第二章 大学物理波动-1

1、1波波 动动第二章第二章（Wave）2振动与波动振动与波动区别区别联系联系振动研究一个质点的运动。振动研究一个质点的运动。波动研究大量有联系的质点振动的波动研究大量有联系的质点振动的集体表现。集体表现。振动是波动的根源。振动是波动的根源。波动是振动的传播。波动是振动的传播。3振动是波动的基础，波动是振动的传播。振动是波动的基础，波动是振动的传播。常见的波有：机械波，电磁波，常见的波有：机械波，电磁波，振动在空间的传播过程称为振动在空间的传播过程称为波动波动机械振动在弹性介质中的传播称为机械振动在弹性介质中的传播称为机械波机械波如声波、水波、地震波等如声波、水波、地震波等交变电磁场在空间的传播称

2、为交变电磁场在空间的传播称为电磁波电磁波如无线电波、光波等如无线电波、光波等42.1 机械波的形成和特征机械波的形成和特征2.2 行波，简谐波行波，简谐波2.4 波动方程波动方程2.3 物体的弹性变形物体的弹性变形2.6 惠更斯原理惠更斯原理2.5 波的能量波的能量2.7 波的叠加，驻波波的叠加，驻波2.8 多普勒效应多普勒效应本章目录本章目录52.1 机械波的形成和特征机械波的形成和特征一一. 机械波的形成机械波的形成 弹性媒质的质元受外界扰动而发生振动时，弹性媒质的质元受外界扰动而发生振动时，这就形成了波动这就形成了波动 机械波机械波（mechanical wave）。因媒质各部分间的弹性

3、联系，因媒质各部分间的弹性联系， 会使振动传播开去，会使振动传播开去，6形成机械波的条件形成机械波的条件 弹性媒质弹性媒质波源波源7结论结论(1)(1) 波的传播过程应是波的传播过程应是波源振动状态波源振动状态即即相位相位的的传播过程。传播过程。(2)(2) 振源得以持续振动是外界不断馈入能量所振源得以持续振动是外界不断馈入能量所致，因而波动也是致，因而波动也是能量的传播过程能量的传播过程。(3)(3) 质元并未质元并未“随波逐流随波逐流”, , 波的传播不是媒波的传播不是媒质质元的传播质质元的传播, ,各质点仅在自身平衡位置附各质点仅在自身平衡位置附近作同频率、同方向的振动，只是近作同频率、

4、同方向的振动，只是各质元的各质元的振动相位振动相位随波到达的先后而随波到达的先后而沿波的传播方向沿波的传播方向依次落后依次落后，因而波动是介质中各质元保持一，因而波动是介质中各质元保持一定相位联系的集体振动。定相位联系的集体振动。8二二 . 波的分类波的分类按波的性质按波的性质机械波机械波（ mechanical wave ）电磁波电磁波（electromagnetic wave ）纵波纵波（longitudinal wave ）按波传播方按波传播方向与振动方向与振动方向关系向关系横波横波（transverse wave ）演示演示910 水表面水表面的波既非的波既非横波又非横波又非纵波。纵波

5、。波速波速11三三 . 波的几何描述波的几何描述波线波线（wave line）表示波的传播方向的射线表示波的传播方向的射线（波射线）（波射线）波面波面（wave surface）媒质振动相位相同的点组成的面媒质振动相位相同的点组成的面（同相面）（同相面）波阵面波阵面（wave front）某时刻波到达的各点所构成的面某时刻波到达的各点所构成的面（波前）（波前）球面波球面波平面波平面波波波线线 波面波面演示演示12131. 在各向同性介质中传播时，波线和波阵面垂直。在各向同性介质中传播时，波线和波阵面垂直。说明：说明：2. 在远离波源的球面波波面上的任何一个小部份，在远离波源的球面波波面上的任何

6、一个小部份， 都可视为平面波。都可视为平面波。14按波面形状按波面形状平面波平面波（plane wave ）球面波球面波（spherical wave ）柱面波柱面波（ cylindrical wave ）按复杂程度按复杂程度简谐波简谐波（simple harmonic wave ）复波复波（ compound wave ）按持续时间按持续时间连续波连续波（continued wave ）脉冲波脉冲波（pulsating wave ）按波形是按波形是否传播否传播行波行波（ travelling wave ）驻波驻波（standing wave ）151. 波速波速 u ： 振动状态传播的速度振

7、动状态传播的速度它它由媒质的性质决定与波源情况无关。由媒质的性质决定与波源情况无关。2. 周期周期（period）T：一个完整的波通过波线上的某点所需的时间。一个完整的波通过波线上的某点所需的时间。它它由波源决定由波源决定（波源、观测者均不动时）（波源、观测者均不动时） 频率频率（frequency）T1 角频率角频率（angular frequency） 2 四四. 波的特征量波的特征量163. 波长波长（wave length） ：波线上相邻的振动状态相同的两质元间的距离。波线上相邻的振动状态相同的两质元间的距离。它它由波源和媒质共同决定。由波源和媒质共同决定。uT 波长是波的波长是波的“

