智能控制原理 第6章

1、第二节第二节 模糊集合模糊集合。,01Ax x Rx )(xAAxAxxA01)(AxAxAxxA0)1 , 0(1)(的程度属于)(xA)(xAiixxxA/2211),( ,),(),(2211iixxxA12,nAxxAA/ )(AAuCA学习差学习好01)(,0.850.95,0.90A 100/)(xxA121025( )251251005xY xxx0,100X 02040608010012000.10.20.30.40.50.60.70.80.91X YearsDegree of membership0)(uAA1)(uEAA)()(uuBABA)(1)(uuAAAA2 . 08

2、 . 01)(0uA0u8 . 0)(0uA0u)()(uuABAB)()()(),(max()(uuuuuBABABABA)()()(),(min()(uuuuuBABABABAAABABABABA43215 .08 .02 .09 .0uuuuA43216 .04 .01 .03 .0uuuuB43216 . 08 . 02 . 09 . 0uuuuBA43215 .04 .01 .03 .0uuuuBA1)()(uuAA0)()(uuAA4 .0)(uA6 . 04 . 01)(uA16 . 06 . 04 . 0)()(uuAA04 . 06 . 04 . 0)()(uuAA)(),(

3、)(xxMinxBAc)()()(xxxBAc1)()(, 0)(xxMaxxBAc)(),()(xxMaxxBAc)()()()()(xxxxxBABAc)()(, 1)(xxMinxBAc)(1 ()(1 (1)()()(1xxxxxBABAc)()()(xxxBAc)()()()()(xxxxxBABAc第三节第三节 隶属函数隶属函数222)(),(cxecxfc), gaussmf(x,01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91trimf,P=3 6 8bacxcbaxf211),(c)b,a,gbellmf(x,01234567891000.1

4、0.20.30.40.50.60.70.80.91trimf,P=2 4 6)(11),(cxaecaxf01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91trimf,P=2 4dxdxccdxdcxbbxaabaxaxdcbaxf010),(trapmf(x,a,b,c,d)01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91trimf,P=1 5 7 8cxcxbbcxcbxaabaxaxcbaxf00),(c)b,a,trimf(x,01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91trimf,

5、P=3 6 8b)a,zmf(x,01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91trimf,P=3 7010203040506070809010000.20.40.60.81gradeDegree of membershipEDCBANAu试验总次数的次数00u第四节第四节 模糊关系模糊关系1.模糊关系的定义所谓A，B两集合的直积中的一个模糊关系R，是指以为论域的一个模糊子集，序偶 的隶属度为一般地，若论域为n个集合的直积 ，则它所对应的是n元模糊关系R，其隶属度函数为n个变量的函数 。显然当隶属度函数值只取“0”或“1”时，模糊关系就退化为普通关系。BbA

6、abaBA,),(BA),(ba。),(baRnAAA21),(21nRaaa例26设有七种物品：苹果、乒乓球、书、篮球、花，桃、菱形组成的一个论域U，并设 为这些物品的代号，则。现在就物品两两之间的相似程度来确定它们的模糊关系。 假设物品之间完全相似者为“1”、完全不相似者为“0”，其余按具体相似程度给出一个01之间的数，就可确定出一个U上的模糊关系R，列表如下721,xxx721,xxxUR苹果x1乒乓球x2书x3篮球x4花x5桃x6菱形x7苹果x11.00.700.70.50.60乒乓球x20.71.000.90.40.50书x3001.00000.1篮球x40.70.901.00.40

7、.50花x50.50.400.41.00.40桃x60.60.500.50.41.00菱形x7000.10001.0 功功课课 姓姓名名英英语语数数学学物物理理化化学学张三70908065李四90857670王五50958580100)(uu 功功课课 姓姓名名英英语语数数学学物物理理化化学学张三0.700.900.800.65李四0.900.850.760.70王五0.500.950.850.8080.085.095.050.070.076.085.090.065.080.090.070.0R)(ijaA )(ijbB nji, 2 , 1,（1）相等若ijijba ，则A=B。（2）包含若

8、ijijba ，则AB。例例3-10 设9 . 03 . 01 . 07 . 0A1 . 02 . 09 . 04 . 0B（3）并运算若ijijijbac，则)(ijcC为A和B的并，记为C=AB。（4）交运算若ijijijbac，则)(ijcC为A和B的交，记为C=AB。（5）补运算若ijijac1，则)(ijcC为A的补，记为C=A。9 . 03 . 09 . 07 . 01 . 09 . 02 . 03 . 09 . 01 . 04 . 07 . 0BA1 . 02 . 01 . 04 . 01 . 09 . 02 . 03 . 09 . 01 . 04 . 07 . 0BA1 . 0

