平行四边形经典例题#精选.

1、平行四边形一、基础知识平行四边形平行四边形矩形菱形正方形等腰梯形定 义有两组对边分别平行的四边 形是平行四边形。有一个角是宜角 的平行四边形是 矩形。有一组邻边相等的平 行四边形是菱形。有一组邻边相等且 有一个角是直角的 平行四边形。两腰相等的梯形是等 腰梯形。性质1、对边平行且相等。2、对角相等，邻角互补。3、对角线互相平分1、四个角都是宜 角。2、对角线相等。1、四条边都相等。2、两条对角线互相垂 宜，并且每一条对角线 平分一组对角。具有平行四边形、矩 形、菱形的所有特 征。1、两腰相等两底平行2、同一底上的两角相 等3、两条对角线相等判定1、定义：2、判定定理：（1）两组对边分别相等的四

2、 边形是平行四边形。（2）两组对角分别相等的四 边形是平行四边形。（3） 一组对边平行且相等的 四边形是平行四边形。（4）对角线互相平分的四边 形是平行四边形。1、定义：2、判定定理：（1）对角线相等 的平行四边形是 矩形。（2）有三个角是 宜角的四边形是 矩形。1、定义：2、判定定理：（1） 一组邻边相等的 平行四边形是菱形。（2）对角线互相垂宣 的四边形是菱形。1、先证明是矩形再 证明一组邻边相等。2、先证明是菱形再 证一个角是直角。1、定义：先判断是梯 形在证明两腰相等。2、同一底上的两个角 相等的梯形是等腰梯 形。3、对角线相等的梯形 是等腰梯形。对称性轴对称图形轴对称图形轴对称图形轴

3、对称图形二、1、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三遍的一半。2、由矩形的性质得到宜角三角形的一个性质：宜角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。三、例题例1、如图1,平行四边形ABCD中,AE_LBD,CF_LBD,垂足分别为E、F.求证：NBAE-NDCF.例2、如图2,矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE_LAC于E, CFJLBD于F. 求证：BE = CF.图3例3、已知：如图3,在梯形ABCD中，ADII BC, AB=DC,点E、F分别在AB、CD上，且BE = 2EA, CF = 2FD.求证：Z BEC =Z CFB.i / iiword.例4、如

4、图6. Ex F分别是ABCD的AD、BC边上的点，且AE = CF.（1）求证： ABE级 & CDF；（2）若 5、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN.试判断四边形MFNE是怎样的四 边形，并证明你的结论.（图6）例5、如图7 0D的对角线AC的垂直平分线与边AD, BC分别相交于点E, F.，求证：四边形AFCE是菱形.图74 / iiword.第14题例6、如图8,四边形ABCD是平行四边形，0是它的中心，E、F是对角线AC上的点.（1）如果，则 DEC合 BFA （请你填上一个能使结论成立的一个条件）;（2）证明你的结论.例7、如图9,已知在梯形ABCD中，ADII B

5、C, AB=DC,对角线AC和BD相交于点O, E是BC边上一个动点（点E不与B、C两 点重合），EFII BD交AC于点F, EGII AC交BD于点C.（1）求证：四边形EF0G的周长等于20B：（2）请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，ADII BC, AB = DC"改为另一种四边形,其他条件不变,使得结论，“四边形EF0G图9的周长等于20B"仍成立,并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明.例8、有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形的而积 两等分），试设计两种方案（平分方案画在备用图13（1）、（2）上），并给予合理 的解释.四、

6、练习一、选择题L下列命题正确的是()(A)、一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形(B)、对角线相等的四边形一定是矩形(C)、两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形)、在两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形2 .已知平行四边形ABCD的周长32, 5AB=3BC,则AC的取值范围为()A. 6<AC<10； B. 6<AC<16： C. 10<AC<16： D. 4<AC<163 .两个全等的三角形(不等边)可拼成不同的平形四边形的个数是()(A) 1(B) 2(C) 3(D) 44 .延长平形四边形ABCD的一边AB到E

