方程与不等式之一元二次方程难题汇编含解析

1、方程与不等式之一元二次方程难题汇编含解析一、选择题31.设X1,X2是万程x2x20160的两实数根，则Xi2017x22016的值是()A.2015B.2016C.2017D,2018【答案】C【解析】【分析】3米用降次”思想，将X1转化为2017X12016,再利用根与系数的关系可得答案.【详解】2X1,X2是万程XX20160的两实数根2.X1+x2=1,X1X1201602x1=x1201632X1=X12016X1=X120162016x1=2017x12016x132017x22016=2017x120162017x22016=2017xx,=2017故选C.【点睛】b本题考查一兀

2、二次万程根与系数的关系，熟记公式Xx2=，以及采用降次思想进行a转化是解题的关键.2.某商品原价为100元，第一次涨价40%,第二次在第一次的基础上又涨价10%,设平均每次增长的百分数为x,那么x应满足的方程是()40%10%A. x=2B. 100(1+40%)(1+10%)=(1+x)2C. (1+40%)(1+10%)=(1+x)2D. (100+40%)(100+10%)=100(1+x)2【答案】C【解析】【分析】设平均每次增长的百分数为X,根据某商品原价为100元，第一次涨价40%,第二次在第一次的基础上又涨价10%,得到商品现在的价格，根据某商品原价为100元，经过两次涨价，平均

3、每次增长的百分数为x”，得到商品现在关于x的价格，整理后即可得到答案.【详解】设平均每次增长的百分数为X.某商品原价为100元，第一次涨价40%,第二次在第一次的基础上又涨价10%,商品现在的价格为：100(1+40%)(1+10%).某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为X,商品现在的价格为：100(1+x)2,100(1+40%)(1+10%)=100(1+x)2,整理得：(1+40%)(1+10%)=(1+x)2.故选C.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键.3 .已知x=1是一元二次方程十力1+1=0的解，则

4、b的值为()A.0B.1C.|-2D.2【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义，把x=1代入x2+bx+1=0得关于b的一次方程，然后解一次方程即可.【详解】解：把x=1代入x2+bx+1=0得1+b+1=0,解得b=-2.故选：C.【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.4 .已知一元二次方程a(xx)(xx2)0(aw。x1w2)与一元一次方程dxe0有一个公共解x=x1，若一元二次方程a(xx)(xx2)dxe0有两个相等的实数根，则()A.ax1x2dB.ax2x1d22C.ax1x2dD.ax2x1d【答案】B【解析

5、】【分析】由x=x1是方程a(xx1)(xx2)0(aw。小金区)与dxe0的一个公共解可得x=x1是方程a(x为)(xx2)dxe0的一个解，根据一元二次方程根与系数的关系可得xi+xi=(ax1ax2d),整理后即可得答案.a【详解】1a(xx)(xx2)0(aw。x#2)与dxe0有一个公共解x=xi,，x=xi是方程a(xx1)(xx2)dxe0的一个解，2a(xx1)(xx2)dxeax(ax1ax2d)xax1x2e0,一元二次方程a(xx1)(xx2)dxe0有两个相等的实数根，(ax1ax2d)xi+xi=12-,a1-a(x2-xi)=d,故选：B.【点睛】本题考查一元二次方

6、程ax2+bx+c=0(aw第与系数的关系，若方程的两个根为xi、x2,那么bcxi+x2=,xix2=；熟练掌握韦达7E理是解题关键.aa5.一列自然数0,i,2,3,i00.依次将该列数中的每一个数平方后除以i00,得到一列新数.则下列结论正确的是()A.原数与对应新数的差不可能等于零B.原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大C.当原数与对应新数的差等于2i时，原数等于30D.当原数取50时，原数与对应新数的差最大【答案】D【解析】【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解.【详解】i2解：设原数为m,则新数为m2,i00设新数与原数的差为y易得，当i2mi00m=0时,

7、i00y=0,则A错误ii00b2a50时，y有最大值.则B错误，D正确.i00,，12当y=21时，mm=21100解得n=30,m2=70,则C错误.故答案选：D.【点睛】本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号.6 .以3和4为根的一元二次方程是（）2A. x7x120B. x27x120Cx27x1202_D.x7x120【答案】A【解析】【分析】分别求出各个选项中一元二次方程的两根之和与两根之积，进行判断即可.【详解】A、在x2-7x+12=0中，x+x2=7,x1x2=12,此选项正确；B、在x2+7x+12=0中，x1+x2

8、=-7,x1x2=12,此选项不正确；C、在x2+7x-12=0中，x1+x2=7,x1x2=-12,此选项不正确；D、在x2-7x-12=0中，x1+x2=-7,x1x2=-12,此选项不正确；故选：A.【点睛】本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（awp的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2,则x1+x2=,x1?x2=.aa7 .下列方程中，是一元二次方程的为（）21-2A.x2+3x=0B.2x+y=3C.x0D,x（x2+2）=0x【答案】A【解析】【分析】本题根据一元二次方程的定义解答.一元二次方程必须满足四个条件：（1）含有

9、一个未知数；（2）未知数的最高次数是2;（3）二次项系数不为0;（4）是整式方程.由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案.【详解】A.符合一元二次方程定义，正确；B.含有两个未知数，错误；C.不是整式方程，错误；D.未知数的最高次数是3,错误.故选:A.【点睛】考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键8.关于方程x2-4J2x+9=0的根的情况，下列说法正确的是()A.有两个相等实根B.有两个不相等实数根C.没有实数根D.有一个实数根【答案】C【解析】【分析】找出方程a,b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断.【详解】这里a=1,b=