9、7 . 09 . 03 . 09 . 013 . 011 . 017 . 01An对于有些系统，只依赖单一的条件、结合推理是不够的。因此存在多重推理现象，如IF A THEN B, IF B THEN C这样一类控制规则，其控制输出变量是C，那么，人们不禁要问，A和C之间是否存在某种定量的关系呢？答案是肯定的。寻求这种关系的方法就是模糊关系的合成。对于普通关系也存在关系合成计算。如A和B是父子关系，B和C是夫妻关系，则A和C就会形成一种新的关系，即公媳父子 夫妻。推广到模糊概念域，模糊关系也存在关系的合成，其合成的方法是通过模糊关系矩阵来进行的。kjikkijbac例例 3-11 设， ，22

10、211211aaaaA22211211bbbbB22211211ccccBAC)b(a)ba (c2112111111)b(a)ba (c2212121112)b(a)ba (c2122112121)b(a)ba (c2222122122当3 . 05 . 07 . 08 . 0A，9 . 06 . 04 . 02 . 0B时，有 4 . 03 . 07 . 06 . 0BA 6 . 06 . 03 . 04 . 0AB 可见，ABBA。 n例28某家中子女与父母的长像相似关系R为模糊关系，可表示为R父母子0.20.8女0.60.11.06.08.02.0RS祖父祖母父0.50.7母0.100

11、1 . 07 . 05 . 0Sn那么，在该家中孙子、孙女与祖父、祖母的相似程度应该如何呢？模糊关系的合成运算就是为了解决诸如此类问题而提出来的。现在先给出问题的结果再来明确其定义。针对此例，一个简单的模糊关系合成运算为6 , 05 , 02 , 02 , 0)01 . 0()7 . 06 . 0() 1 . 01 . 0()5 . 06 . 0()08 . 0()7 . 02 . 0() 1 . 08 . 0()5 . 02 . 0(01 . 07 . 05 . 01 . 06 . 08 . 02 , 0 SR第五节第五节 模糊推理模糊推理二、模糊推理 以往我们接触到的常规的逻辑推理方法如演

12、绎推理，归纳推理都是严格的。 除此这些确定性推理之外尚存在着一些不确定性推理，目前己知的主要不确定性推理方法可归结为四类：MYCIN法、主观悲叶斯方法、证据理论法和模糊逻辑推理法。我们在此只介绍模糊逻辑推理法，模糊逻辑推理是不确定性推理方法的一种，其基础是模糊逻辑，它是在二值逻辑三段论的基础上发展起来的。虽然它的数学基础没有形式逻辑那么严密，但用这种推理方法得到的结论与人类的思维推理结论是一致或相近的。并在实际使用中得到 了验证，因此模糊逻辑推理方法己经受到 了广泛的重视。模糊逻辑推理是以模糊判断为前提的，运用模糊语言规则，可推出一个新的模糊判断结论的方法，例 大前提：腿长则跑步快 小前提：小

13、王腿很长 结论：小王跑步很快它属于近似于二值逻辑的三段论推理模式。还是“腿长”和“跑步快”都是模糊概念，而且小前提的模糊判断和大前提的前件不是严格相同的。因此这一推理的结论也不是从前提中严格地推出来的而是近似于逻辑地推出的结论。通称为假言推理或是似然推理。判断是否属于模糊逻辑推理的标准是看推理过程是否具有模糊性，具体表现为推理规则是不是模糊的。从条件变量的多少、模糊规则多少的角度来划分，模糊规则推理方法又可以分为以下四种模糊推理规则。 四种规则都 可选用不同的推理方法等。 1、近似推理 在控制系统中经常存在此类现象，“如果温度低，则控制电压就增大”这样一个前提下，要问“如果温度很低，则控制电压

