数值分析_期末总复习-习题课

1、一、一、基本内容及基本要求基本内容及基本要求 第一章、绪论第一章、绪论 了解数值分析的研究对象与特点。了解数值分析的研究对象与特点。 了解误差来源与分类了解误差来源与分类,会求有效数字会求有效数字; 会简单误差估计。会简单误差估计。 1.了解误差的定性分析及避免误差危害。了解误差的定性分析及避免误差危害。 第第1-31-3章章 习题课习题课( (绪论、插值、逼近、数值积分绪论、插值、逼近、数值积分) )有效数字定义有效数字定义1,|0.5 10,AnAAAxxxxnx 如果近似数的误差限是某一位的半个单位即 则称近似数准确到了 位小数,该数位向左到的第一位非零数字的所有数位叫做该近似数的有效数

2、位, 有效数位上的数字叫做有效数字.有效数字的等价定义有效数字的等价定义111(0.) 10(0,)knnxaa aak 是整数 ，1Anxxa是 的1102k nAxx。四舍五入得到的近似数，如果用十进制科学计数法（标准浮点数）用十进制科学计数法（标准浮点数） ，记，记则称则称 xA为为x的具有的具有n位位有效数字有效数字的近似值。的近似值。 定理定理1 设设11110;2nARAxa（1.2.2）120.10kixa aa 用有效数字的位数用有效数字的位数估计相对误差限估计相对误差限有效数字的位数越多，有效数字的位数越多，相对误差限就越小相对误差限就越小3. 有效数字与相对误差之间的关系有

3、效数字与相对误差之间的关系x的近似值的近似值xA有有n位有效数字，则位有效数字，则如果如果（1.2.4）相对误差限越小，相对误差限越小，有效数字的位数就越多有效数字的位数就越多相对误差限估计相对误差限估计有效数字的位数有效数字的位数则则 xA有有 n位有效数字位有效数字.1111021nARAxa，（） 定理定理2 设设120.10kixa aa 误差的传播误差的传播()(),() ( ()()()AAAAAAfxfxxf xfxx假定与的比值不太大 可忽略的高阶项,可得计算函数的误差限1. 对函数的计算对函数的计算对一元函数对一元函数 f (x), 自变量自变量 x 的一个近似值为的一个近似

4、值为xA，以，以 f (xA) 近似近似 f (x),其误差界记作其误差界记作 (f (xA) )()1()|AnAkkkfuxx x对多元函数对多元函数()()1212,AAx xxx3.四则运算中误差的传播设为准确值为近似值，则它们进行加减乘除运算得到的误差限分别为：()()()()1212()()()()()()121221()()()()()()()1221122()22 ()()(), () | () | (),| () | () (/),(0).|AAAAAAAAAAAAAAAAAAxxxxxxxxxxxxxxxxxx例例2 2 设有三个近似数设有三个近似数，24. 293. 13

5、1. 2 cba它们都有三位有效数字。试计算它们都有三位有效数字。试计算 p= =a+ +bc 的误差界，的误差界，并问并问 p 的计算结果能有几位有效数字？的计算结果能有几位有效数字？ 2.31 1.93 2.246.6332Ap ,解解AAAApab c（）（） （）AAAAAabccb（）（）（）02585.024.293.1005.0005.0 ）（相对误差界相对误差界0.025860.39%6.6332ARAAppp（）（）。所以所以, pA=6.6332 能有两位有效数字。能有两位有效数字。10.025850.5 10 ,Ap因为（ ）于是有误差界于是有误差界 3.下列公式如何才比

6、较准确？（1）（2）解：解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。（1）（2） 4.计算下列矩阵的范数：101010202A10101013202IA 1230,1,3 max 0,1,33A5.求矩阵的谱半径. 矩阵A的特征值为所以谱半径 解简述题1. 叙述在数值运算中，误差分析的方法与原则是什么？解：数值运算中常用的误差分析的方法有：概率分析法、向后误差分析法、区间分析法等。 误差分析的原则有：1）要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法；2）要避免两近数相减；3）要防止大数吃掉小数：4）注意简化计算步骤，减少运算次数。第二章第二章-1、插值法、插值法 1.了解插值的

7、概念。了解插值的概念。 2.掌握拉格朗日掌握拉格朗日(Lagrange)插值法及其余项公式。插值法及其余项公式。 3.了解均差的概念及基本性质，掌握牛顿插值法。了解均差的概念及基本性质，掌握牛顿插值法。 4.了解差分的概念，会牛顿前插公式、后插公式。了解差分的概念，会牛顿前插公式、后插公式。 5.会埃尔米特会埃尔米特(Hermite)插值及其余项公式。插值及其余项公式。 6.知道高次插值的病态性质知道高次插值的病态性质,会分段线性插值和分段埃会分段线性插值和分段埃尔米特插值及其误差和收敛性。尔米特插值及其误差和收敛性。 7.会三次样条插值会三次样条插值,知道其误差和收敛性。知道其误差和收敛性。

