第七章渐近法

1、渐近法计算超静定结构渐近法计算超静定结构 山东农业大学结构力学课程组山东农业大学结构力学课程组水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组力力 矩矩 分分 配配 法法本章主要介绍力矩分配法的概念及基本原理、基本思本章主要介绍力矩分配法的概念及基本原理、基本思路，如何用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架。路，如何用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架。本本 章章 提提 要要在学习中要清楚力矩分配法是一种渐近法，要明确两在学习中要清楚力矩分配法是一种渐近法，要明确两个状态个状态固定状态和放松状态，掌握力矩分配法的三要固定状态和放松状态，掌握力矩分配法的三要素（固端弯矩、分配系数、传递系数）

2、的计算，才能真正素（固端弯矩、分配系数、传递系数）的计算，才能真正领会力矩分配法的意义。领会力矩分配法的意义。另外，在熟练掌握力矩分配法的基础上，本章还将简另外，在熟练掌握力矩分配法的基础上，本章还将简单介绍无剪力分配法、附加链杆法和分层法等实用计算方单介绍无剪力分配法、附加链杆法和分层法等实用计算方法。它们与力矩分配法统称为渐近法。法。它们与力矩分配法统称为渐近法。第第7章章水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组力力 矩矩 分分 配配 法法掌握力矩分配法的基本概念、计算原理、适用条件；掌握力矩分配法的基本概念、计算原理、适用条件； 正确理解转动刚度、分配系数、分配弯矩、传

3、递系正确理解转动刚度、分配系数、分配弯矩、传递系数、传递弯矩的概念。数、传递弯矩的概念。 熟练掌握单结点的力矩分配与传递并最终会计算杆端熟练掌握单结点的力矩分配与传递并最终会计算杆端 弯距且正确绘制弯矩图。弯距且正确绘制弯矩图。 熟练熟练计算有多个结点的连续梁和刚架计算有多个结点的连续梁和刚架 了解无剪力分配法。了解无剪力分配法。教学基本要求、重点和难点：第第7章章水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组力力 矩矩 分分 配配 法法 重点：重点： 力矩分配法的基本概念；分配系数的计算；力矩分配法的基本概念；分配系数的计算； 单结点的力矩分配与传递计算。单结点的力矩分配与传递计

4、算。 力矩分配法计算两个结点的连续梁和无侧移刚架力矩分配法计算两个结点的连续梁和无侧移刚架 难点：难点： 单结点的力矩分配计算原理。单结点的力矩分配计算原理。 力矩分配法计算两个结点的连续梁和无侧移刚架力矩分配法计算两个结点的连续梁和无侧移刚架 重点和难点：第第7章章水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组力力 矩矩 分分 配配 法法 7.1 基本概念基本概念7.3 力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架7.4 无剪力分配法无剪力分配法7.2 力矩分配法的基本原理力矩分配法的基本原理第第7章章1 1、线性代数方程组的解法、线性代数方程组的解法: :直

5、接法直接法渐近法渐近法2 2、结构力学的渐近法、结构力学的渐近法力学建立方程，数学渐近解力学建立方程，数学渐近解不建立方程式，直接逼近真实受力状态。其不建立方程式，直接逼近真实受力状态。其突出的优点是每一步都有明确的物理意义。突出的优点是每一步都有明确的物理意义。3 3、不建立方程组的渐近解法有：不建立方程组的渐近解法有：(1)(1)力矩分配法：力矩分配法：适于连续梁与无侧移刚架。适于连续梁与无侧移刚架。(2)(2)无剪力分配法：无剪力分配法：适于规则的有侧移刚架。适于规则的有侧移刚架。(3)(3)迭代法：迭代法：适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架。适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架。它们都属于位

6、移法的渐近解法。它们都属于位移法的渐近解法。7 7章章 渐近法计算超静定结构渐近法计算超静定结构 力矩分配法力矩分配法适用范围：连续梁和无侧移刚架。适用范围：连续梁和无侧移刚架。理论基础：位移法。理论基础：位移法。基本体系、结点转角、杆端弯矩、基本体系、结点转角、杆端弯矩、 杆端剪力的正负规定和位移法完全相同。杆端剪力的正负规定和位移法完全相同。计算对象：杆端弯矩；计算方法：逐渐逼近的方法计算对象：杆端弯矩；计算方法：逐渐逼近的方法表示杆端对转动的抵抗能力。表示杆端对转动的抵抗能力。在数值上在数值上 = = 仅使杆端发生单仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。位转动时需在杆端施加的力矩。1

