第17章电力系统潮流计算的计算机算法

1、本章提示19.1概 述19.2潮流计算的基本方程19.3牛顿拉夫逊法潮流计算19.4PQ分解法潮流计算小 结第19章 电力系统潮流计算的计算机算法l 节点分类的概念；l 潮流计算的基本方程式；l 牛顿拉夫逊法潮流计算的计算机算法；l PQ分解法潮流计算的计算机算法。本章提示类型：19.1 概述19.2.1节点的分类19.2.2基本方程式19.2 潮流计算的基本方程根据电力系统中各节点性质的不同，可把节点分成三种类型。1.PQ节点事先给定的是节点功率（P、Q），待求的是节点电压向量（U、）。通常变电所母线都是PQ节点，当某些发电机的出力P、Q给定时，也可作为PQ节点。PQ节点上的发电机称之为PQ

2、机（或PQ给定型发电机）。在潮流计算中，系统大部分节点属于PQ节点。19.2.1 节点的分类2.PU节点给出的参数是节点的有功功率P及电压幅值U，待求量为该节点的无功功率Q及电压向量的相角。通常选择有一定无功功率贮备的发电机母线或者有无功补偿设备的变电所母线作PU节点。PU节点上的发电机称之为PU机（或PU给定型发电机）。3.平衡节点给定的运行参数是U和，而待求量是该节点的P、Q，因此又称为U节点。在潮流计算中，这类节点一般只设一个。关于平衡节点的选择，一般选择系统中担任调频调压的某一发电厂（或发电机），有时也可能按其它原则选择。任何复杂的电力系统都可以归结为以下元件（参数）组成：（1）发电机

3、（注入电流或功率）；（2）负荷（负的注入电流或功率）；（3）输电线支路（电阻、电抗）；（4）变压器支路（电阻、电抗、变比）；（5）母线上的对地支路（阻抗和导纳）；（6）线路上的对地支路（一般为线路充电电容导纳）。19.2.2 基本方程式 集中了以上各种类型元件的简单网络如图19.2.2 基本方程式节点注入电流和节点电压构成以下线性方程组YUI 其中 nIII21InUUU21U可展开为如下形式：n , ,2 ,1iUIjnjiji1Y（19.1） 若 ZIU 可展开如下形式：n , ,2 ,1iIUnjjiji1Z（19.2） 式中n为网络节点数19.2.2 基本方程式节点功率与节点电流之间的

4、关系为：iiiiiIUjQPS（19.3） 式中 LDiGiiPPPLDiGiiQQQPQ节点可以表示为iiiiiiUjQ-PUSI（19.4） 把这个关系式代入式（19.1）中，得n , , ,21iUYUjQPnjjijiii1（19.5） 式（19.5）是一组共有n个非线性方程组成的复数方程式，如果把实部和虚部分开便得到2n个实数方程，因此由该方程组可解出2n个运行参数。19.2.2 基本方程式19.3.1牛顿拉夫逊法概要19.3.2牛顿拉夫逊法潮流计算19.3.3牛顿法的框图及求解过程19.3.4实例19.3 牛顿-拉夫逊法潮流计算已知一个变量X的函数为： 0Xf（19.6） 解此方程

5、式时，由适当的近似值X（0）出发，根据 , ,21nXfXfXXnnn1n（19.7） 反复进行计算，当X（n）满足适当的收敛判定条件时就是（19.6）式的根。这样的方法就是所谓的牛顿拉夫逊法。19.3.1 牛顿-拉夫逊法概要几何意义:图19.2 函数曲线及切线示意图19.3.1 牛顿-拉夫逊法概要用同样的方法考虑，给出对n个变量 的n个方程式n21X , ,X ,X0X ,X ,Xf 0X ,X ,Xf0X ,X ,Xfn 21nn 212n 211,（19.12） 对其近似解 的修正量可以解下面的方程式来确定n2X , ,XX, 1n 21X , ,X ,Xn21nn2n1nn22212n

