控制工程基础_第二章(2017)

1、1234xydtdydtyddtydxdtdxydtdydtydxy4655)3(362)2(423) 1 (223322xydtdydtydxxyxy2222)5(33)4(567890)(),(sgn(0)(),(sgn()(21txtxytxtxyty O -y1 +y1 +y2 -y2 -y(t) -x(t) 10切线法切线法，或称，或称微小偏差法微小偏差法11xky002200021( )()()()2!x xx xdfd fyf xf xxxxxdxdx)()()(00000 xxkyxxdxdfxfxx)(00 xxkyy123、消去中间变量、消去中间变量 列出各变量间的关系式，

2、消除中间量，得到只包含输入量列出各变量间的关系式，消除中间量，得到只包含输入量和输出量的方程式。和输出量的方程式。 4、化成标准形式、化成标准形式 输出量放在方程式左端，输入量放在方程式右端输出量放在方程式左端，输入量放在方程式右端，且各阶导，且各阶导数项其阶次依次按幂排列。数项其阶次依次按幂排列。 13例例1（1） 1c m 2c ox ix 图 a 由牛顿定律有：由牛顿定律有：ooxmxcxxcoi21)(化为标准式得：化为标准式得：ixcxccxm121oo)(14消除中间变量消除中间变量x得：得：ixckxkkxkkc1021021)(（2）图）图b所示系统，引入中间变量所示系统，引入

3、中间变量x，由牛顿定律有：，由牛顿定律有：)()(01ixxckxx02)(xkxxc0 2k 1k ox ix 图 b c x (3)(3)对图对图c c所示系统，由牛顿定律有所示系统，由牛顿定律有02010)()(xkxxkxxciiiixkxcxkkxc10210)( 2k 1k ox ix 图c c 化为标准式得：化为标准式得：15 )(t )(tm B k J )()()()(321tmtmtmtm221)()(dttdJtmdttdBtm)()(2)()(3tktm)()()()(22tmtkdttdBdttdJ16 )(2ti C 1R )(ti 2R )(0tu )(1ti )

4、(tui 输输入入输输出出)()()(21tititi)()()(21otiRtutui)()(1211tiRdttiC)()(2otiRtu消去中间变量消去中间变量，得到电路微分方程式，即：，得到电路微分方程式，即： )()()()(12211tudttduCRtuRRRdttduCRiioo17设设f(t)是实变量是实变量t的单值函数，在的单值函数，在t0的任一有限区间上是连的任一有限区间上是连续的或至少是分段连续的。并且当续的或至少是分段连续的。并且当t趋于无穷大时，趋于无穷大时，f(t)是是指数级数的。即存在一个正实数指数级数的。即存在一个正实数 ，在，在t趋于无穷大时，它趋于无穷大时

5、，它使函数使函数e- f(t) 趋近于零，则趋近于零，则f(t)的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换F(s)定定义为：义为：dtetftfLsFst0)()()( 18)()(tutf)0( 1)0(0)(tttu )(tf t O 1 （a） 单位阶跃函数单位阶跃函数000111( )1()ststsF sedteeesss )0()0(0)(tRttusRsF)(19000)(ttttf2000011111( )()0ststststF stedtteedtesssss )(tf t O （b）单位斜坡函数）单位斜坡函数 )(tf t O )(t （c）单位脉冲函数）单位脉冲函数000)(ttt1

6、)( dtt00000( )( )( )( )(0)1ststststtF st edtt edtt edtfe20()()00011( )atsts a ts a tF se e dtedtesasa )(tf t O )(tf t O 1 )(tf t O )(t 21( )F ss1( )F ss( )1F s 210( )sinstF st edt)(21sintjtjeejtdteejdtejeesFtjstjssttjtj0)()(0212)(jsjsjjsejsejtjstjs1121210)()(2222221)()(21ssjjjsjsjsjsj22常用函数的拉氏变换表常用函

7、数的拉氏变换表f(t)F(s) (t)11(t)1 / st1 1 / s2 2tn-1/(n-1)!1 /sne-at1 1/(s+a)sin t /(s2+ 2)cos ts/(s2+ 2) 1ba(e-ate-bt)1 1/(s+a)(s+b)111()abatbtbeaea bf(t)F(s)1()()s sa sbsinatet221()sa22()sasacosatet21(1)atatea 21()ssa2222nnnss22sin11ntnnet23为常数为常数 ，则，则1 12211221 122( )( ) ( )( )( )( )L k f tk f tk L f tk