14、将是多少呢？很自然用人们的常识可以推知，“如果温度很低，则控制电压就很大”，这种推理方式就称为模糊近似推理。这种推理方式可以这样来表达。 前提1：如果是A，则是Bxy 前提2：如果是A 结 论： 是 。（AB）即结论可用 与由A到B的推理关系进行合成而得到,由于A到B模糊关系矩阵R,利用R可以得到近似推理的隶属度函数.根据不同的推理方法可以得到模糊关系矩阵元素的不同计算方法，主要有扎德（Zadeh)推理法那么其隶属度函数为玛达尼（Mamdani)推理法 那么其隶属度函数为BxyB A),(yxBA()()(1)RABABA )(1)()(),(xyxyxABABA()RABA B),()()(

15、),(minyxyxyxRBABA1.模糊取式: 2.模糊拒式:例2-12设论域 XY1, 2, 3, 4, 5X、Y上的模糊子集“大”、“小”、“较小”分别定义为： “大”0.4 / 3 + 0.7 / 4 + 1 / 5 “小”1 / 1 + 0.7 / 2 + 0.3 / 3 “较小”1 / 1 + 0.6 / 2 + 0.4 / 3 + 0.2 / 4己知：规则若小，则大问题：当较小时，？解己知 且 由扎德（Zadeh) 推理法xyxy;17 . 04 . 000)(,003 . 07 . 01)yx大小（02 . 04 . 06 . 01)(x较小)1)(),xyxyx（小大小大小也

16、可以得到其关系矩阵选择扎德推理法，因此，可得较小时的推理结果zdRmin000.40.71000.40.710.30.30.40.70.7000.40.70.70.70.70.70.70.7000.30.30.311111000001111100000zdRRzdRyy)（较小较大000.40.710.30.30.40.70.710.60.40.200.4 0.4 0.4 0.7 10.70.70.70.70.71111111111 ， ， ， ，x5/14/7 . 03/4 . 02/4 . 01/4 . 0)y（较大从中可以看出，扎德推理的结果与人们的思维是一致的。同样，由玛达尼推理法也可

17、得从上例可以看出，在近似推理中，扎德推理比玛达尼推理法更符合人们的思维。2.模糊条件推理语言规则是：如果是A，则是B，否则是C。其逻辑表达式为：。要实现模糊推理的关键是找出模糊关系矩阵，根据逻辑表达式，其模糊关系R是XY的子集，可以表示为有了这个模糊关系矩阵，就可根据模糊推理合成规则，将输入与该关系矩阵R进行合成得到模糊推理结论，即例2-13对于一个系统，当输入A时，输出为B，否则为C，5/14/7 . 03/4 . 0)y（较大xyy)()(CABA)()(CABAR )402 ()()(1 ()()(),(yxyxyxCABACABAR AB)()(CABAARAB且有己知当前输入。求输出

18、D。解先求关系矩阵R因为。由玛达尼推理法得则321321321/7 . 0/6 . 0/5 . 0/2 . 0/5 . 0/8 . 0/1 . 0/4 . 0/1vvvCvvvBuuuA321/4 . 0/1/2 . 0uuuA)()(CABAR7 . 06 . 05 . 06 . 06 . 05 . 0000,1 . 01 . 01 . 02 . 04 . 04 . 02 . 05 . 08 . 0CABA7 . 06 . 05 . 06 . 06 . 05 . 02 . 05 . 08 . 0)()(CABAR输出即。3.多输入模糊推理多输入模糊推理在多输入单输出系统的设计中经常遇到，如在

19、速度设定值控制系统中，“速度误差较大且速度误差的变化量也较大，那么加大输入控制电压”这样一类规则就需要用多输入模糊推理方式来解决。这种规则的一般形式为前提1：如果A且B，那么C前提2：现在是且结论：因为如果A且B，那么C的数学表达式是，其模糊关系矩阵若用玛达尼推理，则模糊关系矩阵的计算就变成6 . 06 . 05 . 07 . 06 . 05 . 06 . 06 . 05 . 02 . 05 . 08 . 04 . 012 . 0RAD321/6 . 0/6 . 0/5 . 0vvvDABCBANDABANDAC)() ()()(),(yxyxBABANDA)()()(zyxCBACABR)(

20、)()(zyxCBA 如果各语言变量的论域是有限集时，即模糊子集的隶属度函数是离散的，则模糊逻辑推理过程可以用模糊关系矩阵的运算来描述。下面以一类模糊控制器为例来说明离散模糊子集下的模糊逻辑推理。已知当A和B时，输出为C，即存在推理规则IF A AND B , THEN C求当和，控制输出应该多少时可以采取以下步骤1）先求令得矩阵为2）将写成列矢量即3）求出关系矩阵R，（2-43）4）由， （2-44）5）仿照2），将化为列矢量 ABCBAD)()(yxdBAyxD)422(212222111211mnmmnndddddddddDDDTTmnmdddddDT，2111211CDTRDBA求出、

