时变场6.1-6.3通信

1、第六章第六章 时变电磁场时变电磁场 这一章开始将讨论随时间变化的电磁这一章开始将讨论随时间变化的电磁场问题。在时变电磁场中，电场和磁场场问题。在时变电磁场中，电场和磁场相互依存、相互转化。相互依存、相互转化。 前几章讨论了前几章讨论了静态场问题静态场问题，是将电现象，是将电现象和磁现象视作相互独立的现象来研究的。和磁现象视作相互独立的现象来研究的。讨论讨论准静态场问题准静态场问题，也是将电现象，也是将电现象和和磁现磁现象视作相互独立的现象来研究的。象视作相互独立的现象来研究的。 时变电磁场时变电磁场是电磁理论的核心内容，是电磁理论的核心内容，也是学习后续课程（微波技术、天线原也是学习后续课程（

2、微波技术、天线原理等）的理论基础。理等）的理论基础。 本章从本章从麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组出发，讨论时出发，讨论时变电磁场的波动方程、还将讨论表示电变电磁场的波动方程、还将讨论表示电磁场能量流动和转换关系的坡印廷定理。磁场能量流动和转换关系的坡印廷定理。Chapter 6 Time-Varying Fields本章要求本章要求 掌握麦克斯韦方掌握麦克斯韦方程组程组 波动方程波动方程 坡印廷定理坡印廷定理6.1 6.1 电磁感应定律电磁感应定律 法拉第电磁感应定律指出：当穿过一闭合导体回路法拉第电磁感应定律指出：当穿过一闭合导体回路的磁通发生变化时，则在此闭合导体回路中将产生感的磁通发生变化

3、时，则在此闭合导体回路中将产生感应电动势，其大小为：应电动势，其大小为：dtdeidtSdBdS负号表示感应电动势总负号表示感应电动势总是阻碍磁通的变化是阻碍磁通的变化 式中式中S S是由闭合回路的周界限定的面是由闭合回路的周界限定的面积，其法线方向与回路绕行方向符合积，其法线方向与回路绕行方向符合右手螺旋关系右手螺旋关系, ,即即B B与与dSdS方向一致。方向一致。SlB如图所示一闭合导体回路如图所示一闭合导体回路l l置于磁场置于磁场B B中中如果B减小，则6.1.1 6.1.1 电磁感应定律电磁感应定律随时间变化的场随时间变化的场 法拉第电磁感应定律中的回路并不一定要求是一法拉第电磁感

4、应定律中的回路并不一定要求是一实际的闭合线圈，对于实际的闭合线圈，对于空间任一闭合路径，上式仍空间任一闭合路径，上式仍成立成立。麦克斯韦将它推广到。麦克斯韦将它推广到任一闭合路径。任一闭合路径。 那么，也就是说无论有无导体、有无回路，也不论那么，也就是说无论有无导体、有无回路，也不论是在真空中还是在媒质中，只要有磁通的变化，就是在真空中还是在媒质中，只要有磁通的变化，就一定引起感应电动势，就一定引起电场。一定引起感应电动势，就一定引起电场。l dEelii 回路中出现感应电动势实际是因为在回路中出现回路中出现感应电动势实际是因为在回路中出现了感生电场，回路中感生电场与感应电动势的关了感生电场，

5、回路中感生电场与感应电动势的关系是：系是：法拉第电磁感应定律可写为：法拉第电磁感应定律可写为：dtdeidtSdBdSl dEli回路中的磁通发生变化的原因有如下几种可能：回路中的磁通发生变化的原因有如下几种可能：1 1）B B随时间变化回路静止随时间变化回路静止2 2）B B不随时间变化回路运动不随时间变化回路运动3 3）B B随时间变化，且回路也有运动随时间变化，且回路也有运动6.1.2 6.1.2 静止系统的感应电动势静止系统的感应电动势 所谓静止系统是指回路相对磁场没有机械运动，磁所谓静止系统是指回路相对磁场没有机械运动，磁场只是随时间变化，这时回路中的磁通发生变化。场只是随时间变化，