7、SAB=4i1SAB=3iSAB=i1一、转动刚度一、转动刚度S:S:ABiSAB4 iABiSAB3 iABiSAB i7.1 7.1 力矩分配法的基本概念力矩分配法的基本概念SAB与杆的线刚度与杆的线刚度i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关。长）及远端支承有关。而与近端支承无关。而与近端支承无关。Sij: i指杆件的近端，指杆件的近端，j指杆件的远端指杆件的远端注意：注意：分配系数分配系数SAB = 4i1SAB= 3i11SAB= i二、分配系数二、分配系数 设设A点有力矩点有力矩M，求求MAB、MAC和和MADCABDiABiACi

8、ADAM如用位移法求解：如用位移法求解：AABAABABSiM 4AACAACACSiMAADAADADSiM 3MMABMACMAD0AmAADACABSSSM)(AADACABASMSSSMMSSMAADAD于是可得于是可得MSSMAABABMSSMAACACMMAjAjAAjAjSS1三、传递系数三、传递系数MAB = 4 iAB AMBA = 2 iAB A21ABBAABMMCMAB = 3iABA0ABBAABMMCMAB= iABAMBA = - iAB A1ABBAABMMC 在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截

9、面，各杆远端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数传递系数。AlAB近端近端远端远端ABAAABABCMABMBAMBCABCMABFMBAFMBCFMBMBMFBAMFBCMB= MFBA+ MFBCABC-MBuBAMuBCMCABM0-MBuBAMuBCM)(BBAuBAMM)(BBCuBCMM+=最后杆端弯矩：最后杆端弯矩：MBA = MBAF+uBAMMBC =MBCF+uBCMMAB= MABF+CABM然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。固端弯矩带本身符号固端弯矩带本身符号7.2 单结点的力矩

10、分配ABm10EImkNq/12 Cm10EIABmkNq/12 CB BM固定状态固定状态: :B ABCBM12/2qlmkNqlMFAB.10012/2 mkNMFBA.100 0 FCBFBCMMBBMFBAMFBCMFBCFBABMMMmkN.100 例例1.1.计算图示梁计算图示梁, ,作弯矩图作弯矩图解解: :iSBC3 iSBA4 571. 07/4)43/(4 iiiBA 429. 07/3)43/(3 iiiBC 1 .57)(BBAuBAMM9 .42)(BBCuBCMM放松状态放松状态ABm10EImkNq/12 Cm10EI12/2qlABmkNq/12 CuBMAB

11、CuBM最终杆端弯矩最终杆端弯矩: :6 .1286 .28100 ABM9 .421 .57100 BAM9 .429 .420 BCM0 CBM) 1 .57(5 . 0uBACABCMM6 .28 0)9 .42(0uBCCCBCMMABm10EImkNq/12 Cm10EI固定状态固定状态: :mkNqlMFAB.10012/2 mkNMFBA.100 0 FCBFBCMM放松状态放松状态: :1 .57)(BBAuBAMM9 .42)(BBCuBCMM6 .28uBACABCMM0 CCBM最终杆端弯矩最终杆端弯矩: :6 .1286 .28100 ABM9 .421 .57100

12、BAM9 .429 .420 BCM0 CBM FM分分配配传传递递M571. 0429. 0100100 001 .57 9 .42 6 .28 06 .128 9 .429 .42 0mkNq/12 6 .1289 .42M例1. 用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图。3m3m6mEIEI200kN20kN/m（1 1）B点加约束（固定）点加约束（固定）ABC200kN20kN/mMABF=MBAF=MBCF=mkN 15086200mkN 150mkN 9086202MB=MBAF+ MBCF=mkN 60-150150-90（2 2）放松结点）放松结点B B，即加即加-60-60进行分配进

13、行分配60ABC-60设设i =EI/l计算转动刚度：计算转动刚度：SBA=4iSBC=3i分配系数分配系数：571. 0344iiiBA429. 073iiBC0.5710.429分配力矩分配力矩:3 .34)60(571. 0CBAM7 .25)60(429. 0CBCM-34.3-25.7-17.20+(3) (3) 最后结果。合并前面两个过程最后结果。合并前面两个过程ABC0.5710.429-150150-90-34.3-25.7-17.20-167.2115.7-115.70167.2115.730090M图图(kNm)ABC=例例.计算图示梁计算图示梁,作弯矩图作弯矩图EIEIS

