-函数展开成幂级数PPT学习教案

1、会计学1-函数展开成幂级数函数展开成幂级数1幂级数的和函数在其收敛区间内是连续的) ,()(0RRCxfxannn在收敛区间端点处是指和函数的左、右连续性. , ) 1 , 1( 0其和为：内收敛在nnx)1 , 1( 11)(Cxxf第1页/共42页2幂级数在其收敛区间内具有逐项可积性 dd)(00 0 0 nxnnxnnnttatta在幂级数的收敛区间内, 其和函数连续, 故幂级数的和函数在收敛区间内可积, 当然,幂级数也在其收敛区间内可积.逐项积分得到的新幂级数与原幂级数具有相同的收敛半径, 但端点处的敛散性可能改变.第2页/共42页3幂级数在其收敛区间内具有逐项可导性 . )(dddd

2、00nnnnnnxaxxax逐项求导得到的新幂级数与原幂级数具有相同的收敛半径, 但要注意：由于常数的导数为零, 故有些幂级数在求导后要改变下标的起始值 .112022)(dd nnnnxnxx例如第3页/共42页 . )1 | ( , 11xxnnn求 , nan由于, 11lim|lim1nnaannnn . ) 1 , 1( 11内可逐项积分在故nnxn d d) (0 10 111xnxnnnxxnxxn . 11xxxnn首项为 x , 公比为 x .例1解 d) (dd 0 1111 xnnnnxxnxxn从而xxx 1dd . ) 1 | ( , )1 (12xx . 1 R即第

3、4页/共42页111 212212 xnnnnnxnn1211 212212 xnnnnnxnn12211 212212 xnnnnnxnn 符合积分要求了分析 . 212 1之值求nnn例2第5页/共42页 . )2 , 2( 212122的收敛区间为nnnxn , )2 , 2( 中在 10 220 122d 212 d) 212(nxnnxnnnxxnxxn1122nnnx122 1nnxx22xx 等比级数 . 212 1之值求nnn例2解21222 dd 212 xxxxnnnn故222)2(2xx , 1 得取x . 3 )2(221212221xnnxxn第6页/共42页 , )

4、 1 |(| 5312 53112之和求xxxxnxnn. ) 12(21 1的值并由此求nnn ,12)( ,12则由令这是缺项的幂级数nxxunn , 1212lim| )(| )(|lim 221xxnnxuxunnnn . , 1 | ,原级数绝对收敛时得x例3解由幂级数在其收敛区间内的逐项可导性, 得1121121212nnnnnxnx122nnx , 111242xxx第7页/共42页xnnxxnx0 2112d1112 故xxxxd1111 210 . ) 1 | ( , 11ln 21xxx第8页/共42页 ) 12(21 1？的值如何求nnn ) 1 |(| 11ln 211

5、2 112xxxnxnn已知11 12 21 ) 12(21 nnnnnn 12 )2(112nnn112 12 21 21nnn . 1)2ln( 21 21 x取 请自己完成例3分析第9页/共42页在收敛区间内对幂级数逐项求导、逐项积分后, 得到一个新的幂级数, 且它与原幂级数具有相同的收敛半径 . 如有必要,可对它连续进行逐项求导和逐项积分.就是说, 在收敛区间内幂级数的和函数具有任意阶的导数及任意次的可积性. 幂级数的性质多好啊 ！第10页/共42页 如何将函数表示为幂级数?怎么做？怎么做？第11页/共42页 ,将函数表示为我们在前面已经遇到过实际上 泰勒公式：多项式的情形200000

6、)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf . )o()(! )(000)(nnnxxxxnxf 马克劳林公式： . )o( ! )0( ! 2)0( )0()0()()(2nnnxxnfxfxffxf 吗？还记得公式的推导过程第12页/共42页 将函数展开为幂级数得的问题是否就是将函数展开为泰勒级数的问题?第13页/共42页一个幂级数在其收敛区间内代表一个函数, 即它的和函数:) ,( )(0RRxxSxannn任意一个函数能否在某一个区间内表示为某一个幂级数的形式呢 ? 即是否有 ? ) )( ( )()(00 xfxxaxfnnn ? 如何确定系数na? )( 的关系如何与xfa

7、n工程需要泰勒公式问题第14页/共42页 )( )U( )( 000即的和函数，内为幂级数在若nnnxxaxxf)U( ,)()( 000 xxxxaxfnnn . ), 2, 1, 0( ! )( 0)(nnxfann则定理第15页/共42页证证由定理的条件可知, , )U( 0内幂级数收敛在x, )U( 0内可对其进行逐项求导故在x且其和函数. )U( )(0内具有任意阶导数在xxf于是有nnxxaxxaxxaaxf)()()()(020201010203021)()(3)(2)(nnxxnaxxaxxaaxf 204032)(34)(232)(xxaxxaaxf20)() 1(nnxxa

8、nn)( 23) 1() 1(! )(01)(xxannnanxfnnn第16页/共42页则有代入上述各式以 , 0 xx , )(00 xfa , )(01xfa, ! )(0)(nxfann由数学归纳法, 得), 2 , 1 , 0( )(0)(nnxfann！该定理说明, 内为某个在如果 )U( )( 0 xxf000)()(! )(nnnxxnxf幂级数的和函数, 则该幂级数一定是下列形式:第17页/共42页 )( 0则称有任意阶导数，在点设xxf000)()(! )(nnnxxnxf . )( 0处的泰勒级数在点为xxf 定理和定义给我们提供了什么信息 ?第18页/共42页定理和定义

