第2讲化学计量学的相关基础WZY01

1、第二章：化学计量学的相关基础第二章：化学计量学的相关基础 线性代数线性代数 数理统计与回归分析数理统计与回归分析 计算机编程及应用计算机编程及应用 最优化理论与算法最优化理论与算法第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-1第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-2 数学数学：化学计量学的理论基础化学计量学的理论基础 数学将实际问题中的背景省略，抽提其在数学将实际问题中的背景省略，抽提其在数字或几何方面的共性特点进行研究。数字或几何方面的共性特点进行研究。 抽象数学十分实用：很多学科中的研究对抽象数学十分实用：很多学科中的研究对象可以用象可以用向量向量、矩阵矩阵表示。表示。 利用数学

2、中抽象符号及其相关理论可以建利用数学中抽象符号及其相关理论可以建立描述研究对象的立描述研究对象的数学模型数学模型，从而进一步，从而进一步发现其内在规律。发现其内在规律。数学对化学家有用吗？ 数据的挖掘数据的挖掘 数据的处理数据的处理 从测试数据提取化学信息从测试数据提取化学信息 信息技术的革命信息技术的革命 计算机的发展与应用计算机的发展与应用 第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-32-1 数学基础回顾-线性代数部分线性代数部分化学中的数据类型第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-4单变量数据：单变量数据：一次测量得到一个值（如：一次测量得到一个值（如：温度、压力、单波长的吸

3、光度等）；温度、压力、单波长的吸光度等）；多变量数据：多变量数据：分析仪器的高性能化，使得分析仪器的高性能化，使得一次测量可以获得多变量、多通道的数据一次测量可以获得多变量、多通道的数据（如：（如：UV-VisL吸收光谱吸收光谱、IR、NIR、荧、荧光光谱光光谱、GC、LC、MS、NMR及联用仪及联用仪器等）；器等）； 分析化学中的矢量任何一个光谱、色任何一个光谱、色谱等谱图可以用一谱等谱图可以用一个向量表达；个向量表达；一组描述研究对象一组描述研究对象的变量也可用一个的变量也可用一个向量表达向量表达第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-5第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-

4、6联用仪器HPLC-DAD,GC-MS,GC-IR,HPLC-MS 二维数据既含有色谱二维数据既含有色谱信息又含有光谱信息信息又含有光谱信息 数据矩阵大于数据矩阵大于10兆兆 大量化合物数据库大量化合物数据库第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-7根据根据Lambert-Beer定律做出的定律做出的两个不同化合物两个不同化合物a与与b的混合物光谱的混合物光谱第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-8向量加法的几何意义abba第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-9)()(cbacba向量减法的几何意义第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-10向量的方向与长度 向量

5、的向量的方向方向：由构成向量的所有元素所决定，因为任意两元素间的不同比率会确定向量在线性子空间中的方向; 向量的向量的长度长度：由构成向量的所有元素的平方和所决定：第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-1122221.naaaa向量分量之间的不同比例决定了向量在线性子空间中的方向第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-12两向量间的减法决定了n维空间中两点间的距离第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-13,.,2211nnbabababa向量的数乘,.,21tnaaaa 第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-14,.,21tnaaaa 向量的数乘向量的数乘相当于不

6、同浓度的光谱第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-15向量的数乘满足结合律、分配律向量的数乘满足结合律、分配律向量的内积与外积第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-16向量间的内积内积或点积点积生成一个数两向量间内积的几何意义第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-17 两两向量外积向量外积生成一个生成一个双线性矩阵双线性矩阵第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-18其在多元分辨中有重要的意义其在多元分辨中有重要的意义矩阵代数相关概念简介矩阵代数相关概念简介1、矩阵的相等、矩阵的相等：矩阵：矩阵A和和B相等，当且仅当对于所相等，当且仅当对于所有有i和和j均有均有A