8、 Lagrange插值多项式插值多项式, ),(),., 1, 0( ) )(,()(jixxnixfxxfyjiii 当当函函数数表表设设的的插插值值多多项项式式为为，则则满满足足插插值值条条件件).1 , 0()()(nixfxLiin nkkknxlxfxL0)()( ）),.1, 0()(0nkxxxxxlnkjjjkjk 其其中中显然，如此构造的显然，如此构造的L(x) 是不超过是不超过n次多项式。当次多项式。当n=1时，称为线性插值。当时，称为线性插值。当n=2时，时，称为抛物线插值。称为抛物线插值。101( )( )( )()()nnnnkkknkxL xL xyxxx从而可改写

9、成：101( )()()()nnxxxxxxx若引入记号),(! ) 1()()()()(1)1(xnfxLxfxRnnnny 0 x)(xf)(1xLxk xk+1 0P1P111( )( )( )( ) ()() ( , ) (2.14) 2! kkR xf xL xfx xx xa b余项为01111,( )( ),( )( ),kkP PL xf xf xL xxxx用通过两点的直线来代替即 线性插值：线性插值：特别地，特别地，n = 1, 2 时的插值余项时的插值余项 ：y 0 x2211( )( )( )( ) ()()()3! ( , ) (2.15)kkkR xf xL xfx

10、 xx xx xa b余项为012211,( ), ( )( ),kkP P Pf xf xLxxxx用通过三点抛物线近似代替即 抛物线插值：抛物线插值：)(xfxk- -1 xk xk+1 0P1P2P)(2xL练习练习1 给定数据表给定数据表 xi 0 1 2 3 yi 0 1 5 14求三次拉格朗日插值多项式求三次拉格朗日插值多项式L3(x).123)2)(1(14)1(12)3)(1(5)2()1(1)3)(2(10 xxxxxxxxx3301233,( )0( ) 1( )5( ) 14( )nL xL xl xl xlxl x ：取由 ( )公式得解解 ).12)(1(616)13

11、2( 2 xxxxxx练习练习2 要制作三角函数要制作三角函数sin sin x的值表，已知表值有四位小数，的值表，已知表值有四位小数，要求用线性插值引起的截断误差不超过要求用线性插值引起的截断误差不超过表值的舍入误差表值的舍入误差，试，试确定其最大允许的步长。确定其最大允许的步长。解解 f(x)=sin x, 设设xi, xi为任意两个插值节点，最大允许步为任意两个插值节点，最大允许步长记为长记为 h = hi = xi xi，111111121124( )sin( )()()()()2!211()()()()22221()(),88110 ,0.02.82iiiiiiiiiiiiiiiif

12、R xxxxxxxxxxxxxxxxxxxhxxxxhh00010101201101,( )()() ,()() , .()().() ,.,nnnnNxf xxxf xxxxxxf xx xxxxxxxf xxx牛顿插值公式牛顿插值公式: 1,2,3,4,5, ()1,4,7,8,6. .练习4设当时求三,四次牛顿插值多项式iixf xkxkf(xk) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商012341234514786 3 3 0 1 -1 -1/3 -2 -3/2 -1/6 1/2414324( )( )() (1)(2)(3)(4)NxNxxxxx112332248331294241x

13、xxx133( )13 (1)0 (1)(2)() (1)(2)(3)13(1)Nxxxxxxxx 用牛顿插值多项式近似函数值，其用牛顿插值多项式近似函数值，其截断误差截断误差与拉格朗日插值法相同，即与拉格朗日插值法相同，即(1)0( )( )() (1)!nnniifR xx xn 根据插值多项式的唯一性知，牛顿插值多根据插值多项式的唯一性知，牛顿插值多项式本质上就是拉格朗日插值多项式，只是构项式本质上就是拉格朗日插值多项式，只是构造不同造不同5 用已知函数表求抛物插值多项式，并求f(0.5)的近似值。解答：作差商表： x0 1 2y1 2 5ixiy 一阶差商二阶差商011212531 2

14、210011Nxxxxx 21151.25224fN带重合节点的情形带重合节点的情形 , 00 p , 10p , 31 p , 61p 393 p例：求一个次数不高于例：求一个次数不高于4的多项式的多项式P(x)使：使： 2230130101101222( )( ), ( )( ) 0( ) 3( ) 1( ) 63 ( )( ) 6 ( )103 1 20 11 010(0)6(1)0 11 0 .解 ： 设其 中 P xH xx xx xH xxxxxxxxxxxxxx 三次三次Hermite插值插值3001 1001 1( )( )( )( )( )H xyxyxmxmx01 , xx

15、 x2010100120110110210001201110( )(1 2)()( )(1 2)()( )()()( )()() ,xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx截断误差为截断误差为3(4)2201( )( )( )( )() () ,( , )4!R xf xHxfxxxxa b 三次Hermite插值的基函数可表为20000021111122000111( )1 2 ()()( ),( )1 2 ()()( ),( )()( ),( )()( ).xlxxxlxxl xxxlxxxx lxxxx lx 设设f(x)=lnx，给定，给定f (1)=0, f