8、空间周期空间周期”。x u172.2 行波，简谐波行波，简谐波设设 为传播的物理量，它沿为传播的物理量，它沿 x 轴传播，设轴传播，设某种物理量的扰动的传播称为行波。某种物理量的扰动的传播称为行波。一一. 行波行波（ travelling wave ）原点的振动方程为：原点的振动方程为：)(tf 离原点离原点x处的一点处的一点P与原点的振动状态相同，与原点的振动状态相同，它的振动比原点晚它的振动比原点晚xu；原点在；原点在t-xu时刻的振动时刻的振动也就是也就是P点在点在t时刻的振动状态。时刻的振动状态。oxft 时刻时刻Pxu18P点在点在t时刻的振动状态：时刻的振动状态：）（uxtf 为沿

9、为沿+x 向传播的行波，向传播的行波，u 为波速。为波速。)( )(uxtftuxuxxttfxxx +xt +t 时刻时刻xxft 时刻时刻txu 19 具有沿具有沿+x向传播的性质。向传播的性质。)(uxtf 同理，同理， 具有沿具有沿-x向传播的性质。向传播的性质。)(uxtf ），（tx 的函数形式称为的函数形式称为波函数，波函数，）（）（uxtftx , 称为称为行波行波的的波函数。波函数。即即 ），（），（txttxx 是波传播时媒质质元的运动函数。是波传播时媒质质元的运动函数。它也就它也就20二二 . 简谐波简谐波（simple harmonic wave）如果波传播的扰动是简谐

10、振动的话，如果波传播的扰动是简谐振动的话，波称为波称为简谐波简谐波（余弦波，单色波）（余弦波，单色波）这样的这样的 平面简谐波：波面为平面的简谐波。平面简谐波：波面为平面的简谐波。（平衡平衡位置坐标为位置坐标为 的的任一任一质点的质点的振动振动方程）方程）任意时刻任意时刻 ，平衡平衡位置坐标为位置坐标为 的质点、相对的质点、相对平衡平衡位置的位移位置的位移tx( , )x tyx波函数波函数: :21 已知已知平衡位置平衡位置在在 处质点振动方程（位移）处质点振动方程（位移）(0, )cos()xtyAt 0 x 1. 一维平面简谐波的波函数（推导方法）一维平面简谐波的波函数（推导方法）以机械

11、波的横波为例，以机械波的横波为例，设平面波沿设平面波沿 x方向以方向以速度速度 u 传播，传播， 媒质均匀、无限大，无吸收。媒质均匀、无限大，无吸收。22 处质点的振动处质点的振动落后落后于于 处质点的振动处质点的振动u 设设平衡平衡位置坐标为位置坐标为 的质点的的质点的振动振动方程，即方程，即 波函数波函数:(, )cos()x txyAt xu沿沿 轴轴正正向传播的向传播的简谐波简谐波x/uox 0 x0 x xxt xu ( , )cos ()x txyAtu xu23 沿沿 轴轴正正向传播的向传播的简谐波的简谐波的波函数：波函数：cos()xtxyAtu （ ， ）cos2()txAT

12、 （已知平衡位置在（已知平衡位置在 处质点振动方程处质点振动方程 ）0 x)cos(0tAyxxcos()Atkx 2k 波数：波数：24 沿沿 轴轴负负向传播的向传播的简谐波的简谐波的波函数：波函数：cos()xtxyAtu （ ， ）cos2()txAT （已知平衡位置在（已知平衡位置在 处质点振动方程处质点振动方程 ）0 x)cos(0tAyxxcos()Atkx 0 xx25思考：思考：如果如果 不是不是 处质点处质点的振动方程（位移）；或者的振动方程（位移）；或者 处质点处质点的振动方程（位移）不是的振动方程（位移）不是 这样一个形式，波函数还是这样一个形式，波函数还是)cos(tA

13、y0 x0 x)cos(tAy)(cos),(uxtAytxcos()xtxyAtu （， ）吗？吗？不是不是26 处质点的振动处质点的振动落后落后于于 处质点的振动处质点的振动(, )cos()x txyAt u沿沿 轴轴正正向传播的向传播的简谐波简谐波x/uox 0 x0 x xxt xu ( , )cos ()x txyAtu xu(0, )cos()xtyAt 27如果不是的话如果不是的话, ,是推导过程中的是推导过程中的哪一步哪一步有了变化？有了变化？ 正正向传播向传播uxx不一定等于uxt 负负向传播向传播uxx不一定等于uxt 28上面波函数式中的上面波函数式中的）（uxt 为波

