

4、一个解出每一个vi的性质。如果的性质。如果vivi，那么，那么vi内的性质是相当精确内的性质是相当精确的。由于计算每一个的。由于计算每一个vi的工作量完全独立于体系的大小，只要知的工作量完全独立于体系的大小，只要知道道vi内的资料即可。整个体系的大小内的资料即可。整个体系的大小vi的数目的数目N, 于是得到线性于是得到线性标度算法。标度算法。V=N*vi第5页/共27页71.（OBDMM）采用采用Chebyshev多多项式将项式将DM展开展开杨伟涛教授杨伟涛教授与与DFT密切结合密切结合第6页/共27页82332用用 和和 分别表示分别表示 和和 的本征值，这两个本征值的关的本征值，这两个本征

5、值的关系是系是2332可见可见31221212, 0,1 for 0,1 have for 所以，这种映射迭代将驱使本征值趋于所以，这种映射迭代将驱使本征值趋于0或或1，由此得到符合，由此得到符合等幂要求的等幂要求的 。(10.2)(10.3)第7页/共27页9第8页/共27页10第9页/共27页11*( , )( )( )iii occr rrr由由Etot关于关于 最小化求基态，条件是最小化求基态，条件是 (r,r)为等幂及电子数固为等幂及电子数固定。即定。即( , ) ( , ) ( , )2( , )elr rdrr rrrNdrr r可以应用可以应用McWeeny净化方法，使密度矩阵

6、达到等幂要求。净化方法，使密度矩阵达到等幂要求。对于实际的第一原理计算，初始的对于实际的第一原理计算，初始的 必须做成可分离必须做成可分离形式，形式，HGG用支持函数用支持函数 i 和局域变分参数和局域变分参数Li j 表示为表示为( , )r r,( , )( )( )iijjijr rr Lr 和和(10.4)(10.5)(10.6)(10.7)第10页/共27页12,( , )( )( )iijjijr rr Kr 上式矩阵上式矩阵K与与L的关系是：的关系是： K = 3LSL - 2LSLSLS 是交叠矩阵是交叠矩阵( )( )ijijSdrrr 为了实现线性标度算法，要求为了实现线性

7、标度算法，要求:1。支持函数。支持函数 i 0, 只在某局域空间范围只在某局域空间范围(称为支持区称为支持区)之内之内。2。Li j 0，只有当相应的区域以，只有当相应的区域以 截断距离截断距离Rcut被分离时。被分离时。由于密度矩阵的衰减行为上述条件一般都能满足。由于密度矩阵的衰减行为上述条件一般都能满足。(10.8)(10.9)(10.10)第11页/共27页13第12页/共27页14第13页/共27页15( )()ii ninnrbrR Rin是第是第i个原子的支持区内的视点网格点（个原子的支持区内的视点网格点（blip-grid）的位置。）的位置。 在实际计算中，对在实际计算中，对 i

8、 的变分采用对的变分采用对bi n的变分。的变分。 计算方法中的一个关键部分是对在积分网格上一组计算方法中的一个关键部分是对在积分网格上一组rl点的点的 i (r) 计算。这些计算结果将用于矩阵元的计算。计算。这些计算结果将用于矩阵元的计算。 从从blip-grid上上bi n之值变换为积分网格上之值变换为积分网格上 i (r)之值的效率是之值的效率是 借助于将视点函数写成如下乘积实现的：借助于将视点函数写成如下乘积实现的：( )( ) ( ) ( )rxyz其中其中x, y, z 是是r的直角坐标，的直角坐标， (x)被选择用被选择用B-spline工作。工作。(10.11)(10.12)第

9、14页/共27页16totkpsHxcEEEEE其中，动能（对所有网格点求和）：其中，动能（对所有网格点求和）：212,2( )()( )kjijriijEdrr Kr 其它三个能量全部依赖于其它三个能量全部依赖于rl 点上的电子密度点上的电子密度,( )2( )( )lilijjlijn rr Kr 具体计算并不涉及特殊技巧，例如具体计算并不涉及特殊技巧，例如LDA交换关联能可对交换关联能可对( ) ( )lxcln rn r求和得到。求和得到。(10.13)(10.14)(10.15)第15页/共27页172123()2()()totijelijEDLNELDSLHHLSSLSLHSLHLSHLSLSESLSSLSLS (10.16)(10.17)(10.18)(10.19)第16页/共27页18int4()( )( )3()2()tottottoti mi mi mexactgridtotlimilii mgridilijKSijjjijijijEEEbbbErRQrbQrKHGGLHLLSLHLLHLSL (10.20)(10.21)(10.22)(1023)第17页/共27页19第18页/共27页20第19页/共27页21第20页/共27页22计算计算E和和dE/dL选择选择L空间的搜索方向空间的搜索方向E关于关于L最小化