2021年九年级中考复习数学高分冲刺训练——几何综合：《四边形综合》(五)及答案

1、备战2021年九年级中考复习数学高分冲刺训练几何综合：四边形综合（五）1如图，在ABC中，ACB90°，A30°，BC6cm，CD是中线点P从点C出发以4cm/s速度沿折线CDDB匀速运动，到点B停止运动过点P作PQAC，垂足为点Q，以PQ为一边作矩形PQMN，且MQPQ点M，C始终位于PQ的异侧，矩形PQMN与ACD的重叠部分面积为S（cm2），点P的运动时间为t（s）（1）当点N在边AB上时，t s（2）求S与t之间的函数关系式（3）当矩形PQMN与ACD的重叠部分为轴对称图形时，直接写出t的取值范围2如图，在RtABC中，ACBC4，ACB90°，正方形BD

2、EF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD（1）请判断线段AE和CD的数量关系，并说明理由；（2）当A、E、F三点在同一直线上时，求CD的长；（3）设AE的中点为M，连接FM，试求线段FM长的最大值3如图所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，G、A、B在同一直线上，点E在AD上，连接DG，BE（1）证明：BEDG；（2）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图所示，判断BE与DG的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）探究：如图所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD2AB，AG2AE时，判断BE与DG的数量关系和位置关系是否与（2）的结论相同，并说明

3、理由4如图1，ABCD为正方形，将正方形的边CB绕点C顺时针旋转到CE，记BCE，连接BE，DE，过点C作CFDE于F，交直线BE于H（1）当60°时，如图1，则BHC ；（2）当45°90°，如图2，线段BH、EH、CH之间存在一种特定的数量关系，请你通过探究，写出这个关系式： （不需证明）；（3）当90°180°，其它条件不变（如图3），（2）中的关系式是否还成立？若成立，说明理由；若不成立，写出你认为成立的结论，并简要证明5四边形ABCD中，点E是AB的中点，F是AD边上的动点连结DE、CF（1）若四边形ABCD是矩形，AD12，CD10

4、，如图（1）请直接写出AE的长度；当DECF时，试求出CF长度（2）如图（2），若四边形ABCD是平行四边形，DE与CF相交于点P探究：当B与EPC满足什么关系时，成立？并证明你的结论6我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M、N、N小明在探究线段MM与NN 的数量关系时，从点M、N向对边作垂线段ME、NF，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题请你参考小明的思路解答下列问题：（1）当直线l与方形环的对边相交时，如图1，直线l分别交AD、AD、BC、BC于M、M、N、N，小明发现MM与N

5、N相等，请你帮他说明理由；（2）当直线l与方形环的邻边相交时，如图2，l分别交AD、AD、DC、DC于M、M、N、N，l与DC的夹角为，你认为MM与NN还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出的值（用含的三角函数表示）7定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做神奇四边形顺次连接四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形（1）判断：在平行四边形、矩形、菱形中，一定是神奇四边形的是 ；命题：如图1，在四边形ABCD中，ABAD，CBCD，则四边形ABCD是神奇四边形此命题是 （填“真”或“假”）命题；神奇四边形的中点四边形是 ；（2）如图2，分别以RtACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形AC

6、FG和正方形ABDE，连接BE，CG，GE求证：四边形BCGE是神奇四边形；若AC2，AB，求GE的长；（3）如图3，四边形ABCD是神奇四边形，若AB6，CD，AD、BC分别是方程x2（k+4）x+4k0的两根，求k的值8如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD的边长为4，ABC60°，对角线AC与BD的交点E恰好在y轴上，点G是BC中点，直线AG交BD于F（1）点F的坐标为 ；（2）如图1，在x轴上有一动点H，连接FH，请求出FH+DH的最小值及相应的点H的坐标；（3）如图2，若点N是直线AC上的一点，那么在直线AG上是否存在一点M，使得以B、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若

7、存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由9如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，点F分别在线段OB，线段AB上，且AFOE，连接AE交OF于G，连接DG交AO于H（1）如图1，若点E为线段BO中点，AE，求BF的长；（2）如图2，若AE平分BAC，求证：FGHG；（3）如图3，点E在线段BO（含端点）上运动，连接HE，当线段HE长度取得最大值时，直接写出cosHDO的值10已知矩形ABCD中，点E为AD上一点（1）连接BE、CE，BCE的平分线与AD交于点H，HG垂直平分BE如图1，若AE8，BE10，求EHC的面积；如图2，若ECD30°，求证：BC+CEHC

8、；（2）如图3，若ABCD6，ADBC8，连接CE，将CDE沿CE翻折，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，将AFE绕点A顺时针旋转90°，再沿AB方向向下平移至AFB处（点E与点B重合），将AFB绕着点B顺时针旋转一个角（0°180°），在旋转过程中，设直线AF分别交直线AC、BC于点P、Q，是否存在这样的P、Q两点，使得CPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出CQ的长度；若不存在，请说明理由参考答案1解：（1）如图1中，在RtABC中，BC6cm，ACB90°，A30°，AB2BC12cm，ACBC6cm，ADDB，CDAB6cm，PNAC，

