第一章 行列式及其应用

1、音乐音乐音乐音乐主讲教师：主讲教师： 何何 敏敏 勇勇 第一章第一章行列式及其应用行列式及其应用3第一节第一节 n 阶行列式阶行列式一、二阶行列式的引入一、二阶行列式的引入:22)1(a ,2212221212211abxaaxaa :12)2(a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得两式相减消去两式相减消去2x;)(212221121122211baabxaaaa (2) (1) 22221211212111bxaxabxaxa4;)(212221121122211baabxaaaa ，得，得类似地，消去类似地，消去1x,)(211211221122211abbaxaaaa

2、 时，时，所以当所以当021122211 aaaa方程组有唯一解方程组有唯一解，211222112122211aaaabaabx .211222112112112aaaaabbax .,22221211212111bxaxabxaxa)1()2(5引入记号引入记号定义定义2112221122211211aaaaaaaa 称为二阶行列式称为二阶行列式. .主对角线主对角线对角线法则对角线法则2211aa 二阶行列式的计算二阶行列式的计算2112aa 11a21a12a22a，211222112122211aaaabaabx .211222112112112aaaaabbax 主对角线主对角线6二

3、、三阶行列式二、三阶行列式三元线性方程组三元线性方程组 333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa211121323112113222112112)()(babaxaaaaxaaaa 311131333113113232113112)()(babaxaaaaxaaaa 321231333213123232213122)()(babaxaaaaxaaaa 32a )(22a 12a 31221333211232231132211331231233221132112322112311223211131221322113aaaaaaaaaa

4、aaaaaaaabaabaabaabaabaaaabx 731221333211232231132211331231233221132112322112311223211131221322113aaaaaaaaaaaaaaaaaabaabaabaabaabaaaabx 引入记号引入记号定义定义称为称为三阶行列式三阶行列式. .,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa8333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 对角线法

5、则对角线法则说明：说明： 1、三阶行列式包括、三阶行列式包括3!项，每一项都是位于项，每一项都是位于不同行，不同列的三个元素的乘积不同行，不同列的三个元素的乘积，其中三项为正，其中三项为正，三项为负三项为负.322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 2、对角线法则只适用于二阶与三阶行列式、对角线法则只适用于二阶与三阶行列式91 1、计算行列式：计算行列式：.52112 (1)(1)(2)(2)140053101 .7125 .0000 abcacbcbcaba(3)(3)10三、全排列及其逆序数三、全排列及其逆序数 由由n个不同数码个不同数码1,2,n 组

6、成的有序数组组成的有序数组 i1i2in, 称为一个称为一个n级排列级排列.定义定义 在一个在一个n级排列级排列 i1i2in 中中, 如果有较大的数如果有较大的数 it 排在较小的数排在较小的数 is 前面前面(is1)共有共有n!个个 n 级排列级排列, 其中奇偶排其中奇偶排列各占一半列各占一半.14四、四、n阶行列式阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa (1) 三阶行列式共有三阶行列式共有 3! = 6 项项(2) 每项都是位于不同行不同列的三个元素

7、的乘积每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积(3) 每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列元素的下标排列例如例如322113aaa列标排列列标排列312是偶排列是偶排列,正号正号 322311aaa,负号负号 列标排列列标排列132是奇排列是奇排列,15.)1(321321321321)( pppppppppaaa 333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 16nnnnnnaaaaaaaaaD2122221

8、11211 定义定义 用用n2个元素个元素aij (i,j =1,2,n) 组成的记号组成的记号定义为定义为,)1(21212121)(nnnnpppppppppaaa ).det(ija简记作简记作determinant为这个排列的逆序数为这个排列的逆序数的一个排列，的一个排列，为自然数为自然数其中其中)(212121nnpppnppp n阶行列式是阶行列式是n!项的代数和项的代数和,不同列的不同列的n个元素的乘积个元素的乘积.每项都是位于不同行、每项都是位于不同行、17所表示的代数和中有所表示的代数和中有4! = 24项项.例如例如, 四阶行列式四阶行列式44434241343332312

