恒成立问题解决的基本策略

1、“恒成立问题”解决的基本策略一、恒成立问题的基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有：在给定区间上某关系恒成立；某函数的定义域为全体实数R;某不等式的解为一切实数；某表达式的值恒大于a等等恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：一次函数型；二次函数型；变量分离型；根据函数的奇偶性、周期性等性质；直接根据函数的图象。二、恒成

2、立问题解决的基本策略(一)两个基本思想解决“恒成立问题"思路1、mf(x)在xD上恒成立mf(x)max思路2、m”*)在*D上恒成立mf(x)min如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题，我们可以通过习题的实际，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f(x)的最值。这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近年来高考中频频出现的试题类型，希望同学们在日常学习中注意积累。(二)、赋值型一一利用特殊值求解等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对

3、解决填空题、选择题能很快求得例1.由等式x4+aix3+a2x2+asx+a4=(x+1)4+bi(x+1)3+bz(x+1)2+ba(x+1)+b4定义映射f：(ai,a2,a3,a4)-bi+bz+bs+b与则f:(4,3,2,1)-()A.10B.7C.-1D.0略解：取x=0,则a4=1+b1+b2+b3+b4,又a4=1,所以b+d+d+bd=0,故选D例2.如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x=一对称，那么a=().A.1B.-1C.2D.-.2.略解：取x=0及x=，贝ijf(0)=f(一),即a=-1,故选B.此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.(

4、三)分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略1、一次函数型：若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷给定一次函数y=f(x)=ax+b(a，0),若y=f(x)在m,n内恒有f(x)>0,则根据函数的图象(直线)可得上述结论等价于f(m)0f(m)0t同理，若在m,n内恒有f(x)<0,则有一Lf(n)0Lf(n)0例2.对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化

5、为在卜2,2内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>0在|a|2时恒成立，设f(a)=(x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在-2,2上恒大于0,故有：f(2)0口x24x30x蜒x1'7即解得：f(2)x210x1或x1x<-1或x>3.即xG(8,-1)U(3,+8)此类题本质上是利用了一次函数在区间m,n上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方(或下方)即可.2、二次函数型涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方法，在今后的解题中自觉运用。(1)若二次函数y=a

6、x2+bx+c(a20)大于0恒成立，则有a0日.0(2)若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解。例3.若函数f(x)/2.2,.2,»,旧(a1)x(a1)x的定义域为R,求实数a的取值范围a1221)x(a1)xJ0在R上恒成立问题，并且注意对二次项,.2分析：该题就转化为被开方数(a2系数的讨论.解：依题意，当xR时,22,-2一(a1)x(a1)x0恒成立,a1所以，当a21一,a2100,即当a10,时，aa10,1,22此时(a1)x(a1)x当a210时，即当10,a1.a1a210,222时,(a1)24(a21)-0'a1

7、a2110a90,1a9,综上所述，f(x)的定义域为r时，a1,92一一.一例4.已知函数f(x)xax3a,在R上f(x)0恒成立,的取值范围.分析：yf(x)的函数图像都在X轴及其上方，如右图所示：略解：43a4a1206a2变式1：若x2,2时,f(x)0恒成立，求a的取值范围.分析：要使2,2时,f(x)0恒成立，只需f(x)的最小值g(a)0即可.解：f(x)当-2a不存在.3,令f(x)在2,2上的最小值为g(a).当2综上所述，变式2:若2,4时,g(a)f(2)73a0，g(a)af(2)2.4时,g(a)f(2)77又Qax2,2时，f(x)2恒成立，求a的取值范围.解法一

8、：分析：题目中要证明f(x)2在2,2上恒成立，若把2移到等号的左边,则把原题转化成略解:(i)左边二次函数在区间f(x)axf(2)f(2)4(10a)2,2时恒大于等于0的问题.0,即f(x)2xaxa0在2,2上成立.a2或亘综上所述，5a2,22.解法二：(运用根的分布)当4时,g(a)f(2)3a4,a不存在.当22-2.22a2.224a2.22一,a_当-2,即a4时，g(a)f(2)7a2,a55a4综上所述5a2.,22.此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，对轴与区间的位置进行分类讨论；还有与其相反的，轴动区间定，方法一样.对于二次函数在R上恒成立问题往往采用

