直线与平面垂直的判定

1、直线与平面垂直的判定教学设计甘肃省白银第九中学胡贵平课题：“直线与平面垂直的判定”教学内容分析：课本通过让学生观察旗杆与它在地面上影子的位置关系引出直线与平面垂直的概念，并通过折纸试验让学生操作并确认直线与平面垂直的判定定理.定理把定义中要求的与平面内“任意”一条（无限）直线垂直转化为与平面内“两条”（有限）相交直线垂直，使直线与平面垂直的判定具有可操作性.课本中的例1给出了判定直线与平面的一个间接方法.学生情况分析：由前面学习学生已经有了一定的空间想象能力、几何直观能力、推理论证能力以及运用图形语言进行交流的能力，在探究直线与平面垂直的判定定理过程中，学生对为什么要且只要两条相交直线的理解有

2、一定的困难，因为定义中“任一条直线”指的是“所有直线”，这种用“有限”代替“无限”的过程导致学生形成理解上的思维障碍.教学目标：1. 借助对实例、图片的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义.2. 通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理.并能运用证明和直线与平面垂直有关的简单命题. 3.在探索定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.教学重难点分析：教学重点：抽象概括直线与平面垂直的定义，操作探究直线与平面垂直的判定定理. 教学难点：操作确

3、认直线与平面垂直的判定定理及其初步应用.教学方法与策略：引导探究式”教学方法，通过精心设计一个个问题串，激发学生的求知欲，合作交流、动手试验，获得数学结论. 教具、教学媒体准备：多媒体课件（以PowerPoint为平台）、三角板、大三角形纸片等教具.学生自备：三角形纸片（任意形状）、笔（表直线）、课本（表平面）等学具.教学过程：（一）从实际背景中直观感知直线与平面垂直                   &

4、#160;                 问题1 在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明.师生活动：学生举例，通过比较，引导学生先研究直线与平面垂直的情形，教师根据学生举例的情况适当补充，如旗杆与地面、大桥的桥柱与水面垂直的位置关系等.问题2在已学的空间几何体中，举例说明哪些直线与平面是垂直的？师生活动：学生举例，如长方体的侧棱与底面，圆柱、锥的轴与底面的位置关系等. 问题3你觉得画怎样的直观图最能反

5、映直线与平面垂直？师生活动：学生画图，师生共同分析画法. （二）抽象概括直线与平面垂直的定义问题4 （1）你能回忆一下直线与平面平行的研究思路吗？  （2）类似的我们又如何研究一条直线与一个平面垂直呢？师生活动：回忆线面平行的研究思路，考察线与面内直线的位置关系（图2），教师适时给出“旗杆与变动的影子的关系”的情景来启发学生. 问题5 如图3，在阳光下直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC（1）它们的位置关系是怎样的？（2）随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?（3）AB与地面上任意一条不是影子（不过旗杆底部B）的

6、直线BC的位置关系又是什么？由此得到什么结论？ 师生活动：学生思考、分析与说理，教师可利用多媒体课件演示旗杆在地面上的影子的移动过程.得出结论后引导学生思考：能否用一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，来定义直线与平面垂直.问题6 若一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，该直线与此平面垂直吗？师生活动：引导学生操作、观察，如图4，当的平面外直线AB（用笔表示）与平面（用桌面表示）不垂直时，平面内就有直线BC（可用另一支笔表示）与平面外的这条直线不垂直.接着教师给出定义. 定义：（板书）  辨析1： “如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这

7、个平面垂直”是否正确？为什么？师生活动：引导学生用笔表示直线，用书本表示平面来举出反例，教师可结合图5说明.  （三）操作确认直线与平面垂直的判定定理问题7:如何将一张长方形贺卡直立于桌面？由此，你能猜想出判断一条直线与一个平面垂直的方法吗？  图6师生活动：先让学生思考用定义判断不方便的原因，再讨论平面内直线减少到多少条才合适，排除一条和两条平行的情形，针对两条相交情形，引导学生进行折纸活动. 实验：一起来做一个试验：如图7，过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）  

8、0;问题8 （1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使AD与桌面所在平面垂直？ 师生活动：让学生沿A点进行各种翻折，并充分观察、思考与讨论.  问题9当折痕AD与BC不垂直时，绕AD无论怎样翻折，翻折后AD始终与桌面所在平面不垂直吗？为什么？师生活动：学生继续观察并说理，如图9，当AD与BC不垂直时，翻折后AD始终与桌面内的直线BD（或DC）不垂直.   问题10当折痕ADBC时，绕AD无论怎样翻折， （1）翻折之后AD始终与桌面所在平面垂直吗？ （2）翻折之后的垂直关系即ADBD，ADCD是否发生变化？由此得到什么结论？ 师生活动：引导

9、学生继续操作观察，如图10，当ADBC时，固定BD，保持DC紧贴桌面，让折纸的CAD部分挠着AD旋转，旋转过程中发现AD始终与平面垂直，同时AD与平面内任意一条过点D的直线都垂直.  问题12 根据上面的试验，你能给出直线与平面垂直的判定方法吗？师生活动：学生叙述判定定理，再引导学生给出文字、图形、符号这三种语言表示，明确定理中的五个条件. 定理：（板书）  辨析2：命题“如果一条直线与一个梯形的两条边垂直，那么这条直线垂直于梯形所在的平面”是否正确？为什么？师生活动：学生思考作答. （四）初步应用例1：已知ab，a，求证：b.师生活动：师生共同评析，接着引导学生

10、阅读课本，注意证明题书写的规范性，并用文字语言叙述：两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面.练习：如图,在三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC，求证：VBAC. 师生活动：学生板演练习，师生共同评析.设计意图意图：通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面相交中的特例直线与平面垂直的形象，由此引出课题. 意图：在已学的几何模型中感知直线与平面垂直的位置关系.意图：给出直观图的画法，有利于揭示问题的本质，有利于进行几何的抽象概括. 意图：引导学生用“降维”的思想来思考问题，通过考察直线与平面内直线的位置关系来研究直线与平面垂直的情形.

11、 意图：第（1）（2）让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条过点B的直线垂直，第（3）问引导学生根据异面直线所成角的概念得出旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条不过点B的直线也垂直，在这里，主要引导学生通过观察来分析、归纳直线与平面垂直这一概念.意图：通过观察、思考与讨论，让学生感悟：. 并让学生归纳、概括出直线与平面垂直的定义.意图：使学生明确平面中直线的“任意性”.意图：引发学生认知冲突，激发探索判定定理的需要，将平面内直线条数从无限条转化为有限条.意图：通过折纸活动让学生发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在的平面垂直（如图8）. 意图：回归定义

12、分析，明确判定一条直线与一个平面不垂直，只要该直线与平面内的一条直线不垂直意图：问题（1）让确认AD始终与桌面所在平面垂直的事实，问题（2）引导学生发现：当AD垂直于平面内过D的任意两条相交直线时，AD就垂直于平面.建立了定义与判定之间的联系，有助于学生发现判定的本质，也有助于深化学生对定义的理解.意图：让学生归纳出直线与平面垂直的判定定理. 意图：强化平面中两条“相交”直线的条件.意图：会用证明问题的一般思维策略：由已知想可知（性质），由未知想需知（判定），合理选择辅助线.意图：合理选择辅助平面，体会转化思想的作用.    作业设计：1 如图，PA平面ABC，BCAC，写出图中所有的直角三角形.图112课本P73探究：意图：两小题主要是活用直