16、(2)=0.693147, f (1)=1, f (2)=0.5。用三次。用三次Hermite插值多项式插值多项式H3(x)计算计算f (1.5)的近似值。的近似值。解解 记记x0=1,x1=2, 利用利用(2)可得可得22012201( )(21)(2) ,( )(52 )(1) ,( )(1)(2) ,( )(2)(1) .xxxxx xxxxxxx得三次得三次Hermite插值多项式插值多项式由此得由此得f (1.5)的近似值的近似值H3(1.5)=0.40907423)1)(25(693147. 0)( xxxH.)1)(2(5 . 0)2)(1(22 xxxx例例第二章第二章-2、函

17、数逼近与曲线拟合、函数逼近与曲线拟合 了解函数逼近的基本概念了解函数逼近的基本概念,了解范数和内积空间。了解范数和内积空间。 了解正交多项式的概念了解正交多项式的概念,了解切比雪夫多项式和勒让了解切比雪夫多项式和勒让德多项式以及它们的性质德多项式以及它们的性质,知道其他常用正交多项式知道其他常用正交多项式。 *理解最佳一致逼近的概念和切比雪夫定理理解最佳一致逼近的概念和切比雪夫定理,掌握最掌握最佳一次一致逼近多项式的求法。佳一次一致逼近多项式的求法。* 理解最佳平方逼近的概念理解最佳平方逼近的概念,掌握最佳平方逼近多项式掌握最佳平方逼近多项式的求法的求法,了解用正交多项式做最佳平方逼近的方法。

18、了解用正交多项式做最佳平方逼近的方法。 了解曲线拟合的最小二乘法并会计算了解曲线拟合的最小二乘法并会计算,了解用正交多了解用正交多项式做最小二乘拟合。项式做最小二乘拟合。*了解最小二乘三角逼近了解最小二乘三角逼近*与快速傅里叶变换与快速傅里叶变换*。 最佳平方逼近最佳平方逼近(2) 函数类函数类01( ),( ),( )nSpanxxx ，,)(baCxi 线线性性无无关关，则则且且)(,),(),(10 xxxn ；）若若（,)(1baCxf *0*( )( )njjjapxax （ ）存在唯一的是最佳平方逼近；求求得得；可可由由法法方方程程组组）系系数数（dGaaabn ),(*022*2

19、20( ), (,) niiicfpxfaf（ ）令则平方误差为001000111101(,) (,)(,)(,) (,)(,)(,) (,)(,)nnnnnnG 10( ,)( ) ( )( )kkkdfx f xx dx考虑特殊情形考虑特殊情形-(1)用多项式用多项式1,1,x, ,x2 2,xn n, ,作作n次最次最佳平方多项式佳平方多项式p* *( (x) )逼近步骤逼近步骤/ /方法方法( (权函数为时，权函数为时，a, ,b=0,1)=0,1)解法方程组解法方程组 Ga=d nndddaaannnnn1010121211111312111211*0,(0,1,2,. )*( )j

20、njjjajnpxa x求得则有22*220(,)niiifaf平方误差为dxxxffdkkk10)(),(2( )101,1, f xxxHspanxH 例例1 1：给给定定，取取逼逼近近空空间间，在在 中中求求其其最最佳佳平平方方逼逼近近函函数数。H1,()1spanxx 取取解解：11220100)11.147,)10.609fx dxfx xdx （ ，（ ，0111/ 21.1471/ 21/ 30.609aa 法法方方程程为为010.934,0.426*( )0.9360.426aapxx 解解得得，所所求求最最佳佳平平方方逼逼近近函函数数为为2*0011212*00110(,)(

21、,)(,)(1)(,)(,)20.934 1.1470.426 0.9060.00263ffafafxdxafaf 平平方方误误差差为为201max1( )0.066xxp x 最最大大误误差差为为(2)用正交多项式作最佳平方逼近用正交多项式作最佳平方逼近 方法（步骤）：方法（步骤）：，若若,)(baCxf 01( ),( ),( )( )nxxxx取正交基及权函数，解法方程组解法方程组 ),(),(),(),(),(),(10101100nnnnfffaaa ), 1 , 0(,)()()()()(),(),(2*njdxxxdxxxfxfabajbajjjjj于是*0*( )( )njjj

22、pxax2*02222),(|jnjjjaf平方误差平方误差其中，其中，3023-1,1Legendre( )111, ,(31),(53 )22iiP xxxxx在上，选取正交基为正交多项式组 , 1)( x 并并取取2( ,)(0,1,2,3)21jjP Pjj。) 12/(20003/2002jG 00( )*( )( )nnjjjjjb pxaxa的系数可由法方程组；求求得得，其其中中)()(),(1ijmiikijkxx 最小二乘逼近步骤：最小二乘逼近步骤：)(, 1)(,()() 1 (21bxxxamixfxxfymii 试试验验数数据据设设有有 线线性性关关于于点点集集中中连连