14、BA5 . 084 FM分分配配传传递递M5 . 05 . 04040 45 05 . 25 . 225. 1075.38 5 .425 .42 0ABm4EIkN40Cm6EImkN /10m4解解:EIEISBC5 . 063 5 . 0)5 . 05 . 0(5 . 0 EIEIBA 5 . 0)5 . 05 . 0(5 . 0 EIEIBC kN40mkN /10404045MkN40mkN /105 .4275.38(kN.m)例例3.3.计算图示刚架计算图示刚架, ,作弯矩图作弯矩图iSA41 000解解: :2/13441 iiiiA AB1Clql2CEI qlliSB31 i

15、SC 18/33431 iiiiB 8/1341 iiiiC )2(qlFM分配分配传递传递M结点结点杆端杆端BA1CB1A11A1B1CC11/2 3/8 1/8-1/4 1/41/8163 649 643 323 064303211 161641 643 6438/2qlql2q4/2ql4/2qlq6416433211161所的结果是所的结果是近似解吗近似解吗?例： 分配系数分配系数 固端弯矩固端弯矩 分配与传递分配与传递杆端弯矩杆端弯矩杆端杆端ABBABCCB CD0.4280.572037.5-42.55-5 2.142.8600039.64-39.645-5例题例题 固端弯矩固端弯

16、矩-Pl 杆端弯矩杆端弯矩Pl/2 Pl-Pl 0 分配、传递分配、传递Pl/2 Pl 0ll2iiP1 0PlPl/2M图图6060ABmkN.40CmkN /20练习练习求不平衡力矩求不平衡力矩6040100.BMkN mABm4EImkN.40Cm6EImkN /2060mkN.40BM练习练习:作弯矩图作弯矩图ABm5EImkN.100Cm10EIEIEISBA103103 解解:5EISBC 6 . 0)2 . 03 . 0(3 . 0 EIEIBA 4 . 0)2 . 03 . 0(2 . 0 EIEIBC 10050mkN.100 FM分分配配传传递递M6 . 04 . 050

17、100 03020020 100 20 2020 0mkN.10010020ABCDBCMBAMBCMCBMCDMABMBMCMABFMBCFMCBF-MB放松，平衡了放松，平衡了MC固定固定放松，平衡了放松，平衡了-MC固定固定固定固定放松，平衡了放松，平衡了7.3 多结点的力矩分配-57.1固定状态固定状态:1508/21 qlMFA501211FFAMMM二二.多结点力矩分配多结点力矩分配ABm10EImkNq/12 m10EIm1012EIABmkNq/12 1212/2ql8/2ql1M2M10012/212 qlMF10012/221 qlMF1002212FBFMMM501001

18、00iSB32 iS421 571. 021 429. 02 B -28.6-42.928.621.4iSA31 iS412 571. 012 429. 01 A -9.2-12.2-6.16.16.13.52.61.81.8 . 放松结点放松结点2(结点结点1固定固定):放松结点放松结点1(结点结点2固定固定):-57.1uM1ABm10EImkNq/12 m10EIm1012EIABmkNq/12 1212/2ql8/2qluM2100-28.6-42.928.621.4-9.2 -12.2 -6.16.16.13.52.61.81.8 . ABmkNq/12 12 FM分分配配传传递递M

19、0.5710.429 0.5710.4290150 -100100 00-57.1-42.90-28.6-12.2-9.20-6.13.5 2.601.8-0.8-1.00140-140 40.3 -40.30ABmkNq/12 1214040.3M(kN.m)140AQF11AQFA1 0AM051012140101AQF741AQF 0yF461AQF69.9774yF11 0yF)(97.14397.69741kNFy作剪力图作剪力图,求反力求反力ABmkNq/12 1240.3M(kN.m)FQ 467469.9750.034.03(kN)杆端弯矩杆端弯矩22.840.1 0.06-1

20、00-200/3200/3-1000.50.50.64 0.3610固端弯矩固端弯矩分配分配与与传递传递分配系数分配系数 25 50 50 25 16.7 33.3-2 -4 - 4 -28 16 9 0 0.64 1.28 0.72-0.16 -0.32 - 0.32 -0.1645.68 54.3 2 40.22 40.22 100 -1008kN/m0.75EI100kNm10kN10mEIEI10m10m10mABCD100100M图（kN.m)22.8445.6854.3240.22ABC1m5m1mEI=常数常数D50kN5/6 1/65025-20.8 -4.2-20.8 +20