6、12111n21n212n211XXX xf xfxfxf xfxfxf xfxf X ,X ,XfnX ,X ,XfX ,X ,Xf（19.13） 式（19.13）等号右边矩阵的 等都是对于 的值，这一矩阵称为雅可比（Jacobi）矩阵。jixfn2X , ,XX, 1按上述得到修正量 后，得到如下关系：n 21X , ,X ,XnXXX , ,XXX ,XXXn n22 211 1这比 进一步接近于真值。这一步骤在收敛到希望的值以前重复进行。一般要反复计算到满足n2X , ,XX, 1 XX , XX ,XXmaxnn1nnn21n2n11n1时为止。 为预先规定的小正数，此处 是第n次迭

7、代Xi的近似值。 niX19.3.1 牛顿-拉夫逊法概要1采用直角坐标 结点电压和导纳可表示为：iijfeUiijijijjBGY将上述表示式代入 的右端，展开并分出实部和虚部，便得：jnjijiiiUYUjQP1n1jn1jjijjijijijjijiin1jn1jjijjijijijjijiieBfGefBeGfQeBfGffBeGeP（19.14） 19.3.2 牛顿-拉夫逊法潮流计算PQ节点的有功功率和无功功率是给定的，第i个节点的给定功率设为Pis和Qis。假定系统中的第1，2，m号节点为PQ节点，对其中每一个节点可列方程 n1jn1jjijjijijijjijiisiisin1jn

8、1jjijjijijijjijiisiisi0eBfGefBeGf-QQQQ0eBfGffBeGe-PP-PP（i=1，2，m） （19.15）19.3.2 牛顿-拉夫逊法潮流计算PU节点的有功功率和节点电压幅值是给定的，假定系统中的第m+1，m+2，n-1号节点为PU节点，则对其中每一节点可以列写方程： 0feUUUU0eBfGffBeGe-PP-PP2i2i2is2i2is2in1jn1jjijjijijijjijiisiisi1-n , ,2m ,1mi（19.16） 第n号节点为平衡节点，其电压 是给定的，故不参加迭代。nnjfeUn式（19.15）和（19.16）总共包含了2（n-1

9、）个方程，待求的变量有 也是2（n-1）个。1-n1-n2 211f ,e , ,f ,e ,f ,e19.3.2 牛顿-拉夫逊法潮流计算方程式（19.15）和（19.16）具备方程组（19.12）的形式：U-JW（19.17） 1-n21-n1m21mmm11UPUPQPQPW1-n1-n1m1mmm11fefefefeU19.3.2 牛顿-拉夫逊法潮流计算1-n21n1-n21n1-m21n1-m2m2m2121n121n1-n1-n1-n1-n1-m1-n1-m1-nm1-nm1-n11-n11-n1-n21-n2-1m21-m2m2m212121-n1m1-n1m1-m1m1-m1mm

10、1mm1m11m11m1-nm1-nm1-mm1-mmmmmm1m1m1-nm1-nm1-mm1-mmmmmm1m1m1-n11-n11m11m1m1m111111-n11-n11m11m1m1m11111fUeUfUeUfUeUfUeUfPePfPePfPePfPePfUeUfUeUfUeUfUeUfPePfPePfPePfPePfQeQfQeQfQeQfQeQfPePfPePfPePfPePfQeQfQeQfQeQfQeQfPePfPePfPePfPeP1-n1-n1n1m1m1m1m1m1m1m1mJ雅可比矩阵的各元素是对式（19.15）和（19.16）求偏导数l 当 时，对角元素是ij