8、L f tk F sk F s)0()()(fssFdttdfL12(1)(2)(1)( )( )(0 )(0 ).(0 )(0 )nnnnnnnd f tLs F ssfsfsffdt)0(),0(),.,0(),0()1()2()1(nnffff)()(sFsdttfdLnnn24xdtdxydtdydtyddtyd42652233)()(4)(2)()(6)(523sXssXsYssYsYssYs)0(1)(1)()1(fssFsdttfL)0()1(f(f t）dt ndttfL)()0(1.)0(1)0(1)(1)()2(1) 1(nnnnfsfsfssFs若若 f(t)各重积分各重

9、积分 在在t=0+时的值为零，时的值为零，则有则有 ( 1)( 2)(0 ),(0 ).(0 )nfff（） ndttfL)()(1sFsn25)(lim)(lim)0(0sFstffsttetf)(te1lim)0(0ttefseLt111lim)0(ssfs终值定理终值定理 )(lim)(lim)(0sFstffstlim( )tf t 26)2(5)(2ssssF2525lim)(lim)(lim)(200sssFstffsst 0)()()(sFedteatfatfLasstf(t-a)为函数为函数f(t)延迟时间延迟时间a的函数，当的函数，当ta时时f(t)=0。设设 ，对任一常数，

10、对任一常数a（实数或复数），有（实数或复数），有 0)()()(asFdtetfetfeLstatat此定理常常在计算有指数函数项的复合函数的拉氏变换时用到。此定理常常在计算有指数函数项的复合函数的拉氏变换时用到。 27teatsin22)(sinasteLat22)(cosasasteLat1)(!nnatasnteL )(1)(asFaatfL两个时间函数两个时间函数f1(t)，f2(t)积分的拉氏变换可由下式得到积分的拉氏变换可由下式得到 )()()()(21021sFsFdftfL)()(11tfLsF)()(22tfLsF28jjstdsesFjsFLtf)(21)()(1)()(1

11、sFLtf原函数原函数（微分方程的解）（微分方程的解）象函数象函数微分方程微分方程象函数的象函数的代数方程代数方程拉氏反变换拉氏反变换拉氏变换拉氏变换解解代代数数方方程程拉氏变换法求解线性微分方程的过程拉氏变换法求解线性微分方程的过程296)(6)(5)(22tydttdydttyd2)0(, 2)(0ydttdytssYyssYysysYs6)(6)0()( 5)0()0()(20)0(, 2)(0ydttdyt34251) 3)(2(6122)(2sssssssssYtteety32451)(30传递函数是一种用复变量函数传递函数是一种用复变量函数描述系统运动规律的描述系统运动规律的数学表

12、达式。数学表达式。 线性定常系统的传递函数定义为：当全部初始条件为零时，线性定常系统的传递函数定义为：当全部初始条件为零时，输出量输出量Y(t)的拉氏变换的拉氏变换Y(s)与输入量与输入量X(t)的拉氏变换的拉氏变换X(s)之比叫之比叫做系统的传递函数做系统的传递函数G(s)。 )()()(sXsYsG按传递函数描述工程中所遇到的元件、部件或系统典型环节，按传递函数描述工程中所遇到的元件、部件或系统典型环节，可更直观、更形象地表示该对象的结构及其各变量间的数学关可更直观、更形象地表示该对象的结构及其各变量间的数学关系，并使运算可以大为简化。系，并使运算可以大为简化。31 设线性定常系统输入为设

13、线性定常系统输入为X(t) ，输出为，输出为Y(t) ，描述该系统运动的，描述该系统运动的微分方程的一般形式为微分方程的一般形式为 : nn 1nn 110nn 1d ydydyaaaa ydtdtdtmm 1mm 110mm 1d xdxdxbbbb xdtdtdt式中，式中，nm; an,bm均为系统结构参数所决定的定常数均为系统结构参数所决定的定常数 。（。（n，m=0、1、2、3） 11110110( )( )( )( )( )( )( )( )nnmmnnmmasY sa s Y sasY saY sb s X sb sX sbsX sbX s根据传递函数的定义，系统的传递函数根据传

14、递函数的定义，系统的传递函数G(s)为为 01110 .111.)()()(asasasabsbsbsbsXsYsGnnnnmmmm32 传递函数分母多项式中传递函数分母多项式中s的最高幂数代表了系统的阶数，如的最高幂数代表了系统的阶数，如s的最高幂数为的最高幂数为n则该系统为则该系统为n阶系统，阶系统， 。 l传递函数是通过传递函数是通过输入和输出之间的关系来描述系统本身特性，输入和输出之间的关系来描述系统本身特性，但与输入量无关但与输入量无关；l输入、系统、输出三者间关系构成控制工程的不同研究内容；输入、系统、输出三者间关系构成控制工程的不同研究内容；l传递函数与具体的系统物理结构无直接关