9、解得t，故答案为（2）如图21，当0t时，重叠部分是矩形PQMN，CDAD，AACD30°PQPC×4t2t，MQPQ，SS矩形PQMNt×2t2t2如图22，当t时，重叠部分是五边形PQMEF，CQPCcos30°2t，ACBCtan60°6AMACMQCQ6t2t63t，MEAM tan30°（63t）63t，ENMNME2t（63t）5t6，NFEN tan60°（5t6），SS矩形PQMNSENF2t2（5t6）（5t6）t2+30t18如图3，当t3时，重叠部分是五边形QMEDFAPAD+DPCD+DP4t，PQA

10、Psin30°2tNPMQPQt，ENNPtan30°t，DPAPAD4t6，SS矩形PQMNSENPSDFP2t2tt（4t6）2t2+12t9（3）观察图象可知当0t时，满足条件，如图23中，当DEDF时，也满足条件，可得62t4t6解得t2，综上所述，满足条件的t的值为0t或t22解：（1）结论：AECD理由：在RtABC中，ACBC4，ACB90°，ABCEBD45°，ABECBD，四边形BDEF是正方形，ABC是等腰直角三角形，ABECBD，AECD；（2ACBC4，ACB90°，ABBC4，当A、E、F三点在一直线上时，AFB90&

11、#176;，AF2，如图1，当AE在AB左上方时，AEAFEF22，AECD，CDAE，如图2，当AE在AB右下方时，同理，AEAF+EF2+2，CD+，综上所述，当A、E、F三点在一直线上时，CD的长为或+；（3）如图3，延长EF到G使FGEF，连接AG，BG，则BFG是等腰直角三角形，BGBF2，设M为AE的中点，连接MF，MF是AGE的中位线，AG2FM，在ABG中，ABBGAGAB+BG，2AG6，FM3，FM的最大值为33解：（1）证明：四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，AEAG，ABAD，BADEAG90°，ABEDAG（SAS），BEDG；（2）BEDG，BEDG

12、如图1中，四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，AEAG，ABAD，BADEAG90°，BAEDAG，在ABE和DAG中，ABEDAG（SAS），BEDG；ABEADG，延长BE交AD于T，交DG于HATB+ABE90°，ATB+ADG90°，ATBDTH，DTH+ADG90°，DHB90°，BEDG（3）数量关系不成立，DG2BE，位置关系成立如图2中，延长BE交AD于T，交DG于H四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，BADDAG，BAEDAG，AD2AB，AG2AE，ABEADG，ABEADG，DG2BE，ATB+ABE90°

13、;，ATB+ADG90°，ATBDTH，DTH+ADG90°，DHB90°，BEDG4解：（1）作CGBH于G，如图1所示：四边形ABCD是正方形，CBCD，BCD90°，由旋转的性质得：CECB，BCE60°，CDCE，BCGECGBCE30°，CFDE，ECFDCFDCE，GCH（BCE+DCE）×90°45°；故答案为：45°；（2）BH+EHCH；理由如下：作CGBE于G，如图2所示：DCEC，DCFECFHCB+BCG+ECG，BCEC，BCGECG，DCFHCB+2BCG，DCF+H

14、CB2HCB+2BCG90°，HCB+BCG45°，HHCG45°，CGH是等腰直角三角形，CH 2GH，BH+EHBH+BH+BG+EG2GHCH，即：BH+EHCH（3）当90°180°，其它条件不变，（2）中的关系式不成立，BHEHCH；理由如下：作CGBH于G，如图3所示：同（1）得：BHC45°，CGH是等腰直角三角形，CHGH，BGEGBE，BHEHBG+GHEHBG+EGEHEH2GHCH5解：（1）四边形ABCD是矩形，ADBC，ABCD，AADC90°AD12，CD10，BC12，AB10点E是AB的中点，

15、AEAB5DECF，DPCDPF90°，DFC+DCF90°，DFC+FDP90°，DCFFDPAADC，CFDDEA，在RtAED中，由勾股定理，得ED13，CF答：CF的长度为；（2）当B+EPC180°时，成立证明：四边形ABCD是平行四边形，BADC，ADBC，B+A180°，B+EPC180°，AEPCFPD，FDPEDA，DFPDEA，BADC，B+EPC180°，EPC+DPC180°，CPDCDF，PCDDCF，CPDCDF，即当B+EPC180°时，成立6解（1）在方形环中，MEAD，N