14、的为波的相位。相位。波在某点的相位反映该点媒质的波在某点的相位反映该点媒质的“运动状态运动状态”。所以简谐波的传播也是媒质振动相位的传播。所以简谐波的传播也是媒质振动相位的传播。 相速度（相速）相速度（相速）设设 t 时刻时刻 x 处的相位经处的相位经 dt 传到（传到（x +dx）处，）处， uxxttuxtdd ）（）（ 则应有则应有txudd 于是得到于是得到 即即简谐波的波速就是相速。简谐波的波速就是相速。292. 一维简谐波函数的另一种常用的表示一维简谐波函数的另一种常用的表示 ）（uxtAtxy cos),(Tu 2 T )2cos(),(xtAtxy 0t 2 t x)(xt 2

15、)( xx 沿波传播方向每增加沿波传播方向每增加 的距离，相位落后的距离，相位落后2 。说明：说明：30 质点的振动速度，加速度质点的振动速度，加速度)(sinuxtAtyv)(cos222uxtAtya 媒质中任意质点的媒质中任意质点的振动速度振动速度方向方向的判断的判断沿波的沿波的传播传播速度方向看：速度方向看：波峰波峰 波谷波谷(下坡下坡) 质点质点运动运动速度速度波谷波谷 波峰波峰(上坡上坡) 质点质点运动运动速度速度0v 0v 31波动曲线上各点振动方向波动曲线上各点振动方向32)(2cos)(cosxTtAuxtAyxux2（波具有时间的周期性）（波具有时间的周期性）),(),(T

16、txytxy3. 波函数的意义波函数的意义（1） x 一定，一定，y t 给出给出 x 点的振动方程，并给点的振动方程，并给 出该点与点出该点与点 O 振动的相位差。振动的相位差。 yTt0振动曲线振动曲线 x 一定一定33波线上各点的简谐运动图波线上各点的简谐运动图34（波具有空间的周期性）（波具有空间的周期性）),(),(txytxy)(2cos)(cosxTtAuxtAy x y0波动曲线波动曲线 t 一定一定（2） t 一定，一定，y x 给出给出 t 时刻空间各点位移分时刻空间各点位移分布，即此刻的波形。布，即此刻的波形。35yxuOyxuO),(),(xxttxt)(2cosxTt

17、Ay)(2)(2xxTttxTtxTttux（3）若若t，x均变化，波函数表示波形沿传播均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动情况（行波）。方向的运动情况（行波）。 t时刻时刻tt时刻时刻x36 4. 一维波函数的另几种常见的表示式一维波函数的另几种常见的表示式 波数波数(wave number) 2)cos( kkxtAy， ）（ xTtAy2cos ）（xtukAy cos ) (kxtiAey tiikxeAe 空间因子空间因子振动因子振动因子（复振幅）（复振幅）（Re）（Re）37波动波动振动振动一个一个质点（物体）质点（物体）无数无数质点质点：xy：该质点相对该质点相对其其平衡位置平

18、衡位置的位移。的位移。x：任意质点的任意质点的平衡位平衡位置置的坐标。的坐标。任意质点相对任意质点相对自己自己的的平衡位置平衡位置的位移。的位移。思考：思考：振动振动方程与方程与波动波动方程的区别？方程的区别？cos()xAtcos()xyAtu 38思考：思考： 振动振动曲线与曲线与波形波形曲线（曲线（波形图波形图）的区别？）的区别？横轴为质点横轴为质点平平衡位置衡位置坐标坐标 x横轴为横轴为时间时间坐标坐标 t39xt)(yxy振动振动曲线曲线波形波形曲线（曲线（波形图波形图）0tt 质点在各个质点在各个不同时刻不同时刻的位移的位移在在某一时刻某一时刻各个各个不同质点不同质点的位移的位移质

19、点速度方向：质点速度方向：曲线曲线上上行为行为正正，下下行为行为负负任一位置处质点速度方向：任一位置处质点速度方向：沿波的沿波的传播传播速度方向看：速度方向看：波峰波峰 波谷波谷 质点运动速度为质点运动速度为正正波谷波谷 波峰波峰 质点运动速度为质点运动速度为负负40例例1 1（30773077）一平面简谐波沿一平面简谐波沿x轴轴负负向传播。已知向传播。已知x= -1m处质点的振动方程为：处质点的振动方程为：若波速为若波速为u u ，则此波的波动方程（波函数）为？，则此波的波动方程（波函数）为？cos()yAt 解：解：已知已知处mx1cos()yAt 设波函数为设波函数为)cos(),(xt