11、 ii2iii2in1jiiiiiijijjijiin1jiiiiiijijjijiin1jiiiiiiiijjijiin1jiiiiiijijjijii2ffU2eeUfBeGfBeGfQfGeBeBfGeQfGeBeBfGfPfBeGfBeGeP（19.18） 19.3.2 牛顿-拉夫逊法潮流计算l 当 时，矩阵中非对角元素是ij 0Q22jijiiijiijjijiiijiijjijifUeUfGeBeQfPfBeGfeP（19.19） 19.3.2 牛顿-拉夫逊法潮流计算雅可比矩阵有以下特点： 雅可比矩阵中的诸元素都是节点电压的函数，因此在迭代过程中，它们将随着各节点电压的变化而不断地

12、改变； 矩阵是不对称的； 由式（19.19）可以看出，当导纳矩阵中的非对角元素Yij为零 时，雅可比矩阵中相对应的元素也是零，即矩阵是非常稀疏 的。19.3.2 牛顿-拉夫逊法潮流计算2.采用极坐标 结点电压和导纳可以表示为)sin(cosiiijiiijijijjUeUUjBGYi（19.20） 将式（19.20）代入 右端并将实部与虚部分开，得jnjijiiiUYUjQP1njijijijijjiinjijijijijjiiBGUUQBGUUP11)cossin()sincos(（19.21） 式中 为i、j两结点电压相角差（ ）。ijjiij19.3.2 牛顿-拉夫逊法潮流计算雅可比矩阵

13、中各元素可对式（19.21）取偏导数求得jiBGUUPHijijijijjijiij)cossin()cossin(1nijjijijijijjijiiiBGUUPHjiBGUUUUQLijijijijjijjiij)cossin(nijjiiiijijijijjiiiiiiBUBGUUUUQL122)cossin(jiBGUUUUPNijijijijjijjiij)sincos(nijjiiiijijijijjiiiiiiGUBGUUUUPN122)sincos(jiBGUUQJijijijijjijiij)sincos(nijjijijijijjiiiiiBGUUQJ1)sincos(19

14、.3.2 牛顿-拉夫逊法潮流计算（19.22）用分块矩阵的形式简化如下UULJNHQP修正方程为（19.23）19.3.3 牛顿法的框图及求解过程用牛顿法计算潮流时，有以下的步骤： 给出各节点电压初始值 将以上电压初始值代入式（19.15）和（19.16），求出修正方程式的常数项向量 将电压初始值再代入式（19.18）和（19.19），求出修正方程式中系数矩阵（雅可比矩阵）的各元素 解修正方程式（19.16），求出修正量 修正各节点电压 00f ,e 0200V ,Q , P 00f ,e 001001fffeee19.3.3 牛顿法的框图及求解过程 将 再代入（19.15），（19.16）式

15、 求 校验是否收敛，即 如果收敛，迭代到此结束，进一步计算各线路潮流和平衡节点功率，并打印输出结果。如果不收敛，转回第（2）步进行下一次迭代计算，直到收敛为止。 11f ,e 1211U ,Q ,P Q , maxkikiP19.3.3 牛顿法的框图及求解过程例19.1 试用牛顿拉夫逊法计算图19.4所示电力系统的潮流分布。图19.4 例19.1 网络图19.3.4 实例 1.需要输入的数据 n节点数、nl支路数、isb平衡母线节点号（固定为1）、pr误差精度、如果要输入 则输入eps即可。 请输入由支路参数形成的矩阵B1矩阵B1的每行是由下列参数构成的： 某支路的首端号P； 某支路末端号Q，

16、且PQ； 支路的阻抗（R+jX）； 支路的对地容抗； 支路的变比K； 折算到哪一侧的标志（如果支路的首端P处于高压侧则请输入“1”，否则请输入“0”）。19.3.4 实例 请输入各节点参数形成的矩阵B2矩阵B2的每行是由下列参数构成的： 节点所接发电机的功率SG； 节点负荷的功率SL； 节点电压的初始值。 PU节点电压U的给定值。 节点所接的无功补偿设备的容量。 节点分类标号igl。 1 平衡节点 igl= 2PQ节点 3PU节点（4）请输入由节点号及其容抗形成的矩阵X19.3.4 实例2.先形成节点导纳矩阵。3.根据式（19.15）和（19.16）求出修正方程式的常数项向量 4.据式（19.