15、联：不同的物理系统，传递函数与具体的系统物理结构无直接关联：不同的物理系统，只要它们动态特性相同，就可用同一传递函数来描述。只要它们动态特性相同，就可用同一传递函数来描述。 nmxdtdxydtdydtyddtyd762252233xydtdydtyddtyddtyd4236222334422576)()()(23sssssXsYsG23624)()()(234sssssXsYsG325( )2( )( )2 ( )6( )7( )s Y ss Y ssY sY ssX sX s432( )2( )6( )3( )2 ( )4( )s Y ss Y ss Y ssY sY sX s33 工程中

16、常见各种系统，虽然物理结构、工作原理不同，但从工程中常见各种系统，虽然物理结构、工作原理不同，但从传递函数的角度来看，却都是由一些典型的传递函数构成，将这传递函数的角度来看，却都是由一些典型的传递函数构成，将这些典型传递函数通称为些典型传递函数通称为环节环节。它并不代表一个元件，有时可以由。它并不代表一个元件，有时可以由多个元件构成一个部件或系统，更重要的是代表一种作用。多个元件构成一个部件或系统，更重要的是代表一种作用。 熟悉掌握典型环节有助于对复杂系统的分析和研究。熟悉掌握典型环节有助于对复杂系统的分析和研究。 )()(tkxtyksXsYsG)(/ )()(k比例系数比例系数 工程例子工

17、程例子：齿轮系统中的输出转速与输入转速的关系；杠杆：齿轮系统中的输出转速与输入转速的关系；杠杆中的输出位移和输入位移的关系；电位计中的输出电压与输中的输出位移和输入位移的关系；电位计中的输出电压与输入转角的关系；电子放大器中输出信号与输入信号的关系等。入转角的关系；电子放大器中输出信号与输入信号的关系等。 34dttxkty)()(传递函数为传递函数为 sksXsYsG/)(/ )()(例例 如下图无源网络，输入量为回路电流如下图无源网络，输入量为回路电流i, ,而输出量为而输出量为uc, ,试写出试写出其传递函数。其传递函数。 idtcuc1cssIsUsGc1)()()(3511)()()

18、(TSsXsYsG)()()(sXsYsTsY)()()(txtydttdyTui(t)uo(t)RCiidtCiRui10uidtC1dtduCi03611)()()(0TssUsUsGiRCT 0oiduRCuudtdtdxTy 一阶微分环节一阶微分环节 理想微分环节理想微分环节dtdxTxy222d xdxyTTxdtdt微分方程微分方程传递函数传递函数TssXsYsG)()()(TssXsYsG1)()()(22( )( )21( )Y sG sT sTsX s22210T sTs 37例例 图图所示的电气环节，输入电压所示的电气环节，输入电压ui(t),输出电压为输出电压为uo(t)

19、,试试写出其传递函数。写出其传递函数。 电气微分环节电气微分环节 )(1)(tuidtctuoiiRtuo)(经拉氏变换后，整理，可得传递函数为经拉氏变换后，整理，可得传递函数为 1)()()(TsTssUsUsGioRCT 若若RC很小即很小即T0时时，上式可近似为，上式可近似为G(s)=Ts，可把上图所示，可把上图所示RC电电路看成理想微分环节，该电路在脉冲电路中经常用到。路看成理想微分环节，该电路在脉冲电路中经常用到。 38其微分方程式为其微分方程式为2222d ydyTTyKxdtdt传递函数为传递函数为 22( )( )( )21Y sKG sX sT sTsm-k-f机械系统可以看

20、作这种环节，机械系统可以看作这种环节，微分方程式为：微分方程式为： Fkydtdyfdtydm2222( )11( )( )1Y skG sX smsfskm k sf k smkfFy39)(txysesXsYsG)()()(输出与输入关系具有延迟关系的环节，称为延迟环节。输出与输入关系具有延迟关系的环节，称为延迟环节。微分方程为微分方程为40KTs1sT2221, (01)T sTss1) 1(1Ts221,(01)(21)T sTsse41011101110.)()()(asasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmi 典型环节表达式典型环节表达式)1).(1)(1()1.()

21、.1)(1()(2121 sTsTsTssssKsGnm 零极点表达式零极点表达式).()().()()(2121nnmmPsPsPsaZsZsZsbsG 多项式表达式多项式表达式42其中：其中： bm(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0的根的根s=zi (i=1, 2, , m)，称为传递函数的，称为传递函数的零点零点；an(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根的根s=pj (j=1, 2, , n)，称为传递函数的，称为传递函数的极点极点；注意：注意： 系统传递函数的极点就是系统的特征根。系统传递函数的极点就是系统的特征根。零点和极点零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数的数值