6、这时回路中的磁通发生变化。dtSdBdeSiSSdtBSiSdBe旋度定理旋度定理lSl dESdEl dEliSSSdtBSdEtBE静止系统静止系统电磁感应电磁感应定律的微分形式定律的微分形式tBE它表明随时间变化的磁场将产生电场。它表明随时间变化的磁场将产生电场。而且产生的电场是有旋场。这与静电而且产生的电场是有旋场。这与静电场完全不同，静电场是无旋场。场完全不同，静电场是无旋场。AB)(AtE0)(AtE0)(tAEtAE 对于稳恒磁场，对于稳恒磁场，A不不随时间变化：随时间变化：0tAtAEtAE 它表明产生电场的原因有两个：一是电荷产它表明产生电场的原因有两个：一是电荷产生的；二是

7、随时间变化的磁场。生的；二是随时间变化的磁场。6.1.3 6.1.3 运动系统中运动系统中B B不随时不随时间变化情形下的感应电动势间变化情形下的感应电动势 所谓运动系统是指回路相对磁场有机械运动，如果所谓运动系统是指回路相对磁场有机械运动，如果此时不伴随磁场的变化（即磁场不随时间变化）。这此时不伴随磁场的变化（即磁场不随时间变化）。这时回路中的磁通也将发生变化，产生感应电场，产生时回路中的磁通也将发生变化，产生感应电场，产生感应电动势。感应电动势。 假设回路的元线段假设回路的元线段 的运动速的运动速度为度为 ，则其中的自由电荷，则其中的自由电荷 所受到的磁力为：所受到的磁力为：vdql d)

8、(vBdqf d产生感应电场：产生感应电场：dqfdEivBvl dEeliivBEill dvB旋度定理旋度定理lSl dESdESdvBSdESS)()(vBE运动系统中运动系统中B B不随时间不随时间变化情形下的电磁感变化情形下的电磁感应定律微分形式应定律微分形式lSil dBvSdtBeSSSdBvSdtB)(回路相对磁场回路相对磁场运动引起的运动引起的磁场变化磁场变化引起的引起的既有回路相对磁场运动，又伴随有磁场的变化既有回路相对磁场运动，又伴随有磁场的变化:l dEeliiSSdESSdE)(BvtBE 本书仅讨论静止系本书仅讨论静止系统中的情形。即：统中的情形。即：麦克斯韦方程组

9、之一。麦克斯韦方程组之一。tBE6.2.1 6.2.1 位移电流（位移电流（Displacement CurrentDisplacement Current）6.2 6.2 位移电流与全电流定律（位移电流与全电流定律（Displacement Displacement Current and Current and ） 麦克斯韦利用感应电场的概念揭开了电场与磁场相麦克斯韦利用感应电场的概念揭开了电场与磁场相联系的一个方面联系的一个方面即变化的磁场产生电场。即变化的磁场产生电场。 深信电场与磁场密切联系并具有对称性的麦克斯深信电场与磁场密切联系并具有对称性的麦克斯韦，认为变化的电场产生磁场。韦，

10、认为变化的电场产生磁场。 恒定磁场中的安培环路定律应用于时变电流的磁恒定磁场中的安培环路定律应用于时变电流的磁场中会遇到矛盾。为解决这一矛盾，麦克斯韦提出了场中会遇到矛盾。为解决这一矛盾，麦克斯韦提出了“位移电流位移电流”的假说，并利用的假说，并利用“位移电流位移电流”的概念揭的概念揭开了电场与磁场相联系的另一方面开了电场与磁场相联系的另一方面即变化的电场即变化的电场产生磁场。产生磁场。 首先来看恒定磁场中的安培环路定律应用于时变电首先来看恒定磁场中的安培环路定律应用于时变电流的磁场中会遇到矛盾。流的磁场中会遇到矛盾。如图所示的电路中如图所示的电路中+qq Rki 电容器在充电过程中，电容器在

11、充电过程中，传导电流传导电流i将在电容器将在电容器极板间极板间中断中断，对于以闭合曲线，对于以闭合曲线l为边界的为边界的S1和和S2两个曲面来说两个曲面来说lS1S2 电流只穿过曲面电流只穿过曲面S1而不穿过曲面而不穿过曲面S2 ，因此有：，因此有：iSdJl dHSl102SlSdJl dH矛盾矛盾这一矛盾是由这一矛盾是由传导电传导电流流i i在电容器极板间在电容器极板间中中断断造成的造成的 把把 称为位移电流密度称为位移电流密度Jd，它是对变化电场的等它是对变化电场的等效。把这个假想的电流称为效。把这个假想的电流称为“位移电流位移电流” ，并假想，并假想这个位移电流等于传导电流：这个位移电