17、18）和（19.19）求出雅可比矩阵各元素值，即可得到第一次迭代时的修正方程式。5.解方程式（19.16），求6.修正各节点电压，即得出第一次迭代后各节点的电压值。7.按以上计算步骤迭代下去，当收敛精度取 （即PR=0.0001）时，需要进行四次迭代。求出了各节点电压后，即可求各支路的潮流分布。 0200,UQP 11,iife41019.3.4 实例针对例19.1输入数据如下：请输入节点数:n=5请输入支路数:nl=5请输入平衡母线节点号:isb=1请输入误差精度:pr=0.00001请输入由支路参数形成的矩阵:B1=1 2 0.03i 0 1.05 0;2 3 0.08+0.3i 0.5i

18、 1 0;2 4 0.1+0.35i 0 1 0;3 4 0.04+0.25i 0.5i 1 0;3 5 0.015i 0 1.05 1请输入各节点参数形成的矩阵:B2=0 0 1.05 1.05 0 1;0 3.7+1.3i 1 0 0 2;0 2+1i 1 0 0 2;0 1.6+0.8i 1 0 0 2;5 0 1.05 1.05 0 3请输入由节点号及其对地阻抗形成的矩阵:X=1 0;2 0;3 0;4 0;5 019.3.4 实例结果如下：迭代次数 5没有达到精度要求的个数 7 8 8 6 0各节点的实际电压标么值E为(节点号从小到大排列):1.0500 1.0335 - 0.077

19、4i 1.0260 + 0.3305i 0.8592 - 0.0718i 0.9746 + 0.3907i各节点的电压大小U为(节点号从小到大排列): 1.0500 1.0364 1.0779 0.8622 1.0500各节点的电压相角为(节点号从小到大排列): 0 -4.2819 17.8535 -4.7785 21.8433各节点的功率S为(节点号从小到大排列):2.5794 + 2.2994i -3.7000 - 1.3000i -2.0000 - 1.0000i -1.6000 - 0.8000i 5.0000 + 1.8131i19.3.4 实例各条支路的首端功率Si为(顺序同您输入

20、B1时一样):2.5794 + 2.2994i -1.2774 + 0.2032i 0.1568 + 0.4713i 1.5845 + 0.6726i 5.0000 + 1.8131i各条支路的末端功率Sj为(顺序同您输入B1时一样):-2.5794 - 1.9745i 1.4155 - 0.2443i -0.1338 - 0.3909i -1.4662 - 0.4091i -5.0000 - 1.4282i各条支路的功率损耗DS为(顺序同您输入B1时一样):-0.0000 + 0.3249i 0.1381 - 0.0412i0.0230 + 0.0804i 0.1184 + 0.2635i0

21、.0000 + 0.3849i19.3.4 实例 每次迭代后各节点的电压值如图19.3.4 实例19.4.1 PQ分解法的基本方程式19.4.2 计算步骤和程序框图19.4.3 实例19.4 PQ分解法潮流计算UULHQP/00（19.24） ijijijijBGsin1cos（19.25） 快速分解法（又称PQ分解法）是从简化牛顿法极坐标形式计算潮流程序的基础上提出来的。 节点功率方程在用极坐标形式表示时，它的修正方程式可简化为： 在一般情况下，线路两端电压的相角是不大的（不超过1020 ）。因此，19.4.1 PQ分解法的基本方程式与系统各节点无功功率相应的导纳B 远远小于该节点自导纳的虚