7、,使BE=BD,连结DE交BC于F,若NDAB = 120° , NCFE = 135° , AB=1,则AC的长为()(A) 1(B) 1.2(C)与(D) 1.55 .若菱形ABCD中，AE垂直平分BC于E, AE=lcm,则BD的长是()(A) 1cm(B) 2cm(C) 3cm(D) 4cm6 .若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形，那么这个四边形的对角线()(A)互相垂宜(B)相等 (C)互相平分 (D)互相垂宜且相等7 .如图，等腰4ABC中，D是BC边上的一点，DEAC, DFAB. AB=5那么四边形AFDE的周长是()(B)(D) 20(A) 5(

8、第7题)(第8题)(C) 15(第9题)(第10题)8 .如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN,则线段CN的长足(A) 3cm (B) 4cm (C) 5cm (D) 6cm9 .如图，在宜角梯形ABCD中，ADBC, ZB=90° , AC将梯形分成两个三角形，其中4ACD是周长为18 cm的等边三角形，则该 梯形的中位线的长是().9(A)9 cm (B) 12cm (c) cm (D) 18 cm210.如图，在周长为20cm的DABCD中，ABWAD. AC、BD相交于点0, 0EJ_BD交AD于E,则AABE的周

9、长为()(A)4cm(B)6cm (C)Scm (D)10cm1L如图2,四边形”必为矩形纸片把纸片”折叠'使点6恰好落在第边的中点£处'折痕为小若0=6,则%等于，(A) 4百(B) 3指(C) 4啦(D) 812 .如图,已知四边形ABCD中,R、P分别是BC、CD上的点,E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论 成立的是 ()A、线段EF的长逐渐增大B、线段EF的长逐渐减小C、线段EF的长不变D、线段EF的长与点P13 .在梯形ABCD中，AD/BC,对角线ACLBD,且BD=12c m,则梯形中位线的长等于(A. 7.

10、5cm B. 7cm C. 6.5cm D. 6cm14 .国家级历史文化名城一一金华，风光秀丽，花木葱茏.某广场上一个形状是 平行四边形的花坛(如图)，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花.如果有45七尸。C, BC/GH /AD,那么下列说法中错误的是()A.红花、绿花种植面积一定相等B.紫花、橙花种植面积一定相等C.红花、蓝花种植面积一定相等D.蓝花、黄花种植面积一定相等二、填空题L如果四边形四个内角之比1： 2： 3： 4,则这四边形为 形。2.若正方形的对角线长为2Vzm,则正方形的面积为3 .若矩形一个内角的平分线，把另一边分为4cm,5cm两部分，则这个矩形周长是4 .已知

11、：平行四边形ABCD的周长是30cm,对角线AC, BD相交于点0, AAOB的周长比aBOC的周长长5cm ,则这个平行四边形的各边 长为。35 .已知：平行四边形ABCD中，AEJ_BC交CB的延长线于点E, AF_LCD交CD的延长线于点F, AB+BC + CD+DA=32cm, BC=- AB, NEAF=2NC,则 BE 长为,则NCC(l, 一1),在第一象限内找一点D,使四边形ABCD6 .在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A(2, 5), B( 3, 1),是平行四边形，那么点D的坐标是7.已知：如图8,正方形ABCD中,对角线AC和BD相交于点0, E、F分别是边

12、AB、BC上的点，若AE=4cm, DF=3cm,且OE_LOF,则EF7 / iiword.8 .如图9 (1)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图10(2)所示的一个菱形.对于图10(1)中的等腰梯形, 请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论： .9 .如图，在四边形45co中，P是对角线6。的中点，E,尸分别是45, 8的中点，AD = BC, NPEF = 18 , 则/PFE的度数是.10 .如图，菱形的?的两条对角线分别长6和8,点尸是对角线月。上的一个动点，点M N分别是边四、8。的中点，则座丹'的最小值是.11.如图，在四边形板P中，E