7、ij=Bij时才成立！时才成立！2、矩阵的加减矩阵的加减：只有相同维数的矩阵才可以加减：只有相同维数的矩阵才可以加减 Aij BijCijijijijBAC第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-19ABBA3、矩阵乘法矩阵乘法：矩阵：矩阵A、B，仅当，仅当A的列数等于的列数等于B的行的行数是，才可以相乘：数是，才可以相乘：CABkjikijBAC 第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-205043221987654321503214321987654321423630987654321321mjkmrksmikijCBADABCD ;对：4、矩阵矩阵“除法除法”：只能通过一个逆

8、过程来完成，：只能通过一个逆过程来完成，凡是矩阵凡是矩阵A具有非零行列式：具有非零行列式：det(A)0（称非奇（称非奇异矩阵），而且仅对于这种矩阵，才能按照下列异矩阵），而且仅对于这种矩阵，才能按照下列等式定义其逆矩阵等式定义其逆矩阵A-1: AA-1=A-1A=E第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-21BABAAAaAij)()()();(;BAAB 一般：);()(BCACABABC但：)()()(DCBDCADCBAA、B不对易不对易第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-22 或或：如果两个方阵如果两个方阵A、B满足满足AB=E，则称，则称B矩矩阵是阵是A矩阵的逆矩阵

9、，计为矩阵的逆矩阵，计为B=A-1;ttAAABAB)()( ;)(11111 如果矩阵如果矩阵A的逆矩阵的逆矩阵A-1存在，则称存在，则称A是非奇异是非奇异矩阵矩阵（或满秩矩阵）！否则成为（或满秩矩阵）！否则成为奇异矩阵奇异矩阵！EAA 1第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-235、零矩阵和单位矩阵：、零矩阵和单位矩阵：全部元素为全部元素为0 0的矩阵为的矩阵为零矩阵零矩阵，计作：，计作：0对对n阶方阵，对角元均为阶方阵，对角元均为1、非对角元均为、非对角元均为0称称单位单位矩阵矩阵；计作：；计作：EAAEEAAA ;0tttABAB)(6、矩阵的转置：、矩阵的转置：将矩阵行与列互

10、换称为矩阵的转将矩阵行与列互换称为矩阵的转置，转置矩阵有如下性质：置，转置矩阵有如下性质：ttttABCABC)(第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-247、矩阵的行列式、矩阵的行列式：方阵的行列式是一个实数，方阵的行列式是一个实数，计为计为detA：是非奇异矩阵阶矩阵对AAnnAkkAAABAABnt0det)( ;det)det(detdetdetdet)det( 其中：其中：Akj是是(n-1) (n-1)阶矩阵，是划去第阶矩阵，是划去第k行和行和第第j列所得的列所得的A的子阵。的子阵。kjkjjkAaAdet) 1()det(第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-25

11、8、正交矩阵、正交矩阵：如果一个方阵如果一个方阵A满足：满足：AtA=E；称；称A为为正交矩阵正交矩阵。显然：。显然： At=A-1；iiaAtr1det)det(detdetdetdetAEAAAAAAtt9、方阵的迹方阵的迹：定义为矩阵：定义为矩阵A主对角线上元素的和，主对角线上元素的和，计为计为trA；ABBAABBABAtr)(trtr)(trtrtr)(tr第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-2610、方阵的秩方阵的秩：第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-27 方阵方阵秩秩的化学意义的化学意义 联用色谱法测量样本，获得一个联用色谱法测量样本，获得一个数据矩阵：矩阵

12、中每行就是一个在数据矩阵：矩阵中每行就是一个在某保留时间点上的光谱（某保留时间点上的光谱（MS, NMR）；每一列就是一个在某一波）；每一列就是一个在某一波长（或质荷比等）上的色谱。如果长（或质荷比等）上的色谱。如果没有量测噪声，且每个不同化学物没有量测噪声，且每个不同化学物质都具有不同的光谱或色谱，则质都具有不同的光谱或色谱，则矩矩阵的秩就是体系的组分数阵的秩就是体系的组分数！ 如果化合物测量体系没有化学反如果化合物测量体系没有化学反应发生（即各物质相互独立），这应发生（即各物质相互独立），这是与矩阵秩的意义相同！是与矩阵秩的意义相同！中药肉桂的一部分二维数据中药肉桂的一部分二维数据第2讲