23、续续函函数数组组设设mnjjnxxXxS,)(H)2(10 mn无关（）0( )( )H*( )( )nnjjja yf xpxax在中最小二乘拟合函数存在唯一；dafffaaannnnnnnn G),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(1010101110101000或或 21max( )*( )iii mf xpx 最大偏差：。2 1/2121( )|( ( )*( ) )mniiiicfpf xpx最小均方误差：；平方误差有与（平方误差有与（2.4.15）相同形式的表达式。）相同形式的表达式。 (2)多项式的拟合多项式的拟合即在多项即在多项式式空间空间 中

24、作曲线拟合，称为中作曲线拟合，称为多项式拟合。多项式拟合。用上面讨论的方法求解。子空间用上面讨论的方法求解。子空间 的的基函数基函数为为 前面讨论了子空间前面讨论了子空间 中的最小二乘拟合。中的最小二乘拟合。 在离散在离散数数据据 的最小的最小二乘拟合中，最简单、最常用的数学模型是多项式二乘拟合中，最简单、最常用的数学模型是多项式Smiiiyx0, 01( ).nnp xaa xa x, 1nxxspan n。kxxkk, 1 , 0,)( 2012211100010223101112111202122234111,( )1,( ),( )1(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,

25、)mmmiiiiimmmiiiiiimmmiiiiiixxxxxxxGxxxxxx 此时 当取时（2.5.4）1011221( ,)( ,)( ,)miimiiimiiiyfdfx yfx y2111102311111223421111G1mmmmiiiiiiimmmmiiiiiiiiimmmmiiiiiiiiiadxxyaxxxax yaxxxx y则法方程为 例例 2.19 用多项式拟合表用多项式拟合表2-4中的离散数据。中的离散数据。 yi 0.10 0.35 0.81 1.09 1.96 xi 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 i 1 2 3 4 5表表2-4解解 作数

26、据点的图形如图作数据点的图形如图2-2，从图形看出用，从图形看出用二次二次多项式拟合比较合适。这多项式拟合比较合适。这时时n=2，子空间，子空间 的基函数的基函数 。数据中没有给。数据中没有给出权数，不妨都取为出权数，不妨都取为1，即，即 。2210)(,)(, 1)(xxxxx 4 , 1 , 0, 1 ii o y 1.961 x*图图2-2ixiyixi2xi3xi4xi yixi2 yi00.000.100.0010.250.350.062520.500.810.2530.751.090.562541.001.961.002.54.311.8751.56251.38283.272.79

27、75构造下表构造下表按（按（2.5.4）21111023111112234211111nnnniiiiiiinnnniiiiiiiiinnnniiiiiiiiixxyaxxxax yaxxxx y有有 7975. 227. 331. 43828. 15625. 1875. 15625. 1875. 15 . 2875. 15 . 25210aaa 解此方程组得解此方程组得 。从而，拟合多项式为。从而，拟合多项式为2114. 1,5726. 0,1214. 0*2*1*0 aaa*2( )0.12140.57261.2114,pxxx其平方误差其平方误差 。拟合曲线。拟合曲线 的图形见图的图形见

28、图2-2。0337. 022 )(*x o y 1.961 x*图图2-2正交多项式拟合正交多项式拟合*0000*1111*(,)( ,)(,)( ,) (,)( ,)nnnnfGaafafda 即即这时直接可算出这时直接可算出), 1 , 0(,)()()(121njxxxfmiijimiijii ，法方程组的矩阵形式为，法方程组的矩阵形式为njjjjaf02*2222)(|，),(),(*jjjjfa 基本内容及基本要求基本内容及基本要求 了解数值求积的基本思想、代数精度的概念、插值型求积公式及其代数精度、求积公式的收敛性和稳定性。 C掌握牛顿-柯特斯公式及其性质和余项。 C 掌握复化梯形

29、公式和复化辛普森公式及其余项。 C掌握龙贝格(Romberg)求积算法，知道外推法。 C会高斯求积公式,了解高斯-勒让德求积公式和高斯-切比雪夫求积公式。 C*了解几种常用的数值微分方法*。 第三章第三章 数值积分数值积分一、数值积分一、数值积分第三章第三章 数值积分数值积分.d)( :0nkkkbafAxxf求积公式. ,1, m次代数精度m次代数精度称该求积公式具有则成立次的多项式等式不准确而对于某一个成立的多项式都准确对于所有次数不超过若一个求积公式mm 等价定义等价定义 若求积公式对于若求积公式对于1，x,xm都精确成立，对都精确成立，对xm+1不精不精确成立，则称该求积公式的代数精度

30、为确成立，则称该求积公式的代数精度为m。(3.1.1).d)( ,d)( )( )( 00称为插值型求积公式，其中，得到求积公式由拉格朗日插值bakknkkkbaknkknxxlAfAxxffxlxL .d )()!1()(d)()( :0) 1(xxxnfxxLxffRbanjjnban余项.d)( 0它是插值型求积公式次代数精度至少具有求积公式nfAxxfnkkkba定定理理abAnkk0.C ,C)(d)( ,)(0)(Cotes系数Cotes系数Cotes公式Cotes公式- -NewtonNewton称为，称为上的插值型求积公式在等距节点等分，步长做将求积区间nknkknkbakfa

