数理统计概率和抽样定理复习

1、数理统计复习概率论部分1、事件间的运算关系:关系符号概率论的定义包含A匚B事件A发生必然导致事件B发生相等A=BAB而且B=A和（并）A+B(AUB)事件A与B中至少一个事件发生积（交）AB：AAB)事件A与B同时发生差AB事件A发生同时B不发生互不相容AB=0事件A与B不可能同时发生对立A事件A不发生2、事件的运算规律运算律公式交换律A+B=B+A,AB=BA结合律(A+B)+C=A+(B+C),(AB)C=A(BC)分配律(A+B)C=AC+BC,A+(BC)=(A+B)(A+C)差积转换律A-B=AB=A-AB对立律AA=0,A+A=Q对偶律a+b=AB,ab=a+B互不相容与对立事件的

2、关系概率的定义定义公式古典概率m_A所含的基本事件数P（A尸n一基本事件总数公理化定义对样本空间中任意事件A对应的一个实数P（A）,满足(基本性质)公理1(非负性)：0&P(A)W1公理2(规范性)：pg)=i,p(0)=o公理3(可加性):若Ai,A2,%，两两互不相容，P(Ai+A2+TAn+尸P(Ai)+P(A2)+P(An)+则称P(A)为随机事件A的概率。(五)概率的计算公式名称计算公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)若A、B立/、相容(AB=0):P(A+B)=P(A)+P(B)对立事件公式P(A)=1-P(A);P(A)=1-P(A)事件之差公式P(A

3、-B)=P(A)-P(AB)若BuA,P(A-B)=P(A)-P(B)条件概率公式P(B|A)=P(AB),(P(A)>0)P(A)乘法公式若P(A)>0,P(AB)=P(A)P(B|A)若P(B)>0,P(AB)=P(B)P(A|B)当P(A1A2-An-1)>0时，有P(A1A2An)=P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)P(AnA1A2,An-1)独立事件公式A、BffiM":P(AB)=P(A)P(B)A1,A2,，An相互独立：P(A1A2-An)=P(A1)P(A2)-P(An)全概率公式若A1,A2,，An为完备事件组，对事件Bnp(b)=

4、£P(A)P(B|A)i凸逆概率公式若A1,A2,，An为完备事件组，P(B)>0(贝叶斯公式)P(Aj|B)_P(Aj)P(B|Aj)n2P(A)P(B|A)i二完备事件组1.Ai,A2,An立/、相容且P(Ai)>0(i=1,2,，n);A1,A2,，2.A1+A2+一,+An=QAn独立与互不相容的关系二、随机变量及其函数分布1、随机变量的定义2、离散型随机变量：概率分布列及其性质，分布函数，求事件概率，一些特殊的离散型随机变量及其分布，随机变量函数的概率分布列3、连续型随机变量：密度函数及其性质，分布函数，求事件概率，一些特殊的连续型随机变量及其密度函数，特殊的，

5、正态分布的所有性质，及其总体是正态分布的事件概率的计算。4、数字特征：期望，方差及其性质和计算，随机变量函数的期望和方差；协方差，相关系数及其性质和计算，熟记特殊分布的期望和方差5、二维离散型随机向量：联合概率分布列，边缘分布，独立性的判断，求事件的概率，求各自的期望，方差。习题1、设连续型随机变量X的分布函数为xF(x)=ABe"x00,x<0求：(1)常数A、B;(2)概率密度函数f(x)0解：(1)由分布函数的性质F(+8)=1得xF(+oo)=ljmJa+Be2)=A=1,再由分布函数的连续性知其右极限F(0+0)=F(0)，即xF(0+0)=xlimo(ABe2)=A

6、B=0联立上述两式，解之得：A=1,B=-1则分布函数为F(x)=1-屋0,(2)所求密度函数为1-xf(x)=F(x)=；260,2、设随机变量心区间1,6上服从均匀分布，求方程x2+tx+1=0有实根的概率。解：易知方程x2+Mx+1=0有实根当且仅当A=t2-4>0,即|目2。故所求问题转化为：已知U1,6,求P|q>2。现因在1,6上服从均匀分布，则3勺概率密度为1f(x)=<50,1MxM6,其他.方程x2+Ex+1=0有实根的充要条件是A=t2-4>0,即|42,故P同22=1Pg<2=1-P-2<<2212114=1-f(x)dx=1-(

7、0dx-Idx)=1-工15553、设随机变量X和Y独立，且X服从均值为1,标准差为应的正态分布，而Y服从标准正态分布，试求随机变量Z=2X-Y+3的概率密度函数。由于X和Y相互独立且都服从正态分布，所以Z作为X,Y的线性组合也服从正态分布，故只需求E(Z)和D(Z)就可确定Z的概率密度函数了。由题设知，XN(1,2),YN(0,1)。则由期望和方差的性质得E(Z)=E(2X-Y+3)=2E(X)-E(Y)+3=5D(Z)=D(2X-Y+3)=如(X)+D(Y)=9.又因X,Y是相互独立的正态随机变量，Z是X,Y的线性函数，故Z也为正态随机变量，即ZN(J,C2),且=E(Z)=5,c2=D(

8、Z)=9o则Z的概率密度为抽样定理1.设总体XN(NP2),其中内O2为已知数，Xi,X2,，Xn来自X的一个样本，X,S2分别是样本均值和方差，且相互独立，则样本均值X分布，-222而统计量X!三分布，统计量七二分布，统计量.一4分布。:/.nS/Jn二2 .设xi,X2,，X20是来自N(10,1)的一个简单样本，x是其样本均值，则X服从分布，E(X)=,D(X)=；PX>10=。3 .设随机变量X和Y相互独立而且都服从正态分布N(0,32)，而X3X2,X9和丫1,丫2,，Y9分别是来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量X1X9U：一9Y2丫；服从分布，参数为。4 .设Q,U是两个相互独立的