9、判别式法(如例4、例5),而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题3、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x取值范围内的任何一个数都有f(x)>g(a)恒成立，则g(a)<f(x);若对于x取值范围内的任何一个数，都有f(x)<g(a)恒成立，则g(a)>f(x)max.(其中f(x)max和f(x)mm分别为f(x)的最大值和最小值)222例5

10、.已知二个不等式x4x30,x6x80,2x9xm0.要使同时满足的所有x的值满足，求m的取值范围.略解：由得2<x<3,要使同时满足的所有x的值满足，即不等式2x29xm0在x(2,3)上恒成立，即m2x29x在x(2,3)上恒成立，又2x29x在x(2,3)上大于9,所以m9例6.函数f(x)是奇函数，且在1,1上单调递增，又f(1)1,若f(x)t22at1对所有的a1,1都成立，求t的取值范围.解：据奇函数关于原点对称，f(1)1,又f(x)在1,1上单调递增f(x)maXf(1)1f(x)t22at1对所有的a1,1都成立.因此，只需t22at1大于或等于“刈在1,1上的

11、最大值1,t22at11t22at0又对所有a1,1都成立，即关于a的一次函数在-1,1上大于或等于0恒成立，t22t0t22t0t2或t0或t2即：t(,202,)利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题4、根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x,f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x)恒成立；若函数y=f(x)的周期为T,则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。5、直接根据图象判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这

12、种方法更显方便、快捷。例7.对任意实数x,不等式x1x2a包成立，求实数a的取值范围分析：设y=|x+1|-|x-2|,对任意实数x,不等式|x1y=|x+1|-|x-2|的最小值，画出此函数的图象即可求得a的取值范围.a恒成立即转化为求函数3yx1x22x13在直角坐标系中画出图象如图所示，由图象可看出，要使对任意实数x,不等式x1a恒成立，只需a3.故实数a的取值范围是(对任意实数x,不等式xa恒成立,求实数将为a>3;对任意实数x,不等式xx2a恒成立，求实数a同样由图象可得对任意实数x,不等式x1x2a恒成立，求实数a,构造函数，画出图象，得a<3.利用数形结合解决恒成立问

13、题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围三、在恒成立问题中，主要是求参数的取值范围问题，是一种热点题型，介绍一些基本的解题策略，在学习中学会把问题分类、归类，熟练基本方法。(一)换元引参，显露问题实质1、对于所有实数X,不等式_22.4(a1)2a.(a1)一xlog22xlog2log22-0恒成立，求a的取值范围。aa14a2a2a解：因为log2±一的值随着参数a的变化而变化，若设tlog2,a1a1则上述问题实质是“当t为何值时，不等式(3t)x22tx2t0恒成立”。这是我们较为熟悉的二次函数问

14、题，它等价于3t0求解关于t的不等式组：(2t)28t(3t)0a1。222、设点P(x,y)是圆x2(y1)24上任意一点,(二)分离参数，化归为求值域问题J、,，24m10成立，求m的范围3、右对于任意角息有sin2mcos解：此式是可分离变量型，由原不等式得m(2cos2a。解彳110,即有log20,易得0a1若不等式x+y+c0恒成立，求实数c的取值范围4)cos22cos又cos20,则原不等式等价变形为2mcos恒成立2cos根据边界原理知，2m必须小于f()cos一的最小值，这样问题化归为怎样求22coscos2的最小cos22值。因为f()coscos2，一、2，(cos2)

15、4(cos2)4cos2cos24即cos0时，有最小值为0,故m0。cos2440(三)变更主元，简化解题过程24、右对于0m1,万程xmx2m10都有实根，求实根的范围。解：此题一般思路是先求出方程含参数m的根，再由m的范围来确定根x的范围，但这样会遇到很多麻烦，若以m为主元，则m(x2)(1x)2,由原方程知x2,得m1x21x2又0m1,即01解之彳导31.1325、当a1时,若不等式2x(a6)x93a0恒成立，求x的取值范围。(四)图象解题，形象直观6、设x(0,4,若不等式Jx(4x)ax恒成立,求a的取值范围。解：若设y1Jx(4x),则(x2)2y24(y10)为上半圆。ax