21、BADDDDT6）最后求出模糊推理输出解)452(RDTC。则且假设例213212112 . 0,15 . 01 . 05 . 01142zzCyyyBxxA。求及现己知,02 . 05 . 01 . 08 . 032121CyyyBxxA5.05.01.015.01.0BAD5 . 02 . 05 . 02 . 01 . 01 . 012 . 05 . 02 . 01 . 01 . 012 . 05 . 05 . 01 . 015 . 01 . 0CDTR又因为所以即01 . 01 . 01 . 02 . 05 . 002 . 05 . 01 . 08 . 0BAD2 . 02 . 05 .

22、 02 . 05 . 02 . 01 . 01 . 012 . 05 . 02 . 01 . 01 . 001 . 01 . 002 . 05 . 0C212 . 02 . 0zzC玛达尼推理削顶法：其隶属度函数为是指模糊集合A与交集的高度。玛达尼推理削顶法的几何意义是分别求出对对的隶属度，并且取这两个之中小的一个作为总的模糊推理前件的隶属度，再以此为基准去切割推理后件的隶属度函数，便得到结论。推理过程如图2-15。 ()() () ()CA AND BA AND BCAACBBC。) )()() )()()412 ()()()()()()()()()()()()()()()()()(yyax

23、xazaazazazyyzxxzyyzxxzBByBAAxACBACBCACBByCAAxCBByCAAxCa A ABA、BBAaa 、C图2-15二输入玛达尼推理法过程ABCBaAaCaxyz000A ABBCC),min(BACaaa 4.多输入多规则推理对于一个控制系统而言，一条模糊控制规则是不能满足控制要求的。通常都有一系列控制规则来构成一个完整的模糊控制系统。如（2-46）（2-47）对于这类系统如何进行推理运算呢？多输入多规则推理方法就是为了解决此问题而提出来的。为了简单起见，我们以二输入多规则为例。它可以很容易推广到多输入多规则的情况。考虑如下一般形式：mmMCTHENBAND

24、AIFCTHENBANDAIFCTHENBANDAIF,222111?, ,222111CBACBACBACBAnnn那么且己知那么且否则如果那么且否则如果那么且如果在这里，上的模糊集合。利用玛达尼推理方法，规则如果，那么的模糊关系可以表示为“否则”的意义是“OR”即“或”，在推理计算过程中可以写成并集形式。由此，推理结果为（2-49）其中，其隶属度函数为Z、分别是不同论域和、和、和YXCCBBAAnnniiBA 且iC)482()()()(zyxCiBiAi) )( ,() (111nnnCBANDACBANDABANDACnCCCC,321iiiiCBANDABANDAC)() (niCB

25、BCAAiiii，21)()()()()()()()()(zyyzxxzCiBiByCiAiAxCi整个推理过程的意义为分别从不同的规则得到不同的结论，其几何意义是分别在不同规则中用各自推理前件的总隶属度去切割本推理规则中后件的隶属度函数以得到输出结果。最后对所有的结论进行模糊逻辑和，即进行“并”运算，得到总的推理结果。下面看一下二输入二规则的推理方法。例2-15对于二输入二规则的推理过程可以用图2-16示意)()()()()()(zyyzxxCiBiByCiAiAx)502()()()(zaazazaCiBiAiCiBiCiAi图2-16二输入二规则的推理过程 AABC0 AB1A2A1B2

26、B1C2C1C总的推理结论2C00000CBAAaBaCaxyzzyxB这种推理方法是先在推理前件中选取各个条件中隶属度最小的值（即“最不适配”的隶属度）作为这条规则的适配程度，以得出这条规则的结论。这一过程简称为“取小”操作。然后对所有规则的结论部选取最大适配度的部分。这一过程称为“取大”操作。这样整个推理的最后结果为所有规则结论部的并集。这种推理方法简单且实用，但其推理结果经常不平滑。因此，也有人主张把从推理前件到后件削顶的“与”运算改为“代数积”，这就不是用推理前件的隶属度函数为基准去切割推理后件的隶属度函数，而是用该隶属度去乘后件的隶属度函数。这样得到的推理结果就不再呈平台梯形，而是原