12、流等于传导电流：tDiSdtDISd 麦克斯韦麦克斯韦注注意意到传导电流i中断，使得极板上电荷量增加(变化变化)，变化的变化的电荷量必然产生变化的电场，则存在 于是于是麦克斯韦麦克斯韦假想在假想在极板极板间存在间存在“某种电流某种电流”i id d tDRi+qq kidS1S2 解决了上述矛盾。解决了上述矛盾。iSdJl dHSl1dSlISdJl dH2 解决了上述矛盾。解决了上述矛盾。 推断推断:传导电流与位移电流合传导电流与位移电流合起来是连续的起来是连续的. 这其实是电守这其实是电守恒定律的实质恒定律的实质.0)(SdtDJS散度定律VSdVBSdB将传导电流和位移电流之和称为将传导

13、电流和位移电流之和称为全电流全电流。SlSdtDJldH)(全电流定律全电流定律时变场中的安时变场中的安培环路定律培环路定律6.2.2 全电流定律全电流定律电荷守恒定律是普遍规律电荷守恒定律是普遍规律.在时变场中在时变场中,高斯定律仍成立高斯定律仍成立. DtJ0)(tDJ传导电流与位移电传导电流与位移电流合起来是连续的流合起来是连续的 麦克斯韦认为麦克斯韦认为,位移电流也能产生磁场位移电流也能产生磁场,于是在时于是在时变场中安培环路定律应修正为变场中安培环路定律应修正为:tDJH例：例：潮湿土壤的电导率为潮湿土壤的电导率为 ，其中其中mS /1035 . 2rmtVE/)100 . 9sin

14、(100 . 696求土壤中的传导电流密度求土壤中的传导电流密度J J和位移电流密度和位移电流密度J Jd d解：解：土壤中的传导电流密度土壤中的传导电流密度J J为为：EJ土壤中的位移电流密度土壤中的位移电流密度J Jd d为为：tDJdtr)100 . 9cos(100 . 9100 . 69960tEtEr0t )100 . 9cos(102 . 196例：例：某介质的电导率为某介质的电导率为 ，电场强度为，电场强度为1,/0 . 5rmStEsin25要使要使J=JJ=Jd d，电场变化的频率应为多少？，电场变化的频率应为多少？解：解：由介质中某点处电场强度与电导率的关系得：由介质中某

15、点处电场强度与电导率的关系得：EJtsin25tEtDJrd0要使要使J=JJ=Jd d，则：则：r02525trcos250幅值应相等幅值应相等sradr/1065. 51085. 8511120或：或：GHzff9022r0在无源的自由空间中，已知磁场强度为在无源的自由空间中，已知磁场强度为求：位移电流密度和空间任意点的电场强度。求：位移电流密度和空间任意点的电场强度。mAztyH/)10103cos(1063. 295tDJHSlSdtDJldH)( 时变场中磁场的源有两个：一是传导电流；二时变场中磁场的源有两个：一是传导电流；二是随时间变化的电场。是随时间变化的电场。tBE变化的磁场引

16、起电场变化的磁场引起电场SdtBl dESl（1）电磁感应定律的推广）电磁感应定律的推广（2）安培环路定律的修正）安培环路定律的修正ttrBtrE),(),(ttrDtrJtrH),(),(),(In Point FormIn Integral Form 6.3 6.3 麦克斯韦方程组与时变电磁场的边界条件麦克斯韦方程组与时变电磁场的边界条件6.3.1 麦克斯韦方程组（麦克斯韦方程组（Maxwells Equation） 0 B D0SSdBqSdDS时变电磁场中时变电磁场中磁通也随时间变化，仍是连续的。磁通也随时间变化，仍是连续的。（4）时变电场的高斯定律）时变电场的高斯定律（3）时变磁场的

17、高斯定律）时变磁场的高斯定律0),(trB),(),(trtrD 上述麦克斯韦方程组没有限定介质的情形，因此上述麦克斯韦方程组没有限定介质的情形，因此适用于任何介质。适用于任何介质。 在各向同性、线性介质中，时变场的结构关系：在各向同性、线性介质中，时变场的结构关系：EEDr0HHBr0EJ 上述麦克斯韦方程组中，共有上述麦克斯韦方程组中，共有5个未知矢量个未知矢量（ ）和一个未知标量）和一个未知标量 ，实际上共，实际上共有有16个未知标量，而独立的标量方程只有个未知标量，而独立的标量方程只有7个，必个，必须补充须补充9个独立的标量方程，就是个独立的标量方程，就是场的结构关系场的结构关系。JH