22、部，即LDiiiiiLDiBUQB2因而 iiiiBUQ2（19.26） 式（19.24）的系数矩阵中的各元素可表示为：ijjiijBUUH （i,j=1,2,，n-1） （19.27） ijjiijBUUL （i,j=1,2,，m） (19.28) 19.4.1 PQ分解法的基本方程式而系数矩阵H 和L 则可以分别写成：=11, 1122, 1111 , 1111, 222222121211, 1121211111nnnnnnnnnnnnUBUUBUUBUUBUUBUUBUUBUUBUUBUH1211, 12, 11 , 11, 222211, 11211121nnnnnnnnUUUBBBB

23、BBBBBUUU11DDBUU（19.29） =mmmmmmmmmmmmmUBUUBUUBUUBUUBUUBUUBUUBUUBUL22122222212121121211111mmmmmmmmmmmmmUBUUBUUBUUBUUBUUBUUBUUBUUBUL2212222221212112121111122 DDUBU（19.30） =将（19.29）和（19.30）式代入（19.24）中，得到 11DDUBUPUBUQD 2 111DDUBPU（19.31） UBQUD 12（19.32） 这就是简化了的修正方程式，它们也可展开写成：1122111, 12, 11 , 11, 222211,

24、 11211112211nnnnnnnnnnUUUBBBBBBBBBUPUPUP（19.33） mmmmmmmmmUUUBBBBBBBBBUQUQUQ212122221112112211（19.34） 用 和 分别左乘以上两式便得：11DU12DU19.4.1 PQ分解法的基本方程式在这两个修正方程式中系数矩阵元素就是系统导纳矩阵的虚部，因而系数矩阵是对称矩阵，且在迭代过程中保持不变。这就大大减少了计算工作量。用极坐标表示的节点功率增量为：njijijijijjiisinjijijijijjiisiBGUUQQBGUUPP110)cossin(0)sincos(（19.35） 式（19.33）

25、、（19.34）和（19.35）构成了P Q分解法迭代过程的基本方程式。19.4.1 PQ分解法的基本方程式（1）给定各节点电压的初始值 （2）代入式（19.35）计算各节点有功功率 ，并求出（3）解修正方程式（19.33），得出各节点电压相角修正量（4）修正各节点电压的相角 ， （5）代入式（19.35）计算各节点无功功率误差 ，并求出 （6）解修正方程式（19.34），得出各节点电压幅值的修正量 ；（7）修正各节点电压的幅值 ， （8）返回（2）进行迭代，直到各节点功率误差 及 都满足收敛条件)0()0(,iiUiPiiUP /ii)()()1(kikikiiQiiUQ /iUiU)()(

26、)1(kikikiUUUiPiQ 19.4.2 计算步骤和程序框图例19.2 用PQ分解法计算图19.4所示网络的潮流分布。输入数据为：请输入节点数:n=5请输入支路数:nl=5请输入平衡母线节点号:isb=1请输入误差精度:pr=0.00001请输入由支路参数形成的矩阵:B1=1 2 0.03i 0 1.05 0;2 3 0.08+0.3i 0.5i 1 0;2 4 0.1+0.35i 0 1 0;3 4 0.04+0.25i 0.5i 1 0;3 5 0.015i 0 1.05 1请输入由节点参数形成的矩阵:B2=0 0 1.05 1.05 0 1;0 3.7+1.3i 1.05 0 0 2;0 2+1i 1.05 0 0 2;0 1.6+0.8i 1.05 0 0 2;5 0 1.05 1.05 0 3请输入由节点号及其对地阻抗形成的矩阵:X=1 0;2 0;3 0;4 0;5 0请输入PQ节点数na=3结果如下：迭代次数 1019.4.3 实例每次没有达到精度要求的有功功率个数为 4 4 4 4 4 4 4 4 3 0每次没有达到精度要求的无功功率个数为3 3 3 3 3 3 3 3 1 0各节点的电压标么值E为(节点号从小到大排列):1.0500 1.0335 - 0.0774i 1.0260 + 0.3305i 0.8592 - 0.0718i 0.9