31、bxxfkhaxnabhnba .d )()!( !) 1(dC 0000)( nnkjjknnnkjjnktjtknnktjkjtabhthax，则有作变换引理：引理：n阶阶Newton-Cotes公式的代数精度至少是公式的代数精度至少是n.结论：结论：当当n 为奇数时，为奇数时，n阶阶Newton-Cotes公式的代数精度为公式的代数精度为n；当当n 为偶数时，为偶数时，n阶阶Newton-Cotes公式的代数精度为公式的代数精度为n+1。2、Cotes系数特点：系数特点：( )0(1):1 nnkkC归一性( )( )(2): C nnkn kC对称性梯形公式梯形公式( ) ( )( )

32、.2babaf x dxf af b代数精度代数精度 = 131( )( )( , )12hR ffa bSimpson公式公式( )( )4 ()( )62babaabf x dxf aff b代数精度代数精度 = 35(4)5(4)11 ( )()( ),( , ) ,9028802baR fh fbafa bh 柯特斯公式（柯特斯公式（Cotes )4337 ( )32 ()12 ()32 ()7 ( )90424baabababfdxhf affff b代数精度代数精度 = 5,7(6)8 ( )945R fh f 11( )2()( )2nnkkhTf af xf b2()( )12

33、nThRba f 12321( ) ( )4 ()2 ()4 ()()( )3nmhSff af xf xf xf xf b(4)4( )( )( ),180nbaI fSffhab .)()(2)(2)()(2 10101niiniiinbfxfafhxfxfhT).(12)(12)(12123103fhabfhnfhTIniin ).()(2)(4)(6101121bfxfxfafhSniniiin41(4)4(4)0( )( ), ( , ).18022880nniiba hbaISfh fa b 复化梯形公式复化梯形公式复化梯形公式是复化梯形公式是2 阶收敛的阶收敛的复化复化Simps

34、on求积公式求积公式复化复化Simpson公式具有公式具有4阶收敛阶收敛).()( )(bfafabT211初值 . )( ),( )(1022122121022niinnixfhTTiabh计算，令./ ,/C ,/ )(631533222222）（）（）（求加速值nnnnnnnnnnnnCCCRSSSTTTS).( )(24否则，转满足精度要求；龙贝格(Romberg)求积算法 稳定性定理稳定性定理 若求积公式若求积公式(3.1.1)中系数中系数Ak0 (k0，1，n)，则此求积公式是稳定的，则此求积公式是稳定的2、求积余项、求积余项 若若 , (3.1.5)是插值型求积公式是插值型求积公

35、式, 0(1)110 ( )() ( )( )( )()1()( )(1)!1 !nbbbnkknnaaaknnbbnxkxnaakR fIIf x dxA f xf xL x dxR x dxfxxdxfx dxnn,) 1(baCfn 其中其中 与变量与变量x有关有关,记作记作 x 。(1)1()( )(1)!nbxnafR fx dxn，。其其中中)()()(101nnxxxxxxx (3.1.7)特别地特别地, 如果求积公式是插值型的如果求积公式是插值型的, 按余项式按余项式, 对于次数对于次数 n的多项的多项式式 f (x)，其余项，其余项R f 等于等于0，因而这时求积公式至少具有

36、，因而这时求积公式至少具有n次代数次代数精度精度则有余项公式则有余项公式Gauss型求积公式型求积公式当求积系数当求积系数Ak、求积节点、求积节点xk都可以自由选取时都可以自由选取时,其代数精确其代数精确度最高可以达到度最高可以达到2n+1次次? 0( ) ( )()nbkkakx f x dxA f x(3.4.1)考虑带权求积公式考虑带权求积公式定定义义3.4.1 如如果果求求积积公公式式（3.4.1）具具有有2n+1次次代代数数精精度度, 则则称称该该公公式式为为Gauss型型公公式式。称称其其节节点点为为Gauss点点.(0,1,)kx kn较简单的方法是：较简单的方法是：先利用区间先

37、利用区间 a,b 上的上的n+1次正交多项式确定高斯点次正交多项式确定高斯点 xk a,b , (k=0,1,n) (2) 然后利用高斯点确定求积系数然后利用高斯点确定求积系数Ak ,(k=0,1,n)插值求积公式节点一经确定，相应的求积系数就确定了，插值求积公式节点一经确定，相应的求积系数就确定了，常用的常用的Gauss求积公式求积公式 , 1x nkkkxfAdxxf0111.Gauss-Legendre求积公式求积公式不失一般性，可取不失一般性，可取a= -1，b=1而考察区间而考察区间-1，1上的高斯公式上的高斯公式 110( ) ( )().nkkkx f x dxA f x在区间在