18、BDE、6.3.2 6.3.2 时变电磁场时变电磁场的边界条件的边界条件 在时变电磁场中，可应用麦克斯韦方程组分析在不在时变电磁场中，可应用麦克斯韦方程组分析在不同媒质分界面上，时变电磁场中的场量满足的关系。同媒质分界面上，时变电磁场中的场量满足的关系。SlSdtDJldH)(SdtBl dESl0SSdBqSdDSH H的边界条件的边界条件E E的边界条件的边界条件B B的边界条件的边界条件D的边界条件0)(12EEnsJHHn)(12sDDn)(120)(12BBn不同媒质分界面上，时变电磁场中的场量满足的关系：不同媒质分界面上，时变电磁场中的场量满足的关系：SttJHH12ttEE21n

19、nBB21snnDD12电介质与理想导体分界面上的边界条件电介质与理想导体分界面上的边界条件实际中常遇到实际中常遇到空气（空气（u u0 0、0 0）与理想导体的分界面）与理想导体的分界面。由于理想导体中由于理想导体中根据导电媒质中根据导电媒质中EJJE因为因为J J为有限值为有限值0E理想导体内部理想导体内部场强处处为零场强处处为零u2u1空气空气理想导体理想导体tBE如果理想导体中如果理想导体中不存在恒定磁场不存在恒定磁场01E01B001111ntntHHBB001111ntntDDEE01B理想导体内部磁理想导体内部磁场处处为零场处处为零01HHB01DEDSttJHH12由由StJH

20、2由由ttEE2102tEnnBB2102nBsnnDD12由由StJH 202tE02nBSnE2即即01E理想导体内部场强处处为零。理想导体内部场强处处为零。snE2n0)(12EEnsJHHn)(12sDDn)(120)(12BBn电介质与理想导体分界面上的边界条件写成矢量形式：电介质与理想导体分界面上的边界条件写成矢量形式：02EnsJHn2sDn202BnStJH 202tE02nBsnD2 理想导体实际是不存在的，但实际中经常会遇到理想导体实际是不存在的，但实际中经常会遇到金属导体边界的情形，可近似将金属导体按理想导金属导体边界的情形，可近似将金属导体按理想导体处理。使边界条件简化

21、，从而使问题得以简化。体处理。使边界条件简化，从而使问题得以简化。 （1）理想导体中不存在电磁场，如果在理想导体理想导体中不存在电磁场，如果在理想导体表面存在电磁场其表面存在电磁场其电场一定垂直于理想导体表面电场一定垂直于理想导体表面；其其磁场则一定平行于理想导体表面磁场则一定平行于理想导体表面。 （2）而且，如果理想导体表面原本没有电流存在，）而且，如果理想导体表面原本没有电流存在，则一定会则一定会因为磁场的存在而感应出面电流因为磁场的存在而感应出面电流；如果理；如果理想导体表面原本没有电荷存在，一定会想导体表面原本没有电荷存在，一定会因为电场的因为电场的存在而感应出面电荷存在而感应出面电荷

22、。总结上述得出三点结论：总结上述得出三点结论：（3）如果理想导体带电或有电流流过，所带电）如果理想导体带电或有电流流过，所带电荷及电流都分布于表面。荷及电流都分布于表面。例：例： 如图所示，在两导体平板如图所示，在两导体平板( (z=0,z=dz=0,z=d) )限定的空限定的空气中传播的电磁波，已知波的电场分量为气中传播的电磁波，已知波的电场分量为)cos()cos(0kxtdzEzE式中式中k k为常数为常数1 1）先求波的磁场分量）先求波的磁场分量2 2）求两导体表面上的面电荷和面）求两导体表面上的面电荷和面电流密度。电流密度。解：解：1 1）试求波的磁场分量；）试求波的磁场分量；由由tBEEtB)( )( )( yExEzxEzEyzEyExxyzxyzxzdxEyz dtkxtdzkEydtxEyBttz)sin()cos(0)cos()cos(0kxtdzEky)cos()cos(000kxtdzEkyBH 理想导体外空气中电场、磁场满足：理想导体外空气中电场、磁场满足：xEyz )sin()cos(0kxtdzkEySJHnsDn两导体表面上的面电荷两导体表面上的面电荷和面电流可由此求出和面电流可由此求出所求磁场分量所求磁场分量EtBsDn在在z=0z=0的导的导体表面上体表面上)cos(00