特征根法求数列通项

1、特征根法在求递推数列通项中的运用各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。如：（ 08 年广东高考） 设 p、 q 为实数，、是方程 x2-px+q=0 的两个实数根，数列 x n 满足 x1=p,x 2=p2-q,x n=pxn-1 -qx n-2 (n=3,4,5 )1 ）2）求数列 x n 的通项公式。3）若p， q1，求数列 x 的前 n 项的和 s1nn4(09 年江西高考 ) 各项均为正数的数列 an中a1a, b1b,且对满足 mnp q的正整数 m, n, p, q都有 ，an am

2、a paq，(1an )(1am )(1 a p )(1aq )1）当 a1 ,b4时，求通项 a n 。25像上述两道题， 如果不能顺利求出数列的通项公式， 就不能继续做后面的题，想得高分就难，对于那些有可能上重点大学的绩优学生来说重点大学之梦就可能是两个字遗憾。本文就一、两种题型进行探讨，重点强调求解数列通项公式的方法之一特征根法的运用，希望能对部分同学有帮助。类型一、 递推公式为 an 2 pan1qan （其中 p， q 均为非零常数）。先 把 原 递 推 公 式 转 化 为 an 2x1an 1x2 (an 1 x1 an ) ， 其 中 x1 , x2 满 足x1 x2p2px q

3、0 的两个非零根。x1 x2，显然 x1 , x2 是方程 xq1）如果 a2x1 a10 ，则 an 2x1an10， an 成等比，很容易求通项公式。2）如果 a2x1 a10 ，则 an2x1 an 1 成等比。公比为 x2 ，所以an 1x1 an(a2x1 a1 ) x2n1 ，转化成：an1x1an( a2x1 a1 ) ，x2n 1x2x2n2( I )又如果 x1x2 ，则 an1 等差，公差为 (a2x1 a1 ) ，x2n 1所以 an1a2(n1)( a2x1a1 ) ，即： an 1 a2(n 1)(a2x1a1 )x2n 1x2n11an a2( n2)(a2x1a1

4、 ) x2n1可以整理成通式： an( ABn) x2n 1x2x2Ii)如果 x1an1bn1 ，x1A ， ( a2x1a1 )B,就有x2 ，则令x2x2n1bn1AbnB ，利用待定系数法可以求出bn 的通项公式bna1x2 (1 x2 ) ( x1 )n 1 (a2x1 a1 ) x2x1x2x2x1x2所以 an a1 x2 (1x2 ) ( x1 ) n 1(a2x1a1 ) x2 x2n 2 ，化简整理得：x1x2x2x1x2ana1 (1 x2 ) x1n 1a1 x1a2 x2n 1 ，x1x2x1x 2小结特征根法 ：对于由递推公式 an2pan 1qan ， a1, a

5、2给出的数列 an，方程 x2pxq 0 ，叫做数列an 的特征方程。若x1 , x2 是特征方程的两个根，当 x1x2 时，数列 an的通项为 anAx1n1Bx2n1 ，其中 A，B 由a1, a2决定（即把 a1, a2 , x1 , x2 和 n1,2，代入 anAx1n 1Bx2n 1，得到关于 A、B 的方程组）；当 x1x2 时，数列 an 的通项为 an( ABn) x2n 1 ，其中 A，B 由 a1, a2决定（即把 a1 , a2 , x1, x2 和 n1,2，代入 an( A Bn ) x2n 1 ，得到关于 A、B 的方程组）。简例应用（特征根法）：数列 an ：

6、3an 25an 12an0(n0, nN ) ，a1a, a2b 的特征方程是： 3x 25x 20x11, x22 ,B ( 2 ) n 1 。又由 a13anAx1n 1Bx2n 1Aa, a2b ，于是3aA BA3b2a 故 an3(a b)( 2) n 1b2B3b 2aAB3( ab)33下面再看 特征根法在 08 年广东高考题中的应用：设 p、 q为实数，、是方程x2-px+q=0 的两个实数根，数列x n 满足x1 =p,x 2=p2-q,x n=pxn-1 -qx n-2 (n=3,4,5 )1 ）2）求数列 x n 的通项公式。3）若p， q1，求数列 x 的前 n 项的

7、和 s1nn4解： 2）显然 xn=pxn-1 -qx n-2 (n=3,4,5 ) 的特征根方程就是 x2-px+q=0 ，而、是方程 x2-px+q=0 的两个实数根，所以可以直接假设： 当 =时，设 xn(A Bn) n 1 ，因为 x1=p,x 2=p2-q ，所以2 PP 2qABp解得A(A 2B)p2qP 2qpBxn 2 p p 2q ( p2qp)n n 2 当时，设 xnAn 1Bn 1122，因为 x=p,x =p -q ，所以ABp22解得 App q ， BppqABp 2qxnp2p qn 1 + p 2p qn 13）p1，q1时，1，由第）小题的项可以直接得到4