38、区间-1，1上取权函数上取权函数 那么相应的正交多项式为那么相应的正交多项式为Legendre多项多项式。以式。以Legendre多项式的零点为多项式的零点为Gauss点的求积公式为点的求积公式为 （3.4.8）称之为称之为Gauss-Legendre求积公式求积公式。两点两点GaussLegendre公式公式： 313111ffdxxf五次代数精度的五次代数精度的3点点Gauss-Legendre求积公式求积公式 .515950985159511fffdxxf定理定理 3.4.2 设设 ,则则Guass公式公式(3.4.1)的余项是的余项是 baCxfn,22badxxxfnxfAdxxfx

39、RbannnkkkbaG,)!22(121120(3.4.10)特别地，特别地， 对于两点对于两点Gauss-Legendre求积公式有求积公式有22( 4 )11( 4 )114 !33,1,1 .135GLfRxxdxf.)1()0(4)1(31)(11的的代代数数精精度度确确定定求求积积公公式式fffdxxf 1)1(1111 kdxxIkkk解：解：0) 1041(31 ;32) 101 (31) 1 ()0(4) 1(31),2()(22Ifffkxxf 时时当当 ;0) 101(31) 1 () 0(4) 1(31),3()(33Ifffkxxf 时时当当 。时时当当445232)

40、 101 (31) 1 ()0(4) 1(31),4()(Ifffkxxf ),0(1)( kxf时时当当 ) 1 ()0(4) 1(31fff 2) 1141 (31 ) 1 () 0(4) 1(31fff ),1()( kxxf时时当当 为为偶偶数数为为奇奇数数kkk,12, 0;0I ;1I 所以该求积公式的所以该求积公式的代数精度代数精度m=3。例例 例例 试构造形如试构造形如 f(x)dx A0f(0)+ A1f(h)+ A2f(2h) 的数值求的数值求积公式积公式,使其代数精度尽可能高使其代数精度尽可能高,并指出其代数精度的阶数并指出其代数精度的阶数.3h0解解: 令公式对令公式对

41、 f(x)=1,x, x2 均准确成立均准确成立,则有则有3h=A0+ A1+ A2h2=0 + A1h+ A22h9h3=0 + A1h2+ A24h229故求积公式的形式为故求积公式的形式为解之得解之得 A0= h, A1=0, A2= h. 94 34 f(x)dx f(0) + f(2h)3h49h43h0而当而当f(x)=x3时时, 公式的左边公式的左边=81h4 /4, 右边右边=18h4, 公式的左公式的左边边 右边右边,说明此公式对说明此公式对 f(x)=x3不能准确成立不能准确成立.因此因此,公式只具有公式只具有2次代数精度次代数精度.由公式的构造知由公式的构造知,公式公式至

42、少至少具有具有2次代数精度次代数精度;01.1d 试分别用梯形公式和 辛普森公式 求 的近似值， 并估计误差xIx3 3. .16667. 0)(max12)01 ( , 2)0()(max ,)1 (2)(,11)( 75. 0)211 (201 ) 1 ( 103103 xfRfxfxxfxxfTIxTx；解：.0083333. 0)(max2880)01 ( ,)1 (24)( ;69444. 0)215 . 1141 (601 2 )4(1055)4(xfRxxfSIxS）（.693147. 02ln1d 10 xxI准确值.056853. 0 TI.001297. 0 SI0451.

43、1d试用的复合 辛普森公式 求 的近似值， 并估计误差xnIx;693150. 0 )111)9 . 0117 . 0115 . 0113 . 0111 . 011(4 )8 . 0116 . 0114 . 0112 . 011(201162 . 0 .)(0,0, 2 . 051)01 (51:52121Shixihxhii解.1033333. 1)(max28802 . 0 ,)1 (24)( 5)4(10455)4(xfRxxfx.693147. 02ln1d 10 xxI准确值.1081944. 2 65SI05.11d 若用复合梯形 公式 计算 ，问区间多少等分 才能保证计算结果有五

44、位有效数字?xIx)., 1 , 0(0,1)01 (1:niihxnnhi解.161)(max1201 , 2)0()(max ,)1 (2)(,11)( 2102103 nxfhRfxfxxfxxfxnx.183,574.1823/10,1021161 ,1d , 11d5 . 0 5521010nnnxxxx即故只需有一位小数因. 4114 22效数字保证计算结果有五位有周长，的计算椭圆公式试用复合梯形： yx思考思考22202002222dsin31dcossin4dyxl.1021000002986. 0|31,42211206. 2,00072744. 0|31,42210310.

