直线及圆的位置关系 求切线方程

1、复习：复习：1、直线与圆的位置关系：、直线与圆的位置关系：0 0drdr1 1d=rd=r切点切点切线切线2 2drdr交点交点割线割线ldrld rOldr图形图形 直线与圆的直线与圆的 位置关系位置关系 公共点的个数公共点的个数 圆心到直线的距离圆心到直线的距离d 与半径与半径 r 的关系的关系 公共点的名称公共点的名称 直线名称直线名称 . .A AC C B B. . .相离相离 相切相切 相交相交 2、判定直线、判定直线 与圆的位置关系的方法有与圆的位置关系的方法有_种：种：（1）根据定义，由）根据定义，由_的的个数来判断；个数来判断；（2）根据性质，）根据性质，_的关系来判断。的关

2、系来判断。在实际应用中，常采用第在实际应用中，常采用第二二种方法判定。种方法判定。两两直线直线 与圆的公共点与圆的公共点圆心到直线的距离圆心到直线的距离d与半径与半径r代数法代数法几何法几何法例例:已知圆的方程是已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程的切线方程.分析分析:只要求出切线的斜率即可只要求出切线的斜率即可.解解:如右图所示如右图所示,设切线的斜率为设切线的斜率为k,半径半径OM所在直线的斜率为所在直线的斜率为kOM.因为圆的切线垂直于过因为圆的切线垂直于过切点的半径切点的半径,于是于是OMkk1圆的方程是圆的方程是x2+y2=r2,则经

3、过则经过圆上一点圆上一点M(x0,y0)的切线方程为：的切线方程为：200ryyxx.,0000yxkxykOM自主P92 4例例 2：求经过点求经过点(1，7)且与圆且与圆 x2y225 相切的切线方程相切的切线方程解法一：解法一：设切线的斜率为设切线的斜率为 k，由点斜式有，由点斜式有 y7k(x1)，即即 yk(x1)7，将方程代入圆方程得将方程代入圆方程得 x2k(x1)7225，整理得整理得(k21)x2(2k214k)xk214k240.故故(2k214k)24(k21)(k214k24)0， 思维突破：思维突破：已知点和圆方程求切线方程，有三种方法：已知点和圆方程求切线方程，有三

4、种方法：(1)设切线斜率，用判别式法设切线斜率，用判别式法(2)设切线斜率，用圆心到直设切线斜率，用圆心到直线的距离等于半径法线的距离等于半径法(3)设切点坐标，用切线公式法设切点坐标，用切线公式法故切线方程为故切线方程为 4x3y250 或或 3x4y250.解法二：解法二：设所求切线斜率为设所求切线斜率为 k，则所求直线方程为，则所求直线方程为 y7k(x1)，整理成一般式为，整理成一般式为 kxyk70，所以切线方程为所以切线方程为 4x3y250 或或 3x4y250.解法三：解法三：设切点为设切点为(x0，y0)，则所求切线方程为，则所求切线方程为 x0 xy0y25，将坐标，将坐标

5、(1，7)代入后得代入后得 x07y025，故所求切线方程为故所求切线方程为 4x3y250 或或 3x4y250.自主P92 2 变式总结: 圆的切线方程求过一点的圆的切线问题，求过一点的圆的切线问题，首先要判断这点与圆的位置关系首先要判断这点与圆的位置关系: 过圆外一点圆的切线有两条，过圆外一点圆的切线有两条， 过圆上一点圆的切线有一条，过圆上一点圆的切线有一条， 过圆内一点，没有切线过圆内一点，没有切线在求过圆外一点的切线时常用以下方法：在求过圆外一点的切线时常用以下方法： (1)设切线斜率，写出切线方程，利用设切线斜率，写出切线方程，利用判别式等于零判别式等于零求斜率；求斜率； (2)

6、设切线斜率，利用圆心到直线的距离等于半径来求斜率设切线斜率，利用圆心到直线的距离等于半径来求斜率（注意：注意：在用这两种方法时一定要注意切线斜率不存在的情在用这两种方法时一定要注意切线斜率不存在的情形形,若求出只有一个斜率，应找若求出只有一个斜率，应找回另一条回另一条） （3）利用公式）利用公式点在圆上，可直接代入切线公式；若点在圆外，则设切点点在圆上，可直接代入切线公式；若点在圆外，则设切点M（x0，y0），将点代入切线方程，与圆的方程组成方程组求解。），将点代入切线方程，与圆的方程组成方程组求解。200 x xyyr练习练习1:求由下列条件所决定的圆求由下列条件所决定的圆 x2y24 的切

7、线方程：的切线方程：解：当直线解：当直线 l 的斜率存在时，设直线的斜率存在时，设直线 l 方程为：方程为： y3k(x3)kxy3(k1)0，当直线当直线 l 的斜率不存在时，也满足题意，的斜率不存在时，也满足题意，故直线故直线 l 的方程为的方程为 5x12y210 或或 x3.练习练习2：过点过点 A(3，3)且与圆且与圆(x1)2y24 相切的相切的直线直线 l 的方程是的方程是_变式变式:求过点求过点P(6,-8)与圆与圆C:x2+y2-2x-4y-20=0相切的直线方程相切的直线方程.解解:将圆的方程配方将圆的方程配方,得得(x-1)2+(y-2)2=25,圆心圆心C(1,2),半

8、径半径r=5.易知点易知点P(6,-8)在圆在圆C外部外部,设切线方程为设切线方程为y+8=k(x-6),即即kx-y-6k-8=0.由圆心到切线的距离等于半径得由圆心到切线的距离等于半径得解得解得切线方程为切线方程为 即即3x+4y+14=0.2|268|5,1kkk3.4k 336 ()80,44xyx=6也符合也符合.所以切线方程是所以切线方程是: 3x+4y+14=0和和x=6思考：思考：若圆的半径为若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直，圆心在第一象限，且与直 线线4x-3y=0和和x轴都相切，求该圆的标准方程轴都相切，求该圆的标准方程4 yx2.求圆心为（求圆心为（1,1）且与直线

9、）且与直线 相切的圆的方程相切的圆的方程.设圆心为（设圆心为（a，1）,半径为半径为1，求得圆心为（求得圆心为（2,1）或（）或（-1/2,1）（舍）（舍）3.(2009辽宁辽宁)已知圆已知圆C与直线与直线x-y=0及及x-y-4=0都相都相切切,圆心在直线圆心在直线x+y=0上上,则圆则圆C的方程为的方程为( )A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2解析解析:圆心在直线圆心在直线x+y=0上知上知,排除排除C D.验证当圆心验证当圆心(1,-1)时时,适合题意适合题意,故选故选B答案答案:B4.(2010广东理广东理12)已知圆心在已知圆心在x轴上轴上,半径半径为为 的圆的圆O位于位于y轴左侧轴左侧,且与直线且与直线x+y=0相切相切,则圆则圆O的方程为的方程为_.解析解析:设圆心设圆心O(x,0)(x0),则则|x|=2,x0,x=-2.圆的方程为圆的方程为(x+2)2+y2=2.2|2,2x(x+2)2+y2=25.若直线若直线y=x+k与曲线与曲线 恰有一个恰有一个公共点公共点,则则k的取值范围是的取值范围是_.解析解析:利用数形结合法利用数形结合法.