13、、F、G、，分别是四、BD、CD、月C的中点，耍使四边形班第第12题图(14 题)12、如图所示，0为矩形ABCD的对角纹交点，DF平分NADC交AC于E, BC于F, ZBDF=15° ,则NCOF= 13.如图，矩形45CD的对角线AC和8。相交于点O,过点O的直线分别交4。和6c于点反“43 = 2, BC = 3, 则图中阴影部分的面积为.14、如图，矩形的面积为4,顺次连结各边中点得到四边形斗约G2,再顺次连结四边形a约G2四边中点得到四边形力3用。3。3,依此类推，求四边形4q62的面积是,15、如图已知O是DABCD的对角线交点，AC = 24, BD = 38, AD

14、 = 14,那么OBC的周长等于16、在平行四边形 ABCD 中，NC=NB+ND,则NA=, ZD=。17、一个平行四边形的周长为70cm,两边的差是10cm,则平行四边形各边长为 cm。18、已知菱形的一条对角线长为12cm,面积为30cm2,则这个菱形的另一条对角线长为 cm。19、菱形ABCD中，NA=60。，对角线BD长为7cm,则此菱形周长 cm°20、如果一个正方形的对角线长为那么它的面积21、如图2矩形ABCD的两条对角线相交于O,NAOB = 60B = 8,则矩形对角线的长=22、如图 3,等腰梯形 ABCD 中，ADBC, ABDE, BC = 8, AB =

15、6, AD = 5 贝UZCDE 周长。21、正方形的对称轴有 条22、如图4, BD是DABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需增加的一个条件是23、要从一张长为40cm,宽为20cm的矩形纸片中，剪出长为18cm,宽为12cm的矩形纸片，最多能剪出张。三、解答题L 如图,在四边形 ABCD 中，ZA=60° , ZB=ZD=90° , BC=2, CD=3,求 AB 的长。2.如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC,AB=CD=2, NBAD=120° ,对角线AC平分NBCD,/等腰悌形ABCD的周长。3,将平行四边形纸片ABC

16、D按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D'处，折痕为EF.(1)求证：ABEgZkAD' F；(2)连接CF,判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论4 .已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC, AB=CD,对角线AC、BD相交于点E, ZADB=60° , BD=10, BE ： ED=4 ： 1,求梯形 ABCD 的腰长.5 .如图，菱形ABCD, E, F分别是BC, CD上的点，NB=NEAF=60° ,ZBAE = 1S° 求NCEF 的度数。6 .已知：如图，在胸中，AB=AC. ADLBC,垂足为点，4V,是。外角NCL

17、V的平分线，CELAN,垂足为点£,（1）求证：四边形皿为矩形：（2）当月国满足什么条件时，四边形 祖始是一个正方形？并给出证明.（第6题）7 .如图，四边形ABCD中，一组对边AB=DC=4,另一组对边ADWBC,对角线BD与边DC互相垂直，M、N、H分别是AD、BC、BD的 中点，且NABD=30°求：（1） MH的长（2） MN的长。8 .如图所示，在ABC中，NBAC=90° ,AD，B,BE平分NABC,EFBC,那么AE=CF吗？证明你的结论。9 .如图，ABCD是正方形，CEBD, BE=BD, BE交DC于点F, 求证：(1) ZBEC = 30&

18、#176;(2) DE=DF10 .如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点, PEJ_BC,垂足为E, PF1CD,垂足为F, 求证：EF=AP11 .如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P,过点P作立线交AD于点E,交BC于点F。若PE=PF,且AP+AE=CP+CF(1)求证：PA=PC;(2)若 AD=12,AB=15, NDAB=60° ,求四边形 ABCD 的面积.10.如图所示，已知在QBCD中，E, F分别是AD, BC的中点,8 / 11 word.11 .已知：如图，E为ZZMCD中DC边的延长线上的一点，且CE = DC,连结AE 分别交BC、BD

19、于点F、G,连结AC交BD于0,连结0F.求证：AB=20F.12 .如图，在矩形ABCD中，AD=8cm. AB=6cm,点A处有一动点E以1cm/ s的速度由点A向点B运动，同时点C处也有一动点F以2cln/s 的速度由点C向点D运动，设运动的时间为x (s),四边形EBFD的面积为y (cmD,求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围。21,如图16,已知四边形A8CD是平行四边形，NBCD的平分线CF交边4B于F, N4X：的平分线DG交边 A8 于 G.（1）线段AF与GB相等吗？（2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得为等腰直角三角形,并说明理由.10 / iiword.（