13、第2章 化学计量学的相关基础知识 2-28 Lambert-Beer Law的矩阵表达的矩阵表达 单组分在某单组分在某 下的下的Lambert-Beer定律定律: A bC p个混合物构成的体系在个混合物构成的体系在 j处的吸光度处的吸光度Aj第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-29piijipiijipjjjpjBCbCbCCCA112121.在分析化学中经常遇到多组分含量确定的问题在分析化学中经常遇到多组分含量确定的问题 在分光光度法中，各组分在同样的显色条件下于同一显在分光光度法中，各组分在同样的显色条件下于同一显色剂生成有色物，但是各组分特征吸收峰常出现干扰情况。色剂生成有色

14、物，但是各组分特征吸收峰常出现干扰情况。如果试验符合以下两个条件：比尔定律：如果试验符合以下两个条件：比尔定律：A=kbc；吸光度具吸光度具有加和性有加和性 Ai=Ai1+Ai2+ +Ain如：现有一样品含有：现有一样品含有Mo, Ti, V三种组分，显色后在三种组分，显色后在400、540、610nm处进行了吸光度测定，并对以上三组分的独立标准溶处进行了吸光度测定，并对以上三组分的独立标准溶液进行了同样显色条件的测定，数据如下，求液进行了同样显色条件的测定，数据如下，求Mo, Ti, V三种三种组分的含量组分的含量,第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-30 nmMoTiV样品样品1

15、4000.4160.1300.0000.24825400.0480.6080.1480.85736100.0020.4100.2000.718 p个混合物构成的体系在个混合物构成的体系在n个波长处的吸光个波长处的吸光度可用一行向量表示：度可用一行向量表示：第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-31pnppnnppiinipiiipiiinBBBBBBBBBCCCBCBCBCAAA.212222111211211121121 p个混合物构成个混合物构成的的m个样本在波长个样本在波长j处的吸光度可处的吸光度可用一列向量表示：用一列向量表示：第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 32pn

16、ppnnpmjjjmpmmppmjjjBBBBBBBBBCCCBBBCCCCCCCCCAAA.212222111211212121222211121121p个混合物构成的个混合物构成的m个样本个样本在在n个波长处的吸光度个波长处的吸光度可用一矩阵表示：可用一矩阵表示：piTiinppmnmkcBCA1第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-33mpmmppmpmmppmnmmnnBBBBBBBBBCCCCCCCCCAAAAAAAAA.212222111211212222111211212222111211 可见，矩阵的应用之一就是可用简洁形式表示线可见，矩阵的应用之一就是可用简洁形式表示

17、线性方程组，例如：性方程组，例如：333323213123232221211313212111xyAyAyAxyAyAyAxyAyAyA第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-34可写成：可写成：321321333231232221131211xxxyyyAAAAAAAAA或或;XAY 333231232221131211AAAAAAAAAA321321;xxxXyyyY上三角阵与下三角阵3323221312111aaaaaaC3332312221112aaaaaaC上三角矩阵上三角矩阵 下三角矩阵下三角矩阵332211aaaD111I对角矩阵对角矩阵 恒等矩阵恒等矩阵第2讲 第2章 化

18、学计量学的相关基础知识 2-35逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质（1）若）若A可逆，则可逆，则A-1亦可逆，且（亦可逆，且（A-1)-1=A 第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-36 且且可逆可逆则则数数可逆可逆若若, 0,2AA 且且亦可逆亦可逆则则为同阶方阵且均可逆为同阶方阵且均可逆若若,3ABBA 1111 ABBAABAB1 AEA,1EAA .111 ABAB证明证明 1ABB1 1 A .111 AA TTTAAAA11 TE ,E .11TTAA 为正整数定义时当kAAEAAkk;,:,010证明证明 .1212 AA推推广广1AmA1 mA1 1A .,4AAAAT