8、221(n 1) 1nABxn，可以用错位相减法求和顺利拿下第3）小题。22本题是 08 年广东高考真题， 开始前两问均以字母的形式出现， 给考生设置了接题障碍，如果在考前曾经学过特征根法 ，记住公式，那本题对这同学来说无疑是几分种的事情， 或对特征根法有一定的了解， 也许是多花点时间的问题，至少是接题思路和方向明确，绝不会象无头苍蝇一样乱撞。知道特征根法 的来龙去脉、公式、以及运用也是学生能力拓展的一种表现。特征根法 还能应用于下面一种数列题型的解答：panq类型二、 an 1hra n解 法 ：如 果数 列 an 满 足下 列条 件： 已知 a1 的值 且对 于 nN ，都有panq（其中

9、 p、q、r 、h 均为常数，且 phqr , r 0, a1han 1h），那么，ra nr可作特征方程 xpxqx0 则rx, 当特征 方程有 且仅有 一根 x0 时 , 如果 a1han x0 ；如果 a1x0 则1是等差数列。当特征方程有两个相异的根x1 、an x0x2 时，则anx1是等比数列。（证明方法如同类型一，从略）anx2例：已知数列 an 满足性质：对于 n N ,an 1an4, 且 a1 3, 求 an 的通项2an3公式 .解 :数 列 an 的 特 征 方 程 为 xx4 , 变 形 得 2x22x 4 0, 其 根 为2x311, 22. 故特征方程有两个相异的

10、根，则有cna11( p1r )n 13 1 ( 1 1 2 )n 1 , n N . cn2 (1)n 1 , n N .a12p2 r321225 521n 1 an2 cn125 (5)1, n N. 即 an( 5) n4, n N.cn12 1n 12 ( 5) n15( )5例：已知数列 an 满足：对于 nN , 都有 an 113an25.（1）若 a15, 求 an ;（2）an3若 a1 3, 求 an ; （3）若 a16, 求 an ; （4）当 a1 取哪些值时，无穷数列 an 不存在？解：作特征方程 x13x25 .变形得 x 210x250,x 3特征方程有两个相

11、同的特征根5.(1) a15,a1.对于 nN, 都有 an5;(2) a13,a1. bn1(n1)r1(n1)1a1r351 5p131n1 ,令 bn0 ，得 n5 . 故数列 an 从第 5 项开始都不存在，28当 n 4， nN 时， an15n 17 .bnn5(3) a16,5, a1. bn1(n1)r1n1, nN .a1pr8令bn0,则n7 n.对于n N, bn0.an11155n43, nN.bnnn718(4) 、显然当a13时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（）小题的1解 答 过 程 知 ， a15 时 ， 数 列 an 是 存 在 的 ， 当 a15时，则

12、有1( nbna15n13a1, nn1当 a15n13n11)r1n 1 , n N .令bn 0,则得pr a1 58N 且 n 2.（其中 nN 且 N2）时，数列 an 从第 n 项开始便不存在。于是知：当 a1 在集合 3 或 5n13 : nN , 且 n 2 上取值时，无穷数列 an n1都不存在。变式 : （2005，重庆 , 文 ,22, 本小题满分 12 分）数列 an 满足 a1 1且8an 1an16an 12an 50(n 1). 记 bn1(n1).an12（）求 b1、b2、b3、b4 的值；（）求数列 bn 的通项公式及数列 an bn 的前 n项和 Sn .解

13、：由已知 , 得 an 12an5, 其特征方程为 x2x5解之得 , x11 或 x25168an168x246(an112( an5)1)5an 12 , an 14241616 8an8anan 111 an1an1a11? ( 1) n 142n 1522 ,22anan 152 an5an5a1522n2n44444bn1 2n4 (n 1) 由b1得 a b1 b 1,33na n1n n2n2故 Sna1b1a2 b2an bn1 (12n )5 n1 (2 n1 (b1b2 L bn ) n3125n 1)233下面再欣赏用 特征根法 解决 09 年江西高考真题各项均为正数的数列an中a1a, b1b,且对满足 mnpq的正整数 m, n, p, q都有 ，anama paq，an )(1am )(1a p )(1(1aq )1）当 a1 ,b4时，求通项 a n25解：由an ama paq得ana1an 1a2(1an )(1am )(1ap )(1aq )(1 an )(1a1 ) (