21、.8+50例例3. 3. 带悬臂杆件的结构的力矩分配法。带悬臂杆件的结构的力矩分配法。50kNmABMM/2ABC1m5m1mEI=常数常数D50kN-100-100+50100163218杆端弯矩杆端弯矩1/21/216/25 9/25固端弯矩固端弯矩分配分配与与传递传递分配系数分配系数45.554.540.2 -40.2232142421.73.3 3.4-6.7-13.4 -7.60.2 0.3-1.1 -0.6-0.58kN/mEI100kNm10m100kNmABCD10m10mEI0.75EI23465440100100CB例例1.1.用力矩分配法列表计算图示连续梁。用力矩分配法列

22、表计算图示连续梁。ABCD6m6m4m4mEI=1EI=2EI=120kN/m100kN61ABi4182BCi61CDi141432614BCBASS6 . 04 . 032132BCBA216131414CDCBSS333. 0667. 02111CDCB0.4 0.60.667 0.333MF-6060-100100分配与传递-33.3-66.7-33.429.4442214.7-14.7-7.3-7.34.42.92.2-1.5 -0.7-0.70.30.41.50.2-43.692.6 -92.641.3-41.3Mij043.692.6133.141.3ABCD21.9M图（图（k

23、Nm）ABCD6m6m4m4mEI=1EI=2EI=120kN/m100kN43.6133.141.321.9M图（kNm）92.6ABCDABCD51.868.256.443.66.9Q图（kN）求支座反力求支座反力68.256.4B124.60.2221114321ABCDFEB3 . 04 . 03 . 0BEBCBAC222. 0333. 0445. 0CFCDCBMBAF= 40kNm MBCF= - 41.7kNm MCBF= 41.7kNm0.30.40.30.4450.33340-41.741.7-18.5-9.3 -13.9-9.33.33.34.42.2-1.0-0.5 -

24、0.7-0.50.15 0.150.2-4.651.65-0.250.0743.45 3.45 -46.924.4-9.8 -14.61.72-4.9043.546.924.514.73.451.79.84.89M图)(mkN 例例4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4EI4EI2EI2EI用力矩分配法计算，作用力矩分配法计算，作M图。图。取取EI=5i=4i=4i=2.5i=2.52kN/m20kN5m5m1m4m20kN20结点结点杆端杆端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCMijF0.2630.3160.4210.6150.38500031.25 20.83 20.83

25、00(20)2.74 3.29 4.391.372.20MB=31.2520.83=10.42MC=20.83202.2=1.370.84 0.530.270.420.10 0.14 0.180.050.09 ABCEF2.85结点结点杆端杆端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCMijF0.2630.3160.4210.6150.38500031.25 20.83 20.8300(-20)2.74 3.29 4.391.372.200.84 0.530.270.420.10 0.14 0.180.050.090.06 0.030.020.030.01 0.01 0.01M01.4227.

26、8024.96 19.940.560.29k计算之前计算之前, ,去掉静定伸臂去掉静定伸臂, ,将其上荷载向结点作等效平移。将其上荷载向结点作等效平移。k有结点集中力偶时有结点集中力偶时, ,结点不平衡力矩结点不平衡力矩= =固端弯矩之和结点集中固端弯矩之和结点集中 力偶力偶( (顺时针为正顺时针为正) )20kN/m3m3m3m2iiiiii4i2iSAG=4i20kN/m1.5miiACEGHSAC=4i SCA=4iSCH=2iSCE=4iAG=0.5AC=0.5CA=0.4CH=0.2CE=0.4mkNmAG.1535 . 1202结点杆端ACEAGACCACHCECHm0.50.50

27、.40.20.4150.50.50.40.20.4157.5 7.53.751.50 0.75 1.50 0.75 0.750.37 0.380.190.08 0.03 0.08 0.04 0.040.02 0.02结点杆端ACEAGACCACHCECHmM7.117.112.360.781.580.7920kN/m7.110.791.582.630.791.587.112.630.78M图（kN.m)例、例、 求矩形衬砌在上部土压力作用下的弯矩图。求矩形衬砌在上部土压力作用下的弯矩图。l1l2qqABDCEI1I2qEBF解：取等代结构如图。解：取等代结构如图。 设梁柱的线刚度为设梁柱的线刚