27、隶属度函数的等底缩小。这种处理结果最后经对各规则结论的“并”运算后，总的推理结果的平滑性得到了改善。综上分析，对于这样多输入多规则总的推理结果是将每一个推理规则的模糊关系矩阵进行“并”运算就可以，即对于以上式（2-46）（2-47）中的每一条推理规则，都可以得到相应的模糊关系矩阵。niCBARiiii,2,1,其中直积算子“”可取“极小”运算，也可取“代数积”运算。系统总的控制规则所对应的关系矩阵R通常采用并的算法求出，即五、模糊关系方程的解在模糊控制系统中，应用较多的“模糊条件语句”也是一种模糊推理，它的一般形式为若则，否则。可表示为：设是论域U上的模糊命题，对应U上的模糊子集为是论域V上的

28、模糊命题，分别对应V上的模糊子集B，C。则上述模糊条件语句就可以表示为一种模糊关系它是在UV上的一个模糊子集。其隶属度函数为这也意味着在模糊系统中其输入为A、输出B，且存在模糊关系R满足：模糊关系R实际上表示模糊系统的输入输nRRRR21bac)()(cabaaacbA,)()(CABAR)()(1()()(),(vuvuvuCABARRAB出之间的一种映射。当输入为时，输出。同时我们也注意到，以上提到的四种推理过程都是与模糊关系相对应的。模糊关系反映了模糊控制系统本质的联系。当论域UV为有限集时，模糊关系R就可以用模糊关系矩阵R来表示了。因此，研究模糊关系矩阵R的性质、求解对模糊控制系统理论

29、有着重要的意义。与传统的控制系统设计相对应的模糊系统设计也存在系统的建模和控制问题，对于有限域上的模糊关系R可以用模糊矩阵来表示，则模糊控制系统的建模和控制问题就转化为模糊关系方程的求解问题了。建模辨识问题己知给定的A和B，求关系矩阵（2-51） 系统控制问题己知需控制的目标B和关系矩阵R，求控制输入建模问题是正问题，系统控制问题属于逆问题。因为对方程（2-52）两边取转置可以将其转化为方程（2-51）的形式，即，这样待求解的关系矩阵 ARAB BRAR;)522(; BRAATTTTTBARBRA)(都在合成算子的右边。因此我们只需讨论模糊关系方程（2-51）的求解问题了。只要模糊关系方程（

30、2-51）可以求解，则模糊关系方程（2-52）也可以同理而解了。己知，分别为笛卡尔空间上的模糊关系矩阵，记则式（2-51）可用以下分块矩阵的形式来表示因此方程（2-53）的求解问题可简化为下面个简单的模糊矩阵方程的求解问题了。展开方程（2-54）得（2-55）)(TAR 或)()()(WVFRWUFBVUFA、WVWUVU、nmjiaA)(snjismjirRBB)()(、TnjjjTnjjjjBBBRRRR),( ,),(2121)532(),(),(2121ssBBBRRRAs)542(,2,1sjBRAjjmnmnmmnnbbbrrraaaaaaaaa2121212222111211假设

31、合成算子取极小运算（min)，则为了解方程（2-55）需首先讨论一元一次方程（2-56）和一元一次不等式方程：（2-57）的解。其中未知。显然等式方程（2-56）的解为 (2-58) 式中，表示等式方程的解：不等式方程（2-57）的解为：式中，表示不等式方程的解。现在再来考虑方程（2-55）的求解问题，由合成算子的计算法则可知。式（2-55）等价于下面的模糊线性方程组： baIFbaIFbbaIFbr1,brabra1,01,0rba且己知，、 r)592(1,0,0)(baIFbaIFbr)(r （2-60） 为了求模糊方程（2-60）的解集，先讨论其中的第 个方程的解：显然方程（2-61）可以分解为n个一元一次等式方程和个一元一次不等式方程：设式（2-62）中第个方程成立，则式（2-61）的一个解为其中表示第个等式方程的解；表示第个不等式方程的解。我们称为方程（2-61）的部分解。若等式（2-62）中还有其它若干等式也成立，则式（2-61）存在全部解：imnmnmmnnnnbrararabrararabrarara)()()()()()()()()(22112222212111212111)612(,2, 1)()()(2211mibrararaininii)632()( ,)( ,)()622()( ,)( ,)(22112211ininiiiiini