16、,为过原点，a为斜率的直线。在同一坐标系内作出函数图象x2依题意，半圆恒在直线上方时，只有a0时成立，即a的取值范围为a0。7、当x(1,2)时，不等式(x-1)2<logax恒成立,求a的取值范围。解：设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线要使对一切x(1,2),y1<y2恒成立，显然a>1,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y的函数值。故loga2>1,1<a2.8、已知关于x的方程lg(x2+4x)-lg(2x-6a-4)=0有唯一解，求实数a的取值范围。解：令y1=x2+4x=(x+2)2-4,y2=2x-6a-4

17、,y1的图象为一个定抛物线y2的图象是k=2,而截距不定的直线，要使y1和y2在x轴上方有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间。(包括l1但不包括l2)当直线为l1时，直线过点(-4,0),此时纵截距为-8-6a-4=0,a=2；2 一2当直线为L时，直线过点(0,0),纵截距为-6a-4=0,a=一.-.a的范围为2)3 3分析：方程可转化成lg(x2+4x)=lg(2x-6a-4),从而得x2+4x=2x-6a-4>0,注意到若将等号两边看成是二次函数y=x2+4x及一次函数y=2x-6a-4,则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。(五)合理联想，运用平几性质222

18、9、不论k为何头数，直线ykx1与曲线xy2axa2a40恒有交点，求a的范围。22解：(xa)y42a,c(a,0),当a2时，联想到直线与圆的位置关系，则有点a(0,1)2必在圆上或圆内，即点a(0,1)到圆心距离不大于半径，则有a12a4(a2),得1a3。分析：因为题设中有两个参数，用解析几何中有交点的理论将二方程联立，用判别式来解题是比较困难的。若考虑到直线过定点a(0,1),曲线为圆(六)分类讨论，避免重复遗漏10、当|m|2时，不等式2x12m(x1)怛成立,求x的氾围。解：使用|m|2的条件，必须将m分离出来，此时应对1进行讨论。当x20时，要使不等式2x1一m恒成立,1只要2

19、x12,13解彳导1x当x20时，要使不等式2x-2x1.一m怛成立,1只要2x当0时,要使2x解法2:可设f(m)(x21)m11、当13时,不等式(七)构造函数，体现函数思想12、(1990年全国高考题)设f(x)的自然数，且n2,如果域。四、1.7解得20恒成立，只有x1。综上得(2x1),用一次函数知识来解较为简单。2ax60恒成立，求实数a的取值范围。1x2x3xigf(x)当x(解：本题即为对于x(,1,有1x2x1.72X4X_(n1)na,其中a为实数,1时有意义，求a的取值范围。n为任意给定(n1)x0恒成立。这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手，若考虑到求(1)xn

20、(2)xn(=)x(nn2)，对于x(构造函数由于函数的范围，可先将a分离出来，得1恒成立。g(x)U(x)则g(x)在(1)xn(2)xnn1x,、(),则问题转化为求函数g(x)在xn(,1上的值(与x(kn1,2,1上为单调增函数。于是有n1)在x(,1上是单调增函数,g(x)的最大值为：g(1)i(n1),从而可得1&(n1)。同步跟踪练习对任意的实数x,若不等式a恒成立，求实数a的取值范围2、已知函数f(x)1lg(2x22xR),对任意的xR都有意义，求实数m的取值范围3、知f(x)是定义在(，3的单调减函数，且f(a2sinx)f(a1cos2x)对一切实数x成立，求实数

21、a的取值范围。4、当a、b满足什么条件时，关于x的不等式(x21)ax(a5)31对于一切实数x恒成立?5、已知f(x)=x32IaxbxC,在x=1与x=-2时,都取得极值。11)求a、b的值;(2)若x-3,2都有f(x)>求实数c的取值范围。解、(1)a=,b=-6.2(2)由f(x)min=-7+C>1-1得2c23.1323.1326、定义在定义域D内的函数yf(x)，若对任意的Xi,X2D，者B有|f(x1)f(x2)|1,则称函数yf(x)为“接近函数”，否则称“非接近函数”函数f(x)x3xa(x1,1,aR)是否为“接近函数”？如果是,请给出证明；如果不是，请说明理由.解：因为|f(x1)f(x2)|fmaxfmin函数f(x)xa(x1,1,a2R导数