19、且且亦可逆亦可逆则则可逆可逆若若TT1 1 第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-37 .AA,A115 则有则有可逆可逆若若证证明明EAA 111 AA.AA11 因此因此有有为整数时为整数时当当, 0 A, AAA . AA 第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-38(6) 若若A是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则A的逆矩阵是的逆矩阵是唯一唯一的的.若设若设 和和 是是 的逆矩阵，的逆矩阵，BCA则有则有,ECAACEBAAB 可得可得EBB BCA ABC CCE 所以所以 的逆矩阵是唯一的，即的逆矩阵是唯一的，即A1ACB第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-39证明

20、证明若若 可逆，可逆，A.EAAA 11使使即有即有, 11 EAA故故. 0 A所所以以定理定理1 1 矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 ，且，且 ,11 AAAA0 A.的伴随矩阵的伴随矩阵为矩阵为矩阵其中其中AA 第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-40对任意对任意n 阶矩阵阶矩阵A ，称，称A* 为为A 的的伴随矩阵伴随矩阵，其中，其中，Aij 是是A 中元素中元素aij的的代数余子式代数余子式。 nnnnAAAAA.1111* nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA212221212111212222111211, AAAAOO第2讲 第

21、2章 化学计量学的相关基础知识 2-41,0时时当当 AAAaAaAannnnnnnn2211EAAAAA 按逆矩阵的定义得按逆矩阵的定义得证毕证毕.1AA*A1 1 EAAAAAA *1*1第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-42逆矩阵的求解逆矩阵的求解第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-43 定义定义 对于对于 阶矩阵阶矩阵 ，如果有一个，如果有一个 阶矩阵阶矩阵 则说矩阵则说矩阵 是是可逆的可逆的，并把矩阵，并把矩阵 称为称为 的的逆矩阵逆矩阵.nAB,EBAAB BAnA, ,使得使得.1 AA的逆矩阵记作的逆矩阵记作例例 设设:,21212121,1111 BA,

22、EBAAB !的逆矩阵是AB例例1 1 设设,0112 A.的逆阵的逆阵求求A解解设设 是是 的逆矩阵的逆矩阵, dcbaBA则则 dcbaAB0112 1001 100122badbca利用待定系数法利用待定系数法第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-441、利用待定系数法、利用待定系数法 , 1, 0, 02, 12badbca . 2, 1, 1, 0dcba又因为又因为 0112 2110 0112 2110,1001 所以所以.21101 AABAB第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-45例例2 2 求方阵求方阵 的逆矩阵的逆矩阵. . 343122321A解解02

23、343122321A.1存在存在 A, 2341211 A, 3331212 A三、逆矩阵的求法第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-462 2、逆矩阵充要条件法：、逆矩阵充要条件法： ,11 AAA, 2, 6, 6, 223222113 AAAA, 2, 5, 4333231 AAA,222563462332313322212312111AAAAAAAAAA得故故 AAA11 22256346221.11125323231 第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-47,331212321 A.1151531132 B解解331212321 A010430321 .,?,矩矩阵

24、阵求求出出其其逆逆若若可可逆逆是是否否可可逆逆下下列列矩矩阵阵BA例例3 3第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-48 a2i - a1i 2a3i- a1i0;4010430321A.可可逆逆所所以以A53112A4;3122A3;3321A131211第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-49A21=3; A22=0; A23=-1; A31=1; A32=4; A33=-3; . 315404133411151531132 B由于由于, 0 .B不不可可逆逆故故 33231332221231211111*1AAAAAAAAAAAAA第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识

25、 2-50,130231,3512,343122321 CBA例例4 4 设设.CAXBX 使满足使满足求矩阵求矩阵解解, 02343122321 A, 013512 B.,11都存在都存在 BA第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-51,111253232311 A且且,25131 BCAXB 又由又由1111 CBAAXBBA.11 CBAX于是于是11 CBAX 251313023111125323231E第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-52 2513202011.41041012 第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-53 ;510402321112011