20、xtAy 处质点的振动处质点的振动超前超前于于 处处质点的振动质点的振动x1xm 1xx41xt ( , )1cos ()x txyAtu ( 1)xu 波函数波函数 42例例2 2（3071）一平面简谐波以速度一平面简谐波以速度 沿沿 x 轴轴 正向传播，在正向传播，在 时波形曲线如图所时波形曲线如图所 示。求坐标原点示。求坐标原点 的振动方程的振动方程uttooyxaubtt 解：解：设坐标设坐标原原点点 的振动方程的振动方程o(0, )cos()xtyAt 由图可知由图可知Aa 2T 2 u 22ub ub 43boayxttu时，tt处，0 x0y0V0)cos(tA0)sin(tAt

21、2/44时刻处时刻处 质点旋转矢量图质点旋转矢量图所以，坐标原点所以，坐标原点 的振动方程为的振动方程为o(0, )cos()2xtyAtt cos()2uattb 32t A yto322tt ott45例例3yx0 已知：已知：一个向右传播的波在一个向右传播的波在 x = 0点的振动点的振动解：解：yt-TTA0A-A 较较0点相位点相位落后落后 /20yA0点初相位为点初相位为- /2向向+y方向运动方向运动t = 0 t 0试画出该波在试画出该波在曲线如图所示。曲线如图所示。t = 0 时的波形曲线。时的波形曲线。46练习练习 如图所示，一平面简谐波如图所示，一平面简谐波沿沿 x 轴正

22、向传轴正向传 播，波长为播，波长为 ，若，若 点处质点的振动方程为点处质点的振动方程为 （1 1）则）则 点处质点的振动方程为？点处质点的振动方程为？ （2 2）与）与 点处振动状态相同的那些点的位置点处振动状态相同的那些点的位置 是？是？1P)2cos(1tAy2P1P1P2Po1L2Lx47平衡位置坐标为平衡位置坐标为 的任意质点任意时刻的任意质点任意时刻 的的位移为位移为即：平衡位置坐标为即：平衡位置坐标为 的任意质点的振动方的任意质点的振动方 程（波函数）为程（波函数）为 点处质点的振动方程点处质点的振动方程xt(, )cos()x txyAt 1xxLtu x1( , )cos2()

23、x txLyAtu 221cos2()PLLyAtu 2P48如果如果 处质点振动状态要与处质点振动状态要与 处质点相同，处质点相同，则：则： 12()22xLttku 1xkL x1P492.3 物体的弹性变形物体的弹性变形 着重搞清着重搞清线变线变、切变切变和和体变体变的概念，的概念，以及与三种变化相应的材料的弹性模量。以及与三种变化相应的材料的弹性模量。（自学书第（自学书第2.3节）节）50由平面行波方程：由平面行波方程： uxtAy cos uxtAty sin uxtAty cos222 uxtuAxy sin uxtuAxy cos2222由上两式有由上两式有:波的动力学波的动力学

24、微分方程微分方程2.4 波动方程波动方程（wave equation）一一. 一维波动方程一维波动方程222221tyuxy 书书P63-66有其以棒中纵波为例的动力学推导。有其以棒中纵波为例的动力学推导。51将将)(cosuxtAy 代入可以验证，平面代入可以验证，平面实际上，不光是简谐波函数是波动方程的解，实际上，不光是简谐波函数是波动方程的解，都是波动方程的解。都是波动方程的解。 （可自己证明）（可自己证明）)(uxtfy 任意一个以任意一个以）（uxt 为变量的波函数为变量的波函数简谐波只是上述方程的一个解。简谐波只是上述方程的一个解。二二. 波速波速 u 与媒质性质的关系与媒质性质的

25、关系， MRTu 气体中气体中 比热比比热比52 液体中液体中 ， Ku （体积模量）（体积模量）VVPK 体变体变 pp ppV+ V 弹性绳上的横波弹性绳上的横波lFu l 绳的线密度绳的线密度F F 绳的初始张力，绳的初始张力，53固固体体中中， Gut SFG ， Eul llSFE （切变模量）（切变模量）（杨氏模量）（杨氏模量）横波横波F切变切变 FSl l FF线变线变纵波纵波切应力切应力切应变切应变应力应力线应变线应变542.5 波的能量波的能量 （energy of wave）一一. 波的能量波的能量振动有能量，它的传播将导致能量的传播。振动有能量，它的传播将导致能量的传播。这里要搞清：这里要搞清： 媒质质元能量是如何变化的？媒质质元能量是如何变化的？ 能量传播的规律如何？能量传播的规律如何？以弹性棒中的以弹性棒中的简谐横波简谐横波为例来分析：为例来分析：55 yx0 yx y =Acos ( t- - x /u)0ux