9、告诉我们：0 )( xxf在点如果处有任意阶导数, 则它就有一个相应的泰勒级数存在. 但此泰勒级数不一定收敛, 即算收敛, 其和函数也不一定等于. )(xf就是说,函数与它的泰勒级数间划等号是有条件的.)U( )( 0 xxf在如果内可表示为幂级数的形式, 则该幂级数一定是函数 f ( x ) 的泰勒级数.第19页/共42页问问 题题 ,在什么条件下 ? )U( )(0数呢内可以展开为一个幂级在xxf )( , )(呢？且和函数等于的泰勒级数收敛xfxf ,在什么条件下第20页/共42页回忆泰勒中值定理的构建过程 , ) 1( )U( )( 0则阶的导数内有直到在设nxxf , )()(! )

10、()(000)(xRxxkxfxfnnkkk . )(! ) 1()()( 10)1(为拉格朗日余项其中nnnxxnfxR由级数的部分和及收敛性质看出一点什么没有 ?第21页/共42页定理 , )U( )( 0内具有任意阶导数在设xxf内处的泰勒级数在在点则 )U( )( 00 xxxf的充要条件是收敛于 )( xf0)(limxRnn )( )( ,0处泰勒公式的拉在为其中xxfxRn. 格朗日余项第22页/共42页证 )(! )( 000)(的部分和为级数nnnxxnxf )(! )()(000)(knkknxxkxfxS )( 的泰勒公式为函数xf )()(! )()(000)(xRxx

11、nxfxfnknkk)()()( xSxfxRnn故 余下的工作由学生自己完成.第23页/共42页10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR) , 2 , 1 , 0( | )(| )(nMxfn若第24页/共42页推 论, 0 ), 2, 1, (0, | )(| )U( )(0为常数内若在MMxfxn )U( )( 0内可展开为泰勒级数在则xxf. )U( ,)(! )()(0000)(xxxxnxfxfnnn第25页/共42页证（提示） )(! ) 1()( | )(| 010)1(nnnxxnfxR)( 0! ) 1(1nnMn . ) (为邻域半径 . )( 0! lim

12、,Ranann此外自己做!第26页/共42页0)( ! )0(nnnxnf 2! 2)0()0()0(xfxffnnxnf ! )0()( , 0 0级数即得到常用的马克劳林在泰勒级数中取x第27页/共42页 , )( 0处具有任意阶导数在点只要函数xxf就可写出它的泰勒级数. 但它的泰勒级数不一定收敛,. )(xf只有当拉格朗日余项 0)()(nxRn时, 泰勒级数才收敛于 . )(xf一个函数如果能够展开为幂级数形式, 则该幂级数一定是它的泰勒级数, 且这种展开是唯一的. )(也不一定等于xS即使收敛,其和函数第28页/共42页函数展开为幂级数直接展开法间接展开法第29页/共42页该方法是

13、先求出函数 , )( )()(xfxfn的导数写出它的泰勒级数,然后, 判断泰勒公式中的拉格朗日余项是否满足, 0)(limxRnn确定级数的收敛区间.第30页/共42页. )( 为马克劳林级数展开xexf) , 2 , 1 , 0( 1)0(0)(nefxxn 的马克劳林级数为xe0! nnnx! 1nxxn 011lim|lim 1naannnn由于 . ,R该级数的收敛半径为所以例4解解第31页/共42页 ! ) 1(| |! ) 1()( | | )(| 0 1| | 1)1(nxexnfxRnxnnn而 ) 0 (之间与在x , )( 0! lim Ranann因为 ) ) ,( 0

14、! ) 1(|lim 1| xnxenxn所以 , 0)(lim 故所求马克劳林级数为即xRnn . ) ,( , ! 0 xnxennx第32页/共42页 . sin)( 展开为马克劳林级数将xxf , )2sin()( )(nxxfn因为)( 12 ,) 1( 2 , 0 )0( ,)(Zkknknfkn所以 sin 的马克劳林级数为故x1121 ) 12() 1(nnnnx！! 5! 353xxx例5解解第33页/共42页 , ! ) 12() 1()( 121nxxunnn记 02) 12(lim|lim21nnxuunnnn . R故该级数的收敛半径为) , 2 , 1 , 0( 1

15、 | )0(| )(nfn因为 , sin ,即林级数可以展开为它的马克劳所以x). ,( , ! ) 12() 1(sin1121xnxxnnn第34页/共42页从一些已知函数的泰勒展开式出发, 利用幂级数的四则运算和解析运算性质, 以及进行适当的变量代换来求出另外一些函数的泰勒公式的方法, 称为间接展开法.第35页/共42页 . cos)( 展开为马克劳林级数将xxf)(sincosxx ) ! ) 12() 1( (1121nnnnx1121) ! ) 12() 1(nnnnx1221 ! )22() 1(nnnnx. ) ,( , ! )2() 1(02xnxnnn例6解解第36页/共42页) ,( ! ) 12() 1(sin012xnxxnnn) ,( ! )2() 1(cos02xnxxnnn第37页/共42页 . )( 2展开为马克劳林级数将xexf, 2xy令 , ) ,( , ! 0ynyenny因为 . ) ,( ,! ) 1( 022xnxennnx所以利用变量代换例7解解第38页/共42页 . )3( 1)(的幂级数为展开xxxf) 3(