26、1112 X .1125103241230111111230111113X ;4123X41511解矩阵例例5 5 412341514151415111X得得 41231154.642817 解解 412341511X给方程两端左乘矩阵给方程两端左乘矩阵,41511 412341511XE第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-54 5104023211120111112 X1112011111510402321 X给方程两端右乘矩阵给方程两端右乘矩阵,1120111111 得得第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-55.9144682592 112510324123011111

27、1230111113X给方程两端左、右乘相应逆矩阵给方程两端左、右乘相应逆矩阵第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-56 251121131112510324251121131.471202121529307513 11123011111112510324123011111X得得,1230111111 , 0! 5 A因因由由伴伴随随矩矩阵阵法法得得解解.1存在存在故故 A.50000040000030000020000011 AA求求已已知知 例例6 6,1AA*A1 第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-57432100000532100000542100000543100

28、00054325!1.51000004100000310000021000001 第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-58四、小结3、初等变换法、初等变换法矩阵的初等变换矩阵的初等变换（1）互换矩阵的两行，常用互换矩阵的两行，常用rirj表示第表示第i行与第行与第j行行互换。互换。（2）用一个非零数乘矩阵的某一行，常用用一个非零数乘矩阵的某一行，常用k ri 表示表示用数用数k乘矩阵的某乘矩阵的某i 行。行。（3）将矩阵的某一行乘以数将矩阵的某一行乘以数k后，加到另一行，常用后，加到另一行，常用rjk ri 表示第表示第i行的行的k倍加到第倍加到第j行。行。 这样的过程称为这样的过程

29、称为矩阵的初等矩阵的初等行行变换！变换！ （4）将定义中的将定义中的“行行r” 换成换成“列列c”，即得到矩阵的，即得到矩阵的列列变换。变换。 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等矩阵的初等变换法！变换法！ 第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-59互换； 表示用数k乘以第i行； 在给定的在给定的n阶方阵的右边放一个阶方阵的右边放一个n阶单位矩阵阶单位矩阵E形成形成初等行变换求逆矩阵初等行变换求逆矩阵一个一个n2n的矩阵的矩阵 )(EA，然后对矩阵，然后对矩阵 )(EA实施初等行变换，直到将原矩阵实施初等行变换，直到将原矩阵A所在部分变成单位所

30、在部分变成单位矩阵矩阵E，原单位矩阵部分经同样的初等变换后，所得，原单位矩阵部分经同样的初等变换后，所得1A到的矩阵就是到的矩阵就是A的逆矩阵的逆矩阵，即，即 第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-60)()(1AIIA初等行变换初等行变换例例7 我国某地方为避开高峰期用电，实行分时段计费，我国某地方为避开高峰期用电，实行分时段计费，鼓励夜间用电。某地白天鼓励夜间用电。某地白天(AM8:00PM11:00)与夜间与夜间(PM11:00AM8:00)的电费标准为的电费标准为P，若某宿舍两户人，若某宿舍两户人某月的用电情况如下：某月的用电情况如下：白天 夜间 174132150120一二

31、第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-61所交电费所交电费F=(90.29 101.41)，问如何用矩阵的运算表，问如何用矩阵的运算表示当地的电费示当地的电费？ 可以得到当地的电费标准为可以得到当地的电费标准为 FAP1下面用初等变换求下面用初等变换求 1A解 令 174132150120A，因为 FAP等式两边同时左乘以矩阵等式两边同时左乘以矩阵 1A第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-62120 15010132 1740 1114501303013217401r21145030331109110rr 21450130111901909r12585409095111019

32、09rr 158510136036111401909r 29518036111909 即即 1A第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-63所以所以 1PA F29518036111909 90.29101.41 0.4620 0.2323即白天的电费标准为即白天的电费标准为0.462元元/度，度，夜间电费标准为夜间电费标准为0.2323元元/度度. 第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-64例例8、转动矩阵转动矩阵 机器人手臂机器人手臂的转动常用矩阵表示，其中的的转动常用矩阵表示，其中的元素为转动角的三角函数值，元素为转动角的三角函数值，求下面转动矩阵求下面转动矩阵R的逆阵。的