45、 2,0212421. 0|31,41992078. 2,3561945. 2422822412212312TTTTTTTTTT.4221. 28有五位有效数字TI1001121( )()()1 求形如d的两点高斯型求积公式.f xxf xf xx6 6. .0., 12)( 112202210221 , 022wwwwxxxT以及：解法112222222)()(d1)( ffxxxf,212cosd1)( 21112ninifnxxxf切比雪夫求积公式：由高斯解法. )()(d1)( 112222222ffxxxf得到dxx10214的近似值，要求误差510例例3 3 用Romberg求积法

46、计算解：此时积分限为a=0,b=1.而 (本例主要说明本例主要说明Romberg过程过程） 214)(xxf 111 (0)(1)42322Tff2112142422111()3.1222413)()3141573TTfSTTTTffTTS14158.314414159.314414159.314413899.3)87()83()81(812114212.314431231224224844821221CCRSSCTTSfffTTSSC如此继续算得：.14159. 3,14159. 3,14159. 3,14096. 324816RCST由于

47、.14159.314,00001.010212dxxRR因此例例4 构造三个节点的Gauss-Legendre求积公式，并给出余项估计式。 解：由于三次Legendre多项式为：)35(21)(33xxxp其三个零点分别为：515,0,5152011)()(kkkxfAdxxf令它对2, 1)(xxxf准确成立01202021220221515580,955915152()()553AAAAAAAAAA则三点Gauss-Legendre求积公式为：)515(5)0(8)515(591)(11fffdxxf余项为：2,322)!22(!22)!22()()(22)22(nnnnnnffRnn（节

48、点数）（节点数）1 , 1).(157501)6(f例如，若要计算dxx115 .1的近似值，则由上积分公式得：399709. 25 . 1888889. 0274597. 2725403. 0555556. 0)0(98)515()515(955 . 111fffdxx上述积分准确值为：399527. 2) 5 . 0() 5 . 2(325 . 1232311dxx若利用三点Simpson求积公式。则395742. 2)5 . 115 . 1045 . 11(625 . 111dxx可见在节点数目相同的情况下，Gauss求积公式的精度是相当高的。第第4-64-6章章 习题课习题课( (线性

49、方程组数值解法线性方程组数值解法, ,解非线性方程解非线性方程) )第四章、解线性方程组的直接方法第四章、解线性方程组的直接方法基本内容及基本要求基本内容及基本要求 了解求解方程组的两类方法,了解矩阵基础知识。 掌握高斯消去法,会矩阵的三角分解。 掌握高斯列主元素消去法,了解高斯-若当消去法。 掌握直接三角分解法,了解平方根法,会追赶法,了解有关结论。 了解向量和矩阵的几种范数。 1.了解矩阵和方程组的性态,会求其条件数。 解线性方程组的直接方法 一般的线性方程组解法： 列（全）主元素Gauss消元法 LU分解（直接三角分解法） 特殊的线性方程组解法： 平方根法（改进）对称正定矩阵 追赶法 三

50、对角方程组 矩阵表示与计算量 误差分析（条件数）： 向量、矩阵范数， 误差分析（条件数）误差分析（条件数）， 病态方程。右端项b的扰动对解的影响11 , bbxxAbAAbxbxbA设 有 扰 动， 相 应 解 的 扰 动 记 为即系数矩阵A的扰动对解的影响1111 , 11AAxxAAAAAxAAxAAAAA如果右端项无扰动，系数矩阵 有扰动，相应的解 的扰动仍记为则分别用顺序Gauss消去法和直接三角分解法(杜利特分解)求解线性方程组 四、练习四、练习-线性方程组直接解法线性方程组直接解法. 201814 513252321321xxx,72101424004103212210144504

51、103212018145132523211）解：,24413211531215132523212）.)3 , 2 , 1 ( ,)72,10,14(TTxyUxybLy得解得解. 3, 2, 1321xxx2.2. 用带行交换的杜利特分解计算线性代数方程组AX=bAX=b，其中 .432 ,121111011b bA A ,101011001,11LIP解： ,110100011) 1 (11AAPL ,0110122ILP ,100110011)2(1122UAAPLPL ,)(122122UAPPPLPL , ,1LUPAUPAL.) 1 , 1 , 1 ( ,) 1 , 2 , 2(TT

52、xyUxyPbLy得解得解3. 用追赶法求解三对角方程组200031002310023100224321xxxx ,1111111 21212123100231002310022ULA.1111,1000 xyxUybyL12112321cond() cond() .求矩阵的条件数和2 22 22 24 4. . H Hi il lb be er rt tH HH HH H.272318)(cond,1266421212HHH2 2H H解：.)()()(cond minmax222122AAAAHHTT2 2H H.,|)cond( n112小特征值的绝对值最大为其中为非奇异对称矩阵时，当A

53、AAn,11213423121212 2H HI.134134)cond( 2A第六章第六章 线性方程组的迭代解法线性方程组的迭代解法 基本内容及基本要求基本内容及基本要求 了解迭代法及其收敛性的概念。 掌握雅可比(Jacobi)迭代法、高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法和超松弛(SOR)迭代法。 3. 了解一阶定常迭代法的基本定理，掌握特殊方程组迭代法的收敛条件。 4. 知道分块迭代法。解线性方程组的迭代法方法解线性方程组的迭代法方法 迭代方法：迭代方法： 雅可比（雅可比（JacobiJacobi）迭代法）迭代法 高斯赛德尔高斯赛德尔(Gauss-Seidel)(Gauss-Se