10、-4右，c=9,-=b2-4ac=32-36=-4<0,.方程无实数根.故选：C.【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：(1) >0?方程有两个不相等的实数根；(2) A=0?方程有两个相等的实数根；(3) <0?方程没有实数根.9.代数式x2-4x+5的最小值是()A.-1B.1C.2D.5【答案】B【解析】2x-4x+52=x-4x+4-4+5=(x2)2+1(x2)2>Q2(x2)+1>1，代数x2-4x+5的最小值为1.故选B.点睛：解这类题时，通常先通过配方把原式化为、个完全平方式”和工个常数”的和的形任何代数式的平方都式，再

11、把完全平方式分解因式化为一个代数式的平方的形式，就可由是非负数”可知原式的最小值就是那个10.欧几里得的原本记载，形如x2axb2的方程的图解法是：画RtABC,使八一aACB90°，BCACb,2再在斜边AB上截取BDa.则该方程的一个正根是2A. AC的长【答案】BB. AD的长C. BC的长D. CD的长【解析】【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出即可发现结论.AB的长，进而求得AD的长,用求根公式求得:Xi4b2a2a；x24b2a2a2AB90,BCa2,ACb,2b2a44b2a2a2AD的长就是方程的正根.故选B.【点评】考查解关键.二次方程已经勾股定

12、理等，熟练掌握公式法解二次方程是解题的11.一元二次方程x2=-3x的解是（）A. x=0【答案】DB. x=3C. xi=0,X2=3D. xi=0,x2=3先移项，然后利用因式分解法求解.【详解】解：（1）x2=-3x,x2+3x=0,x(x+3)=0,解得：X1=0,X2=-3.故选：D.【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.12.已知XI、X2是关于x的方程X2-ax-2=0的两根，下列结论一定正确的是()A.X1W2B,X1+X2>0C.X1?X2>0D,X1V0,X2<0【答案】A【解析】分析：A、根据方程的系数结合根的

13、判别式，可得出q。,由此即可得出X1W2,结论A正确；B、根据根与系数的关系可得出X1+X2=a,结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；C、根据根与系数白关系可得出X1?X2=-2,结论C错误；D、由X1?X2=-2,可彳#出X1V0,X2>0,结论D错误.综上即可得出结论.详解：A=(a)24X1X(2)=a2+8>0, 1-X12,结论A正确；B>-.XKX2是关于x的方程X2-aX-2=0的两根，X1+X2=a,a的值不确定， .B结论不一定正确；CX1、X2是关于x的方程x2-aX-2=0的两根， X1?X2=-2,结论C错误；D、X1?X2=-2, X1<

14、0,X2>0,结论D错误.故选A.点睛：本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记当4>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.13.代数式x24x5的最小值是()A.5B.1C.4D,没有最小值【答案】B【解析】【分析】此题考查了配方法，若二次项系数为1,则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1,则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算.【详解】-x2+4x+5=x2+4x+4-4+5=(x+2)2+1(x+2)2rq-1(x+2)2+1>当x=-2时，代数式x2+4x+5的最小值为1.故选：B.【点睛】此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤

15、.注意在变形的过程中不要改变式子的值.14.下列方程中，是一元二次方程的是()21A.x-1B.xy10x,“2-C.(x+1)(x-2)=0D.x1x1x2x【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可.【详解】A、是分式方程，故此选项错误；B、是二元二次方程，故此选项错误；C、是一元二次方程，故此选项正确；D、整理后是一元一次方程，故此选项错误；故选：C.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2

16、.15.用配方法解方程x28x90,变形后的结果正确的是()2222A.x49B,x47C.x425D.x47【答案】D【解析】【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可【详解】2x8x90,2x8x9,x28x42942,所以x47,故选D.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关Ir16,已知关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+m=0有两个不相等的实数根xi,X2,若4+=4m,则m的值是()Xx2A.2B.-1【答案】A【解析】【分析】先由二次项系数非零及根的判别式围，再根据根与系数的关系可得出

17、的值.【详解】C.2或-1D.不存在>0,得出关于m的不等式组，解之得出m的取值范m2111xi+x2=,x1x2=一,结合=4m,即可求出mm4Xx2;关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+=0有两个不相等的实数根x1、x2,4m0c2m-，m24m04解得：m>-1且mO,xkx2是方程mx2-(m+2)*+?"=0的两个实数根，m21-x1+x2=x1x2=一,m411-1=4m,XX2m2=4m,m=2,故选A.【点睛】本题考查了根与系数的关系、元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：根据b二次项系数非零及根的判别式4A0,找出关于m的不等式组；牢记两根

18、之和等于-一、ac两根之积等于一.,2217.已知b24ac是一兀二次万程axabxc0a0的一个实数根，则ab的取值范围为（）A八1A. ab一8【答案】B【解析】【分析】B. abC. abD. ab设u=b24ac，利用求根公式得到关于u的两个一元二次方程，并且这两个方程都有实根，所以由判别式大于或等于0即可得到ab.8【详解】因为方程有实数解，故b2-4ac>0b,b24ac,2b,b24ac,22-由题思有：b4ac或b4ac,iu=Jb4ac2a2a则有2au2-u+b=0或2au2+u+b=0,（aw。,因为以上关于u的两个一元二次方程有实数解，所以两个方程的判别式都大于或

19、等于0,即得到1-8ab>0,1所以ab<-.8故选B.【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（awQa,b,c为常数）的求根公式:b.b24ac2,x=（b-4ac>°.2a18.某商品经过连续两次降价，销售单价由原来100元降到81元.设平均每次降价的百分率为x,根据题意可列方程为（）2222A.1001x81B.811x100C.811x100D.1001x81【答案】D【解析】【分析】此题利用基本数量关系：商品原价X（1-平均每次降价的百分率）=现在的价格，列方程即可.【详解】2由题意可列万程是：1001x81.故选：D.【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于列出方程19