33、逆阵。 8 . 00 . 06 . 00 . 00 . 10 . 06 . 00 . 08 . 0R第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-651008 . 00 . 06 . 00100 . 00 . 10 . 00016 . 00 . 08 . 013554 035 0 00 1 00 1 03 0 40 0 5rr 【解【解】因为因为1 31 075 050 1 00 1 03 0 40 0 5r r 31251 075050 10010340 01055r 所以所以54053010530541A3131 075050 100100 0 2515 0 20rr 1374310005

34、501001034001055rr 第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-66 矩阵的本征值方程矩阵的本征值方程 设设 A 是是n阶方阵，如果存在数阶方阵，如果存在数 和非零和非零n维列向量维列向量X，使得，使得 AX= X 成立，则称成立，则称 是是A的一个特征值的一个特征值(characteristic value)或或本本征值征值(eigenvalue)。 非零非零n维列向量维列向量X称为称为矩阵矩阵A的属于（对的属于（对应于）特征值应于）特征值 的特征向量或的特征向量或本征向量本征向量，简，简称称A的特征向量或的特征向量或A的本征向量。的本征向量。第2讲 第2章 化学计量学的相

35、关基础知识 2-67求矩阵特征值的方法求矩阵特征值的方法 AX= X，等价于求，等价于求 ，使得，使得(A- E)X=0，其中其中E是单位矩阵，是单位矩阵，0为零矩阵。为零矩阵。 | E-A|=0，求得的，求得的 值即为值即为A的特征值。的特征值。 | A- E| 是一个是一个n次多项式，它的全部根就次多项式，它的全部根就是是n阶方阵阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数重复，也有可能是复数(A- iE)xi=0i=1,2,n第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-68 如果如果n阶矩阵阶矩阵A的全部特征值为的全部特征值为 1 2 . n，则

36、，则 |A|= 1 2 . n 对矩阵对矩阵A的本征方程的本征方程: (A- iE)Xi=0 有如下定理有如下定理定理定理1：如果：如果A是是厄米矩阵厄米矩阵(A=A*)， 一定是实数！一定是实数！定理定理2：不同本征值对应于不同的本征向量，而不同：不同本征值对应于不同的本征向量，而不同本征值对应的本征向量本征值对应的本征向量正交归一正交归一！例例9、求解下列方程的求解下列方程的本征值本征值及其及其归一化本征向量归一化本征向量。（1） （2）第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-6911112 28 81 11 10 00 00 0CosCosSinSin0 0SinSinCosCos

37、 【解【解】第一步第一步：依据本征方程依据本征方程(A- E)X=0，求解出求解出 。第二步第二步：将：将 依次代入依次代入本征方程本征方程(A- E)X=0，求解本征求解本征向量向量；第三步第三步：使各本征向量归一化！：使各本征向量归一化！对对11112 28 81 1第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-70第一步：欲使第一步：欲使(A- E)X=0，则，则det(A- E)=00 011112 28 81 11 10 00 01 111112 28 81 1) )det(det( EA从而有：从而有： 2-12 +270; 解得：解得： 1=3; 2=9; 第二步：第二步：将将

38、1=3代入方程代入方程00212111iixx1 1i i1 1i i11112 28 81 1第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-71得到：得到：0082111xx2 28 82 21(归一化条件)1(归一化条件)0 08 82 20 08 82 22 221212 211112121111121211111xxxxxx;17/1;17/421211111xx1 1( (归归一一化化条条件件) )0 08 82 20 0- -2 22 22 22 21 12 22 22 21 12 22 22 21 12 2xxxxxx88解得：解得：将将 2=9代入代入：002222121iixx2 28 88 8;/;/212122221212xx解得：解得：于是有：于是有：2 21/1/17171/1/2 21/1/17174/4/2222212112121111xxxxX对方程：对方程：第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-72第一步：欲使第一步：欲使