9、423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 例如例如, a11a22a33a44项取正号项取正号, a14a23a31a42项取负号项取负号, a11a24a33a44不是不是D的项的项.18 D中各项中不为零的项只有中各项中不为零的项只有a11a22ann, 其它项其它项均为零均为零, 由于由于 (12n) = 0, 因此这一项取正号因此这一项取正号, 得得例例9 9 计算上计算上三角行列式三角行列式nnnnaaaaaaD000022211211 解解nnnnaaaaaa00022211211.2211nnaaa 19同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式.2211n

10、naaa nnnnaaaaaa2122211100020特殊情况：特殊情况：.00000000000000002211332211nnnnaaaaaaa 这种行列式称为这种行列式称为对角行列式对角行列式.21例例1010 计算行列式计算行列式000000000000dcbaD 解解abcdD)4321()1( .abcd 练习练习: : 推广到推广到 n 阶情况。阶情况。22n 21.)1(212)1(nnn 2)1()12)1( nnnn 23例例1111 设设,1211123111211)(xxxxxf .3的的系系数数求求 x含含 的项有两项的项有两项,即即3x解解43342211)12

11、43()1(aaaa 44332211)1234()1(aaaa 3x 32x . 13 的系数为的系数为故故 x,3x 24练习：练习：P8 习题习题 1.11. 25说明说明 行列式中行与列的地位是对等的行列式中行与列的地位是对等的, ,因此行列式因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立的性质凡是对行成立的对列也同样成立. .第二节第二节 行列式的性质行列式的性质性质性质1 1 行列式与它的转置行列式相等，即行列式与它的转置行列式相等，即行列式行列式 称为行列式称为行列式 D 的转置行列式的转置行列式. TDnnaaa2211nnaaa21122121nnaaa TDnnaaa2211

12、 D记记2121nnaaannaaa2112证略证略DDT 26性质性质2 2 交换行列式的两行交换行列式的两行( (列列),),行列式的值变号行列式的值变号. .例如例如,571571 266853.825825 361567567361266853证略证略推论推论 如果行列式有两行如果行列式有两行( (列列) )完全相同，则此行列完全相同，则此行列式为零式为零. .证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 . 0 D,DD 27性质性质3 3 行列式的某一行行列式的某一行( (列列) )中所有的元素都乘以中所有的元素都乘以同一数同一数k，等于用数等于用数k乘此行列式乘此行列式, , 即

13、即证略证略nnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 说明说明行列式的某一行行列式的某一行(列列)中所有元素若有公因子中所有元素若有公因子, 可以提到行列式符号的外面可以提到行列式符号的外面推论推论如果行列式有两行如果行列式有两行(列列)的对应元素成比例的对应元素成比例, 则则行列式的值等于零行列式的值等于零.28性质性质4 4若行列式的某一列若行列式的某一列( (行行) )的元素都是两数之和的元素都是两数之和, ,nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211

14、则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如注意注意： 一次只能拆一行或一列一次只能拆一行或一列.证证略略29例例1 1 证明证明3332221113333332222221111112cbacbacbaaccbbaaccbbaaccbba 由性质由性质4 4， 证证上式左边上式左边 333332222211111333332222211111accbbaccbbaccbbaccbaaccbaaccba 3333222211113333222211113333222

15、21111333322221111accbaccbaccbacbbacbbacbbacbaacbaacbaccbaccbaccba 30333322221111333322221111333322221111333322221111accbaccbaccbacbbacbbacbbacbaacbaacbaccbaccbaccba 由性质由性质2 2推论，第二、第三个行列式的值为推论，第二、第三个行列式的值为0 0； 再由性质再由性质4 4，把第一、第四个行列式分别拆成两个行列，把第一、第四个行列式分别拆成两个行列式之和并化简后，式之和并化简后， 上式上式333222111333222111acbacbacbcbacbacba .2333222111cbacbacba 31njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakcc)()()(1222221111111 k例如例如列列 column行行 row性质性质5把行列式的某一列把行列式的某一列(行行)的各元素乘以同一数的各元素乘以同一数k后后加到另一列加到另一列(行行)对应的元素上去，行列式的值不变对应的元素上去，行列式的值不变32补充例题补充例题331111111111111111 2000220022201111 .8 5