54、idel)迭代法迭代法 松弛法松弛法 迭代矩阵的表示迭代矩阵的表示 迭代法的收敛判别：迭代法的收敛判别： 矩阵的谱半径矩阵的谱半径 迭代法的收敛定理及推论（迭代矩阵）迭代法的收敛定理及推论（迭代矩阵） 对系数矩阵对系数矩阵A A的三条判别原则的三条判别原则 误差估计与停机准则误差估计与停机准则 雅可比迭代法雅可比迭代法计算公式：对k=0,1, ), 1( ,/ )( ,),(1)()1()0()0(1)0(niaxijabxxxxiinijjkjikiTnfxBbDxULDxbULxD)(1)(1) 1()()() 1()( kJkkkkk xx得到矩阵表示借助矩阵分裂高斯高斯塞德尔迭代法塞德

55、尔迭代法计算公式：对k=0,1, ), 1( ,/ )( ,),(1)(11)1()1()0()0(1)0(niaxijaxijabxxxxiinijkjijkjikiTn kkkbUxLxDx)()1()1( ,A迭代法等价于的分裂记号采用矩阵示形式为塞德尔迭代法的矩阵表于是，高斯 fxBbLDUxLDx)(1)(1) 1()()(kGkk SORSOR迭代法的计算公式:对k=0,1, . 0 ), 2 , 1( ,/ )( ,),()(11)1()()1()0()0(1)0(松弛因子niaxijaxijabxxxxxiinijkjijkjikikiTn kkkkk）化为的分裂记号采用矩阵)

56、()()1()()1( ,DxUxLxbDxDxA.)()1()( 1)(1) 1( SORkkbLDxUDLDx为迭代法的矩阵表示形式 ,1.JacobiGauss-Seidel2.01,3.02AxbAAA设有线性方程组下列结论成立：若 为严格对角占优阵或不可约弱对角占优阵，则迭代法和迭代法均收敛。若 为严格对角占优阵，则松弛法收敛。若 为对称正定阵，则松弛法收敛的充要条件为。(0)(1)( )( ) (0,1,2,)()1.kkkxgxMxgkxM定理：对任意初始向量和右端项 ，由迭代格式产生的向量序列收敛的充要条件是(1)( )( )1 1, (0,1,2,) .kkkMxMxgkx推

57、论若由迭代格式产生的向量序列收敛 2 02推论松弛法收敛的必要条件是。123111.例 对于方程组211 111，112分别写出迭代法和迭代法的计算公式，并考察求解的收敛性xxxJacobiGaussSeidel 1 1 . 2/ ) 1( , 1 , 2/ ) 1( )(2)(1) 1(3)(3)(1) 1(2)(3)(2) 1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx式为解：雅可比迭代计算公010100111011101)( 2121212121211ULD雅可比迭代矩阵为. 1)(, 0,11|252545321212121BiBI . 2/ ) 1( , 1 , 2/ ) 1( ) 1(

58、2) 1(1) 1(3)(3) 1(1) 1(2)(3)(2) 1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx赛德尔迭代计算公式为高斯赛德尔迭代矩阵为高斯212121212121212121110000010110 00100 010110 211112 )(ULD. 1)(, 02121Bi.式的关系注意迭代矩阵与计算公？或定理，或对角占优问：能否用 111BB34. , )( ：)()1(AIBbxAIx证 明迭代矩阵为kk. 11)(1)(11 ,)(0,20ABA知由时当迭代收敛于是，1,)(B(1)( ),( ). () ,02/5.设有方程组为对称正定矩阵,其特征值证明迭代公式当时收敛

59、kkAxb AAxIA xb第七章第七章 非线性方程的数值解法非线性方程的数值解法 基本内容及基本要求基本内容及基本要求 了解求根问题和二分法。 了解不动点迭代法,及不动点存在性和迭代收 敛性； 了解收敛阶的概念和有关结论。 3. 了解加速迭代收敛的埃特金方法和斯蒂芬森方法。 4. 掌握牛顿法及其收敛性、了解简化牛顿法和牛顿法 下山法,了解重根情形。 5. 掌握弦截法，了解抛物线法。 ( ) , , (1) , , ( ) , , (2) 01, , , , |( )( )|; ( ) , *.g xC a bxa bg xa bLx ya bg xg yL xyg xa bx 如果迭代函数并

60、且都有常数使得都有那么在上存在唯一的不动点定定理理1 11. 设设x*是是 f(x)=0在在a, b内的唯一根内的唯一根,且且 f(a)f(b)0,则二分法计算过程中则二分法计算过程中, 数列数列 ), 2 , 1 , 0()(21 nbaxnnn满足满足: | xn x*| (b a)/ 2n+1 收敛充分性定理*01* ( )(,)( )( )1, () (0,1,2,).nnxxO xxxxxxxxxxnx 定理：如果函数在 的一邻域内连续可微， 为方程的根，且则存在正数使得对任意迭代序列收敛于 收敛充分性定理(三) . |11|*| 4) |,|1|*| 3) *,), 2 , 1 ,