28、度为i1，i22i12i222iSBF21iSBE212iiiBF211iiiBE12)2(32121qllqmBE212iiii211ii BEBF水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组力力 矩矩 分分 配配 法法 7.1 基本概念基本概念7.3 力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架7.4 无剪力分配法无剪力分配法7.2 力矩分配法的基本原理力矩分配法的基本原理7.5 附加链杆法附加链杆法第第7章章7.6 多层多跨刚架的分层计算法多层多跨刚架的分层计算法水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组第第7章章 力力 矩矩 分分 配配

29、 法法7.4 7.4 无无 剪剪 力力 分分 配配 法法一、无剪力分配法的基本原理一、无剪力分配法的基本原理工程中或在结构的计算过程中，工程中或在结构的计算过程中，常见右图所示一类的侧向位移的结构，常见右图所示一类的侧向位移的结构，其特点是其竖柱的剪力是静定的，可其特点是其竖柱的剪力是静定的，可以由静力平衡方程直接求得。以由静力平衡方程直接求得。如果先将竖柱的剪力求出，并入如果先将竖柱的剪力求出，并入荷载系统，计算固端弯矩，则在近端荷载系统，计算固端弯矩，则在近端进行力矩分配时竖柱就不再有剪力。进行力矩分配时竖柱就不再有剪力。因此竖柱的远端可看成是一定向支承因此竖柱的远端可看成是一定向支承端，

30、其线刚度为端，其线刚度为i，传递系数为，传递系数为1，结，结点沿垂直于竖柱方向的线位移就不再点沿垂直于竖柱方向的线位移就不再作为基本未知量，使计算在为简化。作为基本未知量，使计算在为简化。这种方法就称为无剪力分配法。这种方法就称为无剪力分配法。BACEDF1F2(a)BACEFQ1F1F2(b)FQ2D水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组第第7章章 力力 矩矩 分分 配配 法法7.4 7.4 无无 剪剪 力力 分分 配配 法法二、无剪力分配法的基本步骤二、无剪力分配法的基本步骤下面以图下面以图(a)所示刚架为例说明无剪力分配法的基本步骤。所示刚架为例说明无剪力分配法的基本

31、步骤。由静力平衡条件计算竖杆剪力，转化成图由静力平衡条件计算竖杆剪力，转化成图(b)所示的等效刚所示的等效刚架，显然有架，显然有FQ1=F1 和和FQ2=F1+F2。BACEDF1F2(a)取图取图(b)所示系统为研究对象计算固端弯矩。其中所示系统为研究对象计算固端弯矩。其中AB和和BC均均可看作一端固定一端定向支承的杆件，而可看作一端固定一端定向支承的杆件，而BD和和CE可看作是一端固可看作是一端固定一端铰支的杆件。定一端铰支的杆件。BACEFQ1F1F2(b)FQ2D注意：由于各竖杆都是定向支注意：由于各竖杆都是定向支承杆，杆端虽有水平侧向位移，但承杆，杆端虽有水平侧向位移，但不影响竖杆内

32、力，因此对于图不影响竖杆内力，因此对于图(b)所所示等效刚架中的侧向位移可不作为示等效刚架中的侧向位移可不作为基本未知量。这是无剪力分配法的基本未知量。这是无剪力分配法的根本所在。根本所在。水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组第第7章章 力力 矩矩 分分 配配 法法7.4 7.4 无无 剪剪 力力 分分 配配 法法二、无剪力分配法的基本步骤二、无剪力分配法的基本步骤BACEDF1F2(a)BACEFQ1F1F2(b)FQ2D注意区分剪力静定杆的滑动端与固定端。注意剪力静注意区分剪力静定杆的滑动端与固定端。注意剪力静定杆上除承受本层荷载外，杆顶端还承受上层传来的剪力。定杆上除承受本层荷载外，杆顶端还承受上层传来的剪力。根据计算结果作结构的弯矩图。根据计算结果作结构的弯矩图。按无侧移刚架力矩分配法计算分配系数、分配弯矩、结点按无侧移刚架力矩分配法计算分配系数、分配弯矩、结点不平衡力矩、传递弯矩，并进行分配和传递计算最后杆端弯矩。不