22、完全取决于系统的结构参数。).()().()()(2121nnmmPsPsPsaZsZsZsbsG43零极点分布图零极点分布图0 12312-1-2-3-1-2 j )22)(3(2)(2sssssG44011101110.)()()(asasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmi00)0(abGK)(lim)(lim)(0sFstffst)(.)(011101110sXasasasabsbsbsbsXinnnnmmmmssxi1)(txioixxK,14546472.2.相加点相加点 如下图所示，相加点代表两个或两个以上的输入如下图所示，相加点代表两个或两个以上的输入信号进行相加

23、或相减的元件，或称比较器。信号进行相加或相减的元件，或称比较器。相加点相加点 48)()()()(.)()()()()(2111sGsGsYsYsXsYsXsYsG上式说明，由串联环节所构成的系统，当无负载效应影响时，它上式说明，由串联环节所构成的系统，当无负载效应影响时，它的总传递函数等于个环节传递函数的乘积。当系统由的总传递函数等于个环节传递函数的乘积。当系统由n个环节串个环节串联而成时，总传递函数为：联而成时，总传递函数为：niisGsG1)()(式中式中Gi(s)第第i个串联环节的传递函数个串联环节的传递函数(i=1，2，n )49)()()(21sYsYsY)()()()()()()

24、()()(2121sGsGsXsYsXsYsXsYsG并联环节所构成的总传递函数，等于各个并联环节传递函数之和并联环节所构成的总传递函数，等于各个并联环节传递函数之和（或差）。推广到（或差）。推广到n个环节并联，其总的传递函数等于各并联环个环节并联，其总的传递函数等于各并联环节传递函数的代数和，即节传递函数的代数和，即 niisGsG1)()(式中式中Gi(s)第第i个并联环节的传递函数个并联环节的传递函数(i=1，2，n )50( )( )( ) ( )Y sX sB s G s)()()(sHsYsB( )( )( )1( )( )Y sG sX sG s H s511 1、列出描述系统各

25、个环节的运动方程式；、列出描述系统各个环节的运动方程式；2 2、假定初始条件等于零，对方程式进行拉氏变换，求出环节、假定初始条件等于零，对方程式进行拉氏变换，求出环节的传递函数，并将它们分别以方块的形式表示出来；的传递函数，并将它们分别以方块的形式表示出来；3 3、将这些方块单元结合在一起，以组成系统完整的框图。、将这些方块单元结合在一起，以组成系统完整的框图。下面就通过具体例子说明绘制框图的方法。下面就通过具体例子说明绘制框图的方法。 例例 绘制下图所示的二阶绘制下图所示的二阶RC回路的框图。回路的框图。 52解：首先列出系统原始方程解：首先列出系统原始方程 )()()(111tiRtutu

26、r)()()(221tiRtutucdttiCtuc)(1)(22UrU1R1C1R2C2Uci1i2dttitiCtu)()(1)(2111)()()(111sIRsUsUrsCsIsIsU1211)()()()()()(221sIRsUsUcsCsIUc22)(53)()()(111sIRsUsUrsCsIsIsU1211)()()()()()(221sIRsUsUcsCsIUc22)(54G(s)ABCG(s)G(s) ABC)(1sGG(s) ABC求和点后移求和点后移G(s) ABC求和点前移求和点前移乘乘G(s)除除G(s)55乘乘G(s)除除G(S)引出点前移引出点前移G(s)A

27、CC引出点后移引出点后移G(s)ACAG(s)ACG(s)CG(s)AC)(1sGA565758592 2、相加点可以互换；、相加点可以互换； 3 3、分支点可以前移或后移，但移动之后，需在此回路、分支点可以前移或后移，但移动之后，需在此回路中乘或除以所跨接的传递函数；中乘或除以所跨接的传递函数； 4 4、相加点可以前移或后移，但移动之后，需在此回路中相加点可以前移或后移，但移动之后，需在此回路中除或乘以所跨接的传递函数；除或乘以所跨接的传递函数；60a)61解：解：1、图图a)的分支点的分支点A后移到分支点后移到分支点B处，因而得到图处，因而得到图b)所示的所示的方框图。它包括三个回路，分别

28、以方框图。它包括三个回路，分别以、标明。标明。 622、第、第回路的传递函数为：回路的传递函数为： 434331)(GGGGsF以以F3(s)代替第代替第回路，从而得到图回路，从而得到图 c) 633、 第第回路的传递函数为：回路的传递函数为： 324343244343243432211111)(GGGGGGGGGGGGGGGGGGsF以以F2(s)代替第代替第回路，从而得到图回路，从而得到图d) 644、最后，得到系统的传递函数为、最后，得到系统的传递函数为 43213243432143324321324343211111)()(GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGsXsY可以将其表示在图可以将其表示在图 e）的框图中。）的框图中。 65niisGsG1)(