20、1）试说明线段CD与外相等的理由：（2）若使NF=N8CF, D48CD的边长之间还需再添加一个什么条件？请你补上这个条件，并说明你的理 由（不要再增添辅助线）.23, （08上海市）如图，已知平行四边形A3CQ中，对角线AC, BD交于苴O,七是5。延长线上的点，且ACE是等边三角形.（1）求证：四边形A8C0是菱形:（2）若NAED = 2/EAD,求证：四边形A8C0是正方形.24,已知：如图19,四边形A8CD是菱形，E是8D延长线上一点，F是。8延长线上一点，且DE=8E请你 以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等 （只须证明

21、一组线段相等即可）.（1）连结:（2）猜想：=； （3）证明：25,如图20,已知正方形488的对角线4C、8。相交于点O, E是4c上一点，连结E8,过点八作八M_L BE,垂足为M, AM交BD于点、F.试说明OE=OFx（2）如图21,若点E在水?的延长线上，AM_L8E于点交。8的延长线于点F,其它条件不变，则结论“OE = OF"还成立吗?如果成立，请给出说明理由：如果不成立，请说明理由.13 .如图在宜角悌形ABCD中，ADBC, ZB=90" AD=24cm, AB=8cm» BC=26cm,动点P从A开始沿AD边向D以Icm/s的速度运动，动 点Q

22、从C开始沿CB向B以3cm/s的速度运动,P, Q分别从点A, C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设 运动的时间t,t分别为何值时,，四边形PQCD为平行四边形,等腰梯形？8 / 11 word.14已知：如图，在直角梯形ABCD中，NB=90o,ADBC, AD=24cm, BC=26cm,动点P从A点开始沿 AD边向D以1cm/秒的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边向B以3cm/秒的速度运动，P、Q分别从A、C 同时出发，当其一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，t分别为何值时，四边形PQCD 是平行四边形？等腰梯形？,在AABC中，借助作图工具可以作

23、出中位线EF,沿着中位线EF一刀剪切后，用得到的4AEF和四边形EBCF可以拼接成平行四边形EBCP,接切线与拼图过程如图所示，依照上述方法，安要求完成下列操作设计，并画出图形说明。（1）在AABC中，增加条件,沿着 一刀剪切后可以拼成矩形。（2）在ABC中，增加条件,沿着 一刀翦切后可以拼（3）在AABC中，增加条件,沿着 一刀剪切后可以拼形。（4）在ABC （ABWAC）中，一刀剪切后也可以拼接成等腰悌形，画出切线与 意图。成菱形。成正方拼图示15如图把一个正方形割去四分之一，将余下的部分分成3个全等的图形（图甲）：将余下的部分分成4个全等的图形 照示例，请你将一个正三角形割去四分之一后余

24、下的部分。（1）分成3个全等的图形（在图一中画出示意图）：（2）分成四个全等的图形（在图二中画出示意图）：（图己）仿16 .如图是王大爷的一块四边形菜地，在A处有一口井，王大爷要想从A处引一条笔宜的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分 成面积相等的两部分.请你为王大爷设计一条引水渠的方案，画出图形，并简要写出作图的主要步骤.解:作图步骤：17 . (1)如图 25-1,在四边形 ABCD 中，AB=AD, NB=ND = 90° , E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且NEAF=1 NBAD.求证:EF =2BE+FD;(2)如图25-2在四边形ABCD中，AB=AD, NB+ND = 180° , E、F分别是边BC、CD上的点，且NEAF=L/BAD, (1)中的结论2是否仍然成立？不用证明.(3)如图25-3在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZADC = 180° , E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且NEAF=L/BAD, (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若2不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.12 / 11 word.18 .将边长0A=8, oc=io的矩形045。放在平面立角坐标系中，顶点。为原点，顶点C、A分别在X