16、FBC，ADBC，在MME与NNF中，MMENNF（AAS）MMNN；（2）法一NFNMEM90°，FNNEMM，NFNMEM，MENF，tan（或）当45°时，tan 1，则MMNN；当45°时，MMNN，则tan（或）法二在方形环中，D90°MEAD，NFCD，MEDC，NFMEMMENNF在RtNNF与RtMME中，sin，cos，即tan（或）当45°时，MMNN；当45°时，MMNN，则tan（或）7解：（1）菱形的对角线互相垂直，菱形是神奇四边形；ABAD，CBCD，AC是BD的垂直平分线，四边形ABCD是神奇四边形；如图

17、，已知：四边形ABCD是神奇四边形，点E，点F，点G，点H分别是AD，DC，BC，AB的中点，点E，点F，点G，点H分别是AD，DC，BC，AB的中点，EFACHG，BDEHFG，四边形EFGH是平行四边形，四边形ABCD是神奇四边形，ACBD，又EFACHG，BDEHFG，EFEH，四边形EFGH是矩形，故答案为矩形（2）如图2，连接CE，BG交于点N，CE交AB于M，四边形ACFG是正方形，四边形ABDE是正方形，ABAE，ACAG，CAGBAE90°，GABCAE，GABCAE（SAS），AECABG，AEM+AME90°，ABG+BMN90°，BNM90&

18、#176;，CEBG，四边形BCGE是神奇四边形；AC2，AB，BC1，四边形ACFG是正方形，四边形ABDE是正方形，AC2，AB，CGAC2，BEAB，GC2CN2+GN2，BE2BN2+NE2，BC2CN2+BN2，GE2GN2+NE2，CG2+BE2BC2+GE2，GE；（3）四边形ABCD是神奇四边形，同（2）中的证明方法，可得AD2+BC2AB2+CD2，AB6，CD，AD2+BC241，AD、BC分别是方程x2（k+4）x+4k0的两根，AD+BCk+4，ADBC4k，AD2+BC241（AD+BC）22ADBC，（k+4）28k41，k15，k25（不合题意舍去），k58解：（

19、1）如图1中，四边形ABCD是菱形，ABC60°，ABBCCDAD4，ABCADC60°，CABD，EDCEDA30°，CED90°，ECCD2，ECD60°，EOC90°，CEO30°，OCEC1，OEOC，C（1，0），E（0，），D（3，0），AEEC，BEDE，A（1，2），B（3，2），直线BC的解析式为yx，直线BD的解析式为yx+，AGBC，直线AG的解析式为yx+，由，解得，F（1，）故答案为（1，）（2）如图11中，过点D作射线DM，使得ODM30°，点点H作HKOM于K，过点F作FJDM于JD（

20、3，0），ODK30°，F（1，），直线DM的解析式为yx，FJDM，直线FJ的解析式为yx+，由，解得，J（，），FJ3，在RtDHK中，KDH30°，KHDH，FH+DHFH+HKFJ，FH+DH3，FH+DH的最小值为3，此时点H的坐标为（，0）（3）如图2中，过点C作CMBF交AG于M，连接BM，CFABC是等边三角形，AGBC，BGCG，BFGCMG，BGFCGM，BGFCGM（AAS），BFCM，BFCM，四边形BFCNM是平行四边形，当点N与C重合时，四边形BFNM是平行四边形，此时N（1，0），M（3，）根据对称性可知，当点N与N关于点A对称时，四边形BFM

21、N是平行四边形，此时N（3，4），M（5，），如图3中，当BF是平行四边形的对角线时，BMAC，直线BM的解析式为yx+5，直线AG的解析式为yx+，由，解得，M（5，0），综上所述，满足条件的点M的坐标为（3，）或（5，）或（5，0）9解：（1）四边形ABCD是正方形，OAOB，ABOA，点E为线段BO中点，OEBEOBOA，OE2+OA2AE2，且AE，OE2+4OE25，OE1，AFOE1，OBOA2，AB2，BFABAF21；（2）如图，延长HG交AB于M，四边形ABCD是正方形，OABOBAOADODA45°，ACBD，AODOBO，AE平分BAC，BAEEAO22.5&#

22、176;，DEA67.5°DAE，ADDEAB，ABAFDEOE，BFDOBO，BFOBOF67.5°，AEOBOF67.5°，AOFEAO22.5°，EGGO，AGGO，AGGE，又ADDE，DMAE，ADGEDG22.5°，AMD67.5°BFO，FGGM，BAEEAO，AGAG，AGHAGM90°，AGMAGH（ASA），GMGH，GFGH；（3）如图，连接BH，点E在OB上运动，BOH90°，BHEH，当点E与点B重合时，HE的长度有最大值，如图，过点F作FNBD，AOBODO，ACBD，ABOB，OEAF，BFOBOB（1）OB，ABD45°，FNBD，FNBNOB，DNBDBN2OBOBOB，DFOB，cosHDO10（1）解：如图1中，连接BH四边形ABCD是矩形，AD90